精品解析：甘肃兰州市某校2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷

2025—2026学年第二学期八年级数学期中考试试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 科克曲线 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 2. 分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＝﹣1 B. x≠﹣1 C. x≠0 D. x＞﹣1 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的内角和是外角和的五倍，求这个正多边形的边数（ ） A. 9 B. C. D. 5. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 1 6. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 8. 如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（　　） A. x＞﹣2 B. x＜﹣2 C. x＞4 D. x＜4 9. 把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动．若，则的最小值为( ) A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12. 把多项式分解因式的结果是_____． 13. 若关于的不等式可化为，则的取值范围是______． 14. 如图，两个直角三角形重在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是______． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16. 解不等式组． 17. 解方程： 18. 先化简，再求值：．其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值． 19. 已知关于x的分式方程． （1）若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； （2）若此方程的解是正数，求m的取值范围． 20. 如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求的值和直线的表达式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集． 22. 智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是． （1）将三角板以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移三角板，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的． （3）将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标______． 23. 某商家两次购进同一种商品进行销售，已知第一次进价是第二次进价的1.2倍，第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件． （1）问商品的两次进价分别为多少元？ （2）商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，则每件商品的售价至少是多少元？（假设购进的商品全部销售完） 24. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）． A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式 （2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______（填“是”或“否”），如果否，直接写出最后的结果______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 25. 在中，，的度数记为，点A是边上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转角度至位置，连接． （1）如图1，若，点A在线段上时，证明：； （2）如图2，若，点A在射线上时，猜想：线段和线段的关系，并证明． （3）如图3，若，点A在线段上，，求．周长的最小值． 26. 数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为． （1）糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”． （2）糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________． （3）请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设为三边的长，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期八年级数学期中考试试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 科克曲线 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＝﹣1 B. x≠﹣1 C. x≠0 D. x＞﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式 在实数范围内有意义， ∴x+1≠0， 解得：x≠﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键. 3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是对多项式进行变形，故选项错误，不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意； C、是因式分解，故选项正确，符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 一个多边形的内角和是外角和的五倍，求这个正多边形的边数（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为一个多边形的外角和是，再根据n边形内角和公式进行作答即可． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 依题意得， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了n边形内角和公式，以及多边形的外角和是，难度较小． 5. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，点关于原点对称的点的坐标为，由此建立方程求解和的值． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴点与点的横纵坐标均互为相反数， ∴，． 将和代入，得： 故选D． 6. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：A选项，，则 是直角三角形，故A不符合题意； B选项，设， ∵， ∴是直角三角形，故B不符合题意； C选项，∵最大角， ∴是锐角三角形，不是直角三角形，C符合题意； D选项，∵，且， ∴，即， ∴是直角三角形，D不符合题意． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意； B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意； C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意； D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（　　） A. x＞﹣2 B. x＜﹣2 C. x＞4 D. x＜4 【答案】A 【解析】 【详解】由图象可以看出，直线y=4上方函数图象所对应自变量的取值为x>-2， ∴不等式kx+b＞4的解集是：x>-2， 故选A． 9. 把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，将绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，，由等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由旋转知，，，， ， ， ． 11. 如图，矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动．若，则的最小值为( ) A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小． 【详解】解：如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小， ∵四边形是矩形 ∴、、 ， ， 四边形是平行四边形， ， ∵关于的对称点是、为边的中点， ∴垂直平分 ∴、 ， ，， ，， 由勾股定理得： 即的最小值为． 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12. 把多项式分解因式的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 若关于的不等式可化为，则的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围． 【详解】解：不等式可化为， ， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，两个直角三角形重在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为______． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，解题的关键是熟记各性质并判断出阴影部分面积等于． 先判断出阴影部分面积等于，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，即可得解． 【详解】解：∵两个三角形大小一样， ∴阴影部分面积等于， 由平移的性质得，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：48． 15. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，由作图方法可得平分，则由角平分线上的点到角两边的距离相等可得，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可知，平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：40． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为：， 17. 解方程： 【答案】x=1 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：4x=x+3， 解得：x=1， 经检验x=1是分式方程的解． 故答案为：x=1． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 18. 先化简，再求值：．其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】；，原式；，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴时，原式；当时，原式． 19. 已知关于x的分式方程． （1）若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； （2）若此方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，可得，可得到关于m的方程，即可求解； （2）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据此方程的解是正数，即可求解． 【小问1详解】 解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 即， 把代入整式方程得：， 解得； 【小问2详解】 解：去分母得：， 解得， ∵此方程的解是正数， ∴且， ∴且． 20. 如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC． 【详解】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求的值和直线的表达式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题的关键是：求函数解析式及两直线的交点． （1）先把代入中求出，从而得到的坐标，然后把点坐标代入中求出得到直线的表达式； （2）结合函数图象，且直线在直线下方所对应的自变量的范围． 【小问1详解】 解：∵直线：过点， ∴， 解得， ∴， ∵直线：过点， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：观察图象可知，在A点右侧，直线落在直线下方， ∴不等式的解集是． 22. 智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是． （1）将三角板以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移三角板，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的． （3）将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，正确找到对应点位置是解题的关键． （1）根据题意可得点C分别是的中点，据此得到的坐标，描出，再顺次连接，C即可； （2）根据点A和点的坐标可知平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度，据此确定的坐标，再描出并顺次连接即可； （3）由于是绕点C旋转180度得到，是平移得到的，那么一定是绕某点旋转180度得到，故和的对应点连线的中点即为旋转中心，据此求解即可． 【小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，线段的交点即为所求． 故答案为： 23. 某商家两次购进同一种商品进行销售，已知第一次进价是第二次进价的1.2倍，第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件． （1）问商品的两次进价分别为多少元？ （2）商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，则每件商品的售价至少是多少元？（假设购进的商品全部销售完） 【答案】（1）100元 （2）130元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设商品第二次的进价为x元，则第一次的进价为元，根据第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件，列出分式方程，解方程即可； （2）设每件商品的售价是m元，根据商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设商品第二次的进价为x元，则第一次的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：商品第一次的进价为120元，第二次的进价为100元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，（件），（件）， 设每件商品的售价是m元， 由题意得：， 解得：， 答：每件商品的售价至少是130元． 24. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）． A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式 （2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______（填“是”或“否”），如果否，直接写出最后的结果______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）否； （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用换元法和完全平方公式进行因式分解； （1）根据两数和的完全平方公式即可得； （2）根据两数差的完全平方公式即可得． （3）仿照例题，进行因式分解，即可求解． 【小问1详解】 该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； 【小问2详解】 否，最后结果求解如下： 原式， ， ， 故答案为：否，． 【小问3详解】 解：设 原式 ． 25. 在中，，的度数记为，点A是边上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转角度至位置，连接． （1）如图1，若，点A在线段上时，证明：； （2）如图2，若，点A在射线上时，猜想：线段和线段的关系，并证明． （3）如图3，若，点A在线段上，，求．周长的最小值． 【答案】（1）见解析 （2），，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）理解题意，根据旋转的性质，得，，证明，故，即可作答． （2）与（1）同理证明，根据，故，即； （3）由（1）（2）可得，．再过点作，结合勾股定理以及30度的直角三角形的性质得出为定值等于，当取最小值时，最小，此时，过点作，同理得，，故的周长的最小值为，即可作答． 【小问1详解】 解：∵线段绕点逆时针旋转角度至， ，． ， ， ． ， 【小问2详解】 解：，，证明如下： 线段绕点逆时针旋转角度至位置， ，． ， ． ，． ， ， ． 【小问3详解】 解：由（1）可得，． 则的周长， 过点作，如图所示： ∵的度数记为，，， ∴， 则， ∴ 即为定值等于， ∴当取最小值时，的周长最小． 为含角的等腰三角形， ∴当取最小值时，最小，此时， ，， ， 过点作， 为含角的等腰三角形， 同理得 ∴， 的周长的最小值． 26. 数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为． （1）糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”． （2）糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________． （3）请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设为三边的长，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）利用（2）的结论来证明即可． 【小问1详解】 解： 由题意得，加入克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由题意得，加入克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为； 假设新的“糖水不等式”为，下面用数学知识证明： ，其中， ∴， ∴，即， 故答案为：；． 【小问3详解】 证明：由（2）可知 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $