精品解析：2025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考二模数学试卷

数学试卷 一、选择题 1. 下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各数中，是无理数是（　　） A. B. C. D. 5 3. 截至2025年5月10日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已突破元人民币．将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（　　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 30 6. 如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 直线向上平移4个单位长度得到直线的表达式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（　　） A. B. C. D. 9. 从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 二、填空题 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 12. 分解因式：_____． 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是______． 14. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点．若，则的度数为______． 15. 在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________． 16. 如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并求其整数解． 19. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆的高度是，从侧面点测得显示牌顶端点和底端点的仰角分别是和．求路况显示牌的高度是多少米？（用含根号的式子表示结果） 20. 某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是___________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为___________人； （2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________度； （3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？ 21. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元． （1）每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 23. 如图，在中，，过点作的平行线，使得，连接交于点，过点作的垂线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）当时，求与的长． 24. 定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数： （1）根据条件判断下列函数类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内： ①函数；（　　） ②函数；（　　） ③函数（为全体实数）；（　　） （2）若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于、两点，且，求该函数的峰值； （3）若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值． 25. 如图，已知扇形的半径为，圆心角为直角，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、． （1）求长（用含的代数式表示）； （2）设的长度为，当点沿着劣弧从点开始，顺时针运动到点时，的外心所经过的路径的长度为；求的值： （3）设弦、，连接，分别交、于、，记以线段、、为三边的三角形的外接圆半径为； ①试求、、之间关系式． ②当四边形的面积最大时，求的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 一、选择题 1. 下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】试题解析：选项A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该该选项错误； 选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误； 选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确； 选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误. 故选C. 【详解】请在此输入详解！ 2. 下列各数中，是无理数是（　　） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，求一个数的立方根，解题关键是明确无理数的定义，掌握无理数常见形式．根据无理数定义逐个判断，即可解题． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、5是有理数，不符合题意； 故选：C． 3. 截至2025年5月10日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已突破元人民币．将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法、完全平方公式、乘方和同底数幂相乘逐项判断即可． 【详解】解：A、原式=，错误； B、原式=，正确； C、原式=，错误； D、原式不能合并，错误． 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的加法、完全平方公式、乘方和同底数幂相乘，解决本题的关键是掌握以上基本的法则． 5. 某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（　　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．利用众数的定义求解，找出数据中出现次数最多的数据即可． 【详解】解：在所给数据中，数据出现了三次，次数最多， 故众数． 故选：B． 6. 如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由邻补角的定义得，由角平分线的定义得，最后根据得，即可得解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 故选：B． 7. 直线向上平移4个单位长度得到的直线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减直接求解即可得到答案．熟记函数图象的平移法则：左加右减、上加下减是解决问题的关键． 【详解】解：直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为， 即， 故选：D 8. 如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键． 根据底面周长等于的长，即可求解． 【详解】解：根据题意，的长． 故选：B． 9. 从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据概率公式求解即可． 【详解】解：从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，抽到的学号为男生的概率是； 故选：A． 10. 二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象与y轴的交点可判断A；根据图象与x轴的交点可判断B、D；根据图象的开口方向、对称轴以及时的函数值可判断C，进而可得答案． 【详解】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交， ∴，故选项A结论错误，不符合题意； ∵该函数图象与x轴有两个交点， ∴，故选项B结论错误，不符合题意； ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴，，即， ∵当时，， ∴，即，故选项C结论正确，符合题意； ∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线， ∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间， ∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案：． 13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；设该方程的另一个根为，然后根据“”可进行求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为， 由关于x的一元二次方程的一个根是， 可得：， ∴； 故答案为：4． 14. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点．若，则的度数为______． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质得到，，再由尺规作图得到垂直平分，从而由中垂线性质得到，进而，即可得到 ． 【详解】解：∵，， ∴， ， 由尺规作图可知垂直平分， ∴由中垂线性质可知， ∴， ， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查尺规作图与求角度结合问题，涉及等腰三角形性质、中垂线的尺规作图、中垂线性质等知识，熟练掌握中垂线的尺规作图是解决问题的关键． 15. 在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】m＜3 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，列出关于m的不等式，进而即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大， ∴m-3＜0，即：m＜3． 故答案是：m＜3． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数，在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则k＜0，是解题的关键． 16. 如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则， ∵水的最深处到水面的距离为，的半径为． ∴， 在中， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，最后计算加减法即可． 【详解】解： 18. 解不等式组：，并求其整数解． 【答案】，不等式组的整数解为 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的整数解为． 19. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆的高度是，从侧面点测得显示牌顶端点和底端点的仰角分别是和．求路况显示牌的高度是多少米？（用含根号的式子表示结果） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，在中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边的长；同理在中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边的长；进而由得解． 【详解】解：在中，，， ． 在中，， ， （米， ． 答：路况显示牌的高度约为． 20. 某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是___________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为___________人； （2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________度； （3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？ 【答案】（1）100 （2） （3）见解析 （4）估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关键． （1）从两个统计图中可知，选择“B（轻松游戏类）”的人数是35人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）求出选择“A（体育竞技类）”所占的百分比，即可求出相应的圆心角度数； （3）用总人数减去A、B、D的人数，求出选择“C（自由交流类）”的人数，即可补全条形统计图； （4）利用样本中“D（艺术创作）”百分比估计总体2000人喜爱“D（艺术创作）”的学生的人数． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人），补全条形统计图如下： 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人． 21. 如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为的角平分线， ∴， 由作图可得， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 ∵，为的角平分线， ∴ 由作图可得， ∴， ∵，为的角平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元． （1）每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 【答案】（1）每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元； （2）共两种购买方案，方案如下．方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆；方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为400万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【小问1详解】 设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元． 依题意，得 解得 答：每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元； 【小问2详解】 设购进型汽车辆，型汽车辆． 依题意，得，所以． 因为，均为正整数， 所以或 所以共两种购买方案，方案如下． 方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆． 方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆． 23. 如图，在中，，过点作的平行线，使得，连接交于点，过点作的垂线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）当时，求与的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）证明，得到，推出四边形是平行四边形，再根据，即可得证； （2）设，得到，勾股定理求出，在和中利用锐角三角函数得到，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则：， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24. 定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数： （1）根据条件判断下列函数类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内： ①函数；（　　） ②函数；（　　） ③函数（为全体实数）；（　　） （2）若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于、两点，且，求该函数的峰值； （3）若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值． 【答案】（1）、、． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据定义，结合反比例函数图象，一次函数图象，二次函数图象，分析判断，即可求解； （2）根据定义，可得，根据经过点和点，，建立方程组，解方程组求得的值，得出解析式，进而化为顶点式，求得最大值，即可求解； （3）根据定义，可得，根据经过点，得出，根据题意可得，设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，根据方程有实数根，得出的最小值为，，根据要使得的最小值．则同号，则，即可求解． 【小问1详解】 解：①函数；没有最大值也没有最小值则是非峰非谷函数（） ②函数；既有最大值又有最小值，是峰谷函数（） ③函数开口向上，只有最小值没有最大值，是谷函数（为全体实数）；（） 故答案为：、、． 【小问2详解】 解：∵函数在实数范围内为峰函数， ∴， ∵经过点和点， ∴ ∴， 函数的图象与轴交于、两点，设 ∴是方程的两个实数根， ∴ 又∵， ∴ ∴ 即 ∴ ∵，， ∴ 解得：（，正值舍去） ∴ ∴ ∵ ∴顶点坐标为，即该函数的峰值为； 【小问3详解】 ∵函数（）在实数范围内为谷函数， ∴， ∵函数的图象经过点 ∴ ∴ 又∵ ∴ 设中，是最大的数，设是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∵方程有实数根， ∴ 设， 如图 ∴当时， ∵，即的最小值为 ∴当取得最小值时， ∵要使得的最小值．则同号， ∴ ∴的最小值为． 25. 如图，已知扇形的半径为，圆心角为直角，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、． （1）求的长（用含的代数式表示）； （2）设的长度为，当点沿着劣弧从点开始，顺时针运动到点时，的外心所经过的路径的长度为；求的值： （3）设弦、，连接，分别交、于、，记以线段、、为三边的三角形的外接圆半径为； ①试求、、之间的关系式． ②当四边形的面积最大时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）可得为中位线，则，再由勾股定理求，即可求解； （2）连接， 由题意得：，可得点共圆，直径为，圆心为中点，则，即可求解； （3）①过点作交延长线于点，先求出，则是弦的中点，点是弦的中点，则，则，那么，由，代入化简得到；②连接，连接交于点，先求出，则以线段、、为三边的三角形为，那么，可得，则最大时，点到的距离最大即可，那么点为中点时，最大，则，化简得到，证明，则，化简得到，那么，故，代入即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图： 由题意得：， ∵为的中点， ∴由垂径定理得， ∴， ∴点共圆，直径为，圆心为中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①过点作交延长线于点， ∵， ∴， ∴ ∵是弦的中点，点是弦的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②连接，连接交于点， ∵， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以线段、、为三边的三角形为， ∴， 由于等腰是轴对称图形， ∴， ∴， ∵不变， ∴最大，则最大， ∵不变， ∴点到的距离最大即可， ∴点为中点时，最大， ∴，即， ∴， ∴ ∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，弧长公式，三角形的中位线定理等知识点，难度大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$