精品解析：2026年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考二模数学试题

青竹湖湘一外国语学校二模数学问卷 时量: 120分钟 总分: 120 分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年长沙市市级重点项目总投资约13330亿元，数据13330亿用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“米”，那么向西跑20米记为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列计算正确的是（　　） A. a3+a3＝a6 B. （a3）2＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. （ab）3＝ab3 5. 某小组的一次数学检测成绩统计如下（单位：分）：76，90，64，100，84，64，73．则这组数据的众数和中位数分别是（） A. 64，76 B. 64，100 C. 76，64 D. 64，84 6. 在平面直角坐标系中，将线段水平向左平移4个单位后得到线段，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. 函数图象分布在第一、三象限 D. 当时，随的增大而减小 8. 如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝（　　） A. 50° B. 25° C. 40° D. 65° 10. 如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 的大小与P点位置有关 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为_______． 12. 因式分解x3－9x=__________． 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 14. 若扇形的圆心角为，半径为8，则该扇形的弧长为_____ 15. 《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（丈尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为__________． 16. 如图，在个格子中依次放着分别写有字母的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走个或个球；后续每次可取走个、个或个球． ②取走个或个球时，必须从相邻的格子中取走． ③最后一个将球取完的人获胜． 若甲首次取走写有，，的个球，接着乙首次也取走个球，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜． 三、解答题: (第 17-19题各6分， 20-21题各8分，第22-23题各9分，第24-25题各 10分，共 72分．) 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在平面直角坐标系中，，． （1）在图中画出关于轴对称的． （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） 20. 为传承中华优秀传统文化，丰富校园艺术生活，某校了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查(每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器)，现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）这次共抽取 名学生进行调查，扇形统计图中的x= （2）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 度； （3）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有多少名? 21. 如图，在中，D是边上的一点，， 平分，交边于点E，连接． （1）求证： ； （2）若 ， ，求的度数． 22. “绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买棵柏树和棵杉树共需元；购买棵柏树和棵杉树共需元． （1）求柏树和杉树的单价各是多少元； （2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共棵，且柏树的棵数不少于杉树的倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 23. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证: 四边形是菱形； （2）若 求菱形的面积． 24. 我们约定：若抛物线 与直线有交点，我们称函数 为“飞翔函数”，其交点为“飞翔点”：若抛物线 与直线有交点，我们称函数 为“僖乐函数”，该交点为“僖乐点”： （1）若函数 既是“飞翔函数”，也是“僖乐函数”，求c的取值范围； （2）已知函数 的一个 “僖乐点”为P，直线 与抛物线 的两个交点分别为 ，且满足 直线是否经过一个定点，若经过定点，请求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由： （3）关于x的函数 (s、t为正整数， k为实数)图像上存在两个“飞翔点”； ①求A、B的坐标(用s、k、t的式子表示) ； ②如果对于一切实数k，恒成立，求s、t的值． 25. 为的直径，点C为圆周上一点(不与点A、点B重合)； （1）如图1，的平分线交于点D，直径，弦，求的长； （2）如图2，弦于点E，交于点D，连接，令的面积为，的面积为，的面积为，且，求的值； （3）如图3，于点E，的平分线交、分别于点M、点N，设，，求y与x之间的函数关系式（不考虑x的取值范围）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青竹湖湘一外国语学校二模数学问卷 时量: 120分钟 总分: 120 分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A 2. 2026年长沙市市级重点项目总投资约13330亿元，数据13330亿用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：∵1亿， ∴13330亿， ∴． 3. 小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“米”，那么向西跑20米记为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量；根据题意，向东记为“+”，则向西应记为“−”，且数值与方向无关，仅符号相反，即可解答． 【详解】解：根据题意，向东跑20米记为“米”，说明向东为正方向，向西则为负方向，向西跑的距离与向东跑的距离绝对值相同，方向相反，因此向西跑20米应记为“米”；选项中B符合这一规则； 故答案为：B． 4. 下列计算正确的是（　　） A. a3+a3＝a6 B. （a3）2＝a6 C. a6÷a2＝a3 D. （ab）3＝ab3 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算法则进行计算即可． 【详解】解：，因此选项不正确； ，因此选项正确； ，因此选项不正确； ，因此选项不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握相关运算方法是解题的关键． 5. 某小组的一次数学检测成绩统计如下（单位：分）：76，90，64，100，84，64，73．则这组数据的众数和中位数分别是（） A. 64，76 B. 64，100 C. 76，64 D. 64，84 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数．把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数． 【详解】解：∵这组数据中64出现的次数最多， ∴这组数据的众数是64； ∵这组数据从小到大排列为：64、64、73、76、84、90、100，处于中间位置的数是76， ∴这组数据的中位数是76． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是众数以及中位数，掌握众数以及中位数的定义是解此题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，将线段水平向左平移4个单位后得到线段，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，水平平移仅改变点的横坐标，纵坐标保持不变，向左平移时点的横坐标减去平移的单位长度，按规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点坐标为，线段向左平移个单位， ∴的横坐标为，纵坐标仍为， ∴的坐标为． 7. 反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ） A. B. 当时，随的增大而增大 C. 函数图象分布在第一、三象限 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴函数图象分布在第一、三象限，故选项C正确，不符合题意； ∴当时，随的增大而减小，故选项B错误，符合题意； ∴选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 8. 如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中和两点分别落在直线和上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：直线， ， ，，， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和定理，这是几何中的必考点，必须熟练掌握. 9. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝（　　） A. 50° B. 25° C. 40° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】连接OC，先根据圆周角定理得∠DOC=2∠A=50°，再根据切线的性质定理得∠OCD=90°，则此题易解． 【详解】连接OC， ∵∠A=25°， ∴∠DOC=2∠A=50°， 又∵∠OCD=90°， ∴∠D=40°． 故选C． 【点睛】此题综合运用了切线的性质定理、圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余的性质． 10. 如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 的大小与P点位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+ S2，得到即可． 【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E， 根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC， ∴S1=AD×PF，S2=BC×PE， ∴S1+ S2 =AD×PF+BC×PE =AD×（PF+PE） =AD×EF =S， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别确定从袋子中随机摸出一个小球的总结果数和摸出的是白球的结果数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：袋子中一共有5个球，从袋子中随机摸出一个小球，总的结果数是5个， 其中，摸出的小球是白球的结果数为3个， 因此，摸出的小球是白球的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式的实际应用，解决本题的关键是读懂题意和牢记概率公式等． 12. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键． 14. 若扇形的圆心角为，半径为8，则该扇形的弧长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】将已知圆心角，半径代入弧长公式计算即可． 【详解】解：∵圆心角度数，半径， ∴该扇形的弧长为． 15. 《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（丈尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为__________． 【答案】4.55 【解析】 【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图 设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10−x）尺， 根据勾股定理得： AC²＋BC²＝AB²， 即：x²＋3²＝(10−x)²， 解得：x＝4.55， 故答案为：4.55. 【点睛】考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 16. 如图，在个格子中依次放着分别写有字母的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走个或个球；后续每次可取走个、个或个球． ②取走个或个球时，必须从相邻的格子中取走． ③最后一个将球取完的人获胜． 若甲首次取走写有，，的个球，接着乙首次也取走个球，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，解题的关键是理解题意．甲首次取走写有，，的三个球，则剩下的球为，，，，，而乙首次也取走三个球，且必须相邻，由此分类讨论即可求解． 【详解】解：甲首次取走写有，，的三个球， 还剩下，，，，， 又乙首次也取走三个球，且必须相邻， 乙可以取，，或，，． 若乙取，，，只剩下，， 它们不相邻， 甲只能拿走其中一个，故乙取走最后一个，故乙胜； 同理若乙取，，，只剩下，， 它们不相邻， 甲只能取走一个， 故乙取走最后一个，故乙胜； 故答案为：乙． 三、解答题: (第 17-19题各6分， 20-21题各8分，第22-23题各9分，第24-25题各 10分，共 72分．) 17. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数、二次根式的性质及负整数指数幂的性质依次计算各项后再合并即可． 【详解】原式= 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练运用绝对值的性质、特殊角的三角函数、二次根式的性质、负整数指数幂的性质及实数的混合运算法则是解决问题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】先利用整式乘法公式和单项式乘多项式法则展开各项，再合并同类项得到化简结果，最后代入x的值进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，． （1）在图中画出关于轴对称的． （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可在图中画出关于轴对称的； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短即可使最小，进而可以写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小， 由图知，． 20. 为传承中华优秀传统文化，丰富校园艺术生活，某校了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查(每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器)，现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）这次共抽取 名学生进行调查，扇形统计图中的x= （2）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 度； （3）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有多少名? 【答案】（1）， （2） （3）900 【解析】 【分析】本题考查了从统计图中提取信息、计算百分比和圆心角、用样本估计总体的能力，熟练掌握从统计图中提取信息、计算百分比和圆心角、用样本估计总体是解题的关键． 【小问1详解】 解：抽取学生总数名，； 【小问2详解】 “扬琴”所对扇形的圆心角； 【小问3详解】 所抽样本中喜爱“二胡”学生所占百分比， （名）， 答：该校喜爱“二胡”的学生约有名． 21. 如图，在中，D是边上的一点，， 平分，交边于点E，连接． （1）求证： ； （2）若 ， ，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定已知的等边条件，再由是角平分线得到一组等角，结合公共边，用全等判定定理证明三角形全等； （2）先利用三角形内角和为，计算出的度数；再根据角平分线的性质，求出的度数，最后在中，再次使用三角形内角和公式计算的度数． 【小问1详解】 证明：∵ 平分，  ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，， ∴ ， ∵ 平分，  ∴ ， 在中， ∴  ． 22. “绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买棵柏树和棵杉树共需元；购买棵柏树和棵杉树共需元． （1）求柏树和杉树的单价各是多少元； （2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共棵，且柏树的棵数不少于杉树的倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 【答案】（1）柏树每棵元，杉树每棵元；（2）柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元． 【解析】 【分析】（1）设柏树每棵元，杉树每棵元，根据两种购买方式建立方程组，然后解方程组即可得； （2）设购买柏树棵时，购树的总费用为元，从而可得购买杉树的棵树为棵，先根据“柏树的棵数不少于杉树的倍”建立不等式求出a的取值范围，再根据（1）的结论得出关于a的表达式，然后利用一次函数的性质即可得． 【详解】（1）设柏树每棵元，杉树每棵元 根据题意得： 解得 答：柏树每棵元，杉树每棵元； （2）设购买柏树棵时，购树的总费用为元，则购买杉树的棵树为棵 由题意得：，解得 结合（1）的结论得： 随的增大而增大 又为整数 当时，取得最小值，最小值为 此时， 即柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，依据题意，正确建立方程组和得出一次函数的表达式是解题关键． 23. 如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． （1）求证: 四边形是菱形； （2）若 求菱形的面积． 【答案】（1）见详解 （2）32 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出，再证和全等，得出，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形是菱形； （2）分别求出、的长，即可得出对角线、的长，根据菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ， 即， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 24. 我们约定：若抛物线 与直线有交点，我们称函数 为“飞翔函数”，其交点为“飞翔点”：若抛物线 与直线有交点，我们称函数 为“僖乐函数”，该交点为“僖乐点”： （1）若函数 既是“飞翔函数”，也是“僖乐函数”，求c的取值范围； （2）已知函数 的一个 “僖乐点”为P，直线 与抛物线 的两个交点分别为 ，且满足 直线是否经过一个定点，若经过定点，请求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由： （3）关于x的函数 (s、t为正整数， k为实数)图像上存在两个“飞翔点”； ①求A、B的坐标(用s、k、t的式子表示) ； ②如果对于一切实数k，恒成立，求s、t的值． 【答案】（1） （2） 经过定点，定点坐标为 （3） ① ， （或互换）；②  或  或 或 . 【解析】 【分析】（1）根据新定义，分别联立方程，利用判别式大于等于0求c的范围，即可得出结果； （2）先求出僖乐点P的坐标，代入直线方程得到n和t的关系，联立直线和抛物线，利用根的和的条件得到m和t的关系，整理直线方程得到定点即可； （3）①根据新定义，得到对应的一元二次方程，解方程即可；②分2种情况，利用图象法求不等式的解集即可. 【小问1详解】 解：∵ ，，该函数是飞翔函数， ∴抛物线与有交点， 令 ，整理得 ， ∴ ，解得， ∵该函数是僖乐函数， ∴抛物线与有交点， 令 ，整理得 . ，解得， 综上：； 【小问2详解】 解：经过定点； ∵ ， 由题意，抛物线与直线有交点， 令 ，解得， ∴僖乐点 ； ∵在直线 上，代入得 ， ∴ ； 联立直线与抛物线得： ，整理得 ， 设方程的两根为，则； ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴对任意，当 ，即时，， ∴直线恒过定点  ； 【小问3详解】 解：① (s、t为正整数， k为实数)图像上存在两个“飞翔点”，， 故飞翔点满足，令得： ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 或 ，飞翔点的纵坐标为 ； ∴ ， （A，B可互换）； ②当 ， 时， 由题意，对任意实数 ， 恒成立， ∴ ，对任意实数恒成立， 当 即（负值舍去）时，则 ，对任意实数恒成立， ∴ 时，满足题意，此时； 当 时， 则抛物线 的开口向下，抛物线与轴最多有一个交点， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是正整数， ∴，，（舍去），（舍去）； 当 ， 时， 由题意，对任意实数 ， 恒成立， ∴ ，对任意实数恒成立， 当 即（负值舍去）时，则 ，对任意实数恒成立， ∴ 时，满足题意，此时； 当 时， 则抛物线 的开口向上，抛物线与轴最多有一个交点， ∴ ， ， ∴或， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是正整数， ∴（舍去），（舍去），（舍去），； 综上：  或  或 或 . 25. 为的直径，点C为圆周上一点(不与点A、点B重合)； （1）如图1，的平分线交于点D，直径，弦，求的长； （2）如图2，弦于点E，交于点D，连接，令的面积为，的面积为，的面积为，且，求的值； （3）如图3，于点E，的平分线交、分别于点M、点N，设，，求y与x之间的函数关系式（不考虑x的取值范围）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过B作于E，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合角平分线的定义求出，则，根据等角对等边得出，在中根据勾股定理可求出，根据圆周角定理得出，则，在中根据勾股定理可求出，在中根据勾股定理可求出，即可求解； （2）根据垂径定理得出，则，结合，求出，则，证明，根据相似三角形的性质求出，最后在中，根据正切的定义求解即可； （3）过N作于F，根据角平分线的性质定理得出，根据余角的性质、对顶角的性质等得出，根据等角对等边得出，证明四边形是菱形，得出，，证明，根据相似三角形的性质得出，同理，则可求，证明，根据相似三角形的性质得出得出，同理，则可求出，由（2）可求出 ，则，即可求解． 【小问1详解】 解：过B作于E， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ，即， ∵， ∴，即 ， ∴， ∵ ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过N作于F，连接， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴ ，， 又， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴ ， 由（2）知：， ∴ ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $