第10讲 矩形（知识详解+13典例分析+习题巩固） 2025-2026学年沪科版八年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 矩形（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】矩形的定义 定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 矩形必须具备两个条件：特别提醒 矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法. (1)它是一个平行四边形； (2)它有一个角是直角. 这两个条件缺一不可. 【知识点02】矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形， 它除了具有平行四边形的所有性质外， 还具有自身独特的性质， 如下表. 性质 数学语言 图形 角 性质1：矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 对角线 性质2： 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD 是矩形，∴ AC=BDOA=OB=OC=OD 拓展：(1)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两组对边中点连线所在的直线. (2)矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 【知识点03】直角三角形斜边上的中线的性质 1.性质 2 的推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 数学语言： 如图 19.3-3，在 Rt △ ABC 中， ∵∠ ACB=90°， AD=BD， ∴ CD= AB (或 CD=AD=BD ) . 说明： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的 . 将矩形沿某条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型 . 2. 直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题(拓展) 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 . 数学语言： 如图 19.3-4，在△ ABC 中， ∵ CD=BD=AD= AB， ∴∠ ACB=90°，即△ ABC 是直角三角形 . 【知识点04】矩形的判定 判定方法 数学语言 图示 角 定义：有一个角是直角的平行四边形 在▱ABCD 中，∵∠ ABC=90°，∴ ▱ABCD 是矩形 定理2：三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中，∵∠ A= ∠ B= ∠ C=90°，∴四边形ABCD 是矩形 对角线 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD 中， ∵ AC=BD， ∴ ▱ABCD 是矩形 【题型一】矩形性质理解 例1．矩形的面积为，周长为，则它的对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形性质理解 【分析】设矩形的长与宽分别为x、y，根据题意列出方程组，再由完全平方公式的变形求得对角线的长． 【详解】解：设矩形的长与宽分别为x、y，根据题意列出方程组得： ， 由②得， 即， ∴， ∴对角线的长为(cm)． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，完全平方公式，掌握勾股定理是解题的关键． 变式1．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则的面积是__________． 【答案】12 【知识点】矩形性质理解 【分析】先证明，，把三角形的面积化为矩形的面积，进而即可求解． 【详解】解：∵D是的中点，四边形是矩形， ∴AD=BD，∠G=∠AFD=90°， 又∵∠ADF=∠BDG， ∴， ∴DF=DG，AF=BG=2， 同理：， ∴EF=EH， ∴GH=2(DF+EF)=2DE=2×3=6， ∴的面积=矩形的面积=2×6=12． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，通过全等三角形的判定，把三角形的面积化为矩形的面积，是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，的网格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)求点C到边的距离； (2)借助网格，利用无刻度直尺画出边上的中线（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】在网格中判断直角三角形、矩形性质理解、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，矩形的性质． （1）利用勾股定理及其逆定理求得是直角三角形且，再利用等积法即可求解； （2）连接格点交于点D，由矩形的性质知点D为于的中点，连接即可． 【详解】（1）解：过点C作交于点E， 由勾股定理知：，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴点C到边的距离为； （2）解：如图，即为所求作的中线． 【题型二】斜边的中线等于斜边的一半 例2．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知中，，点D是的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的判定和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是先通过勾股定理逆定理判断三角形的形状，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解． 先计算三角形三边的平方，通过勾股定理逆定理判断是否为直角三角形；确定直角后，明确为斜边，点D是中点，再根据直角三角形斜边中线的性质求出的长． 【详解】解：因为；；． 所以是直角三角形，且（勾股定理逆定理），为斜边． ∵点D是的中点， ∴在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半，即． 则 故选：D． 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，则的长为___________． 【答案】 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的性质是解题的关键．先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）连接，．由直角三角形中线的性质可得，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证明； （2）由（1）知，再求得，根据勾股定理即可求得的长． 本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接，． ∵，点E是的中点， ∴，． ∴． ∵点F是的中点， ∴． （2）解：由（1）知， 又∵， ∴． ∵，点F为的中点， ∴． ∵， ∴． 【题型三】利用矩形的性质求角度 例3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 变式1．（2024八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，对角线交于点于，若．则的值为_____． 【答案】 【知识点】利用矩形的性质求角度 【分析】根据矩形的性质以及可求得∠BAE，∠DAE的度数，继而根据AE⊥BD，结合含30度角的直角三角形的性质求出DE=3BE，据此即可求得答案． 【详解】∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=90°， ∵，∠BAD=∠BAE+∠DAE， ∴∠BAE=30°，∠DAE=60°， ∵AE⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=90°， ∴∠ADE=90°-60°=30°， 在Rt△ADB中，∠ADB=30°，∴AD=2AB， 在Rt△AEB中，∠BAE=30°，∴AB=2BE， ∴BD=4BE， ∵BD=BE+DE， ∴DE=3BE， ∴=， 故填：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 变式2．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    【答案】 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边对等角 【分析】根据四边形是矩形及平分，可得，从而得出．又由可得，最后得出． 【详解】解：四边形是矩形，平分， ， ． 又， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【题型四】根据矩形的性质求线段长 例4．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，矩形中，，，E为边上一动点，为等边三角形，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】如图所示，取的中点G，连接，，根据题意证明出，得到，点F在射线上运动，当时，有最小值，如图所示，过点A作于点H，勾股定理求出，，得到，证明出四边形是矩形，即可得到的最小值为． 【详解】如图所示，取的中点G，连接， ∵矩形中，， ∴ ∴， ∵点G是的中点 ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴点F在射线上运动 ∴当时，有最小值 如图所示，过点A作于点H ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 例5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在矩形中，是边上一点，分别是上的点，且，且． （1）若，则___________； （2）若，则___________． 【答案】 4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）由得，从而得到， 再由等腰三角形性质求出，在矩形中，，则，从而得到； （2）先证明，设，由三角形全等的性质得，进而求出，再由等腰三角形的判定与性质得到，在中，由勾股定理得列方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 则， ， ， 在矩形中，，则， ， 故答案为：； （2）过作，交延长线于，如图所示： ， 在矩形中，，， , ，且， ， ， ， 设， ， 设，则, ，①， 是的一个外角， ，即，即②， ③， 由①②③可得， 即， 在和中， ， 设， 则，， ， ， ， 在中，由勾股定理得，则， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及矩形性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形性质、三角形内角和定理、三角形全等的判定与性质、外角性质、勾股定理及解方程等知识．熟练掌握矩形性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识是解决问题的关键． 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，将一个半径为的铁丝圆环展开，重新围成一个矩形．若矩形的长为，则矩形的宽是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据题意得出圆的周长，再根据矩形公式进而求得矩形的宽． 【详解】解：∵铁丝圆环得半径为， ∴这根铁丝的周长为， ∴将这根铁丝重新围成一个矩形．若矩形的长为， 则矩形的宽是， 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两端点A，B都在格点（网格线的交点）上． (1)在图1中画一个以为边的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上） (2)在图2中画一个以为对角线的平行四边形（非正方形）．（要求：另外两个顶点也在格点上） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据矩形的性质求线段长、平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据矩形的性质画出图形即可； （2）根据平行四边形的性质画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，矩形即为所求，答案不唯一． （2）解：如图，平行四边即为所求，答案不唯一． 【题型五】根据矩形的性质求面积 例6．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）矩形的对角线长为13，相邻两边长的比为，则它的面积为（   ） A．30 B．60 C．120 D．240 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理．设矩形的相邻两边长分别为，根据勾股定理可得，从而得到矩形的相邻两边长分别为12，5，即可求解． 【详解】解：设矩形的相邻两边长分别为， ∵矩形的对角线长为13， ∴， 解得：， ∴矩形的相邻两边长分别为12，5， ∴它的面积为． 故选：B 例7．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为________． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、二次根式的混合运算 【分析】根据矩形的性质，可求出OD和OA的长度，，，则，根据矩形的性质，即可求出矩形ABCD的面积，矩形ABCD的面积=． 【详解】∵四边形ABCD为矩形， ∴OD=OB=OA=OC=， ∵， ∴， ， ∴， ∵四边形ABCD为矩形， ∴矩形ABCD的面积=， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，熟练地掌握矩形对角线互相平分的性质是解题的关键． 变式1．（22-23八年级下·安徽淮北·月考）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】首先结合矩形的性质证明，得的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，是解决问题的关键． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，过点B作交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若为的中点，连接，且，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求面积、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据平行四边形的性质和条件，证明四边形是平行四边形，再根据垂直得到直角，即可证明出矩形； （2）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据勾股定理求出的长，即可求出面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，. 为延长线上的点，， ，， 四边形是平行四边形. 又， ， 四边形是矩形. （2）解：由（1）知四边形是矩形，， . 为的中点， . 四边形是平行四边形， . ， ． ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 【题型六】利用矩形的性质证明 例8．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图．在矩形中．对角线与相交于点，若是的垂直平分线，且，则的长为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】四边形是矩形， ． 垂直平分， ， ， ． 在中，，，， ． 故选B． 变式1．如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是______（只写序号）． 【答案】①③④ 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据矩形的性质证明，得③正确；证明得出①正确；得出，④正确，过点B作于H，由三角形的面积公式可得，故②错误；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，③正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 过点B作于H， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 故答案为：①③④． 变式2．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图1，在矩形中，已知对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，点为线段上任意一点，求的最小值； (3)如图2，将矩形变形得到平行四边形，直线分别交边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)5 (3) 【知识点】矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据矩形的性质和垂直平分线的定义，易证，即可得出结论； （2）连接交于点，连接，根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质，证明四边形是菱形，得出，进而得到，即当点、、三点共线时，有最小值，利用勾股定理，求出的长即可； （3）过点作交延长线于点，根据平行四边形的性质和折叠的性质，证明，得到，证明是等腰直角三角形，得出，进而得到，设，则，，由勾股定理，求得，即可求出的长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图1，连接交于点，连接， 由（1）可知，， ， 垂直平分， ，， ， 四边形是菱形， 、两点关于对称， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，，， ， 即的最小值为5； （3）解：如图2，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，，， 由折叠的性质可知，，，，， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即， 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作辅助线，掌握特殊四边形的性质是解题关键． 【题型七】矩形与折叠问题 例9．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 变式1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，矩形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为， 若，， 的长是______． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 【答案】（1）3，10（2） 【知识点】矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形和翻折的结合，利用勾股定理解决几何问题，菱形的判定和性质，利用菱形的面积求对角线的长度等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据翻折的性质得出相等的边长，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可得出结果； （2）连接，根据条件证明四边形为菱形，利用菱形的面积即可求出对角线的长度． 【详解】解：（1）由翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ,； ∴； 故答案为：3,10； （2）如图，连接， 由翻折的性质可得，，， ， ∴， ∴, ∴， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴为菱形， ∴，， 又， ∴点在同一条直线上， 同（1）可得，， ， 由够定理得， ， 解得． 【题型八】证明四边形是矩形 例10．（23-24八年级下·安徽六安·月考）如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，熟悉掌握判定的方法是解题的关键． 根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵在平行四边形的基础上，需要加一个角为或对角线相等，才可以证明出矩形， ∴，，均不能判定出为矩形，故A，B，C错误； ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，，则的度数是_____°． 【答案】50 【知识点】利用平行四边形的性质求解、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定，首先根据题意平行四边形是矩形，进而求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形对角线相交于点O，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴． 故答案为：50． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见详解 (2)四边形是矩形 【知识点】三线合一、证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得出，则，可证出结论； （2）由等腰三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形． ∴； （2）证明：，平分， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【题型九】矩形的判定定理理解 例11．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）下列说法中正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】利用矩形的判定定理及矩形的定义进行判断后即可确定本题的答案． 【详解】解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故错误； B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误； C、两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形等，故错误； D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，牢记有关矩形的判定定理及定义是解答本题的关键，属于基础概念题，难度不大． 变式1．已知：线段，，．求作：矩形．    以下是甲同学的作业：       老师说甲同学的作图都正确． 则甲的作图依据是：_________________________________________________； 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理解答． 【详解】解：由作图可知：甲的作图依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故答案为有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 变式2．学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形． 【问题解决】 (1)小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ (2)爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用， （1）由勾股定理逆定理求出，则可得出结论； （2）在边上量取3个相等的小段，记，在边上量取4个相等的小段，记，这时只要量一下是否等于即可． 【详解】（1）解：垂直，理由为： 在中，因为厘米，厘米，厘米， 所以厘米， ， 所以， 所以四边形是矩形； （2）解：在边上量取3个相等的小段，记， 在边上量取4个相等的小段，记，， 这时只要量一下是否等于5个相等的小段，即，即可判断四边形是矩形． 【题型十】添一条件使四边形是矩形 例12．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）添加下列一个条件，能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：当时，平行四边形为菱形，故A选项不符合题意； 当时，平行四边形为矩形，故B选项符合题意； 当时，平行四边形不能判定为矩形，故C选项不符合题意； 当时，平行四边形为菱形，故D选项不符合题意； 故选：D． 变式1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，将线段AB平移至DE，连接AE、AD、EC． （1）求证：AD=EC； （2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）当点D是BC中点时，四边形ADCE是矩形，理由见解析． 【知识点】添一条件使四边形是矩形、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】（1）利用SAS证得△ACD≌△ECD后即可证得AD=EC； （2）当点D是BC中点时，四边形ADCE是矩形；首先证得四边形ADCE是平行四边形，然后证得AD⊥BC即可利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形． 【详解】证明：（1）由平移可得AB∥DE，AB=DE； ∴∠B=∠EDC， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACD，AC=DE， ∴∠EDC=∠ACD， ∵DC=CD， ∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴AD=EC；                                                  （2）当点D是BC中点时，四边形ADCE是矩形． 理由如下：∵AB=AC，点D是BC中点， ∴BD=DC，AD⊥BC， 由平移性质可知 四边形ABDE是平行四边形， ∴AE=BD，AE∥BD， ∴AE=DC，AE∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AD⊥BC， ∴四边形ADCE是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，能够正确的结合图形理解题意是解答本题的关键． 【题型十一】根据矩形的性质与判定求角度 例13．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 【详解】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， 故选D． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键． 变式1．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【答案】60 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 变式2．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求角度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 【题型十二】根据矩形的性质与判定求线段长 例14．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交延长线于点E，证明出四边形是矩形，得到，，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于点E ∵，， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在中，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点E，于点F． （1）四边形的形状是_____； （2）若，，连接，则的最小值为_____． 【答案】 矩形 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识点，掌握矩形的判定与性质成为解题的关键． （1）说明即可证明结论； （2）如图：连接，由矩形的性质可得，根据垂线段最短和等面积法求得的最小值即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． （2）如图，连接． 在中，，， 由勾股定理，得． 当时，的值最小，此时． 又∵四边形是矩形， ∴，即的最小值为． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是想利用所学数学知识来解决此问题．通过勘测，得到如下记录表： 模型抽象 测绘数据 ①测得放风筝的手到地面的距离为米； ②测出放风筝的手到铅垂线的水平距离为米； ③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线的长为米． 相关说明 点，，，，在同一平面内，直线表示水平地面． 请你根据记录表信息，完成下面的任务： (1)①点离地面的垂直高度________米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)如果想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则放风筝的同学需再放出多少米的风筝拉线？ 【答案】(1)①；②线段的长为米 (2)需再放出米线 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）①根据矩形的判定，可得米； ②利用勾股定理求出的长，根据即可求解； （2）先根据题意求出米，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意，得：， 四边形是矩形， 米； ②由题意，得：米，，米， 在中，， ， 米． （2）解：风筝沿方向再上升米后， 米， 此时风箏线的长为米， 风箏应该再放出线的长度为米， 答：需再放出米线． 【题型十三】根据矩形的性质与判定求面积 例15．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为__________； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________． 【答案】 12 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形的性质、根据矩形的性质与判定求面积、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】解∶（1）∵，是的中点， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点M作于点N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 故答案为：12 变式2．（2024八年级下·安徽池州·期末）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F． (1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由． (2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系 (3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）连接，设点到的距离为，利用勾股定理求出，由等面积法求出得，由建立等式再化简即可得到； （2）连接，设点到的距离为，由（1）得，同样利用等面积法，即，即可求解； （3）连接、，由，建立等式，进行化简整理即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图1， 设点到的距离为． 在中，， 由，得． 四边形是矩形， ， 由，得， ， 化简得， （2）解：，理由见解析， 连接，如下图： 设点到的距离为， 由（1）得， ， ， ， 故答案为：． （3）解：，理由如下： 连接、，如图． 由， ， 化简得，即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是能够根据两种方法表示图形面积，利用等面积法求解． 一、单选题 1．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 2．下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与矩形的判定，熟练掌握平行四边形及矩形的判定定理是解题的关键． 先判断各选项是否为平行四边形，再依据矩形的判定定理逐一验证，从而确定不一定为矩形的选项． 【详解】解：选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． 由于无直角条件，所以无法判定为矩形． 选项： ∵四边形中有三个角是直角，四边形内角和为， ∴第四个角也是直角． ∴四边形是矩形． 选项： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． 选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形是矩形． 故选：． 3．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据矩形的对角线相等且互相平分得，， 再根据得，则是等边三角形，由此得，即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 5．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 6．的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出． 先由勾股定理的逆定理判定，再根据中位线定理判定四边形是矩形且求出的长，最后根据直角三角形的面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示．不妨设中，，点分别是的中点．    ∵， ∴是直角三角形． ∴． ∵点分别是的中点． ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是矩形．则， ∵DE、DF分别是△ABC的中位线， ∴， 于是在中，． 故选：B． 7．如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和直角三角形两锐角互余可求出的度数，再由折叠的性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得． 8．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．如图，在中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质，易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴的周长为． 10．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出①正确； ②求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确； ③求出，，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出③正确； ④利用全等三角形的性质得到，利用矩形的性质和证明，证明得到，然后结合，可得，判断出④正确； ⑤判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到⑤错误． 【详解】解：∵在矩形中，平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵在矩形中，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，所以④正确； ∵，， ∴不是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，故⑤错误； 综上所述：结论正确的是①②③④，共4个． 二、填空题 11．在矩形中，对角线交于点O，若，则的长为_______． 【答案】7 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，可得，代入的长度即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 【答案】6 【分析】利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形． 13．如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：45． 14．如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 【答案】/55度 【分析】首先由矩形的性质得到，，由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴． 15．如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为_____． 【答案】6 【分析】先利用矩形性质得到及，再根据折叠性质得到、、，计算出的长；接着在中用勾股定理求出的长；最后设，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， 是翻折而成， ，，， ，∠EFC=90°， 在中，由勾股定理得： ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： 即， 解得． 16．如图，在矩形中，，，现有一动点P以的速度从点A出发，沿矩形的边运动，点P返回到点A时停止运动．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质。全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分情况求解t的值是解题的关键．若点P在上，则，证明，可得，即可求得答案；若点P在上，则，即可求得答案；若点P在上，则，即可求得答案． 【详解】解：若点P在上， 当是等腰三角形时，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ； 若点P在上， 当是等腰三角形时，， ， ， ； 若点P在上， 当是等腰三角形时，， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或或． 故答案为：或或． 17．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 18．如图，在中，是边上的高，点E是的中点，若，，且，则的长是________． 【答案】 【分析】先根据高的定义以及勾股定理可得，进而得到，然后运用勾股定理可得，最后根据直角三角形的性质可得，进而完成解答． 【详解】解：∵在中，是边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴． 三、解答题 19．如图，某居民小区有一长方形土地，物业想在该长方形土地内修建宽度相等的小路（阴影部分），剩余部分是草坪．若小路的宽为，则草坪部分的面积为多少平方米？ 【答案】． 【分析】本题考查了平移的概念和性质，熟练掌握平移相关内容是解题的关键； 通过平移将土地内的小路变成“L”形，然后计算出草坪的长和宽就能计算出草坪的面积． 【详解】解：如图，通过平移可将小路转化为“”形图案， 则草坪部分转化为宽为，长为的长方形， 草坪部分的面积． 20．如图，矩形的两条对角线、相交于点，，．求矩形边的长？ 【答案】 【分析】根据矩形的性质可以证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可知，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：， ， 四边形是矩形， ，， 是等边三角形， ， ， ， ． 21．如图，四边形为矩形，延长至E，使，连接交于点G，交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再利用判定，得到，再根据三角形内角和定理得到，即可证明； （2）过点作交于点，利用判定，得到，，利用勾股定理得到，最后利用线段的和差以及等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作交于点， 则， ∴， ∴，即， 由（1）得，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即． 22．如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）选一个条件即可； （2）先由平行四边形的性质得到，证明，得到，根据平行线的性质得到，即，即可证明为矩形． 【详解】（1）解：添加的条件是①， 故答案为：①（答案不唯一）； （2）证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ． 又， ， 为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23．如图，工人王师傅在制作矩形木框时分①、②、③、④四个步骤进行． ①先截出两对符合规格（每对的长度相等）的等宽木条； ②将步骤①中的木条首尾相接钉成②中的四边形木框； ③将直角工具紧靠四边形木框的一个角，调整木框的边框； ④将木框的边框调整至直角工具的两条边与木框无缝隙时停止． (1)步骤②中四边形是平行四边形吗？并说明理由； (2)上述四个步骤结束时，判断王师傅制作的木框是否为矩形，并说明判断依据． 【答案】(1)步骤②中四边形是平行四边形，理由见解析； (2)四个步骤结束时，王师傅制作的木框为矩形，判断依据见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理． （1）根据平行四边形的判定定理，可得四边形的形状； （2）由平行四边形的性质可知对边平行，根据平行线的性质，结合已知可得四边形的内角，根据矩形的判定定理，可得四边形的形状． 【详解】（1）解：步骤②中四边形是平行四边形， 理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 答：步骤②中四边形是平行四边形． （2）解：四个步骤结束时，王师傅制作的木框为矩形， 判断依据： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵步骤④中，， ∴，， ∴四边形为矩形， 答：四个步骤结束时，王师傅制作的木框为矩形． 24．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 25．如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． (3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到，，然后根据角平分线的定义得到， ，进而得到，根据三个角都是直角的四边形是矩形即可证明结论； （2）根据勾股定理求出长，然后根据矩形的性质得到，然后根据勾股定理求出长解答即可； （3）取的中点即可，连接与交于点，根据矩形的对角线互相平分即可得解． 【详解】（1）证明：，是的角平分线， ，，， 是的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， ， 四边形是矩形， ，， ． （3）解：如图所示，连接与交于点，连接，则即为所求． 四边形是矩形， ，即是的中点， 是的中线， 平分面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 矩形（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】矩形的定义 定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 矩形必须具备两个条件：特别提醒 矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法. (1)它是一个平行四边形； (2)它有一个角是直角. 这两个条件缺一不可. 【知识点02】矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形， 它除了具有平行四边形的所有性质外， 还具有自身独特的性质， 如下表. 性质 数学语言 图形 角 性质1：矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 对角线 性质2： 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD 是矩形，∴ AC=BDOA=OB=OC=OD 拓展：(1)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两组对边中点连线所在的直线. (2)矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 【知识点03】直角三角形斜边上的中线的性质 1.性质 2 的推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 数学语言： 如图 19.3-3，在 Rt △ ABC 中， ∵∠ ACB=90°， AD=BD， ∴ CD= AB (或 CD=AD=BD ) . 说明： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的 . 将矩形沿某条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型 . 2. 直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题(拓展) 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 . 数学语言： 如图 19.3-4，在△ ABC 中， ∵ CD=BD=AD= AB， ∴∠ ACB=90°，即△ ABC 是直角三角形 . 【知识点04】矩形的判定 判定方法 数学语言 图示 角 定义：有一个角是直角的平行四边形 在▱ABCD 中，∵∠ ABC=90°，∴ ▱ABCD 是矩形 定理2：三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中，∵∠ A= ∠ B= ∠ C=90°，∴四边形ABCD 是矩形 对角线 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD 中， ∵ AC=BD， ∴ ▱ABCD 是矩形 【题型一】矩形性质理解 例1．矩形的面积为，周长为，则它的对角线长为（    ） A． B． C． D． 变式1．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则的面积是__________． 变式2．（24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，的网格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)求点C到边的距离； (2)借助网格，利用无刻度直尺画出边上的中线（保留作图痕迹）． 【题型二】斜边的中线等于斜边的一半 例2．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知中，，点D是的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，则的长为___________． 变式2．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，连接． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【题型三】利用矩形的性质求角度 例3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，对角线交于点于，若．则的值为_____． 变式2．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    【题型四】根据矩形的性质求线段长 例4．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，矩形中，，，E为边上一动点，为等边三角形，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 例5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在矩形中，是边上一点，分别是上的点，且，且． （1）若，则___________； （2）若，则___________． 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，将一个半径为的铁丝圆环展开，重新围成一个矩形．若矩形的长为，则矩形的宽是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两端点A，B都在格点（网格线的交点）上． (1)在图1中画一个以为边的矩形；（要求：另外两个顶点也在格点上） (2)在图2中画一个以为对角线的平行四边形（非正方形）．（要求：另外两个顶点也在格点上） 【题型五】根据矩形的性质求面积 例6．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）矩形的对角线长为13，相邻两边长的比为，则它的面积为（   ） A．30 B．60 C．120 D．240 例7．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作，交AD于点E，过点E作，垂足为F，，，，则矩形ABCD的面积为________． 变式1．（22-23八年级下·安徽淮北·月考）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A．2 B．3 C．4 D．5 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平行四边形中，过点B作交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若为的中点，连接，且，求平行四边形的面积． 【题型六】利用矩形的性质证明 例8．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图．在矩形中．对角线与相交于点，若是的垂直平分线，且，则的长为（    ） A． B． C．6 D．3 变式1．如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是______（只写序号）． 变式2．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图1，在矩形中，已知对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，点为线段上任意一点，求的最小值； (3)如图2，将矩形变形得到平行四边形，直线分别交边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，，求的长． 【题型七】矩形与折叠问题 例9．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，矩形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为， 若，， 的长是______． 变式2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 【题型八】证明四边形是矩形 例10．（23-24八年级下·安徽六安·月考）如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，，则的度数是_____°． 变式2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【题型九】矩形的判定定理理解 例11．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）下列说法中正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 变式1．已知：线段，，．求作：矩形．    以下是甲同学的作业：       老师说甲同学的作图都正确． 则甲的作图依据是：_________________________________________________； 变式2．学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形． 【问题解决】 (1)小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ (2)爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 【题型十】添一条件使四边形是矩形 例12．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）添加下列一个条件，能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，将线段AB平移至DE，连接AE、AD、EC． （1）求证：AD=EC； （2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由． 【题型十一】根据矩形的性质与判定求角度 例13．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 变式1．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    变式2．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【题型十二】根据矩形的性质与判定求线段长 例14．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 变式1．（24-25八年级下·安徽淮南·月考）如图，在中，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点E，于点F． （1）四边形的形状是_____； （2）若，，连接，则的最小值为_____． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）清明节假期，八年级数学兴趣小组的同学来到城区广场放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是想利用所学数学知识来解决此问题．通过勘测，得到如下记录表： 模型抽象 测绘数据 ①测得放风筝的手到地面的距离为米； ②测出放风筝的手到铅垂线的水平距离为米； ③通过手中剩余线的长度，计算出了风筝拉线的长为米． 相关说明 点，，，，在同一平面内，直线表示水平地面． 请你根据记录表信息，完成下面的任务： (1)①点离地面的垂直高度________米； ②求风筝离地面的垂直高度； (2)如果想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则放风筝的同学需再放出多少米的风筝拉线？ 【题型十三】根据矩形的性质与判定求面积 例15．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为__________； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________． 变式2．（2024八年级下·安徽池州·期末）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F． (1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由． (2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系 (3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程． 一、单选题 1．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 2．下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 6．的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 7．如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．在矩形中，对角线交于点O，若，则的长为_______． 12．如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 13．如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 14．如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 15．如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为_____． 16．如图，在矩形中，，，现有一动点P以的速度从点A出发，沿矩形的边运动，点P返回到点A时停止运动．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为_____． 17．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 18．如图，在中，是边上的高，点E是的中点，若，，且，则的长是________． 三、解答题 19．如图，某居民小区有一长方形土地，物业想在该长方形土地内修建宽度相等的小路（阴影部分），剩余部分是草坪．若小路的宽为，则草坪部分的面积为多少平方米？ 20．如图，矩形的两条对角线、相交于点，，．求矩形边的长？ 21．如图，四边形为矩形，延长至E，使，连接交于点G，交于点F，且． (1)求证：； (2)求证：． 22．如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 23．如图，工人王师傅在制作矩形木框时分①、②、③、④四个步骤进行． ①先截出两对符合规格（每对的长度相等）的等宽木条； ②将步骤①中的木条首尾相接钉成②中的四边形木框； ③将直角工具紧靠四边形木框的一个角，调整木框的边框； ④将木框的边框调整至直角工具的两条边与木框无缝隙时停止． (1)步骤②中四边形是平行四边形吗？并说明理由； (2)上述四个步骤结束时，判断王师傅制作的木框是否为矩形，并说明判断依据． 24．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 25．如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． (3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线. 1 学科网（北京）股份有限公司 $