专题05平行四边形期末复习讲义 (18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题05平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记平行四边形定义，熟记边、角、对角线、对称性四大性质。 2.吃透 5 种判定方法，分清什么时候用边、角、对角线判定。 3.掌握平行线间距离特点，会算平行四边形周长与面积。 4.熟练掌握三角形中位线定理，吃透平行、长度一半两大特征。 1.基础：快速搞定边长、角度、周长、面积类计算题。 2.证明：灵活挑选判定定理，规范书写几何证明题。 3.综合：结合全等三角形、中位线解决中档几何大题。 4.拓展：会做平面直角坐标系里的平行四边形题型。 1.选择填空：秒杀基础概念、性质辨析、简单计算，零失误。 2.解答题：精准区分性质和判定，答题格式标准不扣分。 3.压轴题：能结合三角形知识，破解平行四边形综合题型，避开常见陷阱。 题型01.利用平行四边形的性质求解 题型02.利用平行四边形的性质证明 题型03.平行四边形性质的应用 题型04.求平行线间的距离 题型05.利用平行线间距离解决问题 题型06.判断能否构成平行四边形 题型07.添条件成为平行四边形 题型08.数图形中平行四边形的个数 题型09.三点构成平行四边形找点问题 题型10.证明四边形是平行四边形 题型11.全等三角形拼平行四边形问题 题型12.平行四边形性质与判定求解 题型13.平行四边形性质与判定证明 题型14.平行四边形性质与判定应用 题型15.平行四边形中的折叠问题 题型16.三角形中位线求解问题 题型17.三角形中位线证明问题 题型18.三角形中位线的实际应用 知识点01:平行四边形的基本概念 4.基本要素 4 条边、4 个内角、2 条对角线；属于中心对称图形。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 图示 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 图示 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:平行线间的距离（课本拓展知识点） 1. 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度，叫做两条平行线间的距离。 2. 核心性质 (1)两条平行线间的距离处处相等； (2)夹在两条平行线间的平行线段相等； (3)等底等高的平行四边形，面积相等。 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点05:三角形的中位线（本节重难点，综合题必考） 1. 定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 一个三角形有3 条中位线； 区分：中位线两端都是中点；中线一端中点、一端顶点。 2. 三角形中位线定理 题型01.利用平行四边形的性质求解 1．如图，的对角线，相交于点O．若，且的周长比的周长短4，则______． 【答案】6 【分析】证明，再利用周长差建立方程求解即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ． 的周长比的周长短4， ， ， ． 2．如图，的对角线、相交于点，若，，则的长可能是（    ） A．7 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，得到，，再利用三角形三边关系求的范围即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， 根据三角形三边关系可得 ∴ ∴得 ． 选项中只有满足，因此的长可能是． 3．如图，在中，，，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若平分，则的长为 ______ 【答案】 【分析】过点B作交于H点，过点B作，交的延长线于G，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质可知，，根据勾股定理可知，，再由线段的和差关系可知，即可求解． 【详解】 解：过点B作于H点，过B作，交的延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴, ∴， ∵， ∴中， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在平行四边形中，平分，已知，，． (1)求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明，再根据平行四边形的性质求解即可； （2）先由勾股定理逆定理证明，再由直角三角形的性质以及平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 ，， 平分 ； （2）解：，， 是直角三角形，且． ， 题型02.利用平行四边形的性质证明 5．在中，，平分交于点，平分交于点，若，则的长为_______． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的，分类讨论，当角平分线与相交；当角平分线与不相交；图形结合分析，即可求解． 【详解】解：①如图所示，角平分线与相交于点，      ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， 同理可得，是等腰三角形，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，则， ∵， ∴，且， ∴，即； ②如图所示，角平分线与不相交，    证明方法同上，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． 6．如图，在中，，点、、分别在、、上，平分．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，可得，再由平分，可得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在中，点，分别在边，上，且，连接，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由平行四边形的性质可得，，则，结合可得．由，可得，进而可证明，则，因此． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 题型03.平行四边形性质的应用 8．如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 【答案】48 【分析】利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：种植鲜花的面积为 ． 故答案为：48 【点睛】本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 9．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 10．如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或8或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得，可求解； （3）利用平行四边形的性质，分类讨论可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可得： 当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时四边形是中心对称图形， ∵， ∴， 当点Q没有到达点B时， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， 当点Q到达点C后，返回时， ∴， 当点Q第二次到达点B后， 综上所述：t的值为或8或 题型04.求平行线间的距离 11．如图，在梯形中，，点是边的中点，连接、、，请写出一个三角形和的面积相等：_____．（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】根据题意可得两点到的距离相等，根据三角形的面积公式确定相等的底和高即可求解． 【详解】解：在梯形中，，可得两点到的距离相等， 点是边的中点，则， 则和的面积相等的三角形有、， 故答案为：（或） 12．如图，已知直线，直线l分别与a、b、c相交于点A、B、C，且．若，则直线a、c之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，若一条直线垂直于平行线中的一条，则它也垂直于其余平行线，从而确定直线l 是直线 a、b、c的公垂线，进而得出直线 a、c 之间的距离即为线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，（在同一平面内，垂直于平行线中一条直线的直线必垂直于其余直线）． ∴ 线段 的长度即为直线 a、c 之间的距离． ∵ 点 A、B、C 在直线 l 上，且， ∴， ∴ 直线 a、c之间的距离为． 13．综合实践：按照要求测量木料之间的距离． A．木料特征：如图①是一块木料，其中两边m和n相互平行． B．测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边m和n之间的垂直距离． C．测量工具：如图②是一把刻度尺．（刻度尺两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角）． Ｄ．测量方法及求解过程． 小庄利用所提供的测量工具，设计一种测量木料之间的距离的方案．如图③所示， 步骤一：在平行线边m，n上分别取点A，B，连接，并测量， 步骤二：在线段上取中点C，使得 步骤三：作交边n于点D，连接． 步骤四：测量． 请根据小庄提供的测量步骤写出求解过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理等知识，由测量得，由等边对等角得出，，由三角形内角和定理得出，进而得出，即，则这块木料平行边m，n之间的距离为． 【详解】解：求解过程：由测量得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴这块木料平行边m，n之间的距离为． 题型05.利用平行线间距离解决问题 14．如图，，，的面积是8，则四边形的面积是________． 【答案】20 【分析】根据两平行线间的距离相等，可得，进而得到，然后由即可求解． 【详解】解：， 点到的距离与点到的距离相等， 即底边上的高与底边上的高相等， 又， ， ， ． 15．如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 【答案】9 【分析】根据平行线间间距相等得到，据此得到的面积为6，则四边形的面积为． 【详解】解：直线， ， 的面积为3， 的面积为6， 四边形的面积为． 16．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，，证明，，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】如图，过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，， ∴， ∵． ∴，， ∵，． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积， ． 17．如图，在平行四边形中，、两点分别在、边上，，连接，分别交于，两点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线间的距离相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； （1）连接，，根据平行线间的距离相等可得的面积的面积，根据四边形是平行四边形，得出，根据平行线间的距离相等得出的面积的面积，的面积的面积，即可得证； （2）过作于，过作于，根据的面积的面积的面积的面积，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：连接，， ， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积的面积，的面积的面积， ∴； （2）证明：过作于，过作于， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴． 题型06.判断能否构成平行四边形 18．四边形中， ， 要使四边形矩形还需满足的条件可以为__________（只需填一个你认为合适的条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据， ，可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定条件即可解答． 【详解】解：， ， 四边形为平行四边形， 要使得平行四边形为矩形， 可以根据有一个角为直角的平行四边形是矩形， 得到还需满足的条件为， 故答案为：．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，解答此题的关键是熟知有一个角为直角的平行四边形为矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 19．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意； D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 20．如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）． 【答案】①② 【分析】①根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，,． ①， ∴， ∴． ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 故①正确； ②∵， ∴， ， ∴， ∴． 同理可得： ∵， 四边形是平行四边形． 故②正确； ③经过点O，，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形， 故③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 21．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析； 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，通过选定组合②③，利用三角形全等，即可得到平行四边形判定的条件，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】证明如下：选择②③ ， ， 且满足，， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． 题型07.添条件成为平行四边形 22．已知，要使四边形是平行四边形，需要添加的条件可以是______．（只需填一个你认为正确的即可） 【答案】 或 【分析】本题根据四边形中一组对边，添加符合判定定理的条件即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 或，， 四边形是平行四边形． 23．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，符合题意． 24．在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析各选项，找出不能判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：如图， A选项，由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也满足该条件，故此选项符合题意； B选项，∵，，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形两组对边分别平行，因此是平行四边形，故此选项不符合题意； D选项，∵，，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 题型08.数图形中平行四边形的个数 25．用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是______． 【答案】3个 【分析】本题结合图形的拼接考查了平行四边形的判定，两个全等的三角形能拼成一个平行四边形． 分别以不同的三边为对角线，则可以得到三种不同的平行四边形． 【详解】 解：如图所示： 故答案为：3个． 26．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 27．如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 题型09.三点构成平行四边形找点问题 28．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________． 【答案】 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置． 【详解】解：由图可知，满足条件的点D坐标为 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 29．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 30．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：以分别为对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，由中点坐标公式列方程求解；以为对角线时；以为对角线时；以为对角线时． 【详解】解：设点的坐标为, ①若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， ②若四边形为平行四边形， 则对角线与互相平分， ， 解得， ， ③若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， 综上所述点坐标为或或． 故答案为：． 题型10.证明四边形是平行四边形 31．如图，A、D、B、F在一条直线上，，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明，得到，进而得到，即可得证. 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 32．如图，已知四边形是平行四边形，（）． (1)求证三角形与三角形全等； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先由平行四边形得到，再由证明即可； （2）根据全等三角形的性质证明即可； （3）由四边形是平行四边形，得到，则，由等腰三角形的性质得到，，那么由三角形外角性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴； （2）证明：∵ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴． 33．如图，在四边形中，，对角线，与相交于点于点于点，且． (1)求证：①；②四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2) 【分析】（1）①利用垂直的定义推出，根据平行线性质推出，再结合全等三角形判定定理，即可证明； ②利用全等三角形性质推出，再结合平行四边形判定定理，即可证明四边形是平行四边形． （2）利用等腰三角形性质推出，结合平行四边形性质进而推出， 利用勾股定理求出，进而即可求出的长． 解题的关键在于熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形性质． 【详解】（1）证明：①于点于点， ， ， ， ， ； ②， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， 同理可得， ， ， ， ． 题型11.全等三角形拼平行四边形问题 34．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 35．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 【答案】． 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 36．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 题型12.平行四边形性质与判定求解 37．如图，中，．将沿方向向右平移得到．若阴影部分的面积为8，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质和平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 在中，根据直角三角形的性质可得，再由平移的性质可得，从而得到四边形是平行四边形，再由平行四边形的面积公式解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将沿方向向右平移得到， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵阴影部分的面积为8， ∴， ∴． 38．已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点，可得与同底同高，与同底同高，由此即可求解．掌握平行四边形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：与之间的关系∶． 理由：如图，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 即． 39．如图，在中，，，．点P在上由点B向点C出发，速度为每秒；点Q在边上，同时由点D向点A运动，速度为每秒．当点P运动到点C时，点P，Q同时停止运动．连接，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当t为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？求出此时的度数． (3)连接，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，的值为或或 【分析】（1）由运动得，，当时，可得，由平行四边形的判定方法即可求解； （2）过作交于，由直角三角形的特征得，由梯形的面积和平行四边形的面积得，，即可求出，可判断此时与重合，为的中点，，由等腰三角形的性质即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时， ③当时；即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ，， 当时， 解得， 当时，， 四边形为平行四边形； 故当时，四边形为平行四边形； （2）解：过作交于， ，， ， 由（1）得，， ， ， ， 解得：， 故当时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三； ， ， 此时与重合，为的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ； （3）解：存在； ①当时， ， 解得：； ②当时， 过作交于， ， ， ， ， ， 解得； ③当时， 过作交于， ， ， ， ， ； 综上所述：当的值为或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征等；能根据等腰三角形的腰不同进行分类讨论进行求解是解题的关键． 题型13.平行四边形性质与判定证明 40．如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先得出，再证出四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 41．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形，都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 42．已知：中，，如图所示，现将沿所在直线平移至，使，点D为上一点，且，连接与交于点P，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平移的性质可得，且，同时，，再利用平行线的性质、角的和差以及“边角边”即可证明结论； （2）如图：设与相交于G，先根据全等三角形的性质、平行线的判定与性质可证明是等腰直角三角形可得，最后利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵将沿所在直线平移至， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴ ∵，， ∴． 又∵． ∴． （2）解：如图：设与相交于G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 题型14.平行四边形性质与判定应用 43．如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由平移性质可证明四边形为平行四边形，则可证面积为面积的一半，则题目可求． 【详解】解：∵将沿直线方向平移到的位置， ， ∴四边形为平行四边形， 与同底等高， ， ， ． 故答案为：1． 44．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 45．数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 【答案】(1)甲同学正确、乙两位同学有问题，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行判断即可； （2）取平行四边形对角线也就是的中点，过作直线交于点，交于点，使，连接，即可得到答案． 【详解】（1）解：甲同学：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 由题意可得， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 乙同学：以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 与可能有两个交点，故无法进行判断； （2）解：取平行四边形对角线也就是的中点， 在上任取一点G，连接，；以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H，保证，使得， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， ， ， 则四边形是平行四边形且． 题型15.平行四边形中的折叠问题 46．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 【答案】 6 【分析】根据折叠得到，因为，可得，所以，进一步将线段转化即可求得． 【详解】解：将一张平行四边形纸片折叠，折痕为， ，， ， ， ， ， 周长为 ， 即 ． 47．将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 【答案】6 【分析】由题意易得，，则有，然后通过折叠的性质可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． 由第一次折叠可得， ∴， ∴． 由第二次折叠可得， ∴， ∴． ， ∴， ∴． ， ∴． ， ∴， ∴． 48．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（    ） A．四边形不是平行四边形 B． C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是 D．若，则点E到的距离为1 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得，，结合四边形是平行四边形，得到，，，继而得到，得到得到，得到；，继而得到，可判定四边形是平行四边形；根据平行四边形的面积是8，四边形的面积为y，四边形的面积为x，得到，根据折叠的性质，得到，从而得到；根据，结合平行四边形的面积是8，得到四边形等于，设点E到的距离为h，则，解得，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质、折叠的性质以及图形面积表示等知识． 【详解】根据折叠的性质，得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∴；， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故A，B都错误； ∵平行四边形的面积是8，四边形的面积为y，四边形的面积为x， ∴，根据折叠的性质，得到， ∴； 故C正确； ∴，平行四边形的面积是8， ∴四边形等于， 设点E到的距离为h， 则 ， 解得， 故D错误． 故选C． 49．如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠（在边的上方）得到四边形．        (1)连接交于点O，连接． ①求证：． ②如图2，连接交于点H，若，求的长． (2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)或或 【分析】（1）①根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论； ②过D作于G，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到结论； （2）当在边上时，过D作，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到；当C在边上时，设，交于H，连接，根据折叠的性质得到，，，故是中位线，求得，根据等腰直角三角形 的性质得到；当点与点A重合时，过A作于H，求得，根据勾股定理得到． 【详解】（1）解：在中，，， ， 即， ， ，， ， ； ②过D作于点G，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， 在中，， 根据解析①可得：， ∴， 由折叠可知．， 又， 是的中位线， ， 是的中垂线， ； （2）解：当在边上时（图1）， 由折叠可知，根据解析（1）可得：，， 过D作， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据解析（1）可得：， ， 由折叠，； 当在边上时（图2）， 由折叠，，， 又，故是中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 当与A重合时（图3）， 过点A作， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 综上所述，或或． 题型16.三角形中位线求解问题. 50．如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉杆，D，E分别是、的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______． 【答案】60 【分析】连接，根据三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵D，E分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， 即B、C两点之间的距离为． 51．如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先推导出，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴． 52．如图，在梯形中，，延长到点，使，连接，交于点．若是的中点，且，，求的长． 【答案】 【分析】容易证明，则点为的中点，由中位线的性质可得，因此． 【详解】解：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即点为的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 题型17.三角形中位线证明问题 53．如图，在平行四边形中，，点分别为中点，，，则_________． 【答案】 【分析】过点A作，交延长线于点F，连接，说明四边形是矩形，可得，再根据勾股定理求出，然后证明，可得，进而说明，接下来可知是的中位线，最后根据三角形中位线的性质得出答案． 【详解】解：过点A作，交延长线于点F，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． ∵ ∴， ∴ ∵点G是的中点， ∴， ∴， 即． ∵点H是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的定义和性质，作出辅助线构造三角中位线是解题的关键． 54．如图，在中，，分别是，的中点，甲、乙两名同学分别作了一种辅助线，其中辅助线作法能证明三角形的中位线定理的是（    ） 甲 乙 如图，延长到点，使，连接，，． 如图，过点作，过点作，与交于点． A．甲、乙的辅助线作法都可以 B．甲、乙的辅助线作法都不可以 C．甲的辅助线作法可以，乙的不可以 D．乙的辅助线作法可以，甲的不可以 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理，用两种方法都可以证明三角形中位线定理，得到答案． 【详解】解：甲的作法：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴，，能够用来证明三角形中位线定理； 乙的作法：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，能够用来证明三角形中位线定理， 故选：A． 55．如图，在中，是一条中位线，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由即可证明结论； （2）由平行四边形对边相等得到，再由三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中位线， ∴． 题型18.三角形中位线的实际应用 56．如图，要测量池塘的两端点之间的距离，在外选一点，连接，并分别确定它们的中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分别为中点， ∴是的中位线， ∴． 57．要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段，，并取，的中点D，E，连结．只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由． 【答案】这种说法正确，理由见解析 【分析】连接，根据三角形的中位线定理，得出，再判断即可． 【详解】这种说法正确，理由如下： 连接， ，的中点为D，E， 是的中位线， ， 只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离， 所以，这个说法是正确的． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 58．在中，为的中点，分别延长，到点，，使；过，分别作，的垂线，相交于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取、的中点M、N，并连接、、、．根据直角三角形斜边中线性质易得，进而证明． 【详解】解：如图，分别取、的中点M、N，并连接、、、． ∵为的中点， ∴，，，， ， ∵M、N分别为直角三角形斜边的中点， ，， ， ∴， ， ， ∴、为顶角相等的等腰三角形， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是正确做出辅助线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记平行四边形定义，熟记边、角、对角线、对称性四大性质。 2.吃透 5 种判定方法，分清什么时候用边、角、对角线判定。 3.掌握平行线间距离特点，会算平行四边形周长与面积。 4.熟练掌握三角形中位线定理，吃透平行、长度一半两大特征。 1.基础：快速搞定边长、角度、周长、面积类计算题。 2.证明：灵活挑选判定定理，规范书写几何证明题。 3.综合：结合全等三角形、中位线解决中档几何大题。 4.拓展：会做平面直角坐标系里的平行四边形题型。 1.选择填空：秒杀基础概念、性质辨析、简单计算，零失误。 2.解答题：精准区分性质和判定，答题格式标准不扣分。 3.压轴题：能结合三角形知识，破解平行四边形综合题型，避开常见陷阱。 题型01.利用平行四边形的性质求解 题型02.利用平行四边形的性质证明 题型03.平行四边形性质的应用 题型04.求平行线间的距离 题型05.利用平行线间距离解决问题 题型06.判断能否构成平行四边形 题型07.添条件成为平行四边形 题型08.数图形中平行四边形的个数 题型09.三点构成平行四边形找点问题 题型10.证明四边形是平行四边形 题型11.全等三角形拼平行四边形问题 题型12.平行四边形性质与判定求解 题型13.平行四边形性质与判定证明 题型14.平行四边形性质与判定应用 题型15.平行四边形中的折叠问题 题型16.三角形中位线求解问题 题型17.三角形中位线证明问题 题型18.三角形中位线的实际应用 知识点01:平行四边形的基本概念 4.基本要素 4 条边、4 个内角、2 条对角线；属于中心对称图形。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 图示 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 图示 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:平行线间的距离（课本拓展知识点） 1. 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度，叫做两条平行线间的距离。 2. 核心性质 (1)两条平行线间的距离处处相等； (2)夹在两条平行线间的平行线段相等； (3)等底等高的平行四边形，面积相等。 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点05:三角形的中位线（本节重难点，综合题必考） 1. 定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 一个三角形有3 条中位线； 区分：中位线两端都是中点；中线一端中点、一端顶点。 2. 三角形中位线定理 题型01.利用平行四边形的性质求解 1．如图，的对角线，相交于点O．若，且的周长比的周长短4，则______． 2．如图，的对角线、相交于点，若，，则的长可能是（    ） A．7 B．10 C．12 D．16 3．如图，在中，，，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若平分，则的长为 ______ 4．如图，在平行四边形中，平分，已知，，． (1)求的长； (2)若，求． 题型02.利用平行四边形的性质证明 5．在中，，平分交于点，平分交于点，若，则的长为_______． 6．如图，在中，，点、、分别在、、上，平分．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点，分别在边，上，且，连接，，，垂足分别为，．求证：． 题型03.平行四边形性质的应用 8．如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2． 9．如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 题型04.求平行线间的距离 11．如图，在梯形中，，点是边的中点，连接、、，请写出一个三角形和的面积相等：_____．（写出一个即可） 12．如图，已知直线，直线l分别与a、b、c相交于点A、B、C，且．若，则直线a、c之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 13．综合实践：按照要求测量木料之间的距离． A．木料特征：如图①是一块木料，其中两边m和n相互平行． B．测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边m和n之间的垂直距离． C．测量工具：如图②是一把刻度尺．（刻度尺两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角）． Ｄ．测量方法及求解过程． 小庄利用所提供的测量工具，设计一种测量木料之间的距离的方案．如图③所示， 步骤一：在平行线边m，n上分别取点A，B，连接，并测量， 步骤二：在线段上取中点C，使得 步骤三：作交边n于点D，连接． 步骤四：测量． 请根据小庄提供的测量步骤写出求解过程． 题型05.利用平行线间距离解决问题 14．如图，，，的面积是8，则四边形的面积是________． 15．如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 16．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 17．如图，在平行四边形中，、两点分别在、边上，，连接，分别交于，两点． (1)求证：； (2)求证：． 题型06.判断能否构成平行四边形 18．四边形中， ， 要使四边形矩形还需满足的条件可以为__________（只需填一个你认为合适的条件即可）． 19．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 20．如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）． 21．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 题型07.添条件成为平行四边形 22．已知，要使四边形是平行四边形，需要添加的条件可以是______．（只需填一个你认为正确的即可） 23．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 24．在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型08.数图形中平行四边形的个数 25．用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是______． 26．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 27．如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 题型09.三点构成平行四边形找点问题 28．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________． 29．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 30．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 题型10.证明四边形是平行四边形 31．如图，A、D、B、F在一条直线上，，，．求证：四边形为平行四边形． 32．如图，已知四边形是平行四边形，（）． (1)求证三角形与三角形全等； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求的度数． 33．如图，在四边形中，，对角线，与相交于点于点于点，且． (1)求证：①；②四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 题型11.全等三角形拼平行四边形问题 34．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______． 36．如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 题型12.平行四边形性质与判定求解 37．如图，中，．将沿方向向右平移得到．若阴影部分的面积为8，求的长． 38．已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 39．如图，在中，，，．点P在上由点B向点C出发，速度为每秒；点Q在边上，同时由点D向点A运动，速度为每秒．当点P运动到点C时，点P，Q同时停止运动．连接，设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当t为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？求出此时的度数． (3)连接，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由． 题型13.平行四边形性质与判定证明 40．如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，且，求证：． 41．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 42．已知：中，，如图所示，现将沿所在直线平移至，使，点D为上一点，且，连接与交于点P，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 题型14.平行四边形性质与判定应用 43．如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为_______． 44．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 45．数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．    (1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法． 甲同学的作法： 在上任取一点G，连接，； 以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H； 连接，，则即为所求． 乙同学的作法： 在上取一点G，连接，，； 以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H； 连接，，则即为所求． 请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因； (2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图． ①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②只需作出一种情况即可． 题型15.平行四边形中的折叠问题 46．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，则的周长为_______． 47．将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 48．如图，折叠平行四边形，使折痕经过点B，交边于点E，点C落在延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形．若平行四边形的面积是8，则下列结论中正确的是（    ） A．四边形不是平行四边形 B． C．设四边形的面积为y，四边形的面积为x，则y与x的函数关系式是 D．若，则点E到的距离为1 49．如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连接，将四边形沿着折叠（在边的上方）得到四边形．        (1)连接交于点O，连接． ①求证：． ②如图2，连接交于点H，若，求的长． (2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值． 题型16.三角形中位线求解问题. 50．如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉杆，D，E分别是、的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______． 51．如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C．4 D． 52．如图，在梯形中，，延长到点，使，连接，交于点．若是的中点，且，，求的长． 题型17.三角形中位线证明问题 53．如图，在平行四边形中，，点分别为中点，，，则_________． 54．如图，在中，，分别是，的中点，甲、乙两名同学分别作了一种辅助线，其中辅助线作法能证明三角形的中位线定理的是（    ） 甲 乙 如图，延长到点，使，连接，，． 如图，过点作，过点作，与交于点． A．甲、乙的辅助线作法都可以 B．甲、乙的辅助线作法都不可以 C．甲的辅助线作法可以，乙的不可以 D．乙的辅助线作法可以，甲的不可以 55．如图，在中，是一条中位线，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 题型18.三角形中位线的实际应用 56．如图，要测量池塘的两端点之间的距离，在外选一点，连接，并分别确定它们的中点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 57．要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段，，并取，的中点D，E，连结．只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由． 58．在中，为的中点，分别延长，到点，，使；过，分别作，的垂线，相交于．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $