云南昆明市第一中学等校2026届新高考自主命题考前自测数学试题

机密★启用前 【考试时间：14：30一16：30】 云南省新高考自主命题冲刺金卷（三） 数学 命题人：云南省新高考自主命题研究小组 审题人：云南省新高考自主命题研究小组 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡的非答题区战均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.设(1-i)x=2+i,其中x,y是实数，则|x+yi= A.2 B.2√2 C.4 D.42 2.已知集合A={(x,y)|y=√1-x},集合B={(x,y)|y=x+1},则AnB中元素的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 3.(x+y)(x-y)4的展开式中x3y的系数为 A.2 B.-2 C.4 D.-4 4.若an0=2,则cos20= A-号 B-2 c-} D.- 5.设向量a=(1,3),b=(-2,k),且(a+2b)∥3a,则k= A.-6 B.-1 C.1 数学·第1页（共4页） 6已知树圆c:苦+ 京=1(>b>0)的左、右顶点分别为A1,A,点P在C上，若直线PA,与PM,的 斜率之积为-7，则椭圆C的离心率为 A. 3 B.3 3 c 2 7.已知曲线f(x)=alnx-3x2在点(1，f八1))处的切线与直线5x+y+1=0平行，则a= A.2 B.1 C.-1 D.-2 8.已知直线l1:4x-3y+11=0和直线2：x=-1,抛物线y=4x上一动点P到直线L1和2的距离之 和的最小值是 A.2 B.3 c号 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.函数y=Asin(ox+p)(A>0,w>0,0<p<π)在一个周期内的图象如图所示，正确的是 人该函数的解析式为y=2sn子x+引 B(?,0)是该函数图象的一个对称中心 C该函数的减区间是[3m-票，3m+引，keZ D.把函数y=2ix的图象上所有点的横坐标伸长为原来的号倍，纵坐标不变，再向左平移受，可 得到该函数图象 10.记，分别为A,B的对立事件，且P()=号，P(B)=宁，P(AB)=则下列结论正确的是 AP(iB)=号 BP(M)=名 C.P(Bl)=古 D.P(AUB)=10 7 数学·第2页（共4页） 「a1a2 a3 11.由9个不同的实数a1,a2,…,a,构成一个数表A= as as a6, 若A中每行3个数之和、每列 3个数之和、两条对角线3个数之和均相等，则称A为一个3阶幻方，这个和称为幻和s(A),例如 4921 357就是一个3阶幻方，幻和为15.则下列结论正确的是 L81 6」 A.设A是一个3阶幻方，则s(A)=3a5 B.设A是一个3阶幻方，则a5是a1,a2,…,a,的中位数 C.将正整数1,2，…，9填人数表A中构成一个3阶幻方，a,可能为奇数 D.将正整数1,2，…，9填人数表A中构成一个3阶幻方，a2一定为奇数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的表而积为 13.△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2b-c)cosA=acosC,则A= 14.设函数f(x)= -a2,1,≤1，若到≥1)恒胶立，则实数。的取值范国为 Inx,x>1 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 甲、乙两个口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的小球；已知甲口袋有4个红球和4个白球.乙 口袋有4个红球和2个白球，现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再 从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球 (1)求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率： (2)设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X,求X的分布列和数学期望E(X) 16.（15分) 已知正项数列a,}的前n项和为S.,且满足9，-+a 2 (1)求{an}的通项公式； (2)记bn= a(a,+2),n为奇数 求数列{bn}的前n项和Tn n·2n,n为偶数 数学·第3页（共4页） 17.(15分) 如图，三棱锥C-OAB中，OA,OB,OC两两垂直、且OA+OB+OC=6. (1)当S△oAB+SAo4c+Saoc(S表示面积)取得最大值时，求点0到平面ABC的距离； (2)记平面ABC与平面BC0、平面AC0、平面AB0的夹角分别为 a,B,Y,证明：cosacosB+cosBcosy+cosycosq≤1. 18.(17分) 已知函数f(x)=lnx+ax-a,a∈R (1)若f(x)≤0恒成立，求a的值； (2)比较(9”与（其中e为自然对数的底数）的大小，请说明理由： (3)证明：2n2+3n3+4ln4+…+nlnn>nn,-(n≥2，neN). 2 19.(17分) 已知双曲线C:差-苦=1(。>0,6>0)的右焦点P到蒲近线的距离为月，友N2,月，)在双 曲线C上 (1)求双曲线C的方程； (2)点P在第一象限内的双曲线C上，过P作圆M:(x-4)2+y=1的切线，切点为Q,过P且 垂直于x轴的直线与第一象限内的双曲线的渐近线交于R,求|PQ|+|PR|的最小值： (3)如图，将双曲线的左支绕y轴翻折，使左右支所在的两个半 平面所成的二面角大小为0，对于任意的(0≠0)，过点N的 直线m总与左支相交，以原双曲线所在坐标平面的O为原点， 过O垂直于xOy平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，求直线m与平面xOy所成角的正弦值. 数学·第4页（共4页） 云南省新高考自主命题冲刺金卷（三） 数学参考答案 一、 单项选择题 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C A C B B AD BCD ABD 1.解析：因为x-xi=2+yi,所以x=2,y=-2,则x+yi=2√2，选B, 2.解析：集合A表示以原点为圆心，半径为1的圆上的y≥0所有点的集合，集合B表示直 线y=x+1上的所有点的集合，结合图形可知，A∩B的元素个数为2，选C. 3.解析：由二项式定理可知：(x+y(x-y)4的展开式中含x3y2的项为： xCx2(-y)2+yC4x3(-y)=2x3y2，所以x3y2的系数为2，选A 4.解析：cos20=cos26-sin20=cos20-sin20-1-tan28_3 cos20+sim2gi+an29-亏选c 5.解析：因为a+2b=(-3,3+2k),3a=(3,9),且(a+2b)/3a,所以(-3)9=33+2k),解 得k=6,选A 6解折：由已知得：一侣= 所以e b 3 选c (a 7.解析：因为f)=a-6x,得f0=a-6=-5,所以a=1,选B 8.解析：抛物线y2=4x的焦点F1,0),准线x=-1,过F作直线l:4x-3y+11=0的垂线 与抛物线交于点P,则点P到直线影和准线x=-1的距离之和最小为4-0+Ⅲ=3（即F到 √16+9 I的距离)，选B. 二、多项选择题 Q解折：由题意，可得42且生元，所以T3,即行宁3，又>0，所型 4 o子，所以y=2sm行x+小，由图象可知，当x=子时，y=2,所以名+9=号+2xke2, 6 所以o-骨+2加kez,又0<0<，所以0-否所以y=2sm传+引 故A正确： 当x=交时，=2作x经+引2警=2m2x+争=2m音=60， 所以（经0不是该函数图象的一个对称中心，故B错误： 由2m资≤号+后s2版受eZ,解得3a-≤≤3-冬kez, ≤ 2 3 4 即函数的单调递减区间为Bm-山，3km-5乃1，k∈乙，故C错误： 4 4 2 函数y=2sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的三倍，纵坐标不变，得y=2sinx, 再向左平移行得y=2sn号c+受=2sn后x+孕，故D正确，选AD 2 3 111 10.解析：因为PB)=P(B)-P(4B)-亏00故A错误： 31 PPH:P4)-P（4B)-50-&,故B正的 P(B) 4 5 P(BI A)= P(4B_Q=,故C正确： P(4) 3 6 5 r4U=④+P-R4国号村·故D正确，滤BCD 11.解析：对于A,根据条件中对于幻和s(4A)的定义，第一行加第三行减去两条对角线可表 示为：a+a2+a,+a,+a。+a,-(a+a+ag)-(a,+a+a,)=0,化简可得a2+as-2a,=0, 再代入到第二列中，可得：s(4)=3a·所以A对. 对于B,对第二行，第二列和两条对角线应用结论，得2a5=a4+a6,2a=a+a,2a=a3+a, 所以必有4个数小于a5,有4个数大于a,即a5是这9个数的中位数.所以B对. 对于C,假设a,是奇数，由选项A可知，幻和为15是奇数，且a=5,则a,必为奇数，如 此则每一行和每一列当中都有奇数，对于任意一行或列而言，要么三个都是奇数，要么只能 有一个奇数，如此幻方当中奇数的数量只能是3个或者9个，与已知5个奇数矛盾，故a,不 可能是奇数.所以C错. 对于D,同C可以证明a2一定为奇数，选ABD 三、填空题 12.解析：圆锥的表面积S=π12+π2=3π. 2 13.解析：由正弦定理得(2sinB-sinC)cosA=sin AcosC, 所以2 sin BcosA=sin Ccos4+sin AcosC=sinB,因为sinB≠0，所以2cosA=l, 所以4=骨 14.解析：因为函数f(x)= x-a-lx≤1，当x>1时y=nx单调递增，即y>0;当x≤1 Inx,x>1 时，y=(x-a)2-1,显然a<1时，最小值为-1，不满足f(x)≥f)恒成立，所以a≥1，且 1-a)2-1≤0，解得1≤a≤2，故实数a的取值范围为1,2]. 四、解答题 15.解：(1)设事件A:小明4次摸球中，至少摸出1个白球， 则风0=1含含经 …4分 (2)由题可知，X可能的取值为0,1,2,3,4， 甲口袋每次摸到红球的概率为】， 每次摸到白球的概率为上， 乙口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为 3 P(X=0)=5× 11221 2^2339 x=0=2x对-》+2x-引 x=--+-)+4*-号-引-是 Px=列=2x-》个1-+2x1-×号x1-引后 x=0=-1- 分布列如下， X 0 2 3 4 13 9 3 36 6 36 所以E(X)=0×5+1 3+2x13 +3×二+4× 15 6 …13分 9 36 363 16解：(1)由3.=+a,得28.=2+a,当n=1时，28=4+4，即2a=g+a, 2 又a1>0，所以4=1.当n≥2时，2Sn1=a元+an1,所以2Sn-2Sn1=a所+an-a1-an-1, 即2an=a+an-a1-an1,整理得(an+an)(an-an-1)=0,因为an>0,所以an-an-1=1, 所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an=1+n-1=n. …6分 1 ，n为奇数 (2)由(1)得bn= n(n+2) n…2", n为偶数 ①当n为偶数时，Tn=b+b2+b+b,+…+b-1+b =1+2x2+1+4×24++ 1 +n2”, 1×3 3×5 n-1)(n+1) 设4=六…o而则4-+六动 + n 令B=2×22+4×24+…+n-2”,所以4B=2×24+4×2+…+n22, 两式相减得：-3B=8+2×24+2×2°+…+2×2”-n·2*2, 2(1-2-2） =8+ 2-mx22=8+29-32-m×22=-83别-2× ×2+2， 1-4 3 33 所以B=8+,2×2,所以工=，2.2+”+倍 9 9 9 2(n+1)99 @当n为奇最时，工=五a-6x2+2的+g口+02 9 '2(n+2)'9 [43m+-n-×2+,”++8-3n-5x2+,”++8 9 2(n+2)'99 2(n+2)9' 3n-5 21+n+18 2(n+2)9, n为奇数 9 所以Tn= 3n-2.22+ …15分 n.8 9 0m+0+g1 n为偶数 17.解：(1)设OA=a,0B=b,0C=c,则a+b+c=6,且a,b,c>0, 所以S,0B+S.oMc+S.oc= ab+ac+bc (ab+bc+ac)+2ab+2bc+2ac 2 6 ≤2a2+28+2c2+2ab+2bc+2ac-a+b+cy=6, 6 6 当且仅当a=b=c=2时等号成立，SoB+S.ouc+Soc取得最大值，此时 AB=BC=AC=2√2，记点O到平面ABC的距离为d, 因为%cg8x*d=5×5xd-2 322 3 又2ae=a-am0c-x2x2x2- 32 所以25d-4,解得d=25,所以点0到平面4BC的距离为2 3 3N …7分 3 3 (2)以O为坐标原点，OA,OB,OC分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系0-2，则A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c,AB=(-a,b,0,AC=(-a,0,c). 显然平面BCO的一个法向量为m=(1,0,O),设平面ABC的法向量为方=(s,t,r), -as+bl=0, 则 可取i=(bc,ac,ab), [-as+cr =0, 所以osa=kos(m训同同+62+ca, 防动 bc ac 同理得cosB= ab coSY=- √a2b2+b2c2+c2a2 a2b2+b2c2+c2a2 所以cos2a+cos2B+cos2y= b'c2+a'c2+a'b2 =1. a2b2+b2c2+c2a2 因为(cosa-cosf)2+(cosB-cos)2+(cosy-cosa)2≥0， 化简得cos2a+cos2B+cos2y2 cosacosB+cosBcosy+cosycosa&, 所以cosacosB+cosBcosy+cosycosa≤1， 当且仅当cosa=cosB=cosy,即OA=OB=OC=2时等号成立. …15分 18.解：(1)函数的定义域为(0，+o),且()=+a=r+1, 若a≥0，则f(x)>0,从而函数f(x,)在(0，+∞)为增函数，且f)=0,故不满足题意： 若a<0,则令f(倒=0，得x=后，当0<x<-时，(>0：当x时，<0， 0 从而函数在0日司为增离数。在（日+网为减高数。故以=日》 要使f)s0恒成立，且有f0=0,则f=(合)=f0=0, 所以a=-1. …6分 (2)由(1)知，当a=-1时，f(x)=nx-x+1≤0恒成立， 故当x>0时，有nx<-1,令x-100,h100<100-1=,两边乘9，即99h100<1, 99 9999 99 99 5 n罗1=所（罗” …12分 (3)因为x>0时，血(r+>克，所以(x+h(x+>, 故当neN时，(n+l)n(n+I)>n, 所以2n2+3ln3+4ln4+…+nlnn>1+2+3+…+(n-1D(n≥2，n∈N, 所以2h2+3h3+4n4++nnm>nn- (n≥2，neN). …17分 18解。a由已知阁：6=5，号-京=1，所以0=3 所以双曲线C的方程为：二_上=1。 …4分 93 (2)设P(%),则1Pg=VPMf-l@Mf=V(。-4+片-1， 因为P(,)在双曲线上，所以=兰-3， 3 所P--4+等-31--8+12=2 -3到， 因为P位于第一象限时， 所以p网悟小9%，P阳=2k-煎Pe1-1限=风-%-25. 设直线1：√Bx-y-25=0,而P01+1PR5--25 2,所以|PQ|+|PR|可看作是 (5)2+(-1)2 双曲线上的点到直线1距离的2倍，设平行于1的双曲线的切线为y=√5x+1, [y=3x+1 联立x2y2,消y得，8x2+65x+3+9=0,△=1082-96(2+3)=122-288=0， =1 93 解得1=±2√6，所以第一象限内的双曲线的切线为y=√5x-2W6,故两直线距离为√6-√5， 当且仅当%-3-0P04利P-26-25. …10分 4 (3)因为左半支双曲线旋转时，曲线上的任意一点P(x。,)绕(0，)作圆周运动，轨迹是 以(0，)为圆心，。为半径的圆，在空间直角坐标系中，设旋转后的P点坐标为P(x,y,z), 6 x=xcos0 则y=% 因为号-号-1，所以经过谈装后的点P满足亏-苦+号-1， 93 z=±o sin8 由题意，N(25l,0,设直线m的方向向量为m=(a,b,c),则直线上任意点的坐标 E(25+a,l+b,c),1∈R,若E总是在左支上，则(2W5+a-31+br)2+(c}=9, 化简得(a2+c2-362)rP+(4W5a-6b)1=0① 同理，E(2W5-at,l-bi,-c),teR也在左支上，代入化简得： (a2+c2-362)r2-(45a-6b=0 ② 则由①②两式分别相加减得，(a2+c2-362)=0与(25a-3b)1=0,由对任意teR成立， 则a2+c2-3b2=0,且25a-3b=0,令a=√5，则b=2,c=±3， 故直线m的一个方向向量可以为m=（5,2,3或(5,2，-3)，设直线m与平面xO所成角为 m·n 4,所以直线m与平面x0所 a,因为平面xOy的法向量为n=(0,0,1),则sina 成角的正弦值为子， …17分