第八章 立体几何初步 章末综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学第八章《立体几何初步》单元卷，涵盖空间几何体、位置关系等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间观念、推理能力与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|正棱柱概念（第1题）、圆柱与球表面积比（第3题）|基础概念辨析，结合直观图与空间几何体计算| |多项选择|3/18|圆锥圆柱体积表面积比（第9题）、正四棱锥线面关系（第10题）|多角度考查空间几何性质，培养批判性思维| |填空题|3/15|直观图还原（第12题）、正方体截面距离（第13题）|强调空间想象与转化思想，对接高考高频考点| |解答题|5/77|旋转体表面积体积（第17题）、面面垂直证明（第19题）|综合翻折、存在性探究等情境，突出数学思维与应用意识|

第八章《立体几何初步》章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法不正确的是（    ） A．底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．棱柱的侧棱相互平行 D．正棱柱的高与侧棱长相等 2. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（     ）. A. B. 1 C. D. 3. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 5. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 6. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 现有一个带有盖子的正四面体容器，将一个冰球放入该容器中，盖子恰好能够盖上，如图所示．已知该容器的深度为h，则当冰球完全融化为水后(冰融化为水的体积变化忽略不计)，水的深度约为（    ）(参考数据： ． A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（   ） A． 底面半径为1，高为2的圆锥 B．底面半径为1，高为2的圆柱 C．上、下底面半径分别为，，高为2的圆台 D．半径为1的球 10. 如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与直线所成角的大小为90° D. 设平面底面，则二面角的余弦值为 11. 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图①，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图②，在平面四边形中，，，，如图③，将沿翻折至，记二面角的平面角为，记二面角的平面角为，则下列说法正确的有（   ） A．当时，则 B．当时，则 C．当时， D．的最小值为 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是________. 13. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为________. 14. 已知在四棱锥中，底面为边长是4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在四边形ABCD中，，，，，E为AB的中点，连接DE． （1）将四边形ABCD绕着线段AB所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积； （2）将绕着线段AE所在直线旋转一周形成几何体W，若球O是几何体W的内切球，求球O的表面积． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积. 17. 在直三棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 18. 如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． （1）求证：平面． （2）求三棱柱的体积． （3）线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 19. 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. ( 第 1 页 共 21 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章《立体几何初步》章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C D D B A C BD ABD ABD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法不正确的是（    ） A．底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．棱柱的侧棱相互平行 D．正棱柱的高与侧棱长相等 【解析】B A选项：底面是正多边形的直棱柱，侧棱垂直底面，符合正棱柱定义，说法正确； B选项：正棱锥要求底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心，仅底面是正多边形不能判定为正棱锥，说法不正确； C选项：棱柱的侧棱相互平行且相等，是棱柱基本性质，说法正确； D选项：正棱柱属于直棱柱，侧棱垂直底面，高与侧棱长相等，说法正确. 2. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（     ）. A. B. 1 C. D. 【解析】D根据题意，可知是等腰直角三角形，又， 所以，故， 所以原平面图形的面积. 3. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 所以，， 所以. 4. 已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【解析】D 选项A：若，，和可能平行，也可能异面，不是一定平行，A错误. 选项B：由线面垂直的判定定理可知：直线垂直于平面内两条相交直线才能推出线面垂直， 题干中未指明和不相交，不满足定理条件，B错误. 选项C：由面面平行的判定定理可知：一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，才能推出面面平行， 题干中和可能平行，此时和仍可以相交，C错误. 选项D：根据线面垂直的性质：若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与该直线平行， 则另一条直线也垂直于这个平面，结论成立，D正确. 5. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足. 6. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由题意直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体. 连接. 因为四边形为矩形，则， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 长方体中，平面， 因为平面，所以. 因为，且， 则， 在中，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 如图，取BC的中点，连接EF，AF，, 、分别为棱、的中点，则，正方体中，则有，所以平面为所求截面， 因为正方体的棱长为2，所以，，，所以四边形的周长为. 8. 现有一个带有盖子的正四面体容器，将一个冰球放入该容器中，盖子恰好能够盖上，如图所示．已知该容器的深度为h，则当冰球完全融化为水后(冰融化为水的体积变化忽略不计)，水的深度约为（    ）(参考数据： ． A． B． C． D． 【解析】C 已知正四面体的高为，设棱长为，内切球半径为，如下图所示： 由正四面体的性质可知，， 则，故， ， ，故， 冰球的体积， 设冰球融化后水深为，形成的小四面体体积为，则， 原正四面体的体积为， 则， ，解得． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（   ） A． 底面半径为1，高为2的圆锥 B．底面半径为1，高为2的圆柱 C．上、下底面半径分别为，，高为2的圆台 D．半径为1的球 【解析】BD 对于A，圆锥的体积为，表面积为， 所以，故A错误； 对于B，圆柱的体积为，表面积为， 所以，故B正确； 对于C，圆台的体积为， 表面积为：， 所以，故C错误； 对于D，球的体积为：，表面积为：， 所以，故D正确． 10. 如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与直线所成角的大小为90° D. 设平面底面，则二面角的余弦值为 【解析】ABD 连接，因为为底面正方形的中心，所以是的中点，又为侧棱的中点， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以， 又，所以，故B正确. 由于分别为侧棱的中点，所以. 又四边形为正方形，所以，所以， 所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即. 又为等边三角形，所以，故C错误. 又平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 二面角与二面角相等， 连接，取的中点，连接， 因为，所以， 因为四棱锥是正四棱锥，为底面正方形的中心，所以平面， 又平面，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 设正四棱锥的棱长为2，则，， 所以， 所以二面角的余弦值为，故D正确. 11. 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图①，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图②，在平面四边形中，，，，如图③，将沿翻折至，记二面角的平面角为，记二面角的平面角为，则下列说法正确的有（   ） A．当时，则 B．当时，则 C．当时， D．的最小值为 【解析】ABD 由题，可知在中，由得， 故，，又因为， 所以， 于是在等腰中，，， 翻折保持边长与角度不变，因此在中，，， 且，， 在三面角中，应用三面角余弦定理， 得， 代入得①； 对于A，当时，，所以，即，故A正确； 对于B，由①式，当时，， 在中，，， 则， 因此，故B正确； 设，在三面角中，应用三面角余弦定理， 得， 即， 代入化简得，从而②； 对于C，若，则， 代入上式得，故C错误； 对于D，由②式，由于，令，则，， 于是， 由基本不等式，， 当且仅当时取等号，此时最小值可取得， 故的最小值为，故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是________. 【解析】依据斜二测画法可知，所以， 又因为，， 所以，， 可得 ， 那么原周长是 . 13. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为________. 【解析】如图，取的中点，连接，，，则，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理. 又，所以，所以，确定一个平面，即为平面. 过作，垂足为点，因为平面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，即. 在中， ，所以. 14. 已知在四棱锥中，底面为边长是4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为________. 【解析】如图所示，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O， 则由外接球的性质知，点O即为该球的球心， 取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以四棱锥外接球的表面积为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，在四边形ABCD中，，，，，E为AB的中点，连接DE． （1）将四边形ABCD绕着线段AB所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积； （2）将绕着线段AE所在直线旋转一周形成几何体W，若球O是几何体W的内切球，求球O的表面积． 【解析】（1）依题意，，，所以四边形是直角梯形， . 将四边形ABCD绕着线段AB所在的直线旋转一周，所得几何体如图所示， 几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱. 表面积为， 体积为. （2）将绕着线段AE所在直线旋转一周形成几何体W，是圆锥，如图所示， 设的内切圆半径，也即圆锥W的内切球的半径为， ， 则， 解得， 所以内切球的表面积为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积. 【解析】（1） 如图，取的中点，连接, 因E、F分别为、的中点.，则 又故即得, 则,因平面，平面，故平面； （2）因，，，由，可得， 在直三棱柱中，因平面，平面，则， 又平面，故平面， 因平面,故； （3） 如图，三棱锥的体积, 由（2），已得平面， 故 即三棱锥的体积为. 17. 在直三棱柱中，，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【解析】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 18. 如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． （1）求证：平面． （2）求三棱柱的体积． （3）线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：∵，∴． ∵在等腰梯形中，， ∴在四棱锥中，． 又，平面， ∴平面． 又∵平面，∴． ∵在等腰梯形中，，，且， ∴，，， 由勾股定理得，故， ∴， ∴由勾股定理逆定理得． ∵，平面， ∴平面． （2）∵，平面， ∴． （3）线段上存在一点，使得平面，为的中点，证明如下： 证明：取的中点，的中点，连结，，． ∵，分别为，的中点， ∴且． ∵且， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． 19. 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 【解析】（1）连接， 因为底面中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以，，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以， ②取靠近点的四等分点，连接，则//， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于，连接， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为， 所以四边形为矩形，所以， 所以在中，， 所以二面角的正切值为 ( 第 1 页 共 21 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $