上海市南洋模范中学2025-2026学年第二学期高三高考考前模拟数学试卷

2026届南模中学高考考前模拟数学试卷 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，考生应在答题纸相应 位置直接填写结果) 1.若集合A={xx-1<2,x∈R},自然数集为N,则A∩N= 2.已知随机变量X服从正态分布N(4,o2),P(X>-2)+P(X≥4)=1，则= 3.设O为原点，向量OA,OB对应的复数分别为3-2i,-2+5i,那么向量4B对应的复数的虚部为 4.已知函数f(x)=2sin 2x+3 的图象向右平移后得到函数g(x)的图象，则g 的值为 5.若C=C,则x= 6.己知圆台的上、下底面的半径分别为1,2，高为2√2，则该圆台的表面积为 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S,=2,So-Ss=8,则So= 8.已知函数f(x)=ln(x2+a)+x2有且仅有1个零点，则a= 9.若数列{an}满足a2=a-a，则称数列{a}为平方差递推数列若数列{b}是平方差递推数列，且 b=1,b=1,则{b,}的前100项的和为 10.随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者.东哥打算批发某种水果摆摊售 4x2+ax 0<x<1 卖，设他进货总费用f(x)(百元)与进货量x(单位：百斤)之间的关系为f(x)= x+1 (a (a-4)x+3,x≥1 为常数)，若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为 11.如图，已知定点B(2,-2),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点， D MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,则PD+PC的 最小值为 12.已知函数y=f(x)的定义域为R.若非空集合I满足：对于任意x∈R,任意k∈Ik≠O),均有 则称函数y=f(x)为1伸缩增函数，其中[x表示不超过x的最大整数若函数y=f(x) 在区间[(，+∞上为增函数是“函数y=f(x)为(0,4]伸缩增函数”的必要条件，则1的最小值= 二、选择题（本大题共4题，第1314题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个 正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑) 13.记S,为数列{a,}的前n项和，已知S,=1+1,则( n 2,n=1, 1 A.a = B.a= 1 n+l n(+n≥2. 1,n=l, 2,n=1, C.= 1 D.a= 1 (n(n-n≥2. n(n-n≥2. 14.已知点P(cosa,sina)到点A(4m,3m-10)的距离为d,则d的最小值是（ A.4 B.5 C.6 D.7 I5.如图，在△ABC巾，CE=2EA,CD=DB,F是AD与BE的交点，且CA.CB=3,则CF在CB上的投 影向是的模取得最小值时，C=( A.√6 B.1 E C.2 D.6 2 16.已知常数p∈(0，)，在成功概率为P的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值 为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布经计算：E(X)=】对于几何分布的拓 展问题，在成功概率为P的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E2,现 提供一种求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功 毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2,即总的试验次数为(E2+)；若第一次试验成功，则进行第二次 试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此 时总的试验次数为(E2+2),则E,的值为( 2 1 A. B.2p 1+p C. D. 1-2 第2页共4页 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分.解答下列各题必 须在答题纸的相应位置写出必要的步骤) I7.甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜已知每场比赛 甲队获胜的概率为)，乙队获胜的概率为；，且每场比赛的结果相互独立。 (1)求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概举： (2)记比赛结束时的场数为X,求X的分布列和数学期望E[X]: 18.已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2,2cosA+二a=c. 2 (1)求B: (2)求4+c的取值范围。 ac I9.已知三棱柱ABC-A,B,C的棱长均为2，AB=V6,平面ACCA⊥平面ABC (1)求该棱柱的体积： (2)求平面ABBA与平面AB,C所成二面角的大小. 第3页共4页 20巴知然圆C:学+卡=a>b>0)的离心率为，O为坐标原点，P1到是平面内-点，D是椭圆 C上一点，若0P=√20D. (1)求椭圆C的方程， (2)直线I:y=:+m(m≠O)与椭圆C交于A,B,线段AB的中点为T,若P,T,O三点共线， ①求k的值： ②试问：是否存在m,使得△PAB的面积取到最大值，若存在，求出此时m的值：若不存在，说明理由. 21.若曲线C的切线1与曲线C共有n个公共点（其中n∈N,n≥1），则称1为曲线C的“T,-切线”. (1)若曲线y=f(x)在点(1，-2)处的切线为T,-切线，另一个公共点的坐标为(3,4)，求'(I的值； (2)求曲线y=x2-3x2所有T-切线的方程： (3)设f()=x+sinx,是否存在1∈0，习)， 使得曲线y=f(x)在点(，f()处的切线为工-切线？若存 在，探究满足条件的1的个数，若不存在，说明理由 第4页共4页 2026届南模中学高考考前模拟数学试卷 一、填空题 1.若集合A={xx-I<2,x∈R},自然数集为N,则A∩N= 【答案】{0，l,2 【解析】因为集合A={xx-1<2,x∈R}={x|x<3,x∈R},所以A∩N={01,2}. 2.已知随机变量X服从正态分布N(4,o2),P(X>-2)+P(X≥4)=1，则1= 【答案】1 【解析】由题意得P(X>-2)=1-P(X≥4)=P(X<4),根据正态分布的对称性得H=2+4-1 2 3.设0为原点，向量OA,OB对应的复数分别为3-2i,-2+5i,那么向量B对应的复数的虚部为 【答案】7 【解析】由题意得0A=(3,-2),0B=(-2,5), AB=0B-0A=(-2-3,5-(-2》=(-5,7), 所以向量B对应的复数的虚部为7. 4.已知函数f()=2sin2x+的图象向右平移号后得到函数g()的图象，则 的值为 【答案】1 【解析】函数f(x)=2sn2x+的图象向右平移背后得到函数8()的图象， 则g-2n-引(2x-引所以)-2ng1 6 5.若C=C,则x= 【答案】6或2 【解析】由组合数的性质可知：2x=x+6或2x+x+6=12,解得x=6或2，经检验均满足题意. 6.已知圆台的上、下底面的半径分别为1,2，高为2√2，则该圆台的表面积为· 【答案】14π 【解析】圆台的上底面半径r=1,下底面半径R=2,高h=2√2， 所以母线长1=VF+(R-r=22)+1=V8+1=3, 第1页共12页 侧而积S=π(r+R)1=π×3×3=9元， :底积S上=r2=元，下底仙积S、=πR2=4元， 表而积S=S侧+S.+Sx=9π+π+4π=14π. 7.已知等数列{an}的前n项和为Sn,HS3=2,S-Ss=8,则Sw= 【答案】6 【件析】因为Ss,S。-S,Ss-So,SD-Ss成等差数列，设共公差为d”, 所以8=2+(4-1)×d”,所以d=2, 所以S。-S=S,+'=4,所以S。=S+4=6. 8.心知函数f()=m(x2+a)+x2冇且仅冇1个姿点，则a= 【答深】1 【解析】f(x)为偶函数，装使得f(x)有山仅有1个零点，则.f(0)=Inu=0,解得a=1. 经验证，当a=1时，f(x)在(-0,0).上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，且f(0)=0,符合题意. 9.若数列{a}满足a:=a-，则称数列{a,}为平方递推数列若数列{b}龙平方递推数列，山 b=1,b=1,则{bn}的前100项的和为 【答深】1 【解析】l题意可知b=b-2=12-12=0,b=b-b2=0-12=-1, 6=b6-6=(-1)°-02=1，b。=6-好=1°-(-1=0，b,=6k-6=02-1P=-1, 所以数列{b}是从第2项起，周期为3的数列 则{bn}的前100项的和Soo=b+(b2+b+b)+…+(b+b+boo)=1+33×0=1. 10.随若市场瑞求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引若越来越多创业者.东哥打算批发某种水果摆摊件 头，设他逃货总费州f(x)（白元)与逃货量x(巾位：白斤)之问的关系为f(x)= 4x2+a,0<x<1 x+l (a (u-4)x+3,x≥1 为常数)，若满足“随若逃货的增人，水果每斤的均价格逐渐减小“，则“的取值花闱为 第2页共12页 【答案】(4,6 【解析】由题意，水果每斤的平均价格为8女)=过 4x+a,0<x<1 4+0-4,0<x<1 x+1 x+1 (a-4)+3,x21 (a-4)+3,x21 1 因为随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小，所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递减， a-4>0 所以〈 ±)4≥(a-4)+3,解得4<a≤6，则a的取值范围为(4,6 1I.如图，已知定点B(2,-2),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于 点E,OE与MD相交于点P,则PD+PC的最小值为 D 【答案)】厅-1 2 【解析】山B(2,-2)可知C(2,0),直线OB方程为y=-x, 则设点M(m,-m)(0≤m≤2)， 所以52-m,则直线0E方程为y=-受x, G 当=时，可得y=受，即点风受 所以点P的轨迹为抛物线y=-,即=-2y, 可得揽物线的准线为y分张点为Q-》 如图所示，延长PD,交抛物线准线于点G, 山抛物线概念可知Pol+PG=PG+lPC-=PA+PC-乏 则PD+PC的最小值，即PF+PC-)的最小值，可知当FP,C三点共线时，取得最小值， 2 12.已知函数y=f(x)的定义域为R.若非空集合I满足：对于任意x∈R,任意k∈Ik≠O),均有 )圆 则称函数y=f(x)为1伸缩增函数，其中[x]表示不超过x的最大整数若函数y=f(x) 第3页共12页 在区间[，+)上为增函数是“函数y=f(x)为(0,4]仲缩增函数”的必要条件，则1的最小值=一 【答案】月 【解析】我们肯先说明：1=符合题意 当1=时，我们证明：对打任意<，名-京，均有f()2)。 1 4≤2,0<k≤4. 由题设知 即f(x)之f(x)得证. 对丁任意5%<出，取正整数k使得k>4(,则：兰<号 k +(s+2ssf飞+产)f) 即(c)2(s),放f()在存+上单调通增。 其次，我们说明1<不合题意」 1 0,x<0或x≥ 令f(x)= 4 我们以下证明f(x)是(0,4]伸缩增函数. x, 05x<4 对于任意eQ小，①活，则空旦好成月-回】 0符合题意： @若0s1则(-，放)) ③若x<0, 则0以0，故目}回-0，符合题意 综上所述，f()是(Q,4伸缩增函数.但对于任意1<子，f(y在，+∞)上均不是增函数，此时必要性不成 立 二、单选题 13.记5n为数列{a,}的前n项和，己知Sn=上+1，则( 第4页共12页 [2,n=1, A.d =1 B.a,= 1 n+1 n22. n(n+1) 1,n=1, 2,n=1 C.a= 1 1 n(n-n≥2. D.d,= n(m-)h≥2. 【答案】D 【解折1当22时，=8,-8+1+小 [2,n=l, 当n=1时，a,=2,不满足上式，所以an= (-)n≥2.放选D. 14.己知点P(cosa,sina)到点A(4,3m-10)的距离为d,则d的最小值是（ A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】D 【解析】因为cos2a+sin2a=1,所以点P的轨迹方程为x2+y2=1,点A的轨迹方程为3x-4y-40=0. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以4的最小值是子+(4可 -40 -1=7 I5.如图，在△ABC中，CE=2EA,CD=DB,F是AD与BE的交点，且CA.CB=3,则CF在CB上的投 影向量的模取得最小值时，8=( A.6 B.I C.2 D.6 2 【答案】A 【解析】设AF=mAD,(0<m<),则 示=+F-C+mAD=i+mco-C=0-mC+mcD=-m)+丽， 同理设厭=n丽.(0<n<),则CF=C正+乐=-n)C+nC丽. 第5页共12页 1-m=20- 由平面向量基本定理得 ,解得n=所以=a+C, 2 向量C下在CB上的投影向量的模为： CF.CB CB CB CB CB 所以CF在CB上的投影向量的模取得最小值时，CE=V6.故选A. 16.已知常数p∈(0，)，在成功概率为P的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值 为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布，经计算：E(X)=】对于几何分布的拓 D 展问题，在成功概率为P的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E,,现 提供一种求E,的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功 毫无帮助，可以认为后续期望仍是E,,即总的试验次数为(E,+):若第一次试验成功，则进行第二次 试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此 时总的试验次数为(E2+2),则E2的值为( 2 B. 1+p -p A. C D 2p p p 【答案】C 由条件可知，E,三-p6,++P2+P0pG,+2,解得：6，故选：C 三、解答题 17.甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜已知每场比赛 甲队获胜的概率为分乙队获胜的凝幸为，且每场比赛的结果相互独立 (1)求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)记比赛结束时的场数为X,求X的分布列和数学期望E[X]: 【答案】2)可-号 【解析】(1)设事件A表示“比赛恰好进行4场”，事件B表示“叩队获胜”. 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获，其概率为©写-专 比赛4场甲队我居，即前3场甲8队胜2场，第4场甲队陆，概率为C日×君 比赛5场甲队袋陆，即前4场甲队胜2场，第5场甲队陆，概率为c份×兮员。 甲队获胜附藏车为P(到专名+后分 甲队我组比蜜的好提行4场的原幸为P4n)-C日宁品 3 三在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为P()P1n0.迈_3 P(B)8 (2)X的可能收值为3,4,5. (x-3)-c (x=-c+c+- Px-列-c+c对+ 345 .X分布为 13 3 E[x]=3x2+4x2+5 3_33 4 8988 48 8 18.己知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2,2cosA+一a=c. (1)求B: (2)求心+C的取值范围， ac 第7页共2页 【答案】0)8=爱2)[2到 【解析】（1)思路一、因为b=2,2cosA+。a=c,则bcos A+二a=c. 1 由正弦定理得：sin BcosA+二sinA=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin, 则5sinA=oin4,因为4Be(0,引， 则sinA>0. 所以cosB=所以B=子 3 思路二、由余弦定理：cosA=+c-d 2bc 代入2cos4+5a=c,得b+c2-a2+2bac=bc,又b=2, 故b2+c2-a2+ac=2c2, 整理得+-=c,放cosB=产+2-B_1】 2ac 21 又Be0,2) 故B= =3 0<C<π (2)在锐角△ABC中，山 04=-c<'可得c 6 2 3 sinc+） 1 又a_sin4 3 -cosC c sinC sinC sinC 2 2tan C 3,则0<1 又anc 又“-+台设1=，设0=1+号 ac 又0在行上单调递减，在，2)上单调递地，所以f0=f0=2 又因为付)/因)=多所以02》放“的取值短围为[2》】 ac 19.已知三棱柱ABC-AB,C的棱长均为2，AB=V6,平面ACC,A⊥平面ABC (1)求该棱柱的体积： (2)求平面ABB,A,与平面A,B,C,所成二面角的大小. B 【答案】(1)3：(2)arccos5和r-arccos5 5 5 【解析】(1)设AC的中点为O,连接AO,BO, 第8页共12页 :△ABC为等边三角形，边长为2， B0⊥AC,B0=V5,AO=1, :平面ACCA⊥平面ABC,平面4CCAn平面ABC=AC, ∴BO⊥平面ACCA,又A,OC平面ACCA, B0⊥A,0,A0=VAB2-B0=3, .AA=AO2+A02,则A0⊥AC, 又：平面AC,A⊥平面ABC,平面ACC,AO平面ABC=AC, ∴.A,O⊥平面ABC, ym4=c40=5x2×5-3: 4 (2)由(1)知A,O⊥平面ABC,BO⊥AC, 如图，以O为原点建立空间直角坐标系， A(0,-1,0,BV5,0,0,4(0,0,3), 设平面ABB,A,的一个法向量m=（x,y,2), AB.m=3x+y=0 不妨取x=1,则m=（,-5,, AAm=y+3z=0 易知平面A,B,C,的一个法向量万=(0,0,1)， 1-5 cos(m)=万5' 则平面AB,4平面48G所成二面角大小为arco5和石-arccos5 20.已如横圆C:荐+茶=1o>60的汽心卡为 4 ,O为坐标原点，P(4,3)是平面内一点，D是椭圆 C上一点，若OP=√2OD (1)求椭圆C的方程. (2)直线I:y=x+m(m≠0)与椭圆C交于A,B,线段AB的中点为T,若P,T,O三点共线， ①求k的值： 第9页共12页 ②试问：是否存在m,使得△PAB的面积取到最大值，若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由. 【答表】D后+号=1：2)@k=:②布在，m=3-35 169 2 【解折1D由a-50.将0253) 代入椭圆方程C可得8+9 6-1, 又椭圆离心率为5，可知二--女 4 a2 161 解得a2=16,b2=9, 故椭圆C的方程为广+少 16*91. (2)0设A,),B(x),则中点T当+立，+些）】 2 2 由P,T,0三点共线，知3.+=4.+业， 2 2 生+=1 169 由A,B均在椭圆C上， ，得9(x-)(x+x)+16(以-)y+2)=0, 三+监=1 169 由m≠0，则5+5≠0，则k=当-业=-9s+=-3 x-x216(y+2）4 3 y=- ②由 x+m +产，得9r2-l2mr+8m-12=0 169 △=14418-m2)>0,解得m∈(-3V2,0U(0,3W2), 4m x+x2= 由 ，-=G+-4不-子m+8, -8m-8 9 则-小+(k--m*18。 而P到AB的距离 - 令aPAB的面积为S.e,则S,n=Ad=子V-m+186-m 第10页共12页 令函数f(x)=(-x2+18)(6-x)2,x∈(-32,0小U(0,32), 记f(x)的导函数为f"(x), o-40-6r3r94g-o3-含-a 又根据3+35>3N2以及f)的符号， 2 故f)在x=3-35处取得最大值， 2 所以当m=3=35,Sp取得最大值 2 21.若曲线C的切线1与曲线C共有n个公共点（其中n∈N,n≥1），则称/为曲线C的“Tn-切线”. (1)若曲线y=f(x)在点(1，-2)处的切线为T,-切线，另个公共点的坐标为(3,4)，求'(I)的值： (2)求曲线y=x-3x2所有T-切线的方程： (3)设f(x)=x+six,是否存在t∈ 使得曲线y=f(x)在点(6∫()处的切线为T,-切线？若存 在，探究满足条件的1的个数，若不存在，说明理由. 【答案】(1)3：(2)见解析：(3)见解析 【解析】(1)曲线y=f(x)在点(1，-2)处的切线为T-切线，另一个公共点的坐标为(3,4)， 所以切线斜率为4二-2=3，所以了0=3。 3-1 (2)y=x3-3x2,所以y=3x2-6x。 设切点为，x。-3x)，则切线斜率为3x-6x, 所以切线方程为y-(x-3x6)=(3x6-6x)(x-),即y=(3x后-6x)x-2x+3x6. 设h(x)=x-3x2-（3x-6x)x+2x8-3x6=(x-x)(x+2x-3), 因为切线为T-切线，所以h(x)=0有且仅有1个根， x=Xo> 所以 x+2x,-3=0.解得6=1， 第11页共12页 所以山线y=x-3x2所有T-切线仪有一条，切线方程为y=-3x+1. (3)f(x)=x+sir,所以f'(x)=l+cosx,f(t)=1+sim 所以曲线y=f(x)在点(，f(t)处的切线方程为y-(t+sint)=(1+cost)(x-), y=(1+cos/)x+sint-tcost. g(x)=x+sinx-(1+cost)x-sint+tcost=sinx-xcost-sint+tcost, 所以g(x)=cosx-cos1, 因为 所以cos1∈(0,1)， 当keZ,x∈(2km-1,2km+1)时，g(x)=cosx-cos1>0,g(x)单调递增： 当x∈(2kπ+1,2km+2π-)时，g'(x)=cosx-cos1<0,g(x)单调递减， 所以g(x)的所有极大值为g(2kπ+)=-2kπcost, 当k=0时，极大值为0，即g()=0. 当k为正整数时，极大值均小于0，所以g(x)在(4，+∞)无零点. 当k为负整数时，极大值均大于0，g(x)的所有极小值为g(2kπ-)=(2t-2km)cost-2sint, 当k=0时，极小值g(-1)=21cos1-2sin1=2cos1(-tan)<0,且随着k的增大，极小值 (21-2km)cost-2sint越来越小， 因此面线y=f()在点，)0<1习到处的切线为方-切线，等价于y=8()有三个零点，等价于 (21+2π)cos1-2sin1=0,即tant-t=π有解. 令m0)-m1-0c1引则0=71=tam4>0. 所以m回在0引单调递增，又m(0)=0<,m ≈12.6>π， 所以存在唯一实数1©（引 满足tanl-l=π， 所以存作唯一实数10习引， 使得曲线y=(x)在点(，f()处的切线为-切线。 第12页共12页