精品解析：甘肃兰州市城关区云麓山学校2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷

2025-2026学年甘肃省兰州市城关区云麓山学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（3分×11题） 1. 纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】A 【解析】 【分析】设该多边形有n条边，利用多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解． 【详解】解：设该多边形有n条边， 由题意得：， 解得， 则这个多边形是三角形， 故选A． 【点睛】本题考查多边形的外角和与内角和，熟记公式是解题的关键． 3. 小温将含角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，根据三角形外角性质可得的度数． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 又，， ∴． 4. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理．根据得到，得到具备条件A的是直角三角形；根据三角形内角和等于，，得到，得到具备条件B的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据，设，，，根据勾股定理的逆定理，得到具备条件D的是直角三角形． 【详解】解：A、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； B、由，设，，，根据，可得，解得，最大角，不是直角三角形，故符合题意； C、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； D、由，设，，，∴，，故，是直角三角形，故不符合题意． 故选：B． 5. 若实数a、b满足，则下列式子成立的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质判断，结合举反例排除错误选项即可得到结果． 【详解】解：A．∵， ∴，故A选项成立； B．∵， ∴，故B不成立； C．举反例：取，，满足，此时，故C不成立； D．举反例：取，，满足，此时，，，故D不成立． 6. 如图，在中，．将沿所在直线向右平移，所得的对应图形为，当点E在点C左侧时，连接，若，则平移的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离； 根据平移的性质，结合图形，可得，再根据，可得与得关系，即可解答． 【详解】将沿所在直线向右平移，所得的对应图形为， 当点E在点C左侧时，即为平移的距离， ， ， ， ， ， 故选：C． 7. 年亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，其中一支队伍在前场比赛中，负场，积分超过了分，设该球队胜了场，则下列不等关系正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是正确理解题意． 设该球队前场比赛中胜了场，由负场，可知平了场，根据积分超过了分，列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得 故选：． 8. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 等边三角形的三个角都是 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，对顶角的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、有两个角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故此选项不符合题意； B、两直线平行，内错角相等是真命题，故此选项不符合题意； C、相等的角是对顶角是假命题，故此选项符合题意； D、三个角都是60度的三角形是等边三角形是真命题，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，对顶角，掌握以上知识点是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 10. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，数形结合是解题的关键；根据函数图象即可求解． 【详解】解：观察图象知，不等式的解集为， 故选：A． 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转依次找出所求点的对应坐标，分析得到规律即可找到其相应的坐标． 【详解】解：∵， ∴在矩形中，，， ∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1， ∴依此规律，，． 二、填空题（3分×4题） 12. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设_________． 【答案】每一个内角都大于 【解析】 【分析】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键．写出与结论相反的假设即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故答案为：每一个内角都大于． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点成中心对称的点的坐标特点，代数式求值，解题的关键在于根据对称求出的值． 根据关于原点对称的点的纵、横坐标互为相反数，求出的值，再将的值代入中计算，即可解题． 【详解】解：点与点关于原点成中心对称， ， 则的值为， 故答案为：． 14. 已知关于的不等式的正整数解有个，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式整数解的个数得出关于某个字母的不等式组是解题的关键．解出不等式求出的范围，根据不等式有且只有个正整数解列出关于不等式，解之可得答案． 【详解】解：， ， ， 不等式有个正整数解，则最大的正整数解一定是． ， 解得：， 故答案为：． 15. 正六边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转对称图形的性质，任何一个正n边形都是旋转对称图形，只需绕它的中心旋转度便可与自身重合，据此求解即可． 【详解】解：正六边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解不等式． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 17. 解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握一元一次不等式组的解法步骤是解本题的关键． 分别解不等式组中的两个不等式，即可得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如图所示： 18. 中，，，求的各内角的度数． 【答案】，，． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，将第一个等式代入第二等式中，用表示出，再根据三角形的内角和等于列方程求出，然后求解即可，用表示出然后列出关于的方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 由三角形内角和定理得： ， 解得： ∴， ． 19. 已知：如图与都是等边三角形，点、、在一条直线上，连接、．求证： 在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下： （1）请问老师的提示中①是 ，②是 ． （2）请根据以上思路写出完整的证明过程． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由等式的性质可得①是，由等边三角形的性质可得②是； （2）根据所给思路先证，即可得出． 【小问1详解】 解：由题意知，老师的提示中①是，②是， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在与中， ， ， ． 20. 如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求的周长． 【答案】（1） （2）的周长为 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得，从而，再由等腰三角形的性质，可得，计算即可求解； （2）根据等腰三角形的定义可得，再根据线段垂直平分线的性质，可得，最后根据三角形周长公式和等量代换，计算即可求解． 【小问1详解】 解：是的垂直平分线，， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：的周长为，， ， 是的垂直平分线， ， ， 的周长为． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查画平移图形，画关于原点对称的图形，坐标与图形， （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点即可； （3）对应点连线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 如图1，即为所求； 【小问2详解】 如图2，即为所求； 【小问3详解】 解：如图3， 根据图形可知： 旋转中心的坐标为：， 故答案为：． 22. 根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 【答案】任务一：地上充电桩需要万元，地下充电桩需要万元 任务二：共有2种建造方案，方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． （1）设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元”列二元一次方程组求解即可； （2）设新建个地上充电桩，根据“用不超过13万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过”列一元一次不等式组，求出的取值范围，即可得解． 【详解】任务一：解：设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元， 依题意得， 解得， 答：新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要 万元和万元； 任务二：解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴整数的值为，， 方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 23. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 24. 某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格的包装盒投入市场．这种包装盒可以通过两种方案获得．方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒元；方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费）．设需要该种规格的包装盒个，方案一、二的总费用分别为元，元，且，关于的函数图象分别对应直线，，如图所示． （1）求a的值及关于x的函数解析式； （2）求关于x的函数解析式； （3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由． 【答案】（1）4， （2） （3）当时，，选择方案一更省钱；当时，，方案一，方案二的总费用一样多；当时，，选择方案二更省钱 【解析】 【分析】（1）根据图象得：a＝8000÷2000＝4；关于x的函数解析式为＝4x； （2）用待定系数法可得＝2x+10000； （3）分3种情况：4x＝2x+10000，4x＜2x+10000，4x＞2x+10000，可解得当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱． 【小问1详解】 解：根据图象得：a＝8000÷2000＝4； ∴关于x的函数解析式为＝4x； 【小问2详解】 根据题意，设关于x的函数解析式为＝kx+10000， 将点（2000，14000）代入得： 2000k+10000＝14000， 解得k＝2， ∴＝2x+10000； 【小问3详解】 令4x＝2x+10000， 解得x＝5000， ∴当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多； 令4x＜2x+10000， 解得x＜5000， ∴当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱； 令4x＞2x+10000， 解得x＞5000， ∴当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱； 综上所述，当0≤x＜5000时，＜，选择方案一更省钱；当x＝5000时，＝，方案一，方案二的总费用一样多；当x＞5000时，＞，选择方案二更省钱． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，列出函数关系式． 25. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：___________；（直接写出结果） （2）已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算和解一元一次不等式组． （1）根据新定义进行计算即可； （2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 故答案为： 【小问2详解】 由题意，知，①或，② 由①，得； 由②，得该不等式组无解； 的取值范围为 26. 【发现问题】 如图1，点P在等边三角形内，且，，求的长．小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：在图1中， ， ． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，， ，求和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接．已知，， 米，米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），求此时种植郁金香的面积． 【答案】（1），5 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由等边可得，，由全等易得，所以可得为直角三角形，里用勾股可求线段的长度； （2）利用第一问的思路构造旋转全等，唯一不同的是由等边三角形变成等腰直角三角形，其他思路基本一致，其中证明A、P、G三点共线是求的关键． （3）这一问是对上述思路的运用，利用旋转构造出全等之后，将已知线段进行转化，并放在一个三角形中（这是线段问题的主要思路），从而利用三边关系得出的范围．此时是A、P、C三点共线，利用第二问思路可得为直角三角形，将四边形面积转化为两个三角形，再求面积即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 在中，． 故答案为：，5． （2）如图，将绕点C逆时针旋转得到，连接． 则． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴， ∴． 此时，即A、P、G三点共线． ∴， 在中，， 又∵为等腰直角三角形， ∴． 综上：；； （3）如图，过B作，使． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据三边关系可得： （三点共线时取等），即， ∴如图，当、、三点共线时，最大． ∵，， ∴， ∴． ∴， 过B作于点H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴当最大时，四边形的面积为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年甘肃省兰州市城关区云麓山学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（3分×11题） 1. 纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 3. 小温将含角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若实数a、b满足，则下列式子成立的是（） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．将沿所在直线向右平移，所得的对应图形为，当点E在点C左侧时，连接，若，则平移的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 年亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，其中一支队伍在前场比赛中，负场，积分超过了分，设该球队胜了场，则下列不等关系正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 等边三角形的三个角都是 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3分×4题） 12. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设_________． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 14. 已知关于的不等式的正整数解有个，则的取值范围是______． 15. 正六边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为__________． 三、解答题（共75分） 16. 解不等式． 17. 解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． 18. 中，，，求的各内角的度数． 19. 已知：如图与都是等边三角形，点、、在一条直线上，连接、．求证： 在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下： （1）请问老师的提示中①是 ，②是 ． （2）请根据以上思路写出完整的证明过程． 20. 如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求的周长． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 22. 根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 23. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 24. 某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格的包装盒投入市场．这种包装盒可以通过两种方案获得．方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒元；方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费）．设需要该种规格的包装盒个，方案一、二的总费用分别为元，元，且，关于的函数图象分别对应直线，，如图所示． （1）求a的值及关于x的函数解析式； （2）求关于x的函数解析式； （3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由． 25. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：___________；（直接写出结果） （2）已知，求的取值范围． 26. 【发现问题】 如图1，点P在等边三角形内，且，，求的长．小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：在图1中， ， ． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，， ，求和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接．已知，， 米，米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），求此时种植郁金香的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $