第八章立体几何初步章末综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 《立体几何初步》单元卷，120分钟150分，覆盖几何体性质、线面关系、体积表面积等核心知识，通过基础到综合题梯度设计，融合文化传承与科技情境，适配单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|棱柱、棱锥、圆柱性质|基础巩固，辨析几何体概念| |多选|3/18|线面平行垂直关系|能力提升，考查空间推理| |填空|3/15|球与圆柱体积、鳖臑（《九章算术》）、正四面体（甲烷分子）|文化传承与科技情境，应用意识| |解答|5/77|体积计算、线面垂直证明、二面角求解|综合应用，培养空间想象与逻辑推理|

第八章《立体几何初步》章末综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D A C B D C A ACD AD ACD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于空间几何体的说法，错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D．圆柱的侧面展开图是矩形 【解析】C A：根据棱柱的定义，其侧棱互相平行且相等，对； B：根据正棱锥的定义，其底面是正多边形且顶点在底面的射影是底面中心，对； C：由棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面截去上面的小棱锥得到，即各侧棱的延长线交于一点， 如上图，上下底面是两个全等的矩形，且相互平行，上底的长与下底的宽对应平行，四个侧面都是等腰梯形， 此时四条侧棱所在直线不交于同一点，故仅通过两个面互相平行，其余各面都是梯形不能保证侧棱延长交于一点，错， D：圆柱侧面展开图，即沿一条母线展开侧面为矩形，对. 2. 若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】C 设圆锥的高为，圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 因圆锥的体积，解得， 则， 故圆锥的侧面展开图的面积为. 3. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【解析】D 可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 4. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【解析】C A：当，时，，所以本选项不符合题意； B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 5. 如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中错误的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 的面积与的面积相等 【解析】D 对于A：，点为的中点，所以，由正三棱柱 有：平面平面， 又平面平面，平面，又平面，所以，故A正确； 对于B：由平面，所以为点到平面的距离，又， 所以，，所以，故B正确； 对于C：由正三棱柱 ，平面平面，又平面， 所以平面，故C正确； 对于D：取的中点为，连接，由，，所以， ，，所以，故D错误. 6. 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 【解析】B 如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以. 7. 如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，（ ） A. B. C. 1 D. 【解析】B 如图所示，设直三棱柱的底面积为,体积为, 如图所示，,所以,此时. 此时平面在直棱柱的中间高度上，故平面与，，相交于它们的中点处，此时截面如图所示 可知,. 8. 如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（ ） A. B. C. D. 【详解】A 如图，设的中点为，连接，，则，， 因为是三棱锥外接球的直径，则， 且，，则，可得， 则，可知二面角的平面角为， 设，则，， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列说法不正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【解析】ACD 对于A，因，则，又，则可能平行于，也有可能与异面，故A错误； 对于B，因，则，又，是空间内两个不同的平面，则，故B正确； 对于C，，则有可能在内，则不一定平行于，故C错误； 对于D，因，则有可能在内，则不一定平行于，故D错误. 10. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 侧棱与底面夹角的正切值为 C. 若为的中点，则平面BDE D. 该四棱台的外接球表面积为 【解析】ACD 设棱台的上下底面中心分别为， 对于A选项，因为正方形ABCD的边长为，正方形的边长为， 所以 ，台体的高为， 由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A正确； 对于B选项，侧棱与底面夹角的正切值为，B错误； 对于C选项，当点为的中点时，易知为AC的中点，则， 因为平面平面BDE，故平面，C正确； 对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， ， 则，由可得， 解得，故， 因此，该四棱台的外接球表面积为，D正确． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 的最小值为 D. 若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【解析】BCD 对于A：先证平面平面，由正方体性质可知，且， 且，所以四边形和均为平行四边形， 所以，，因为平面， 在平面外，所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面， 又为的中点，为线段上动点（包括端点）， 所以直线与平面相交，从而直线与平面相交，故A错误； 对于B：连接，则，由平面，平面， 得，又，，平面， 则平面，过作交于，连接， 于是平面，是直线与平面所成的角，，，所以，故B正确； 对于C，把三角形与三角形置于同一平面内，连接， 则的最小值为， 在中，，， ， 由余弦定理得，C正确； 对于D，由正方体的性质知平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，平面，故平面； 如图， 取棱的中点分别为， 连接，可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，平面， 故平面平面，所以平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形，边长为， 其周长为，所以点的轨迹为正六边形，则点的轨迹长度为，D正确． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一个半径为的球与一个底面半径为的圆柱体积相等，则圆柱的高为______. 【解析】设圆柱的高为， 则，， 由，解得. 13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 【解析】取的中点，连接、，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为. 14. 甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为_____ 【解析】如图所示，分别取，的中点，，连结，， 则由正四面体的性质，过正四面体的中心，所以平面即平面，平面即平面， 又因为平面，平面， 所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段， 又因为正四面体棱长为1，则由勾股定理可得． 所以在等腰三角形中，． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm，正三棱台的下底面边长为2cm，且正三棱台的高为1cm，现有一盒这种零件共重（不包含盒子的质量），取铁的密度为． （1）试问该盒中有多少个这样的零件？ （2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少的材料？ 【解析】（1）设等边三角形的边长为，则由三角形面积公式可得该三角形面积为， 故正三棱柱的体积， 正三棱台的体积， 所以该零件的质量为， 所以该盒中共有零件个． （2）如图，设D，分别为三棱台所在棱的中点，O，分别为三棱台上、下底面的中心， 连接，OD，，． 因为，所以， 同理可得， 所以， 所以三棱台的侧面积为， 所以一个零件的表面积为． 因为， 所以共需涂的材料． 16. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【解析】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 17. 如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：因为底面，底面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，因为，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）连接交于点，如图所示： 则，又因底面，平面，所以， 因为，平面，所以平面，则点到平面的距离为，因为是的中点，所以， 因为底面正方形边长为，所以，， 所以，， 所以， ，所以． 在中，满足，有， 所以， 设点到平面的距离为， 由可得 （3）由（1）可得平面，因为平面平面， 所以，所以为二面角的平面角， ， 因为，，所以， 所以，解得， 因为，即，所以， 故二面角的余弦值为． 18. 如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. (1)求在圆锥中的线段的长； (2)求四面体的体积； (3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【解析】（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为， 则，解得， 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以， 又因为点、分别是、的中点， 所以； （2）， 圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为； （3）在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下：如图，取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以， 取CB的四等分点G，使，连接GE， 因为，所以，， 所以，， 所以四边形DFGE是平行四边形，所以 又平面ABC，平面ABC，所以平面 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分） 【解析】（1），， 则， ； 又，，、平面， 平面，平面， 平面平面； （2）侧棱，点为中点， ， 又， 为正三角形，取中点，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 过点作交延长线于点，连接，. 平面，所以， 又，，、平面， 所以平面，又平面，， 根据定义，即为二面角平面角. ， . （3）作平面， 则，为在平面内的射影，所以点，，共线， 再在平面作交于点， 又，，、平面， 平面， 设线交线于点，则， 又，，、平面， 平面，平面，得， ，， 又因为， 所以与平面所成的最大角的正弦值为， 当点为线与交点时取到最大角； ( 第 1 页 共 20 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章《立体几何初步》章末综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于空间几何体的说法，错误的是（    ） A．棱柱的侧棱都互相平行且相等 B．正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心 C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台 D．圆柱的侧面展开图是矩形 2. 若圆锥的高为3，体积是，则它的侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 3. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 4. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 5. 如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中错误的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 的面积与的面积相等 6. 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列说法不正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 侧棱与底面夹角的正切值为 C. 若为的中点，则平面BDE D. 该四棱台的外接球表面积为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 的最小值为 D. 若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若一个半径为的球与一个底面半径为的圆柱体积相等，则圆柱的高为______. 13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 14. 甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为_____ 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm，正三棱台的下底面边长为2cm，且正三棱台的高为1cm，现有一盒这种零件共重（不包含盒子的质量），取铁的密度为． （1）试问该盒中有多少个这样的零件？ （2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少的材料？ 16. 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 17. 如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 18. 如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. (1)求在圆锥中的线段的长； (2)求四面体的体积； (3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值. ( 第 1 页 共 20 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $