第20章 数据的初步分析（15知识详解+27典例分析）2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

该初中数学单元复习讲义围绕“数据的初步分析”，通过知识框架图系统梳理15个核心知识点，用对比表格呈现频数直方图与条形图的区别、平均数中位数众数的联系等重难点，以步骤化描述明确频数分布表制作等操作流程，构建清晰的知识脉络。 讲义亮点在于27个典例的分层设计，如“运用方差做决策”题型通过比较甲、乙两队成绩的方差培养数据意识和推理能力，基础题巩固概念，综合题提升分析能力。每个知识点配套易错点提醒，助力学生自主复习，也为教师实施精准分层教学提供支持。

第20章 数据的初步分析（15知识详解+27典例分析） 【知识点01】频数分布表 1. 频数 我们把一批数据中落在某个小组内数据的个数称为这个组的频数 . 2. 频率 如果一批数据共有 n 个，而其中某一组数据是 m 个，那么就是该组数据在这批数据中出现的频率 . 3. 频数分布表 根据频数整理得到的表格就是频数分布表 . 频数分布表反映了数据落在各个小组内的频数，从而反映了一组数据中各数据的分布情况 . 4.制作频数分布表的步骤 (1)确定数据变动范围计算某批数据中最大数与最小数的差(称为“极差”). (2)决定组距和组数 . 组距是指每个小组的两个端点间的距离 . 如果每组组距相同，那么组数 =组数采用进一法取整数 . (3)决定分点.一般将表示分点的数在原数据的基础上多 取一位小数，并把第一组的起点定为比最小的数据稍小一点的数 .确定分点的两种方法：①数据不落在分点上，即起点值比最小值略小一些；②数据落在分点上，这时需要对每个分组区间的端点值属于哪个组作出规定，常采用“上限不在内”的原则，如 x 的范围是 90~100 时，100不在内，即90 ≤x<100. (4)列频数分布表 . 【知识点02】频数直方图 1. 频数直方图 画出相互垂直的两条直线，用横轴表示分组情况，纵轴表示频数，绘出相应的长方形条，就得到了频数直方图. 2.绘制频数直方图的步骤 (1)列出频数分布表；(2)画频数直方图. 3.直方图与条形图的区别 条形图 直方图 用小长方形的高度表示数据的大小 用小长方形的面积来表示此组数据的总量 横轴上的数据是独立的，相邻的数据没有联系 横轴上相邻的数据有必然联系，它表示一个范围 各个小长方形之间有间隔 相邻的小长方形之间没有间隔 侧重反映每个项目具体数目的多少 描述的是一组连续的数据，它侧重反映这些数据落在各小组内的频数的分布情况 【知识点03】平均数 1. 定义 一般地，如果有 n 个数据， ，…， ，那么， ( ++…+)就是这组数据的平均数，记作，读作“x 拔” ，即 ̅= ( ++…+).也称为算术平均数 2. 拓展  若 x1， x2，…， xn 的平均数为，则： (1) nx1， nx2，…， nxn 的平均数为 n ； (2) x1+b， x2+b，…， xn+b 的平均数为 +b； (3) nx1+b， nx2+b，…， nxn+b 的平均数为 n +b. 【知识点04】用计算器求平均数 使用计算器的统计功能求平均数时，不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算器的使用说明书 . 一般操作步骤如下： 【知识点05】加权平均数 1.加权平均数 一般地，求平均数，可统一用公式：x =. 其中，，…， 分别表示数据，，…， 出现的次数，或者表示数据，，…，在总结果中的比重，我们称其为各数据的权，叫作，，…， 这k 个数据的加权平均数. 2.算术平均数与加权平均数的区别与联系 区别 联系 算术平均数 算术平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”相同，即各个数据的权相同 若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平均数的一种特例 加权平均数 加权平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的权不一定相同 3. 分布式计算 若m个数据的平均数是a，n个数据的平均数是b，则这(m+n)个数据的平均数是，这是分布式计算的最简单形式，这样的计算在形式上是加权平均数，在程序上是分别计算．分布式计算是把一个需要非常巨大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分进行处理的方式，是大数据处理的一种重要方法． 【知识点06】中位数 1. 中位数 一般地, 当将一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据(当数据的个数是奇数时)或正中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫作这组数据的中位数. 2. 求中位数的方法 【知识点07】众数 众数 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 . 说明： (1)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关，它一定出现在这组数据中； (2)众数是描述一组数据集中趋势的量，众数只与各数据出现的次数有关，有时是我们最为关心的统计数据 . 【知识点08】选择合适的量描述数据的集中趋势 平均数、中位数和众数的联系与区别 平均数 中位数 众数 区 别 个数 唯一 唯一 不一定唯一 与组内数据的关系 与每个数据均有关 按大小排序，只与正中间的一个数据或正中间的两个数据有关 只与出现次数最多的数据有关 是否为组内的数据 不一定是 不一定是 不一定是 优点 所有数据参与运算，能充分利用数据所提供的信息 计算简单，受极端值影响较小 某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题 缺点 易受极端值的影响 不能充分利用所有数据所提供的信息 当各数据的重复次数大致相等时，研究众数没有意义 联系 都是一组数据的代表值，能从不同角度反映一组数据的集中趋势 【知识点09】用样本平均数估计总体平均数 现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数. 用样本估计总体，样本的选取需注意两点： (1)样本的选取要具有随机性，保证样本具有代表性； (2)样本的容量不能太小，如果样本容量太小，容易造成样本与总体有较大的差异. 【知识点10】离差平方和与方差 1. 定义 设一组数据是， ，…， ，它们的平均数是 ̅ ，我们将( － )² + ( －  ) ² +… + ( － )²称为这组数据的离差平方和，可以简记为 (- ̅)². 将s²=［ ( －) ²+ ( －) ²+…+ (－) ²］称为这组数据的方差. 2.求方差的步骤 3.离差平方和与方差都具有如下性质 (1)最小值为0；(2)数据的离散程度大，它们的值也大. 当数据个数较多时，离差平方和的值将变得很大，而且当几组数据个数不相等时，不能用离差平方和衡量数据的离散程度. 在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中. 【知识点11】用计算器计算一组数据的方差 用笔算的方法计算方差比较繁琐，利用计算器可以快捷地计算方差 . 用计算器求一组数据的方差的按键顺序如下： 【知识点12】用样本方差估计总体方差 用样本方差估计总体方差：在实际问题中，与用样本平均数估计总体平均数一样，我们也常用样本方差估计总体方差 . 提示： (1)样本数据越多，统计的工作量也越大，一般根据实际需要选取适当的样本数据 . (2)一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大 . (3)在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度 . 【知识点13】四分位数 1. 百分位数 将一组数据从小到大排列，一个数a，使不大于a 的数据至少占25%，使不小于a 的数据至少占75%，这个数a 就是这组数据的第25 百分位数. 而中位数就是第50 百分位数，它表示不大于中位数的至少占50%，不小于中位数的至少占50% . 根据这种方法，我们还可以找出其他百分位数. 2. 四分位数 一组数据从小到大排列，第25 百分位数(记作)、中位数(记作)、第75 百分位数(记作)把所有的数据等分成四部分，因此，称为四分位数，，，分别称为第一四分位数()、第二四分位数()、第三四分位数() 3. 确定四分位数的方法 (1)将数据从小到大排列，记为， ，…， ． (2)求中位数，并计算=n×25% 和l=n×75%. (3)若不是整数，记j 为大于i 的最小整数，则第25 百分位数为第j 个数据；若是整数，则第25 百分位数为第个和第(+1)个数据的平均数. 同理可求得第75 百分位数. 【知识点14】箱线图 1.箱线图的五要素 一组数据的三个四分位数及最小值和最大值. 2. 箱线图的结构 如图20.4-1. 3.箱线图的画法 (1)找出一组数据的最小值、四分位数和最大值，并用5 条横线分别对应这5 个数据； (2)连接第一四分位数和第三四分位数，画出“箱体”； (3)将最小值和最大值与“箱体”相连接，第二四分位数(中位数)在“箱体”中间. 注意：箱线图可以画成竖直的，也可以画成横向的. 【知识点15】数据分组原则 1. 组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，假设有n 个数据， ，，…，，若将其分成两组，其中前m个数据为一组(称为第一组)，后(n-m)个数据为一组(称为第二组). 这n 个数据的总体离差平方和S² 可以表示为：S²=(-)²+(-)²+… +(-)²，其中， =(++… +) 记(++… +)，(++… +). 则S²=(-)²+(-)²+… +(-)²+(-)²+(-)²+… +(-)²+[m(-)²+(n-m)(-)²]=+. 其中，=(-)²+(-)²+… +(-)²+(-)²+(-)²+...+(-)² 称为组内离差平方和，表达了两个组内数据的离散程度；=m(- )²+(n-m)( -)² 称为组间离差平方和，表达了两组数据之间的差异. 2. 数据分组的原则 组内差距最小. 3. 数据分组的根据 组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大). 4. 数据分组的步骤 (1)将数据由小到大排列； (2)从m=1 开始，分类讨论所有可能的分组情况； (3)分别计算全部数据和各组数据的平均数； (4)计算两组数据的组内离差平方和或组间离差平方和； (5) 组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大)的分组即为最合理的分组. 【题型一】根据数据描述求频数 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）一个样本含有个数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在列频数分布表时，～这组的频数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据数据描述求频数 【分析】根据频数是指某个数据出现的次数即可求解． 【详解】解：解：在这一小组中，出现次，出现次，出现数据的次数为次，故其频数为， 故选：D． 【点睛】本题考查频数，理解频数的概念是解决问题的关键． 2．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）有一组数据共50个，分布若干组，在它的频数分布表中，有一组频率为，则这一组的频数为________． 【答案】 【知识点】根据数据描述求频数 【分析】本题主要考查了求频数，根据频数总数频率进行求解即可． 【详解】解：， ∴这一组的频数为23， 故答案为：23． 【题型二】根据数据描述求频率 3．（2024八年级下·安徽安庆·期末）了解时事新闻，关心国家重大事件是每个中学生应具备的素养，在学校举行的新闻事件比赛中，知道“祝融号”成功到达火星的同学有40人，频率为0.8，则参加比赛的同学共有（　　） A．32人 B．40人 C．48人 D．50人 【答案】D 【知识点】根据数据描述求频率 【分析】根据频率=频数总数，求解即可． 【详解】解：根据频率=频数总数，即总数=频数频率， 则参加比赛的同学共有40÷0.8=50（人）， 故选：D． 【点睛】本题考查了频数与频率，记住公式：频率=频数总数是解题的关键． 4．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）一组数据，样本容量为100，共分为五组，前三个组的频数分别为15、15、18，第四组的频率是0.2，那么第五组的频率是 __． 【答案】0.32 【知识点】根据数据描述求频率 【分析】首先计算出第四组的频数，利用100减去各组频数可得第五组的频数，然后再计算频率即可． 【详解】解：第四组的频数：100×0.2＝20， 第五组的频数：100﹣15﹣15﹣18﹣20＝32， 第五组的频率是32÷100＝0.32， 故答案为：0.32． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数÷总数． 5．（2024八年级下·安徽合肥·期末）某公司在过去几年内使用某种型号的节能灯1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 1700以上 频数 48 121 208 223 193 207 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据数据描述求频率 【分析】（1）由频率，可得出各组的频率； （2）要计算灯管使用寿命不足1500小时的频率，即计算前四个小组的频率之和． 【详解】（1）解： ，，，，，； 填表如下： 分组 1700以上 频数 48 121 208 223 193 207 频率 （2）由（1）可得， 所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为． 【点睛】本题主要考查了频率分布表的计算和频数分布直方图的应用以及概率的求法，属于基础题． 【题型三】根据数据填写频数、频率统计表 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）今年是新修订的《中华人民共和国保守国家秘密法》颁布实施一周年，某校808班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在70~90之间（含70分和90分）的频数是（   ） A．0.45 B．16人 C．18人 D．20人 【答案】C 【知识点】根据数据填写频数、频率统计表 【分析】本题考查了频率与频数， 根据频率与频数的关系，先分别计算不足70分和高于90分的频数，再用总人数减去这两部分频数之和，得到70~90分之间的频数． 【详解】解：不足70分的频数： （人）． 高于90分的频数：（人）． 70~90分之间的频数：（人） 因此，成绩在70~90分之间的频数为18人， 故选C． 7．七（1）班数学小组做转盘试验：有一个可以自由转动的圆形转盘，被分成了8个面积相等的扇形区域，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色（每种颜色至少占1个扇形区域）．转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数/次 300 600 900 1200 1800 2400 转到黄色区域的频数 114 225 333 450 675 900 转到黄色区域的频率 0.37 0.375 0.375 (1)表中___________，___________，___________； (2)已知转动多次后，蓝色区域频数稳定在0.25，且红色区域的扇形个数是绿色区域扇形个数的2倍，请你估计转盘上黄色区域的扇形个数为___________； (3)若要在不改变转盘扇形个数的前提下，通过重新分配颜色，使得指针指向每种颜色的可能性相同，请写出一种可行的方案． 【答案】(1)0.38，0.375，0.375 (2)3 (3)将1个黄色区域改为绿色区域．能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【知识点】根据数据填写频数、频率统计表、根据数据描述求频数 【分析】本题考查了频数与频率，熟知频数与频率之间的计算关系是解题的关键． （1）利用频数和样本容量求得频率； （2）根据频率估算黄色区域的扇形个数即可； （3）通过（2）中得到每个颜色的扇形个数数量，再调整即可． 【详解】（1）解：； ； ， 故答案为：0.38，0.375，0.375； （2）解：转盘上黄色区域的扇形个数为个， 故答案为：； （3）解：蓝色区域为个， 设绿色区域扇形个数为个，则红色区域扇形个数为个， 则可得， 解得， 即绿色区域扇形个数为1个，则红色区域扇形个数为2个， 故要使得指针指向每种颜色的可能性相同，只需将1个黄色区域改为绿色区域． 【题型四】频数分布表 8．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）一组数据的最大值为45，最小值为23，若取组距为5，则列频数分布表时，应分组数为_______． 【答案】5 【知识点】频数分布表 【分析】本题考查了组距与组数，属于基础题，用到的知识点是组数=（最大值-最小值）÷组距，注意要进位． 根据最大值为45，最小值为23，求出最大值与最小值的差，再根据组距为5，组数=（最大值最小值）÷组距计算即可． 【详解】， ， ∴应分组数为5， 故答案为：5． 9．某校随机调查了20名同学每周的课外阅读时间，结果如下（单位：小时）： 4，5，6，3，4，5，7，6，4，5，3，5，4，6，5，7，4，5，6，4 整理数据，填写下表： 课外阅读时间（小时） 3 4 5 6 7 人数 【答案】2,6,6,4,2 【知识点】频数分布表 【分析】利用唱票法，解答即可． 本题考查了数据的整理，熟练掌握数据的整理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，数据整理如下： 课外阅读时间（小时） 3 4 5 6 7 人数 2 6 6 4 2 故答案为：2,6,6,4,2． 【题型五】频数分布直方图 10．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）调查数据的某一分组为，它的组中值是（   ） A．6 B．14 C．20 D．10 【答案】D 【知识点】频数分布直方图 【分析】本题考查了数据分组的组中值，组中值是分组的上下限之间的中点数值，数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，由此计算即可． 【详解】解：因为， 所以的组中值是10． 故选：D． 11．（2024八年级下·安徽·专题练习）一个容量为70的样本，最大值是137，最小值是50，取组距为10，可以分成___组． 【答案】9 【知识点】频数分布直方图 【分析】此题主要考查了组数的计算，根据组数（最大值最小值）组距计算，注意小数部分要进位． 【详解】解：在样本数据中最大值为137，最小值为50，它们的差是， ∵已知组距为10， ∴， ∴可以分成9组． 故答案为：9． 12．为了调查钟楼区居民区的白天噪声污染情况，环保部门抽样调查了40个噪声测量点的噪声声强级，结果如下（每组包含起点值，不包含终点值）： (1)在噪声最低的测量点，其噪声声强级在哪个范围？ (2)噪声声强级高于的测量点有多少个？ 【答案】(1)（或） (2)26个 【知识点】根据数据描述求频数、频数分布直方图 【分析】(1) 观察频数分布直方图，找出频数不为零的最低组即可确定噪声最低的测量点所在的范围． (2) 找出噪声声强级高于的各组，将其频数相加即可． 【详解】（1）(1) 解：∵频数分布直方图中最低组为， ∴噪声最低的测量点，其噪声声强级在范围内． （2）解：∵噪声声强级高于的组有、、， ∴测量点个数为个． 【题型六】用样本的频数估计总体的频数 13．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是黄球，估计袋中红球的个数是（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【知识点】用样本的频数估计总体的频数 【分析】此题考查了样本估计总体，通过摸球试验中黄球的频率估计总体中黄球的比例，从而计算红球个数． 【详解】∵随机摸出5个球中有3个黄球， ∴摸到黄球的频率为， ∴估计袋中黄球个数为（个）， ∴红球个数为（个）． 故选：C． 14．2021年6月6日是全国爱眼日，某校对七年级学生进行了视力监测，收集了部分学生的监测数据，并绘制成了频数分布直方图，从左至右每个小长方形的高的比为，其中第三组的频数为80，则共收集了______名学生的监测数据． 【答案】200 【知识点】用样本的频数估计总体的频数 【分析】根据频率=频数除以总数进行计算即可． 【详解】解：(人)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，掌握频率＝频数除以总数是解答本题的关键． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）某校为了解学生的课外阅读时长，随机抽取了50名学生进行调查，并将数据整理成如下频数分布表： 阅读时长（小时/周） 频数 频率 8 a 12 b 6 8 (1)求a和b的值； (2)画频数分布直方图； (3)若该校有1200名学生，估计每周阅读时长在4小时以上的学生人数． 【答案】(1)16， (2)见解析 (3)528人 【知识点】用样本的频数估计总体的频数、频数分布表、频数分布直方图 【分析】本题考查了频数分布统计表、频数分布直方图，样本估计总体，读懂统计图表、从中获取必要的信息是解题的关键． （1）根据频数等于频率乘以样本容量，频率等于频数除以样本容量，解答即可； （2）根据频数分布表以及a的值画出直方图即可； （3）用锻炼时间不低于4小时的频率乘以1200即可得． 【详解】（1）解∶，， 故答案为∶16，； （2）解∶画频数分布直方图如下∶ ； （3）解：（人）， ∴估计每周阅读时长在4小时以上的学生人数为528人． 【题型七】由样本所占百分比估计总体的数量 16．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，为了了解某校学生的课外阅读情况，小明同学在全校随机抽取40名学生进行调查，并将统计数据汇总，整理绘制成学生每周课外阅读时间频数分布直方图，（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，若该校有学生2338人，估计阅读时长不低于6小时的人数约有（　　）人．    A．351 B．818 C．1052 D．1520 【答案】B 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求条形统计图的相关数据 【分析】用2338乘样本中阅读时长不低于6小时的所占比例即可． 【详解】解：∵， ∴估计阅读时长不低于6小时的人数约有818人， 故选：B． 【点睛】本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17．生物工作者为了估计一片山林中喜鹊的数量，设计了如下方案：先捕捉40只喜鹊，给它们做上标记后放回山林，一段时间后，再从中随机捕捉200只，其中有标记的喜鹊有4只，请你帮助工作人员，估计这片山林中喜鹊的数量为____________只． 【答案】2000 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】由题意可知：重新捕获200只，其中带标记的有4只，可以知道，在样本中，有标记的占到 ．而在总体中，有标记的共有40只，根据比例即可解答． 【详解】解：根据题意得： 40÷=2000（只）， 答：估计这片山林中喜鹊的数量约为2000只； 故答案为：2000． 【点睛】本题考查了用样本估计总体的知识，体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息． 18．（2025八年级下·安徽合肥·期末）某校八年级在一次体育模拟测试中，随机抽查了部分学生的体育成绩（满分为分），根据成绩分成如下六组．并根据数据制作出如下不完整的统计图．请根据统计图解决下列问题： （1）补全频数分布直方图，并求出的值； （2）本次体育模拟测试成绩的中位数落在哪一组？ （3）该校八年级有名学生，且都参加了这次模拟测试，若测试成绩不低于分为优秀，则该校八年级成绩优秀的学生约有多少人？ 【答案】（1）补全的频数分布直方图见解析；；（2）中位数落在这组内；（3）该校八年级成绩优秀的学生约有人． 【知识点】频数分布直方图、由扇形统计图求总量、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】（1）利用B组的扇形圆心角度数除以360度得到B组的比例，再用B组的人数6除以该比例即可得到本次抽查的总人数，用总人数减去其他组的人数得到E组人数，由此补全直方图，再用360乘以D组的比例即可得到m的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用总人数乘以E与F组比例的和即可得到答案． 【详解】解：本次抽查的学生有（人） 组学生有（人） 补全的频数分布直方图如图所示： 由图可知，成绩从小到大排序后处在第位的数都在内， ∴中位数落在这组内； ． 答:成绩优秀的学生约有人． 【点睛】此题考查频数分布直方图和扇形统计图的结合，读懂统计图是解题的关键，会求数据的总数，求部分的比例大小，会利用部分的比例求总体中该部分的数量，会画条形图． 【题型八】求一组数据的平均数 19．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）五位同学的数学测试成绩中最高分是140分，最低分是110分，他们的平均测试成绩可能是（   ） A．105分 B．120分 C．140分 D．150分 【答案】B 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，令其他三位同学的得分为最高分，求出此时的平均分，再令其他三位同学的得分为最低分，也求出此时的平均分，则可求出平均数的范围，据此结合选项可得答案． 【详解】解：由题意得．总分的最小值为：140（最高分）（最低分）（其余三人最低）分，此时平均分为分． 总分的最大值为：140（最高分）（最低分）（其余三人最高）分，此时平均分为分． 因此，平均分的范围为平均分．选项中只有120分在此范围内， 故选B． 20．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是，则这组数据的平均数为___________________． 【答案】4 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题考查了算数平均数，掌握算数平均数的计算方法是解题的关键； 根据平均数的计算方法求出x的值即可求出平均数． 【详解】解：这一组数据1，3，x，5，6的平均数是， ， 解得， 这组数据的平均数为， 故答案为：4． 21．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）某商场为了了解A产品的销售情况，在上个月的销售记录中，随机抽取了5天A产品的销售记录，其售价x（元/件）与对应销量 y（件）的全部数据如下表： 售价x（元/件） 80 85 90 95 100 销量y（件） 110 100 80 60 50 试求这5天中A产品平均每件的售价． 【答案】88元 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】根据平均每件的售价=总销售额总销量即可求解． 【详解】解：总销量为（件）． 总销售额为（元）． （元）． 答：这5天中A产品平均每件的售价为88元 【点睛】本题考查经济类实际问题．抓住经济类问题中的等量关系是解决问题的关键． 【题型九】已知 平均数求未知数据的值 22．（22-23八年级上·安徽宿州·期末）如果与的平均数是5，那与的平均数是（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】已知 平均数求未知数据的值、求一组数据的平均数 【分析】根据x1与x2的平均数是5，求出x1+x2=10，再根据平均数的计算公式求出答案． 【详解】解：∵x1与x2的平均数是5， ∴x1+x1=， ∴与的平均数是， 故选：D． 【点睛】此题考查了平均数的计算公式，熟记公式是解题的关键． 23．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）已知一组数据0，2，，3，5的平均数是，则这组数据的平均数为________． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知 平均数求未知数据的值 【分析】根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程求出x即得答案． 【详解】解：∵数据0，2，，3，5的平均数是， ∴， 解得：， ∴这组数据的平均数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键． 【题型十】利用已知的平均数求相关数据的平均数 24．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．8 C．5 D．3 【答案】C 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题主要考查了平均数的计算．根据平均数的计算公式即可求解． 【详解】解：∵，，，，的平均数是4， ∴， ∴， ∴，，，，的平均数是， 故选：C． 25．（2024八年级下·安徽·专题练习）已知数据，，的平均数是5，则数据，，的平均数是____． 【答案】17 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． 先由已知数据的平均数得出，再根据算术平均数定义列出算式，代入计算可得． 【详解】解：数据，，的平均数是5， ， 则数据，，的平均数是 ， 故答案为：17． 【题型十一】利用平均数做决策 26．数学期末考试，奇思所在班级的平均分是92分，妙想所在班级的平均分是89分，这次奇思数学成绩与妙想相比，（    ） A．奇思分数高 B．妙想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【答案】D 【知识点】利用平均数做决策 【分析】本题考查了平均数的意义．根据平均数是反映一组数据的平均水平，所以不能确定奇思和妙想成绩，从而无法确定谁高谁低． 【详解】奇思所在班级的平均分是92分，奇思的数学成绩可能低于92分，也可能高于92分，也可能正好是92分； 妙想所在班级的平均分是89分，妙想的数学成绩可能低于89分，也可能高于89分，也可能正好是89分； 所以奇思的成绩与妙想的成绩无法确定高低， 故选：D． 27．随机抽取某理发店一周的营业额如下表(单位：元)： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该店当月(按天计算)的营业总额． 【答案】不合理，方案及营业总额见解析 【知识点】利用平均数做决策 【分析】本题考查样本平均数，用样本估计总体，掌握平均数的意义和样本估计总体的方法是解题的关键． 从极端值对平均数的影响角度进行解答，方案设计不唯一，只要合理即可． 【详解】解∶不合理． 在星期一至星期日的营业额中，星期六、星期日的营业额明显高于其他五天的营业额， 去掉星期六、星期日的营业额对平均数的影响较大， 用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理， 方案不唯一，如：用该店本周星期一到星期日的日平均营业额估计当月的营业总额，当月的营业总额为（元）， 答∶估计该店当月(按天计算)的营业总额为元． 【题型十二】求加权平均数 28．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）学校举办了演讲比赛．已知某同学礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为80分和90分．若依次按照，百分比确定成绩，则该同学的成绩是（   ） A．87分 B．86分 C．85分 D．84分 【答案】A 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查加权平均数的计算．根据题目中的得分和对应的百分比，将各分数乘以各自的比例后相加，即可得到总成绩． 【详解】解：礼仪服装得分为80分，占，即分； 语言表达得分为90分，占，即分． 因此，该同学的成绩为分． 故选：A． 29．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某校举行经典诵读比赛，雅韵队的形象、内容、效果这三项得分依次为90，95，92，最终成绩中形象、内容、效果按的比例确定，那么雅韵队的最终成绩为______分． 【答案】 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的运算是解题的关键．利用加权平均数公式求解即可． 【详解】解：雅韵队的最终比赛成绩为：（分）． 故答案为：． 30．某公司招聘职员，对候选人小杨进行了面试和笔试，面试中包括形体和口才．笔试中包括专业水平和创新能力考察，他的成绩（百分制）如表： 候选人 面试 笔试 形体 口才 专业水平 创新能力 小杨 80 90 90 95 若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照的比确定，求出小杨的平均成绩是多少？ 【答案】小杨的平均成绩是89分 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是理解加权平均数的定义．根据加权平均数的定义求解即可． 【详解】解：平均数． 答：小杨的平均成绩是89分． 【题型十三】运用加权平均数做决策 31．（2024八年级下·安徽阜阳·期末）某校要从甲、乙两名应聘者中招聘一名教师，该校预先对两名应聘者进行测试，每项满分100分，成绩如表： 项目 教学设计 课堂教学 面试答辩 甲 85 90 80 乙 89 85 82 学校决定将教学设计、课堂教学、面试答辩三项得分按3：4：3的比例确定每人成绩，则谁将被录取（　　） A．甲 B．乙 C．甲、乙得分相同 D．无法确定 【答案】A 【知识点】运用加权平均数做决策 【分析】此题考查加权平均数，按照平均数计算方法，谁的平均数高即可录取． 【详解】解：∵甲最终成绩为（分）， 乙最终成绩为（分）， ∴甲会被录取， 故选：A． 【点睛】此题考查了加权平均数的算法，利用题干中的数据和每一项所占比重求值即可． 32．（23-24八年级下·安徽六安·期末）学校记者团招聘一名小记者，现对进入最终环节的小莹、小亮2位应聘者进行综合素质考查，并进行现场作文与即兴演讲测试．将上述三项成绩按4：4：2的比例计算出个人总分，总分高者将被录用．下表是小莹、小亮2位应聘者的各项成绩，他们中谁将被录用? 姓名 综合素质：成绩/分 现场作文：成绩/分 即兴演讲：成绩/分 小莹 88 96 93 小亮 91 90 97 【答案】小莹将被录用． 【知识点】运用加权平均数做决策、求加权平均数 【分析】此题考查了加权平均数，计算出小莹、小亮两位应聘者三项成绩的加权平均数，即可得到答案． 【详解】解：小莹的成绩：(分)， 小亮的成绩：(分)， ∵， ∴小莹将被录用． 【题型十四】求中位数 33．（2024八年级下·安徽·专题练习）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，我市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了某区名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：组：；组：；组：；组：．根据上述信息，你认为本次调查数据的中位数落在（    ）    A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【知识点】求中位数 【分析】本题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键． 由题意知，中位数为第个和个数的平均数，即根据第个和个数落在哪个组求解作答即可． 【详解】解：由条形统计图可知组人，组人，组人， ∴组为（人）， ∴中位数第个和个数的平均数， 由排列顺序可知第个和个数落在了组中， ∴本次调查数据的中位数落在组． 故选：B． 34．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）小红等10名同学参加2025年某市直单位招录的笔试考试，最后有5人可以入围进入面试环节，小红想知道自己是否入围，她需要知道这10名同学笔试成绩的______（填“平均数”或“中位数”或“众数”） 【答案】中位数 【知识点】求中位数 【分析】本题考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．本题有10名同学，要判断是否进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于总共有10名同学，要判断是否进入前5名，故应知道自己的成绩和中位数． 故答案为：中位数． 【题型十五】利用中位数求未知数据的值 35．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）五名同学进行投篮练习，规定每人投次，统计他们每人投中的次数，得到个数据，若这个数据的中位数是，唯一众数是设另外两个数据分别是，，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 利用中位数求未知数据的值、 利用众数求未知数据的值 【分析】根据题意，，一定是小于的非负整数，且不相等，由此判断即可． 【详解】解：中位数是，唯一众数是， 两个较小的数一定是小于的非负整数，且不相等， ∴两个较小的数最大为和， 的值不可能是． 故选D． 【点睛】本题考查利用中位数和众数求未知数据，掌握中位数和众数的定义是解题的关键． 36．在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是_____． 【答案】18 【知识点】 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义得到数据5，8，20，21，30中插入一个数x，共有6个数，最中间的数只能为x和20，然后根据计算它们的中位数为19，求出x． 【详解】解：∵5，8，20，21，30中插入一个数x， ∴数据共有6个数，20为中间的一个数， ∵该组数据的中位数是19， ∴， 解得． 故答案为：18． 37．一组数据的中位数是1． (1)求的值； (2)求这组数据的平均数 【答案】(1) (2) 【知识点】求一组数据的平均数、 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题考查了中位数和平均数； （1）根据中位数的定义可知，该组数据的中位数是中间两个数的平均数，进而可得的值； （2）根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：∵数据的中位数是中间两个数的平均数， ∴， ∴； （2）由（1）知这组数据为， ∴这组数据的平均数为：． 【题型十六】求众数 38．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）某校在国学文化进校园活动中，随机统计了50名学生一周的课外阅读时间如下表所示，则这组数据的众数（    ） 时间／小时 10 4 8 9 5 学生数 5 8 14 19 4 A．19 B．9 C．10 D．5 【答案】B 【知识点】求众数 【分析】本题主要考查了众数的定义，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据成为解题的关键．观察表格中各个时间对应的学生人数，再找出人数最多的对应时间即为众数． 【详解】解：由表格可知，阅读时间为10小时的学生有5人，4小时的有8人，8小时的有14人，9小时的有19人，5小时的有4人．其中，9小时对应的学生人数最多（19人），因此这组数据的众数是9． 故选B． 39．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）数据2，4，3，5，5，3，3，4的众数是__________． 【答案】3 【知识点】求众数 【分析】本题考查了众数的定义，根据众数的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，数据出现次数最多的是3，共3次， ∴众数是3． 故答案为：3． 40．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1000名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成如图的条形统计图： (1)这50个样本数据的中位数是 ，众数是 ； (2)求这50个样本数据的平均数； (3)根据样本数据，估算该校1000名学生大约有多少人参加了不少于4次的实践活动． 【答案】(1)3，4 (2)3.3 (3)460 【知识点】求众数、求中位数、求加权平均数、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解题的关键． （1）根据众数的定义和中位数的定义求解即可； （2）根据加权平均数的公式可以计算出平均数； （3）利用样本估计总体的方法，用百分比即可． 【详解】（1）∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是4次． ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，次， ∴这组数据的中位数是3次； （2）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数：次； （3）（人） ∴该校学生共参加4次活动约为460人． 【题型十七】利用众数求未知数据的值 41．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，，10，15．如果这组数据的众数10，则这组数据的中位数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【知识点】 利用众数求未知数据的值、求中位数 【分析】本题考查中位数，众数．根据众数的定义可求x的值，再根据中位数的定义即可解答． 【详解】解：∵每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，x，10，15，这组数据的众数10， ∴x的值是10 ∴将每天销售某种装饰品的个数进行排序为：10，10，10，11，11，13，15， 处于中间位置的数据是11， ∴这组数据的中位数是11． 故选：B 42．若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数是__________． 【答案】 【知识点】 利用众数求未知数据的值、求中位数 【分析】本题考查众数、中位数，熟练掌握一组数据的众数和中位数的求法是解题的关键．利用一组数据，，，，，的众数为，求得的值，再利用中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵一组数据，，，，，的众数为， ∴， ∴这组数据是，，，，，， ∵从小到大排列后最中间的两个数是，， ∴中位数是， 故答案为：． 【题型十八】运用众数做决策 43．（22-23八年级下·安徽亳州·期末）某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42（单住：cm）的衬衫，一个月内的销量如下表： 领口大小/cm 38 39 40 41 42 销量/件 64 199 180 110 47 你认为商店最感兴趣的是这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【知识点】运用众数做决策 【分析】根据众数的意义求解可得． 【详解】解：商店最感兴趣的是这组数据的众数， 众数是这组数据中出现次数最多的，即销量最大的就是众数． 所以商店最感兴趣的是这组数据的众数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 44．某男装专卖店老板专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如表： 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售量/件 10 12 20 12 12 如果每件夹克的利润相同，你认为该店主最关注销售数据的统计量是____．（填写“平均数”或“中位数”或“众数”） 【答案】众数 【知识点】运用众数做决策、运用中位数做决策 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量；销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数． 故答案为：众数． 【点睛】此题主要考查众数的应用，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 45．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）“感受数学魅力，提升数学素养”，安徽某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，将学生的竞赛成绩分为A．；B．；C．三个等级（满分：100分，不低于90分为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：78，78，84，84，84，85，90，95，95，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据：81，82，86，88，88． 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 87 a b 八年级 87 c 88 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：n＝ ，a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)若七、八年级各有200名学生参赛，请估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数． (3)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 【答案】(1)20；84.5；84；87 (2)估计七、八年级参赛学生中成绩为优秀的总人数为140人 (3)八年级学生的竞赛成绩更好，理由见解析 【知识点】求众数、运用中位数做决策、求中位数、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，理解题意，找到有用信息是解答的关键． （1）求得八年级B等级所占百分比，进而可求得n值；根据中位数和众数的求解方法求解即可； （2）分别用两个年级的参赛总人数乘以其在样本中优秀人数所占的比例求解即可； （3）比较各年级的统计量的大小关系，进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意，八年级B等级所占的百分比为， ∴，则； ∵八年级A等级人数为（名）， ∴八年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，第5个数据和第6个数据分别为86和88， ∴中位数； 七年级10名学生的竞赛成绩从小到大排列，第5个数据和第6个数据分别为84和84， ∴中位数， 又数据84出现次数最多，故众数， 故答案为：20；84.5；84；87； （2）解：（名）， 答：估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数为140名； （3）解：八年级学生的竞赛成绩更好， 理由：七八年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数都高于七年级，所以八年级八年级学生的竞赛成绩更好． 【题型十九】求方差 46．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据可用如下算式计算方差：，其中“6”是这组数据的（   ） A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】B 【知识点】求方差 【分析】根据方差的意义解答即可． 本题考查了方差的公式及其意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：，其中“6”是这组数据的平均数． 故选：B． 47．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知的方差为5，则的方差为_____ 【答案】20 【知识点】求方差 【分析】本题考查方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍． 先设这组数据的平均数为，方差，则另一组新数据的平均数为，方差为，代入公式计算即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为， 则， ， 则另一组新数据的平均数为， ， ∴另一组数据的方差为 ， 故答案为：20． 48．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下表． 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 (1)求甲进球的中位数； (2)经过计算，甲进球的平均数为8，方差为，如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？ 【答案】(1)8 (2)应选乙去参加定点投篮比赛，见解析 【知识点】求中位数、运用方差做决策、求方差 【分析】本题考查平均数、方差的意义和计算方法，理解平均数反应一组数据的集中水平和整体情况，而方差则反应一组数的离散程度，方差越小越稳定． （1）根据中位数的定义计算即可； （2）先求得乙进球的平均数和方差，通过平均数、方差的大小进行比较得出结论，选择平均数较大、方差较小的参加比较合适． 【详解】（1）解：将10，6，10，6，8按从小到大的顺序排列：6，6，8，10，10， ∴甲进球的中位数为8； （2）解：乙进球的平均数为：， 乙进球的方差为：； ∵二人的平均数相同，而，， ∴， ∴乙的波动较小，成绩更稳定， ∴应选乙去参加定点投篮比赛． 【题型二十】利用方差求未知数据的值 49．（2024八年级下·安徽阜阳·期末）已知一组数据的平均数是4，方差是6，则，的平均数和方差分别为（    ） A．4和6 B．16和6 C．4和22 D．16和54 【答案】D 【知识点】 利用方差求未知数据的值、已知 平均数求未知数据的值 【分析】根据平均数，方差的公式计算即可． 【详解】根据题意得：， ∴， ∴的平均数为： ∵的方差是6， ∴数据的方差为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，方差的计算，解题关键是熟悉相关计算公式，会将所求式子变形，再整体带入． 50．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）一组数据，，…，的方差是，则该组数据的和为_________． 【答案】 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】根据方差的公式可以得到平均数，用平均数乘上这组数据的个数即可得解． 【详解】解：∵一组数据，，…，的方差是 所以这组数据的平均数是2， 因为这组数据的个数是， 则该组数据的和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查方差公式的定义与意义，从方差的公式可以得到平均数是解题的关键． 【题型二十一】根据方差判断稳定性 51．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）现有甲、乙、丙、丁四支篮球队，每支队伍的队员平均身高都为，方差分别为，，，，则身高较整齐的球队是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差的特征：方差是反映一组数据稳定性的量，方差越小就越稳定；根据方差的大小即可完成． 【详解】解：在四支篮球队身高的方差中，乙队身高的方差最小，表示此队身高较整齐； 故选：B． 52．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）甲、乙、丙三名选手参加射箭选拔赛，他们前五箭成绩的平均数相同，方差如下：，则甲、乙、丙三名选手中，成绩最稳定的是______． 【答案】乙 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差判定数据的稳定性，理解方差的含义是关键，根据方差的含义判定即可． 【详解】解：， ， 则甲、乙、丙三名选手中，成绩最稳定的是乙， 故答案为：乙． 53．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）八（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表： 甲 乙 (1)甲队成绩的中位数是 　 　分，乙队成绩的众数是 　 　分； (2)已知甲队成绩的方差是，乙队成绩的方差是，则成绩较为整齐的是　 队． 【答案】(1)； (2)乙 【知识点】根据方差判断稳定性、求众数、求中位数 【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可； （2）先比较甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：把甲队的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∴中位数是分， 乙队成绩中出现了次，出现的次数最多， ∴乙队成绩的众数是分； 故答案为：；； （2）甲队成绩的方差是，乙队成绩的方差是， ∴成绩较为整齐的是乙队． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查方差、中位数和众数，掌握方差、中位数和众数的定义是关键． 【题型二十二】运用方差做决策 54．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）甲、乙、丙、丁四名工人一周生产的零件误差（注：误差是指生产的零件直径与标准零件直径的差的绝对值）的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数/毫米 方差 根据表中数据，要从中选择一名技术好且发挥稳定的工人参加技能大赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的工人参加即可． 【详解】解：如上表，其中乙、丁的平均数最小，说明误差小，技术好，故在这两个人中选择； 其中乙的方差比丁的方差小，说明乙比较稳定，故选乙参加． 故选：B． 55．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：）及方差（单位：）如表所示： 品种 甲 乙 丙 丁 x 23 23 24 24 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量高且稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是________． 【答案】丁 【知识点】运用方差做决策、利用平均数做决策 【分析】本题考查了利用平均数和方差进行决策，熟练掌握平均数和方差的意义是解题关键．先根据平均数可得应该选择丙或丁品种，再根据方差的大小进行选择即可得． 【详解】解：因为丙和丁品种的平均数大于甲和乙品种的平均数， 所以从平均数看，应该选择丙或丁品种， 又因为丁品种的方差小于丙品种的方差， 所以丁品种的产量更稳定， 所以应选的品种是丁， 故答案为：丁． 56．为弘扬“三色文化”，让同学们领略中国传统文化的魅力，营造良好的文化艺术氛围，某学校开展红色文化主题教育活动，八年级（1）（2）两班分别选5名同学参加“三色文化”知识比赛，其成绩如图所示： (1)根据图填写下表： 班级 平均数 中位数 众数 八（1）班 8.5 8.5 ________ 八（2）班 8.5 ________ 10 (2)若从这两个班中选择一支成绩比较稳定的队伍参加区级比赛，你认为选择哪个班？请通过计算说明理由． 【答案】(1)8，8.5； (2)八（1）班的方差为0.7，八（2）班的方差为1.6，从方差看，八（1）班的方差小，所以八（1）班的成绩更稳定，选择八（1）班参加区级比赛． 【知识点】运用方差做决策、求方差、求众数、求中位数 【分析】（1）根据中位数与众数的定义解答即可； （2）根据方差的计算公式和意义解答． 【详解】（1）八（2）班5名同学参加“三色文化”知识比赛的成绩从小到大排列为7、7.5、8、10、10，故中位数是8分， 八（1）班的众数是8.5分； 故答案为：8，8.5； （2）八（1）班的方差为： 八（2）班的方差为： 从方差看，八（1）班的方差小，所以八（1）班的成绩更稳定，选择八（1）班参加区级比赛． 【点睛】本题考查的是方差、众数、中位数和平均数，掌握方差的计算公式、方差的性质是解题的关键． 【题型二十三】用计算器求方差 57．用计算器计算方差时，要首先进入统计计算状态，需要按键（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用计算器求方差 【分析】由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作． 【详解】解：用计算器求方差的一般步骤是： ①使计算器进入MODE 2状态； ②依次输入各数据； ③按求的功能键，即可得出结果． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了计算器求方差，正确掌握计算器的基本使用方法是解题关键． 58．（23-24八年级下·安徽·单元测试）给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． (1)请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； (2)用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 【答案】(1)平均数是4、方差大约是5； (2)平均数4，方差，与估计值进行比较，估计基本准确． 【知识点】求方差、求加权平均数 【分析】（1）先把这组数据的7个数字加起来求和，再除以7即可求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解即可； （2）利用计算器并结合平均数、方差公式计算即可． 【详解】（1）解：估计这组数据的平均数是4、方差大约是5； （2）解：平均数：（， 方差：， 与估计值进行比较，估计基本准确． 【点睛】本题考查了平均数和方差公式，解题时牢记公式是关键，此题比较简单，只要牢记公式即可正确求解． 【题型二十四】用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 59．某初中校有七、八、九三个年级．学期初，校医随机调查了的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为米．下列估计最合理的是（    ） A．该校学生的平均身高约为米 B．该校七年级学生的平均身高约为米 C．该校七年级女生的平均身高约为米 D．该校七年级男生的平均身高约为米 【答案】B 【知识点】用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】根据样本估计总体进行判断即可． 【详解】解：由的七年级学生的身高的平均身高为米，可估计该校七年级学生的平均身高约为米最合理， 故选：B． 【点睛】本题考查了了由样本估计总体．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 60．小红家今年有苹果树棵，现进入收获期，收获时先随意采摘5棵树上的苹果，称得每棵树上的苹果质量（单位：千克）如下：，，，，，估计今年小红家一共可收获苹果________千克． 【答案】 【知识点】用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】先计算平均数，用样本的平均数估算总体的平均数，进而即可求解． 【详解】解：依题意，平均每棵树上的苹果质量为千克     估计今年小红家一共可收获苹果千克， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求平均数，样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键． 61．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某中学为了解学生一周在家的运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理、分析（共分为四组：A．；B．；C．；D．），其中，以每周的运动时长不少于3小时为达标，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． (1)求组的人数，并补全频数分布直方图． (2)该校学生一周在家的运动时长的中位数位于______组． (3)请根据上述信息，估计该校学生一周在家的运动时长的平均数．（每组取组中值，例如：取0.5，取1.5） 【答案】(1)48人，见解析 (2)C (3)2.35小时 【知识点】求中位数、频数分布直方图、条形统计图和扇形统计图信息关联、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】本题考查频数分布直方图与扇形统计图，中位数，平均数，解题的关键是将频数分布直方图与扇形统计图中的信息进行关联，能够利用样本估计总体． （1）将D组的人数除以其百分比，求出本次抽查的学生人数，再减去其他三组的人数，即可得到C组的人数，即可补全直方图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据平均数的计算公式求出抽查的学生一周在家的运动时长的平均数，由此估计该校学生一周在家的运动时长的平均数，即可解答． 【详解】（1）解：D组有30人，占比， 在这次抽样调查中，共调查了（人）， C组的人数为． 补全频数分布直方图如下： （2）解：由（1）可知本次抽查了120人，故中位数应该第60，61个数据的平均数， ∵，， ∴第60，61个数据都位于C组， ∴该校学生一周在家的运动时长的中位数位于C组． 故答案为：C （3）解：（小时）， 估计该校学生一周在家的运动时长的平均数为2.35小时． 【题型二十五】求四分位数 62．（25-26八年级·安徽宿州·期末）“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的上四分位数是（   ） A．5 B．6．5 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】求四分位数 【分析】本题主要考查箱线图，掌握箱线图的概念及计算是关键，根据位于数据序列位置处的数，也称为上四分位数，通过排序、计算位置、确定对应数据三步求解． 【详解】解： 将数据从小到大排序为：5，5，6，7，8，9， ∵ 上四分位数即第位置的数，计算得：， ∵ 当计算结果为非整数时，取比该数大的最小整数对应的位置，即第5个数据， ∴ 这组数据的上四分位数是8， 故选：D． 63．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数和第一四分位数分别为______． 【答案】295，250 【知识点】求四分位数 【分析】本题考查四分位数的计算，解题关键是先将数据从小到大排序，再根据四分位数的位置公式计算对应位置，进而确定第一、第三四分位数的值． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排列：188，240，260，284，288，290，300，360， 数据共有个， 第一四分位数的位置为：，当位置为整数时，第一四分位数为排序后第2项与第3项数据的平均值，即， 第三四分位数的位置为：，当位置为整数时，第三四分位数为排序后第6项与第7项数据的平均值，即． 故答案为：295，250． 64．求下列各组数据的四分位数： (1)6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36； (2)25，12，18，20，15，8，31，28，22，35； (3)36，28，15，11，3，20，26，23，32，18，7，9． 【答案】(1)第一四分位数是15，第二四分位数是40，第三四分位数是43 (2)第一四分位数是15，第二四分位数是21，第三四分位数是28 (3)第一四分位数是10，第二四分位数是19，第三四分位数是27 【知识点】求四分位数 【分析】本题考查了四分位数的计算，解题关键是先对数据排序，再根据位置公式确定四分位数的位置，注意整数位置时需取相邻两项的平均值． 先将数据从小到大排序，再根据四分位数的定义，使用位置公式（为百分位，为数据个数）确定四分位数的位置，若位置为整数则取该位置与下一个位置的平均值，若为小数则向上取整后对应的数据即为四分位数． 【详解】（1）解：把这组数据从小到大排列：6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49． 共个数据（奇数）， 求中位数Q₂， 中位数位置：，第6个数， ， 求（下四分位数）， 下四分位数是前半部分数据的中位数（不包括中位数本身，因为n为奇数）， 前半部分（中位数前的数据）：6，7，15，36，39（共5个数）， 中位数位置，第3个数， ， 求（上四分位数）， 后半部分（中位数后的数据）：41，42，43，47，49（共5个数）， 中位数位置３，第3个数， ． ． 这组数据的第一四分位数是15，第二四分位数是40，第三四分位数是43． （2）解：把这组数据从小到大排列：8，12，15，18，20，22，25，28，31，35． 共个数据（偶数）， 求中位数， 中位数为第5和第6个数的平均值， 第5个数为20，第6个数为22， ， 求， 下四分位数：前半部分为前个数：8，12，15，18，20， 这5个数的中位数（第3个）为15， ， 求， 后半部分为后5个数：22，25，28，31，35， 中位数（第3个）为28， ． ． 这组数据的第一四分位数是15，第二四分位数是21，第三四分位数是28． （3）解：把这组数据从小到大排列：3，7，9，11，15，18，20，23，26，28，32，36． 共个数据（偶数）， 求中位数， 中位数为第6和第7个数的平均值， 第6个数为18，第7个数为20， ， 求， 前半部分：前6个数：3，7，9，11，15，18， 为这6个数的中位数，第3和第4个数的平均值， 求， 后半部分：后6个数：20，23，26，28，32，36， 为第3和第4个数的平均值， ∴． 这组数据的第一四分位数是10，第二四分位数是19，第三四分位数是27． 【题型二十六】画箱线图 65．下面是根据八（2）班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，则由图不能确定这组数据的（   ） A．最大值、最小值 B．中位数 C．上四分位数、下四分位数 D．平均数 【答案】D 【知识点】画箱线图 【分析】本题考查箱线图的概念及统计量的识别，关键是明确箱线图各部分对应的统计量．箱线图的最左端点对应最小值，最右端点对应最大值；箱子的左边界为下四分位数，右边界为上四分位数；箱子内部的横线为中位数．而平均数是所有数据的算术平均值，箱线图无法提供所有数据的具体信息，因此无法确定平均数． 【详解】解：∵箱线图能够直观展示数据的最小值、最大值、中位数、上四分位数和下四分位数， ∴A、B、C选项中的统计量均可通过箱线图确定； ∵平均数需根据所有数据的总和除以数据个数计算，箱线图未给出每个数据的具体数值，无法计算出平均数， ∴不能确定的是平均数． 故选：D． 66．在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【知识点】画箱线图 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 67．（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【知识点】求中位数、画箱线图、求四分位数 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 【题型二十七】离差平方和的应用 68．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于“组内离差平方和最小”原则，下列说法正确的是（    ） A．只需让某一组的离差平方和最小即可 B．是所有组的组内离差平方和之和最小 C．分组后每组数据必须完全相同 D．与数据的集中程度无关 【答案】B 【知识点】离差平方和的应用 【分析】本题考查了组内离差平方和最小的原则，掌握其是指所有组的组内离差平方和之和最小是解题的关键． 先明确组内离差平方和最小的定义，再逐一判断每个选项是否符合该定义． 【详解】解：A、组内离差平方和最小是指所有组的离差平方和之和最小，并非某一组的离差平方和最小，A 错误，不符合题意； B、组内离差平方和最小的定义就是所有组的组内离差平方和之和最小，B正确，符合题意； C、分组无需每组数据完全相同，只需组内离差平方和之和最小即可，C错误，不符合题意； D、离差平方和反映数据的集中程度，该原则与数据集中程度有关，D错误，不符合题意． 故选：B． 69．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【知识点】离差平方和的应用 【分析】本题要求得到使同组株高尽量接近的最优分组，根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 70．现有一批螺丝帽，从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组，你认为应该如何分（除不尽时，结果保留三位小数）？ 【答案】{}，{，，，，} 【知识点】离差平方和的应用 【分析】根据组内离差平方和的性质求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大进行排列，得，，，，，， 将它们分成两组共有5种情况，分别计算组内离差平方和如下： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 计算结果表明，当按第1个间隔分组时，组内离差平方和最小， 因此把螺丝帽按直径大小分成两组为{}，{，，，，}． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 数据的初步分析（15知识详解+27典例分析） 【知识点01】频数分布表 1. 频数 我们把一批数据中落在某个小组内数据的个数称为这个组的频数 . 2. 频率 如果一批数据共有 n 个，而其中某一组数据是 m 个，那么就是该组数据在这批数据中出现的频率 . 3. 频数分布表 根据频数整理得到的表格就是频数分布表 . 频数分布表反映了数据落在各个小组内的频数，从而反映了一组数据中各数据的分布情况 . 4.制作频数分布表的步骤 (1)确定数据变动范围计算某批数据中最大数与最小数的差(称为“极差”). (2)决定组距和组数 . 组距是指每个小组的两个端点间的距离 . 如果每组组距相同，那么组数 =组数采用进一法取整数 . (3)决定分点.一般将表示分点的数在原数据的基础上多 取一位小数，并把第一组的起点定为比最小的数据稍小一点的数 .确定分点的两种方法：①数据不落在分点上，即起点值比最小值略小一些；②数据落在分点上，这时需要对每个分组区间的端点值属于哪个组作出规定，常采用“上限不在内”的原则，如 x 的范围是 90~100 时，100不在内，即90 ≤x<100. (4)列频数分布表 . 【知识点02】频数直方图 1. 频数直方图 画出相互垂直的两条直线，用横轴表示分组情况，纵轴表示频数，绘出相应的长方形条，就得到了频数直方图. 2.绘制频数直方图的步骤 (1)列出频数分布表；(2)画频数直方图. 3.直方图与条形图的区别 条形图 直方图 用小长方形的高度表示数据的大小 用小长方形的面积来表示此组数据的总量 横轴上的数据是独立的，相邻的数据没有联系 横轴上相邻的数据有必然联系，它表示一个范围 各个小长方形之间有间隔 相邻的小长方形之间没有间隔 侧重反映每个项目具体数目的多少 描述的是一组连续的数据，它侧重反映这些数据落在各小组内的频数的分布情况 【知识点03】平均数 1. 定义 一般地，如果有 n 个数据， ，…， ，那么， ( ++…+)就是这组数据的平均数，记作，读作“x 拔” ，即 ̅= ( ++…+).也称为算术平均数 2. 拓展  若 x1， x2，…， xn 的平均数为，则： (1) nx1， nx2，…， nxn 的平均数为 n ； (2) x1+b， x2+b，…， xn+b 的平均数为 +b； (3) nx1+b， nx2+b，…， nxn+b 的平均数为 n +b. 【知识点04】用计算器求平均数 使用计算器的统计功能求平均数时，不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算器的使用说明书 . 一般操作步骤如下： 【知识点05】加权平均数 1.加权平均数 一般地，求平均数，可统一用公式：x =. 其中，，…， 分别表示数据，，…， 出现的次数，或者表示数据，，…，在总结果中的比重，我们称其为各数据的权，叫作，，…， 这k 个数据的加权平均数. 2.算术平均数与加权平均数的区别与联系 区别 联系 算术平均数 算术平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”相同，即各个数据的权相同 若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平均数的一种特例 加权平均数 加权平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的权不一定相同 3. 分布式计算 若m个数据的平均数是a，n个数据的平均数是b，则这(m+n)个数据的平均数是，这是分布式计算的最简单形式，这样的计算在形式上是加权平均数，在程序上是分别计算．分布式计算是把一个需要非常巨大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分进行处理的方式，是大数据处理的一种重要方法． 【知识点06】中位数 1. 中位数 一般地, 当将一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据(当数据的个数是奇数时)或正中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫作这组数据的中位数. 2. 求中位数的方法 【知识点07】众数 众数 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 . 说明： (1)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关，它一定出现在这组数据中； (2)众数是描述一组数据集中趋势的量，众数只与各数据出现的次数有关，有时是我们最为关心的统计数据 . 【知识点08】选择合适的量描述数据的集中趋势 平均数、中位数和众数的联系与区别 平均数 中位数 众数 区 别 个数 唯一 唯一 不一定唯一 与组内数据的关系 与每个数据均有关 按大小排序，只与正中间的一个数据或正中间的两个数据有关 只与出现次数最多的数据有关 是否为组内的数据 不一定是 不一定是 不一定是 优点 所有数据参与运算，能充分利用数据所提供的信息 计算简单，受极端值影响较小 某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题 缺点 易受极端值的影响 不能充分利用所有数据所提供的信息 当各数据的重复次数大致相等时，研究众数没有意义 联系 都是一组数据的代表值，能从不同角度反映一组数据的集中趋势 【知识点09】用样本平均数估计总体平均数 现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们就用样本平均数估计总体平均数. 用样本估计总体，样本的选取需注意两点： (1)样本的选取要具有随机性，保证样本具有代表性； (2)样本的容量不能太小，如果样本容量太小，容易造成样本与总体有较大的差异. 【知识点10】离差平方和与方差 1. 定义 设一组数据是， ，…， ，它们的平均数是 ̅ ，我们将( － )² + ( －  ) ² +… + ( － )²称为这组数据的离差平方和，可以简记为 (- ̅)². 将s²=［ ( －) ²+ ( －) ²+…+ (－) ²］称为这组数据的方差. 2.求方差的步骤 3.离差平方和与方差都具有如下性质 (1)最小值为0；(2)数据的离散程度大，它们的值也大. 当数据个数较多时，离差平方和的值将变得很大，而且当几组数据个数不相等时，不能用离差平方和衡量数据的离散程度. 在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中. 【知识点11】用计算器计算一组数据的方差 用笔算的方法计算方差比较繁琐，利用计算器可以快捷地计算方差 . 用计算器求一组数据的方差的按键顺序如下： 【知识点12】用样本方差估计总体方差 用样本方差估计总体方差：在实际问题中，与用样本平均数估计总体平均数一样，我们也常用样本方差估计总体方差 . 提示： (1)样本数据越多，统计的工作量也越大，一般根据实际需要选取适当的样本数据 . (2)一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大 . (3)在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度 . 【知识点13】四分位数 1. 百分位数 将一组数据从小到大排列，一个数a，使不大于a 的数据至少占25%，使不小于a 的数据至少占75%，这个数a 就是这组数据的第25 百分位数. 而中位数就是第50 百分位数，它表示不大于中位数的至少占50%，不小于中位数的至少占50% . 根据这种方法，我们还可以找出其他百分位数. 2. 四分位数 一组数据从小到大排列，第25 百分位数(记作)、中位数(记作)、第75 百分位数(记作)把所有的数据等分成四部分，因此，称为四分位数，，，分别称为第一四分位数()、第二四分位数()、第三四分位数() 3. 确定四分位数的方法 (1)将数据从小到大排列，记为， ，…， ． (2)求中位数，并计算=n×25% 和l=n×75%. (3)若不是整数，记j 为大于i 的最小整数，则第25 百分位数为第j 个数据；若是整数，则第25 百分位数为第个和第(+1)个数据的平均数. 同理可求得第75 百分位数. 【知识点14】箱线图 1.箱线图的五要素 一组数据的三个四分位数及最小值和最大值. 2. 箱线图的结构 如图20.4-1. 3.箱线图的画法 (1)找出一组数据的最小值、四分位数和最大值，并用5 条横线分别对应这5 个数据； (2)连接第一四分位数和第三四分位数，画出“箱体”； (3)将最小值和最大值与“箱体”相连接，第二四分位数(中位数)在“箱体”中间. 注意：箱线图可以画成竖直的，也可以画成横向的. 【知识点15】数据分组原则 1. 组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，假设有n 个数据， ，，…，，若将其分成两组，其中前m个数据为一组(称为第一组)，后(n-m)个数据为一组(称为第二组). 这n 个数据的总体离差平方和S² 可以表示为：S²=(-)²+(-)²+… +(-)²，其中， =(++… +) 记(++… +)，(++… +). 则S²=(-)²+(-)²+… +(-)²+(-)²+(-)²+… +(-)²+[m(-)²+(n-m)(-)²]=+. 其中，=(-)²+(-)²+… +(-)²+(-)²+(-)²+...+(-)² 称为组内离差平方和，表达了两个组内数据的离散程度；=m(- )²+(n-m)( -)² 称为组间离差平方和，表达了两组数据之间的差异. 2. 数据分组的原则 组内差距最小. 3. 数据分组的根据 组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大). 4. 数据分组的步骤 (1)将数据由小到大排列； (2)从m=1 开始，分类讨论所有可能的分组情况； (3)分别计算全部数据和各组数据的平均数； (4)计算两组数据的组内离差平方和或组间离差平方和； (5) 组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大)的分组即为最合理的分组. 【题型一】根据数据描述求频数 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）一个样本含有个数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在列频数分布表时，～这组的频数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）有一组数据共50个，分布若干组，在它的频数分布表中，有一组频率为，则这一组的频数为________． 【题型二】根据数据描述求频率 3．（2024八年级下·安徽安庆·期末）了解时事新闻，关心国家重大事件是每个中学生应具备的素养，在学校举行的新闻事件比赛中，知道“祝融号”成功到达火星的同学有40人，频率为0.8，则参加比赛的同学共有（　　） A．32人 B．40人 C．48人 D．50人 4．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）一组数据，样本容量为100，共分为五组，前三个组的频数分别为15、15、18，第四组的频率是0.2，那么第五组的频率是 __． 5．（2024八年级下·安徽合肥·期末）某公司在过去几年内使用某种型号的节能灯1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 1700以上 频数 48 121 208 223 193 207 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率． 【题型三】根据数据填写频数、频率统计表 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）今年是新修订的《中华人民共和国保守国家秘密法》颁布实施一周年，某校808班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在70~90之间（含70分和90分）的频数是（   ） A．0.45 B．16人 C．18人 D．20人 7．七（1）班数学小组做转盘试验：有一个可以自由转动的圆形转盘，被分成了8个面积相等的扇形区域，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色（每种颜色至少占1个扇形区域）．转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数/次 300 600 900 1200 1800 2400 转到黄色区域的频数 114 225 333 450 675 900 转到黄色区域的频率 0.37 0.375 0.375 (1)表中___________，___________，___________； (2)已知转动多次后，蓝色区域频数稳定在0.25，且红色区域的扇形个数是绿色区域扇形个数的2倍，请你估计转盘上黄色区域的扇形个数为___________； (3)若要在不改变转盘扇形个数的前提下，通过重新分配颜色，使得指针指向每种颜色的可能性相同，请写出一种可行的方案． 【题型四】频数分布表 8．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）一组数据的最大值为45，最小值为23，若取组距为5，则列频数分布表时，应分组数为_______． 9．某校随机调查了20名同学每周的课外阅读时间，结果如下（单位：小时）： 4，5，6，3，4，5，7，6，4，5，3，5，4，6，5，7，4，5，6，4 整理数据，填写下表： 课外阅读时间（小时） 3 4 5 6 7 人数 【题型五】频数分布直方图 10．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）调查数据的某一分组为，它的组中值是（   ） A．6 B．14 C．20 D．10 11．（2024八年级下·安徽·专题练习）一个容量为70的样本，最大值是137，最小值是50，取组距为10，可以分成___组． 12．为了调查钟楼区居民区的白天噪声污染情况，环保部门抽样调查了40个噪声测量点的噪声声强级，结果如下（每组包含起点值，不包含终点值）： (1)在噪声最低的测量点，其噪声声强级在哪个范围？ (2)噪声声强级高于的测量点有多少个？ 【题型六】用样本的频数估计总体的频数 13．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是黄球，估计袋中红球的个数是（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 14．2021年6月6日是全国爱眼日，某校对七年级学生进行了视力监测，收集了部分学生的监测数据，并绘制成了频数分布直方图，从左至右每个小长方形的高的比为，其中第三组的频数为80，则共收集了______名学生的监测数据． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）某校为了解学生的课外阅读时长，随机抽取了50名学生进行调查，并将数据整理成如下频数分布表： 阅读时长（小时/周） 频数 频率 8 a 12 b 6 8 (1)求a和b的值； (2)画频数分布直方图； (3)若该校有1200名学生，估计每周阅读时长在4小时以上的学生人数． 【题型七】由样本所占百分比估计总体的数量 16．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，为了了解某校学生的课外阅读情况，小明同学在全校随机抽取40名学生进行调查，并将统计数据汇总，整理绘制成学生每周课外阅读时间频数分布直方图，（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，若该校有学生2338人，估计阅读时长不低于6小时的人数约有（　　）人．    A．351 B．818 C．1052 D．1520 17．生物工作者为了估计一片山林中喜鹊的数量，设计了如下方案：先捕捉40只喜鹊，给它们做上标记后放回山林，一段时间后，再从中随机捕捉200只，其中有标记的喜鹊有4只，请你帮助工作人员，估计这片山林中喜鹊的数量为____________只． 18．（2025八年级下·安徽合肥·期末）某校八年级在一次体育模拟测试中，随机抽查了部分学生的体育成绩（满分为分），根据成绩分成如下六组．并根据数据制作出如下不完整的统计图．请根据统计图解决下列问题： （1）补全频数分布直方图，并求出的值； （2）本次体育模拟测试成绩的中位数落在哪一组？ （3）该校八年级有名学生，且都参加了这次模拟测试，若测试成绩不低于分为优秀，则该校八年级成绩优秀的学生约有多少人？ 【题型八】求一组数据的平均数 19．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）五位同学的数学测试成绩中最高分是140分，最低分是110分，他们的平均测试成绩可能是（   ） A．105分 B．120分 C．140分 D．150分 20．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是，则这组数据的平均数为___________________． 21．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）某商场为了了解A产品的销售情况，在上个月的销售记录中，随机抽取了5天A产品的销售记录，其售价x（元/件）与对应销量 y（件）的全部数据如下表： 售价x（元/件） 80 85 90 95 100 销量y（件） 110 100 80 60 50 试求这5天中A产品平均每件的售价． 【题型九】已知 平均数求未知数据的值 22．（22-23八年级上·安徽宿州·期末）如果与的平均数是5，那与的平均数是（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 23．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）已知一组数据0，2，，3，5的平均数是，则这组数据的平均数为________． 【题型十】利用已知的平均数求相关数据的平均数 24．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（    ） A．4 B．8 C．5 D．3 25．（2024八年级下·安徽·专题练习）已知数据，，的平均数是5，则数据，，的平均数是____． 【题型十一】利用平均数做决策 26．数学期末考试，奇思所在班级的平均分是92分，妙想所在班级的平均分是89分，这次奇思数学成绩与妙想相比，（    ） A．奇思分数高 B．妙想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 27．随机抽取某理发店一周的营业额如下表(单位：元)： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该店当月(按天计算)的营业总额． 【题型十二】求加权平均数 28．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）学校举办了演讲比赛．已知某同学礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为80分和90分．若依次按照，百分比确定成绩，则该同学的成绩是（   ） A．87分 B．86分 C．85分 D．84分 29．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某校举行经典诵读比赛，雅韵队的形象、内容、效果这三项得分依次为90，95，92，最终成绩中形象、内容、效果按的比例确定，那么雅韵队的最终成绩为______分． 30．某公司招聘职员，对候选人小杨进行了面试和笔试，面试中包括形体和口才．笔试中包括专业水平和创新能力考察，他的成绩（百分制）如表： 候选人 面试 笔试 形体 口才 专业水平 创新能力 小杨 80 90 90 95 若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创新能力按照的比确定，求出小杨的平均成绩是多少？ 【题型十三】运用加权平均数做决策 31．（2024八年级下·安徽阜阳·期末）某校要从甲、乙两名应聘者中招聘一名教师，该校预先对两名应聘者进行测试，每项满分100分，成绩如表： 项目 教学设计 课堂教学 面试答辩 甲 85 90 80 乙 89 85 82 学校决定将教学设计、课堂教学、面试答辩三项得分按3：4：3的比例确定每人成绩，则谁将被录取（　　） A．甲 B．乙 C．甲、乙得分相同 D．无法确定 32．（23-24八年级下·安徽六安·期末）学校记者团招聘一名小记者，现对进入最终环节的小莹、小亮2位应聘者进行综合素质考查，并进行现场作文与即兴演讲测试．将上述三项成绩按4：4：2的比例计算出个人总分，总分高者将被录用．下表是小莹、小亮2位应聘者的各项成绩，他们中谁将被录用? 姓名 综合素质：成绩/分 现场作文：成绩/分 即兴演讲：成绩/分 小莹 88 96 93 小亮 91 90 97 【题型十四】求中位数 33．（2024八年级下·安徽·专题练习）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，我市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了某区名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：组：；组：；组：；组：．根据上述信息，你认为本次调查数据的中位数落在（    ）    A．组 B．组 C．组 D．组 34．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）小红等10名同学参加2025年某市直单位招录的笔试考试，最后有5人可以入围进入面试环节，小红想知道自己是否入围，她需要知道这10名同学笔试成绩的______（填“平均数”或“中位数”或“众数”） 【题型十五】利用中位数求未知数据的值 35．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）五名同学进行投篮练习，规定每人投次，统计他们每人投中的次数，得到个数据，若这个数据的中位数是，唯一众数是设另外两个数据分别是，，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 36．在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是_____． 37．一组数据的中位数是1． (1)求的值； (2)求这组数据的平均数 【题型十六】求众数 38．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）某校在国学文化进校园活动中，随机统计了50名学生一周的课外阅读时间如下表所示，则这组数据的众数（    ） 时间／小时 10 4 8 9 5 学生数 5 8 14 19 4 A．19 B．9 C．10 D．5 39．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）数据2，4，3，5，5，3，3，4的众数是__________． 40．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1000名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成如图的条形统计图： (1)这50个样本数据的中位数是 ，众数是 ； (2)求这50个样本数据的平均数； (3)根据样本数据，估算该校1000名学生大约有多少人参加了不少于4次的实践活动． 【题型十七】利用众数求未知数据的值 41．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，，10，15．如果这组数据的众数10，则这组数据的中位数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．15 42．若一组数据，，，，，的众数为，则这组数据的中位数是__________． 【题型十八】运用众数做决策 43．（22-23八年级下·安徽亳州·期末）某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42（单住：cm）的衬衫，一个月内的销量如下表： 领口大小/cm 38 39 40 41 42 销量/件 64 199 180 110 47 你认为商店最感兴趣的是这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 44．某男装专卖店老板专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如表： 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售量/件 10 12 20 12 12 如果每件夹克的利润相同，你认为该店主最关注销售数据的统计量是____．（填写“平均数”或“中位数”或“众数”） 45．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）“感受数学魅力，提升数学素养”，安徽某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩（单位：分）进行整理、描述和分析，将学生的竞赛成绩分为A．；B．；C．三个等级（满分：100分，不低于90分为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级10名学生的竞赛成绩：78，78，84，84，84，85，90，95，95，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据：81，82，86，88，88． 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示． 学生 平均数 中位数 众数 七年级 87 a b 八年级 87 c 88 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：n＝ ，a＝ ，b＝ ，c＝ ． (2)若七、八年级各有200名学生参赛，请估计七、八年级所有参赛学生中成绩为优秀的总人数． (3)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）． 【题型十九】求方差 46．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据可用如下算式计算方差：，其中“6”是这组数据的（   ） A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数 47．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知的方差为5，则的方差为_____ 48．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下表． 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 (1)求甲进球的中位数； (2)经过计算，甲进球的平均数为8，方差为，如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？ 【题型二十】利用方差求未知数据的值 49．（2024八年级下·安徽阜阳·期末）已知一组数据的平均数是4，方差是6，则，的平均数和方差分别为（    ） A．4和6 B．16和6 C．4和22 D．16和54 50．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）一组数据，，…，的方差是，则该组数据的和为_________． 【题型二十一】根据方差判断稳定性 51．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）现有甲、乙、丙、丁四支篮球队，每支队伍的队员平均身高都为，方差分别为，，，，则身高较整齐的球队是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 52．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）甲、乙、丙三名选手参加射箭选拔赛，他们前五箭成绩的平均数相同，方差如下：，则甲、乙、丙三名选手中，成绩最稳定的是______． 53．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）八（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表： 甲 乙 (1)甲队成绩的中位数是 　 　分，乙队成绩的众数是 　 　分； (2)已知甲队成绩的方差是，乙队成绩的方差是，则成绩较为整齐的是　 队． 【题型二十二】运用方差做决策 54．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）甲、乙、丙、丁四名工人一周生产的零件误差（注：误差是指生产的零件直径与标准零件直径的差的绝对值）的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数/毫米 方差 根据表中数据，要从中选择一名技术好且发挥稳定的工人参加技能大赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 55．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：）及方差（单位：）如表所示： 品种 甲 乙 丙 丁 x 23 23 24 24 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量高且稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是________． 56．为弘扬“三色文化”，让同学们领略中国传统文化的魅力，营造良好的文化艺术氛围，某学校开展红色文化主题教育活动，八年级（1）（2）两班分别选5名同学参加“三色文化”知识比赛，其成绩如图所示： (1)根据图填写下表： 班级 平均数 中位数 众数 八（1）班 8.5 8.5 ________ 八（2）班 8.5 ________ 10 (2)若从这两个班中选择一支成绩比较稳定的队伍参加区级比赛，你认为选择哪个班？请通过计算说明理由． 【题型二十三】用计算器求方差 57．用计算器计算方差时，要首先进入统计计算状态，需要按键（    ） A． B． C． D． 58．（23-24八年级下·安徽·单元测试）给定一组数据如下： 1，1，4，4，4，7，7． (1)请你估计一下这组数据的平均数、方差大约是多少； (2)用计算器计算这组数据的平均数、方差，与你的估计值进行比较，你的估计是否准确？ 【题型二十四】用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 59．某初中校有七、八、九三个年级．学期初，校医随机调查了的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为米．下列估计最合理的是（    ） A．该校学生的平均身高约为米 B．该校七年级学生的平均身高约为米 C．该校七年级女生的平均身高约为米 D．该校七年级男生的平均身高约为米 60．小红家今年有苹果树棵，现进入收获期，收获时先随意采摘5棵树上的苹果，称得每棵树上的苹果质量（单位：千克）如下：，，，，，估计今年小红家一共可收获苹果________千克． 61．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某中学为了解学生一周在家的运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集的数据整理、分析（共分为四组：A．；B．；C．；D．），其中，以每周的运动时长不少于3小时为达标，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． (1)求组的人数，并补全频数分布直方图． (2)该校学生一周在家的运动时长的中位数位于______组． (3)请根据上述信息，估计该校学生一周在家的运动时长的平均数．（每组取组中值，例如：取0.5，取1.5） 【题型二十五】求四分位数 62．（25-26八年级·安徽宿州·期末）“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的上四分位数是（   ） A．5 B．6．5 C．7 D．8 63．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的第三四分位数和第一四分位数分别为______． 64．求下列各组数据的四分位数： (1)6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36； (2)25，12，18，20，15，8，31，28，22，35； (3)36，28，15，11，3，20，26，23，32，18，7，9． 【题型二十六】画箱线图 65．下面是根据八（2）班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，则由图不能确定这组数据的（   ） A．最大值、最小值 B．中位数 C．上四分位数、下四分位数 D．平均数 66．在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 67．（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【题型二十七】离差平方和的应用 68．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于“组内离差平方和最小”原则，下列说法正确的是（    ） A．只需让某一组的离差平方和最小即可 B．是所有组的组内离差平方和之和最小 C．分组后每组数据必须完全相同 D．与数据的集中程度无关 69．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 70．现有一批螺丝帽，从中抽选6个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这6个螺丝帽按直径大小分成两组，你认为应该如何分（除不尽时，结果保留三位小数）？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $