山东省高密市第一中学卓越学院2025-2026学年高二下学期4月过程性考试数学试题

卓越学院 高二级部过程性考试 数学试题 2026.04.02 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量服从正态分布，且，则 A．0.9 B．0.8 C．0.4 D．0.1 2．已知等比数列的公比为2，前项和为，若，则 A．21 B．42 C．63 D．84 3．某厂家为了解顾客对改进后产品的满意度，随机调查了相同数量的男、女顾客，经统计有的男顾客“不满意”，有的女顾客“不满意”，若有的把握认为性别与对产品是否满意有关，则调查的总人数可能为 参考公式：，其中．附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．150 B．170 C．240 D．260 4．若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是 A． B． C． D． 5．已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则 A． B． C． D． 6．已知等差数列的前项和为，若，，且，则数列的前2024项和为 A．2023 B．2024 C．4046 D．4048 7．将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 A． B． C． D． 8．我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分 9．甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（    ） A．事件B与事件C互斥 B． C．事件A与事件B相互独立 D．记C的对立事件为，则 10．若数轴的原点处有一个质点，每隔一秒等可能的向左或向右移动一个单位，则下列结论正确的是（    ） A．两秒后质点的坐标为2的概率为 B．四秒后质点的坐标为0的概率小于质点的坐标为2的概率 C．设三秒后质点的坐标为随机变量X，则 D．设n秒后质点的坐标为随机变量Y，则 11．黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12．记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______． 13．2025年春晚，魔术师表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.魔术师让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是__________. 14．如图，将正整数按下表的规律排列， 把行与列交叉处的那个数称为某行某列的元素， 记作，如第2行第4列的数是15， 记作，则有序数对是____________.    四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某企业统计了近5年的年销售额y（百万元）与年份x相关数据，如下表： 年份x 2017 2018 2019 2020 2021 年销售额y（单位：百万元） 76 83 89 95 100 (1)依据表中的统计数据，求年销售额y关于年份x的回归直线方程； (2)将2017年记作第1年，根据（1）的结果，若第年投入的保管费z满足关系式，请预测第几年的保管费最少？并求出该最小值．（参考数据：） 附：回归直线方程的斜率，截距． 16．为保证考试网上评卷的公平、公正、准确，某次考试制定了如下阅卷规则：每份试卷先由两名评卷人员（一评和二评）进行评分，两名评卷人员的评分相互独立．若两名评卷员所给分数差小于等于1分，则取两评卷员的平均分为最终得分；若两名评卷员所给分数差大于1分，则由第三个人（三评）评阅，当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值不相等时，取三评分数和一、二评接近的分数的平均分为最终得分；当一评与三评所给分数差和二评与三评所给分数差的绝对值相等时，取一、二评分数中的较高分数和三评分数的平均分为最终得分．本次考试共设6道试题，每题均为12分，阅卷过程中由于考生答题不规范导致评卷员的评分出现偏差，12分的试题评分为11分的概率为，评分为10分的概率为，评分为9分的概率为． (1)若某考生某道试题答题不规范，求该考生此题最终得分X的分布列及数学期望； (2)若考生甲6道试题答题都不规范；考生乙前4道试题均得满分，第5道试题答题不规范，第6道试题得6分． ①求考生甲得9.5分或10分的题目总数为3的概率； ②请以甲、乙两位同学的总分均值为依据，谈谈你对“答题不规范”的理解． 17．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 18．已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和； (3)是否存在正整数p，q（），使，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 19．设数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列. （i）若，求； （ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 卓越高二级部过程性考试数学参考答案 1．A 2．C 3．C 4．B 5．A 6．D 7．A 8．A 9．CD 10．ACD 11．BCD 12．12 13． 14．(985,211) 15．【详解】（1）令，列表得 x 2017 2018 2019 2020 2021 1 2 3 4 5 y 76 83 89 95 100 设y关于年份t的回归直线方程为，则， 所以，， 所以y关于t回归直线方程为，故y对x回归直线方程为． （2）由（1）得，所以， 令，则， 所以当，即，z有最小值1.66， 故预测第9年的保管费最少，该最小值为1.66百万元． 16．【详解】（1）根据题意，随机变量X的取值为9，9.5，10，10.5，11． 设一评、二评、三评所打的分数分别是x，y，z， ， ， ， ， ， 故X的分布列为 X 9 9.5 10 10.5 11 P . （2）①记“与”为事件A，6次试验中事件A发生的次数，得9.5和10的题目总数和为3相当于事件A恰好发生3次， 故概率为． ②由题意可知，甲同学得分的均值为，乙同学得分的均值为． 显然，乙同学得分均值更高，所以“在做题过程中要规范作答，尽量避免不规范解答”的出现． 17．【详解】（1） 记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”， 则， 由全概率公式得： . （2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下： 该球是取自甲箱的概率 该球取自乙箱的概率 因为所以该球取自乙箱的可能性更大. 18．【详解】（1），，当时，， 两式相减得，即， 则有，当时，，则，即， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则，数列是等差数列， 于是，解得，则， 所以的前项和 . （3）由（1）知，， 由成等差数列，得，整理得， 由，得，又，，不等式成立， 因此，即，令，则, 从而，显然，即， 所以存在，使得成等差数列. 19．【详解】（1）当时，得； 当时，， 两式相减得，所以是以1为首项，为公比的等比数列. 所以. （2）① 设， 所以， 上面两式相减得， 所以 所以，所以. ② 因为都是递减数列； 所以； 则， 令，即恒成立， 所以数列单调递增， 当时，；则 所以； 当时，； 则， 所以，，成立，解得，存在； 当时，； 当时，；不满足题意，故不存在： 综上所述，当正整数对取和时，成立. 答案第2页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $