第09讲 平行四边形（知识详解+11典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 平行四边形（知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形 1.平行四边形的定义及表示方法 定义 图示 表示方法 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 不能单独使用符号“▱”代替“平行四边形”. 平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形ABCD 记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 2. 平行四边形的基本元素 基本元素  主要内容  图示 边  邻边 AD 和 AB， AD 和 DC， DC 和 BC， BC 和AB，共有四对 对边  AB 和 DC， AD 和 BC，共有两对 角 邻角  ∠ BAD 和∠ ADC，∠ ADC 和∠ DCB，∠ DCB和∠ ABC，∠ DAB 和∠ ABC，共有四对 对角  ∠ BAD 和∠ BCD，∠ ADC 和∠ ABC，共有两对 对角线  AC 和 BD，共有两条 【知识点02】平行四边形的边、角性质 性质 几何语言 图示 边 性质 1：平行四边形的对边相等 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB = DC，AD = BC 角 性质2：平行四边形的对角相等 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A = ∠C，∠B=∠D 【知识点03】两条平行线之间的距离本质是平行四边形的对边相等. 1. 夹在两条平行线之间的平行线段相等. 2.两条平行线之间的距离 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离 作图方法 如图，直线a ∥ b，在直线a 上任取一点A，过点A 向直线b 作垂线， 垂足为B，则垂线段AB 的长即为a，b这两条平行线之间的距离 3. 三种距离之间的区别与联系 类别  两点间的距离  点到直线的距离  两条平行线之间的距离 区别  连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 都归结为两点间的一条线段的长度 图示 如图19.2-3，a∥b，AB ∥CD ， CE ⊥b ，FG⊥b，点E，G 为垂足，则FG 和CE 的长都表示a 和b 之间的距离，且FG=CE，AB=CD. 4. 拓展 (1)平行四边形的面积= 底× 高= ah(其中a 是平行四边形的任意一条边长，h必须是这条边与它的对边之间的距离). 如图19.2-4，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E， . (2)等底等高的平行四边形的面积相等. 【知识点04】平行四边形的对角线性质 性质 几何语言 图示 对角线 性质 3：平行四边形对角线互相平分 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC= AC， OB=OD=  BD. 知识拓展：平行四边形中的面积关系 图示 条件 O 为▱ABCD对角线的交点 P 在▱ABCD的边AD 上，且不与端点重合 P 为▱ABCD内任意一点 EF 经▱ABCD对角线的交点O 结论 【知识点05】平行四边形的判定 1.判定方法：判定平行四边形可以从对边、对角和对角线 三个方面进行 . 如图 19.2-21，在四边形 ABCD 中， AC， BD 相交于点 O，具体方法如下表所示 . 符号" "表示"平行 且相等"，"AB∥CD"读作"AB平行且等于CD". 由此可得：相邻内角互补的四边形也是平行四边形. 条件类型 判定方法 数学语言 对边关系 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义) ∵ AD ∥ BC， AB ∥ CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 定理 1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD=BC， AB=CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 续表 条件类型  判定方法  数学语言 对角关系  两组对角分别相等的四边形是平行四边形(补充) ∵∠ DAB= ∠ DCB， ∠ ABC= ∠ ADC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 对角线关系 定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA=OC， OB=OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 2. 灵活选择平行四边形的判定方法 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)另一组对边相等 (2)该组对边平行 一组对边平行 (1)另一组对边平行 (2)该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 3. 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 4. 推论 经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边. 【知识点06】三角形的中位线 三角形的中位线 文字语言 符号语言 图示 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 如图，在△ ABC 中，∵ AD=BD，AE=CE，∴ DE 是△ ABC 的中位线 三角形中线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 如图，在△ ABC 中，∵ DE 为△ ABC 的中位线，∴ DE∥BC，且DE=BC 拓展：三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.重心和各边中点的距离等于相应各边上中线长的三分之一. 【题型一】利用平行四边形的性质求解 例1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．平行四边形邻角互补，据此解答即可． 【详解】解：如图，在中，， ∴， ∵， ． 故选：C． 例2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）用长分别为5，5，7，a的四根细木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不计），则a的值是______． 【答案】7 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形对边相等即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，用长分别为5，5，7，a的四根木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框， ∴， 故答案为：7． 例3．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列画图．点E是上的一点，过点E画一条直线同时平分平行四边形的周长和面积． 【答案】见解析. 【知识点】利用平行四边形的性质求解、无刻度直尺作图 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，则直线即为所求． 【详解】解：如图，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F， 则直线即为所求． 证明：由平行四边形的性质可知：过对角线交点的直线平分平行四边形的周长和面积. 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在中，与的度数之比为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行四边形的性质．由平行四边形的性质得，则，由与的度数之比为，得，所以，则． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ， 故选：D． 变式2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，与的平分线相交于上的一点，若 （1）的长度为_____． （2）的面积为_____． 【答案】 20 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出，则，再根据勾股定理即可求得； （2）如图，作于点F，先根据等积法求得，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与的平分线相交于上的一点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图，作于点F， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：20． 变式3．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）（1）如图1在的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，画一个面积为2的平行四边形（矩形除外）； （2）在图2在的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，中画一个，使其三边长分别为，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】利用平行四边形的性质求解、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理与网格，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理与网格是解题的关键． （1）根据，令底为1，作平行四边形即可； （2）由勾股定理构造，，，然后作即可． 【详解】（1）解：如图1，平行四边形即为所求； （2）解：如图2，即为所求； 【题型二】利用平行四边形的性质证明 例4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明、根据平行线的性质求角的度数、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的各种性质是解题关键． 利用平行四边形的性质推得、、，通过勾股定理求出的长，再根据即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． 例5．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)如果求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，则，证明，即可证明； （2）由勾股定理得到，则可求出，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：于点于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， 的长为． 变式1．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，设P为□ABCD内的一点，△PAB，△PBC，△PDC，△PDA的面积分别记为S1，S2，S3，S4，则有（　 ） A．S1=S4 B．S1+S2=S3+S4 C．S1+S3=S2+S4 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】由于平行四边形两组对边分别相等，的边上的高的和是两平行线之间的距离，所以,同理可得：． 【详解】过点作的垂线，分别交,于, 四边形是平行四边形 同理 S1+S3=S2+S4． 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 变式2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S3＝S2+S4，②若S3＝2S1，则S2＝2S4，③若S1+S3＝5，则ABCD的面积为10；④S1+S2＝S3+S4．其中正确的结论的序号是____________（把所有正确结论的序号都填在横线上）． 【答案】①③ 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质可以得到AB＝CD，AD＝BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理判断即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， 设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，hAB、hBC分别为平行四边形的AB边和BC边的高 则S1＝AB•h1，S2＝BC•h2，S3＝CD•h3，S4＝AD•h4，hAB= h1+h3，hBC=h2+h4 ∴AB•h1+CD•h3＝AB•hAB，BC•h2+AD•h4＝BC•hBC， 又∵S平行四边形ABCD＝AB•hAB＝BC•hBC， ∴S2+S4＝S1+S3，故①正确； 根据S3=2S1只能判断h3=2h1，不能判断h2=2h4，即不能得出S2=2S4，故②错误； 根据S1+S3＝S2+S4，S1+S3＝5，能得出ABCD的面积为5×2＝10，故③正确； 由题意只能得到S2+S4＝S1+S3无法得到S1+S2＝S3+S4，故④错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积是解题的关键． 变式3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证，最后证明即可求出答案． 【详解】证明：∵是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 例6．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝2，AF＝3，▱ABCD的周长为20，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．16 C．8 D．12 【答案】D 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】设BC=x，根据平行四边形的周长表示出CD，然后根据平行四边形的面积列式求出x，再根据平行四边形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：设BC＝x， ∵▱ABCD的周长为20， ∴CD＝10﹣x， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴2x＝3（10﹣x）， 解得x＝6， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝2×6＝12． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的周长与面积的求解，根据面积的表示出列式求出平行四边形的一条边的长度是解题的关键． 变式1．如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是______________. 【答案】10＜m＜22 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，那么一边是8，另两边是3和组成的三角形，结合三角形的三边关系，求得相应范围即可． 【详解】解：由题意得：8−3＜＜8＋3， ∴10＜m＜22． 故答案为：10＜m＜22． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系的综合运用，有关“对角线范围”的题，应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决． 变式2．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)见详解 【知识点】多边形内角和问题、平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和． （1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可； （2）利用四边形内角和及邻补角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2） , ． 【题型四】判断能否构成平行四边形 例7．（24-25八年级下·安徽·期末）如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 分别利用平行四边形的判定方法判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、，无法得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 例8．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是___________（填序号）． 【答案】③⑥/⑥③ 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定是解题的关键；根据平行四边形的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形知，①②组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，③④组合可判定四边形是平行四边形； 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，①③组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对角相等的四边形是平行四边形知，⑤⑥组合可判定四边形是平行四边形； 一组对边相等，一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，即③⑥组合不能得出四边形是平行四边形； 故答案为：③⑥． 变式1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形要求边、角、对角线成立的条件逐个判断，即可解决问题． 【详解】解：A．，， 根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，故本选项符合题意； B．，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C．，， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D．，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)请在图中作出； (2)只用无刻度直尺作图：找出格点M，作射线，使得平分（保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定、格点作图题、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查的是格点作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质； （1）画线段，且即可； （2）取格点，且，连接，在线段上取格点，作射线即可； 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：如图，射线即为所求； 理由：∵， 而， ∴， ∴射线平分. 【题型五】添一个条件成为平行四边形 例9．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图，四边形中，，对角线、相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A． 由，可知，四边形的一组对边平行且相等，能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． D． 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 变式1．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法. 你所添加的条件：____________________________________； 证明： 【答案】AE=CF 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【详解】试题分析：要证四边形ABCD是平行四边形，只要得出一组对边（AB和CD）平行且相等即可，即只要添加一个条件使得△ABE≌△CDF，由已知可得两三角形全等的条件有∠E＝∠F，BE＝DF，故可添加AE＝CF（答案不唯一），利用SAS证明△ABE≌△CDF． 试题解析：答案不唯一，例如：添加AE＝CF． 证明如下： ∵AE∥CF， ∴∠E＝∠F， 又BE＝DF，AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， ∴∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，通过题目已有条件分析得出证明四边形ABCD为平行四边形只需证明△ABE≌△CDF是解决问题的关键． 变式2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上． (1)请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）； (2)在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】添一个条件成为平行四边形、平行四边形性质的其他应用、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可； （2）根据平行四边形的性质以及数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求． （2）连接交于点，作直线，直线即为所求． 【题型六】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例10．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．如图，三点不共线，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：如图，三点不共线，连接、、， 分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：，，； 综上所述，可以作3个平行四边形， 故选：B． 变式1．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 变式2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的坐标分别为(0，2)，( -1，0)，(2，0)．以A、B、C三点为顶点作平行四边形，第四个顶点为点D． (1)满足条件的平行四边形能作 个； (2)在图中作出满足条件的平行四边形，使顶点D位于第四象限； (3)写出所有符合条件的顶点D的坐标： 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)（3，2），（﹣3，2），（1，﹣2） 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】（1）分BC为平行四边形的边和对角线两种情况求解即可． （2）以BC为对角线的平行四边形符合题意． （3）BC为边时，点D（3，2），点D（-3，2），BC为对角线时，点D（1，-2）． 【详解】（1）当BC为边时，将点A向右平移3个单位或向左平移3个单位得到的点，都是符合题意的点D，有两个； 当BC为对角线时，点A向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到C， 故只需将点B也作同样的平移，得到1个点D， 故有3个， 故答案为：3． （2）当BC为对角线时，点A向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到C， 故只需将点B也作同样的平移，得到1个点D，其坐标为（1，-2）， 画图如下： （3）当BC为边时，点A向右平移3个单位，此时点D（3，2）； 向左平移3个单位得到点D，此时点D（-3，2）； 当BC为对角线时，点A向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到C， 故只需将点B也作同样的平移，得到点D(-1+2，0-2)即点D（1，-2）， 故点D的坐标为（3，2）或（﹣3，2）或（1，﹣2）． 故答案为：（3，2）或（﹣3，2）或（1，﹣2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，作图，平移思想的运用，熟练掌握平行四边形的判定，灵活运用分类思想、平移思想是解题的关键． 【题型七】证明四边形是平行四边形 例11．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如上图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了． 根据平行四边形的判断求解即可； 【详解】解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小， 故选：C． 例12．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和，F为的中点，连接，，，． （1）判断四边形的形状为__________； （2）_______． 【答案】 平行四边形 【知识点】二次根式的乘法、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，含直角三角形的性质等知识． （1）由已知条件可得出，含直角三角形的性质得出，由等边三角形的性质得出，即可得出， ，再得出，，即可得出四边形的形状为平行四边形， （2）设，则，分别求出对应三角形的面积以及四边形的面积即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， （2）设，则， ∴， ∴， 故答案为：平行四边形，． 变式1．（23-24八年级下·安徽池州·期末）四边形中，，，，，垂足分别为，则四边形一定是（   ） A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据已知条件得到BF＝DE，由垂直的定义得到∠AED＝∠CFB＝90°，根据全等三角形的判定定理可得Rt△ADE≌Rt△CBF，根据全等三角形的性质得到∠ADE＝∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵BE＝DF， ∴BE−EF＝DF−EF，即BF＝DE， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， 在Rt△ADE与Rt△CBF中，AD＝BC，DE＝BF， ∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠ADE＝∠CBF， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，画出； (2)以点，点，点为顶点画一个平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平移(作图)、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了画平移图形，平行四边形的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平移方式可得的位置，描出，并顺次连接即可； （2）如图所示，取格点，连接，可得，则四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 【题型八】全等三角形拼平行四边形问题 例13．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题 【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得． 【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形： 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键． 变式1．如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，度．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形________个. 【答案】3 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行拼接即可得． 【详解】解：如图，可拼成如下的三种平行四边形： 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 变式2．图1是用四个直角边长都是1的等腰直角三角形拼出了一个平行四边形的示图，请你用这四个等腰直角三角形再拼出两个平行四边形，使它的顶点都落在方格的顶点上，且所拼的三个平行四边形的周长均不相等，分别在图2，图3中画出示意图． 【答案】见解析 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题 【分析】根据平行四边形以及特殊平行四边形画图． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查了图形的拼接，以及平行四边形和特殊平行四边形的概念和性质，要灵活运用小三角形进行拼接，可以动手试一试． 【题型九】与三角形中位线有关的求解问题 例14．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，，C、D是边上的两点，且，点P是上的一动点，连接，点Q是的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、垂线段最短 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理及垂线段最短，熟知三角形的中位线定理是解题的关键．在上取点M，使，进而得出为的中位线，将的最小值转化为的最小值，最后根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：在上取点M，使，连接，如图所示， ∵点C为的中点，点Q为的中点， ∴为的中位线， ∴． 过点M作的垂线，垂足为N， 则当点P在点N处时，取得最小值，即为的长． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 则的最小值为， ∴的最小值为． 故选：B． 例15．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）已知三角形的三条中位线的长分别为，则这个三角形的周长是__________． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟知三角形的中位线定理是解决问题的关键． 根据三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：∵三角形的三条中位线的长分别是， ∴三角形的三条边分别是 ∴这个三角形的周长为：． 故答案为：． 例16．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，在中，，D，E分别是，的中点，已知，，求的长． 【答案】15 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查中位线定理，勾股定理，根据中位线定理求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 在中，，，， ∴． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【知识点】三线合一、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，即此时最小， ∵当时，， ∴， ∴， ∴最小值为4.8， 故答案为：4.8． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知：是的中线，点是的中点，点是延长线与的交点．则的值为___________． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是通过作辅助线构造中位线． 如图，过点如图，过点的中点H，连接，利用三角形中位线定理来求解的值． 【详解】如图，过点的中点H，连接， ∵是的中线， ，点是的中点， ， ， 故答案为：． 变式3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，分别为边，上的中线，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 【答案】见详解 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理解答． 连接，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】证明：连接， ，分别为的中线，点，分别是，的中点， ，，，， ，， ． 【题型十】与三角形中位线有关的证明 例17．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，点，分别是边，的中点，点是边上的动点，连接，，，则下列四个判断中不一定正确的是（    ） A．若点是的中点，则 B．若，则点是的中点 C．若点是的中点，则 D．若，则点是的中点 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的证明 【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的定义判断即可． 【详解】解：A、∵点D，F，E分别是边AB，BC，AC的中点， ∴EF=AB，DB=AB， ∴EF=DB，本选项说法正确，不符合题意； B、如图，EF=DB， 但点F不是BC的中点，本选项说法错误，符合题意； C、∵点D，F，E分别是边AB，BC，AC的中点， ∴DF=AC，EC=AC， ∴EC=DF，本选项说法正确，不符合题意； D、∵DF=EC=AE， ∴DF=AC， ∵D是AB的中点， ∴F是BC的中点，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 变式1．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）在探究三角形中线的奥秘时，“创新学习小组”开展了如下探究： (1)如图，是的中线，它们交于点O，点G、H分别是的中点，顺次连接G、H、E、F，求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质： （1）根据三角形的中位线定理，推出，，即可得证； （2）中点结合平行四边形的对角线互相平分，推出，再根据线段的和差关系即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵点G、H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形，G是的中点， ∴， ∴， ∴． 即． 变式2．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，连接，，，求证：．    【答案】见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明 【分析】由，，分别是，，的中点，可得，分别是，的中位线，根据中位线定理和已知即可得出结论． 【详解】证明：，，分别是，，的中点， ，分别是和的中位线， ，， 又， ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题时要善于根据已知信息确定应用的知识． 【题型十一】三角形中位线的实际应用 例18．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，某校园内小池塘的岸边有 A、B两点，难以直接测量 A、B两点间的距离，数学实践活动小组的同学们在A、B外选择了一点C，取线段，的中点D，E，测得，则A、B两点的距离是（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可． 【详解】解：∵取线段，的中点D，E， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型． 变式1．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度，选取可以直达，两点的点处，再分别取，的中点，，量得，则池塘的宽度为______． 【答案】100 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】根据三角形中位线的性质定理解答即可． 【详解】解：∵点M、N是OA、OB的中点， ∴MN是△ABO的中位线， ∴AB=2MN． 又∵MN=50m， ∴AB=100m． 故答案是：100． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 变式2．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在中，，点D为形外一点，且，，M为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不需要证明）      (1)在图1中，画出的边上的中线； (2)在图2中，先画出边的中点E，再画出的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、三线合一、三角形中位线的实际应用、画三角形的高 【分析】（1）连接，与交于点，连接，即为所求； （2）分别连接，交于一点，并连接与交于点，连接，即为所求． 【详解】（1）如图所示；    作法：连接，与交于点，连接，即为所求； 证明：∵，M为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵，M为的中点， ∴为的中位线， ∴是的中点， 即为的边上的中线． （2）如图所示；    作法：分别连接，交于一点，并连接与交于点，连接，即为所求；如图：    证明：∵四边形为平行四边形， ∴，是平行四边形的对角线， ∴点是，的中点， 又∵为的中位线， ∴， ∴的中位线， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即是的中点， ∵， ∴是的边上的高． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，中位线的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 一、单选题 1．中，D、E分别为AB、AC边的中点，若BC=8cm，则DE为（     ） A．16cm B．8cm C．4cm D．2cm 【答案】C 【分析】先画出图形，再根据三角形的中位线定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 点D、E分别为AB、AC边的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线定理是解题关键． 2．如图，在□ABCD中，下列说法一定正确的是（     ） A．AC=BD B．AC⊥BD C．BD平分∠ADC D．∠ADC=∠ABC 【答案】D 【分析】根据平行四边形对角线互相平分，可判断A、B选项；根据平行四边形对角线并不平分一组对角，可判断C选项；利用平行四边形的对角相等，可判断D选项． 【详解】在□ABCD中， A. ACBD，故A选项错误； B. AC不垂直于BD，故B选项错误； C. BD不平分∠ADC，故C选项错误； D. ∠ADC=∠ABC，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，牢记知识点是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，C为线段OB上一点，过点C作轴交l于点D，若的顶点E恰好落在直线上，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点 ，根据轴，可得点 ，再根据平行四边形的性质可得点轴， ，则， ，即可求解． 【详解】解：设点 ， ∵轴， ∴点 ， ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ， ∴点 ， ∴ ， ∵直线分别交y轴于B两点， ∴当 时， ， ∴点 ， ∴ ， ∴，解得： ， ∴ ， ∴点 ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 4．下列命题： 全等三角形的对应角相等； 等边三角形的三个内角都等于； 若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是直角三角形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 其中逆命题是真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题． 写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解∶ 全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题； ②等边三角形的三个内角都等于的逆命题是：三个内角都等于的三角形是等边三角形，是真命题； 若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是直角三角形的逆命题是：直角三角形的三边长a、b、c满足，是真命题； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形的逆命题是：平行四边形的两组对角分别相等，逆命题是真命题． 逆命题是真命题的有，共3个，逆命题是假命题； 故选∶C． 5．如图，E、F是ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接DE、BF，则图中共有全等三角形的对数是（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AB=CD，AD∥CB，进而可得∠DAE=∠BCF，然后可证明△ADC≌△CBA，△AED≌△CFB，△DEC≌△BFA． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD， 在△ADC和△CBA中， ， ∴△ADC≌△CBA（SSS）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴∠DAE=∠BCF， 在△ADE和△CBF中， ∴△AED≌△CFB（SAS）， ∴DE=BF， ∵AE=CF， ∴AC-AE=AC-CF， ∴CE=AF， 在△DEC和△BFA中， ∴△DEC≌△BFA（SSS）， 图中全等三角形共有3对， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，关键是掌握平行四边形的对边相等． 6．如图所示，平行四边形的对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的中位线定理即可得． 【详解】平行四边的对角线、相交于点， ， 点是的中点， 是的中位线， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． 7．已知在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角相等、邻角互补，即可得出∠A的度数． 【详解】∵在▱ABCD中，∠B+∠D=200°，∠B=∠D， ∴∠B=∠D=100°， 又∵∠A+∠B=180°， ∴∠A=180°-100°=80°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质． 8．已知平行四边形的面积为12，且的长是方程的两个根．过点A作直线的垂线交于点E，过点A作直线的垂线交于点F，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】先求出一元二次方程的两个根即可求出AB和BC，根据平行四边形的性质即可求出CD和AD，然后根据∠A为锐角和钝角分类讨论，分别画出对应的图形，利用平行四边形的面积求出AE和AF，利用勾股定理求出BE和DF，即可求出结论． 【详解】解：由得． ， ． 四边形是平行四边形， ． ①如图（1），当∠A为锐角时， ， ． 在中，． 在中，， ． ②如图（2），当∠A为钝角时， ， ． 在中，， 在中，， ． 综上可得的值为或． 故选B． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，平行四边形的性质和勾股定理，掌握一元二次方程的解法、平行四边形的性质和勾股定理是解决此题的关键． 9．□中，的角平分线交线段于点，，点是中点，连接，过点作，垂足为，设，若□的面积为8，的长为整数，则整数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到和的关系，然后根据□的面积为8，的长为整数，从而可以得到整数的值． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵□的面积为8，的长为整数， ∴， 即：， ∴整数为0或1或3． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，则此时平行四边形的面积不可能是8，故舍去； ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，不定方程等知识．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断③． 【详解】解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故①正确； 由上知， ∴点到直线的距离为2，则点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，②错误； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故③正确， ∴正确的为①③， 故选：B． 二、填空题 11．在平行四边形中，若，则的大小为__________（度）． 【答案】50 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，AD∥BC，又由∠B+∠D=260°，即可求得∠B的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD∥BC，∠B=∠D， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠B+∠D=260°， ∴∠B=130°， ∴∠A=180°-∠B=50°． 故答案为50． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识． 12．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 根据平行四边形的性质分析出当最短时也最短，过作的垂线，即的最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴当最短时也最短， ∴过作的垂线，如图所示： ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 13．已知：如图，平行四边形中，对角线相交于点，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，先由平行四边形性质得到，在中，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且，再由平行四边形性质得到，，在中，由勾股定理求线段长即可得到答案．熟记平行四边形性质、勾股定理及其逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：在平行四边形中，， 在中，，则，， ， 则由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且， 在平行四边形中，，， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 故答案为：． 14．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F，连接． （1）__________； （2）若，则__________． 【答案】 120 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质和角平分线的定义可证明，可得，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案； （2）由平行四边形的性质得到，则可证明，进而证明；过点A作于H，则，则，据此求出的面积即可得到答案． 【详解】解；（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于H，则， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点． 求证：四边形EGFH是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，根据三角形中位线的性质，可得FH∥BE，FG∥CE，则可判定四边形EGFH是平行四边形． 【详解】证明：∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点， ∴FH∥BE，FG∥CE， ∴四边形EGFH是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．注意准确利用三角形中位线的性质证明是解此题的关键． 16．【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） 【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 【答案】 [问题情境] [解决问题]改造总费用为65000元 【分析】[问题情境]作，根据三角形的面积公式得到，，由于是的中线，于是得到结论； [解决问题]连接，根据点A、B、C分别是的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：[问题情境]作，则，， ∵是的中线，， ∴； 故答案为：； [解决问题]连接， ∵点A、B、C分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）， 答：改造总费用为65000元． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线、高线，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 17．已知：如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行四边形的性质及全等三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质可得，，，再由角平分线的定义可得，从而证明，即可证明出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，，， 又∵平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ∴． 18．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，BE＝DF．试判定四边形AECF的形状，并说明理由． 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，从而BE＝DF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：四边形AECF是平行四边形． ∵AC，BD是平行四边形ABCD的对角线，    ∴OA＝OC，OB＝OD， 又∵BE＝DF， ∴OB-BE＝OD-DF， 即OE＝OF，   ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分、对角线互相平分的四边形是平行四边形是解答本题的关键． 19．如图，中，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，求线段的长． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，首先证明，则，，证明是的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解，正确证明是关键． 【详解】解：、分别是其角平分线和中线， ， ， ， 在和中， ， ， ，，则， 是的中点， 又， 是的中位线， ． 20．如图，中，对角线、交于点O，点E是上一点，延长至点F，使得，且交于点G，连接． (1)求证：； (2)若垂直平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，证出是的中位线，得，即； （2）证明，可得，，在中，，，在中，，进一步可得答案. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ， 即； （2）证明：由（1）知：， ∴，， 又∵垂直平分 ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴ 在中 ∴ ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含角的直角三角形的判定与性质，化为最简二次根式等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 21．如图，四边形中，对角线相交于点O，，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取的中点F，连接．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可证得结论； (2)延长，交于点，∴证明，得出，再证明出，得到，然后结合，即可证明出四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， 又， 的中点为， ， 是的中位线， ； （2）延长，交于点，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 平行四边形（知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形 1.平行四边形的定义及表示方法 定义 图示 表示方法 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 不能单独使用符号“▱”代替“平行四边形”. 平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形ABCD 记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 2. 平行四边形的基本元素 基本元素  主要内容  图示 边  邻边 AD 和 AB， AD 和 DC， DC 和 BC， BC 和AB，共有四对 对边  AB 和 DC， AD 和 BC，共有两对 角 邻角  ∠ BAD 和∠ ADC，∠ ADC 和∠ DCB，∠ DCB和∠ ABC，∠ DAB 和∠ ABC，共有四对 对角  ∠ BAD 和∠ BCD，∠ ADC 和∠ ABC，共有两对 对角线  AC 和 BD，共有两条 【知识点02】平行四边形的边、角性质 性质 几何语言 图示 边 性质 1：平行四边形的对边相等 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB = DC，AD = BC 角 性质2：平行四边形的对角相等 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A = ∠C，∠B=∠D 【知识点03】两条平行线之间的距离本质是平行四边形的对边相等. 1. 夹在两条平行线之间的平行线段相等. 2.两条平行线之间的距离 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离 作图方法 如图，直线a ∥ b，在直线a 上任取一点A，过点A 向直线b 作垂线， 垂足为B，则垂线段AB 的长即为a，b这两条平行线之间的距离 3. 三种距离之间的区别与联系 类别  两点间的距离  点到直线的距离  两条平行线之间的距离 区别  连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 都归结为两点间的一条线段的长度 图示 如图19.2-3，a∥b，AB ∥CD ， CE ⊥b ，FG⊥b，点E，G 为垂足，则FG 和CE 的长都表示a 和b 之间的距离，且FG=CE，AB=CD. 4. 拓展 (1)平行四边形的面积= 底× 高= ah(其中a 是平行四边形的任意一条边长，h必须是这条边与它的对边之间的距离). 如图19.2-4，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E， . (2)等底等高的平行四边形的面积相等. 【知识点04】平行四边形的对角线性质 性质 几何语言 图示 对角线 性质 3：平行四边形对角线互相平分 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA=OC= AC， OB=OD=  BD. 知识拓展：平行四边形中的面积关系 图示 条件 O 为▱ABCD对角线的交点 P 在▱ABCD的边AD 上，且不与端点重合 P 为▱ABCD内任意一点 EF 经▱ABCD对角线的交点O 结论 【知识点05】平行四边形的判定 1.判定方法：判定平行四边形可以从对边、对角和对角线 三个方面进行 . 如图 19.2-21，在四边形 ABCD 中， AC， BD 相交于点 O，具体方法如下表所示 . 符号" "表示"平行 且相等"，"AB∥CD"读作"AB平行且等于CD". 由此可得：相邻内角互补的四边形也是平行四边形. 条件类型 判定方法 数学语言 对边关系 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义) ∵ AD ∥ BC， AB ∥ CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 定理 1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD=BC， AB=CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 续表 条件类型  判定方法  数学语言 对角关系  两组对角分别相等的四边形是平行四边形(补充) ∵∠ DAB= ∠ DCB， ∠ ABC= ∠ ADC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 对角线关系 定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA=OC， OB=OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 2. 灵活选择平行四边形的判定方法 已知条件 证明思路 一组对边相等 (1)另一组对边相等 (2)该组对边平行 一组对边平行 (1)另一组对边平行 (2)该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角分别相等 3. 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 4. 推论 经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边. 【知识点06】三角形的中位线 三角形的中位线 文字语言 符号语言 图示 定义 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 如图，在△ ABC 中，∵ AD=BD，AE=CE，∴ DE 是△ ABC 的中位线 三角形中线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 如图，在△ ABC 中，∵ DE 为△ ABC 的中位线，∴ DE∥BC，且DE=BC 拓展：三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.重心和各边中点的距离等于相应各边上中线长的三分之一. 【题型一】利用平行四边形的性质求解 例1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）用长分别为5，5，7，a的四根细木根，恰好能钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不计），则a的值是______． 例3．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列画图．点E是上的一点，过点E画一条直线同时平分平行四边形的周长和面积． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在中，与的度数之比为，则的度数是（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，与的平分线相交于上的一点，若 （1）的长度为_____． （2）的面积为_____． 变式3．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）（1）如图1在的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，画一个面积为2的平行四边形（矩形除外）； （2）在图2在的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，中画一个，使其三边长分别为，，． 【题型二】利用平行四边形的性质证明 例4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 例5．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)如果求的长． 变式1．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，设P为□ABCD内的一点，△PAB，△PBC，△PDC，△PDA的面积分别记为S1，S2，S3，S4，则有（　 ） A．S1=S4 B．S1+S2=S3+S4 C．S1+S3=S2+S4 D．以上都不对 变式2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S3＝S2+S4，②若S3＝2S1，则S2＝2S4，③若S1+S3＝5，则ABCD的面积为10；④S1+S2＝S3+S4．其中正确的结论的序号是____________（把所有正确结论的序号都填在横线上）． 变式3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，．求证：． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 例6．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝2，AF＝3，▱ABCD的周长为20，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．16 C．8 D．12 变式1．如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是______________. 变式2．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【题型四】判断能否构成平行四边形 例7．（24-25八年级下·安徽·期末）如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 例8．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是___________（填序号）． 变式1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)请在图中作出； (2)只用无刻度直尺作图：找出格点M，作射线，使得平分（保留作图痕迹） 【题型五】添一个条件成为平行四边形 例9．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图，四边形中，，对角线、相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法. 你所添加的条件：____________________________________； 证明： 变式2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上． (1)请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）； (2)在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）． 【题型六】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例10．以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1．点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 变式2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的坐标分别为(0，2)，( -1，0)，(2，0)．以A、B、C三点为顶点作平行四边形，第四个顶点为点D． (1)满足条件的平行四边形能作 个； (2)在图中作出满足条件的平行四边形，使顶点D位于第四象限； (3)写出所有符合条件的顶点D的坐标： 【题型七】证明四边形是平行四边形 例11．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如上图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 例12．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和，F为的中点，连接，，，． （1）判断四边形的形状为__________； （2）_______． 变式1．（23-24八年级下·安徽池州·期末）四边形中，，，，，垂足分别为，则四边形一定是（   ） A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 变式2．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，画出； (2)以点，点，点为顶点画一个平行四边形． 【题型八】全等三角形拼平行四边形问题 例13．如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 变式1．如图，已知为等腰三角形纸片的底边，，度．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形________个. 变式2．图1是用四个直角边长都是1的等腰直角三角形拼出了一个平行四边形的示图，请你用这四个等腰直角三角形再拼出两个平行四边形，使它的顶点都落在方格的顶点上，且所拼的三个平行四边形的周长均不相等，分别在图2，图3中画出示意图． 【题型九】与三角形中位线有关的求解问题 例14．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，，C、D是边上的两点，且，点P是上的一动点，连接，点Q是的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 例15．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）已知三角形的三条中位线的长分别为，则这个三角形的周长是__________． 例16．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，在中，，D，E分别是，的中点，已知，，求的长． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．4.8 D．9.6 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知：是的中线，点是的中点，点是延长线与的交点．则的值为___________． 变式3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，分别为边，上的中线，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 【题型十】与三角形中位线有关的证明 例17．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，点，分别是边，的中点，点是边上的动点，连接，，，则下列四个判断中不一定正确的是（    ） A．若点是的中点，则 B．若，则点是的中点 C．若点是的中点，则 D．若，则点是的中点 变式1．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）在探究三角形中线的奥秘时，“创新学习小组”开展了如下探究： (1)如图，是的中线，它们交于点O，点G、H分别是的中点，顺次连接G、H、E、F，求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 变式2．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，连接，，，求证：．    【题型十一】三角形中位线的实际应用 例18．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，某校园内小池塘的岸边有 A、B两点，难以直接测量 A、B两点间的距离，数学实践活动小组的同学们在A、B外选择了一点C，取线段，的中点D，E，测得，则A、B两点的距离是（      ）    A． B． C． D． 变式1．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度，选取可以直达，两点的点处，再分别取，的中点，，量得，则池塘的宽度为______． 变式2．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在中，，点D为形外一点，且，，M为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不需要证明）      (1)在图1中，画出的边上的中线； (2)在图2中，先画出边的中点E，再画出的边上的高． 一、单选题 1．中，D、E分别为AB、AC边的中点，若BC=8cm，则DE为（     ） A．16cm B．8cm C．4cm D．2cm 2．如图，在□ABCD中，下列说法一定正确的是（     ） A．AC=BD B．AC⊥BD C．BD平分∠ADC D．∠ADC=∠ABC 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，C为线段OB上一点，过点C作轴交l于点D，若的顶点E恰好落在直线上，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．下列命题： 全等三角形的对应角相等； 等边三角形的三个内角都等于； 若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是直角三角形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 其中逆命题是真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，E、F是ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接DE、BF，则图中共有全等三角形的对数是（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 6．如图所示，平行四边形的对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 7．已知在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．已知平行四边形的面积为12，且的长是方程的两个根．过点A作直线的垂线交于点E，过点A作直线的垂线交于点F，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 9．□中，的角平分线交线段于点，，点是中点，连接，过点作，垂足为，设，若□的面积为8，的长为整数，则整数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 10．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 11．在平行四边形中，若，则的大小为__________（度）． 12．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为______． 13．已知：如图，平行四边形中，对角线相交于点，则的长为___________． 14．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，且，延长与的延长线交于点F，连接． （1）__________； （2）若，则__________． 三、解答题 15．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点． 求证：四边形EGFH是平行四边形． 16．【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） 【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 17．已知：如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．求证：． 18．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，BE＝DF．试判定四边形AECF的形状，并说明理由． 19．如图，中，，，、分别是其角平分线和中线，过点作于，交于，连接，求线段的长． 20．如图，中，对角线、交于点O，点E是上一点，延长至点F，使得，且交于点G，连接． (1)求证：； (2)若垂直平分，，，求的长． 21．如图，四边形中，对角线相交于点O，，且平分，O为的中点．在上取一点G，使，E为垂足，取的中点F，连接．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $