2025-2026学年人教版七年级数学下册期末模拟试卷

**基本信息** 该试卷以七年级下册核心知识为载体，通过社会实践调查、红色研学租车、两江灯光秀等现实情境设计问题，融合抽象能力、推理意识与数据意识，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平行线性质、实数与数轴、坐标系规律|结合木条截线、墨迹覆盖等直观情境，考查空间观念| |填空题|6/18|点坐标、抽样估计、平方根|设计候鸟种群估计、动态点到轴距离问题，体现数据意识| |解答题|8/72|统计图表分析、几何综合、研学租车方案|以红色研学租车方案（任务2）、灯光秀旋转（24题）为载体，考查模型意识与推理能力|

人教七年级数学下册期末模拟试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，木条a、b被木条c所截，已知∠1=125°，若要使a∥b,则需使∠2的度数为() 55° B.45 C.50° D.60° 2.若将四个数-√5，√7，√5，√20表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数 是() -2-1012345→ A.-5 B.√万 C.15 D.√20 3.如图，在平面直角坐标系中，OA=1,将边长为1的正方形的一边与x轴重合并按图中 规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A26的坐标为() A A10 Au A3A16 A Aa AA12 A6 A7 A14A15 A.1014,0 B.(1013,1 C.(1013,0 D.(1013,-1 4.现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙 袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍.设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方 程组为() x-y=6 x-y=6 A. B. x-7=2(y+7) 12x-7）=y x=6+y x=6+y C. D. 12(x-7)=y+7 x+7=2(y-7) 试卷第1页，共3页 5.下列变形中，正确的是() A若2=，则=号 B.若-x<3,则x<-3 C.若a>b,c>d,则a+c>b+d D.若a>b,c>d,则a-c>b-d 6.丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活、服务社会，更能帮助同学们树立正确的 劳动态度与价值观.如图是从全校学生中随机抽取部分学生进行社会实践活动意向调查的相 关统计图，根据图中信息，下列说法错误的是() 随机抽取学生社会实践活动 随机抽取学生社会实践活动 意向的条形统计图 意向的扇形统计图 人数 100 80 68 60 B 40 0 20 12 0/0 A D类别 A.共抽取了200名学生 B.选B的有70人 C.选A的占比34% D.选C的占比20% 7.如图，四边形ABCD,CEFG,GHMN均为正方形，且正方形ABCD的面积为3，正方 形GHMN的面积为11，则正方形CEFG的边长可以是() M E A.1 B.√2 C.5 D.√7 8.如图，已知AB∥CD,∠D=I00°，EF平分∠BED,点G是CD上的一个定点，点P是直 线EF上的一个动点，设∠EPG=a,∠PGD=B,则点P在运动过程中，Q与B的关系不可 能是() A.-B=50° B.a+B=50° C.a+B=130° D.a+B=310° 试卷第1页，共3页 9.有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置 在大长方形ABCD中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是() -29 B A.72 B.68 C.65 D.60 10.定义：已知二次多项式ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)，把关于x的方程 4ax-b=cx-2的解称为该二次多项式的“溯源值”.若二次多项式-x2+mx+3“溯源值”的取 值范围是2≤x≤4，则m的最小值是() A.-26 B.-14 C.-8 D.-4 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，AB∥CD,EF⊥AB于点E,EF交CD于点F,EM交CD于点M,已知 ∠1=53°，求∠2的度数， 1入M D E 12.已知点M的坐标为(3m-2,2m+1),且点M到x轴的距离为2，则m的值为 13.为了估计某湿地公园中某种候鸟的种群数量，科研人员在春季捕捉了40只这种候鸟， 给它们戴上脚环后放回，一个月后再次捕捉200只这种候鸟，发现其中有8只带有脚环.假 设在两次捕捉期间鸟群数量稳定且脚环未脱落，那么该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约 为 只 14.一个正数x的平方根分别是3a-4和1-6a,则x的值是 x=m-1 15.已知关于x,y的方程组 x-y=a 的解满足 3x+y=2b y=3n+2,其中m,n都是实数，且 m-n=5.若a,b均为正整数，则符合条件的整数n的值为 [3(x-a)≥2(x-1) 16.关于x的不等式组2x-1≤2- 2 (1)当a=0时，该不等式组的解集是 试卷第1页，共3页 (2)若不等式组有5个整数解，则α的取值范围是 三、解答题（每题9分，共72分） 17.已知一个正数的两个平方根分别是a+2和2a-5;b-3的立方根为-2. (1)求a,b的值 (2)求4a-b的算术平方根 18.【阅读材料】√<10<V16,即3<√10<4,2<√0-1<3，√0-1的整数部分是 2,√10-1的小数部分是√10-1-2=10-3 【解决问题】 (1)√46的整数部分是 ,小数部分是 (②)已知m是√46-6的整数部分，n是√46-6的小数部分，求代数式m-n的值. 3)已知15-46=P十g其中P是整数，且0<g<1,求P-9的值. 19.解不等式组： 3(2+x)>x. 5<4x-1 2 20.为增强学生安全意识，某校举行了一次全校2000名学生参加的安全知识竞赛.从中随 机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60 分)分成四个等级(D:60≤x<70;C:70≤x<80;B:80≤x<90;A:90≤x≤100)，并 根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图， 安全知识竞赛成绩频数分布直方图安全知识竞赛成绩扇形统计图 安全知识竞赛成绩频数分布直方图 安全知识竞赛成绩扇形统计图 频数（学生人数） 70 60 60 A D 16% D:60≤x<70 5 40 C C:70≤x<80 30 24 B m% B:80≤x<90 40% A:90≤x≤100 10 0 60708090100成绩/分 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：n= ,n= (2)请补全频数分布直方图： (3)扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数为度 (4)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的 试卷第1页，共3页 学生人数。 21,在平面直角坐标系中，己知长方形ACDB,其中点A2,4),点D(6,-1). 图1 备用图 (1)填空：点B的坐标为 ,点C的坐标为 (2)若点P是y轴上的动点，连接PD ①如图1，当点P在y轴正半轴时，线段PD与线段AC相交于点E,用等式表示三角形 PEC的面积与三角形ECD的面积之间的关系，并说明理由； ②当PD将四边形ACDB分成面积相等的两部分时，求点P的坐标. 22.综合与实践 为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织480名师生前往红色教育基地开展研学实践 活动，需租用A型、B型两种大巴车，相关信息如下： ①若租用A型大巴车5辆、B型大巴车4辆，则还差15个座位可载满全部师生： ②B型大巴车每辆的最大载客人数比A型大巴车每辆的最大载客人数的2倍少30人： ③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示： 型号 最大载客人数 日租金（元） A 360 B 450 请根据上述信息，完成下列任务： (1)【任务1】求x和y的值. (2)【任务2】学校计划同时租用A型大巴车和B型大巴车（两种车型均至少租用1辆)，且恰 好坐满480名师生.问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金。 (3)【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即A型大巴车日租金降为300元/辆，B型大 巴车日租金为420元/辆.学校计划用3240元租用大巴车，且全部用完，且能载480名师生.请 问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由. 试卷第1页，共3页 23.如图1，直线MN与直线PQ互相平行，A、B分别是MN和P9上的两个点，连接AB, 在直线AB的右侧取一点C,满足LABC=45°，∠BAC=30°. A 以 D万 (图1) (图2) (图3) (1)如图1，若∠NAC=2∠CBQ,则∠MAB= o: (2)如图2，在直线MN上方平面内取一点F,直线AF交PQ于E,满足∠FBC=∠QBC, LEAC=∠NAC,求∠F. (3)如图3，作∠MAB、∠NAC的平分线AU、AV交PQ于S、T,作射线SW和TW交于 P,且使得∠Sw-号U,∠STW=兮457V,当四边形45mT的一边与8C平行时，求 ∠MAB的度数. 24.重庆两江灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，若河两岸EF∥GH,桥 OA垂直于河两岸，如图1，以0为原点，GH为x轴建立平面直角坐标系，河岸上点 A(0,17),点B(-10,0).为了强化灯光效果，在桥头A、0安置了180°可旋转探照灯.已知 灯A从AF开始顺时针旋转，速度为a度/秒，旋转至AE后开始回转，回转的速度为b度/秒， 光线记为AF',灯O从射线0G开始顺时针旋转，速度为b度/秒，旋转至OH后开始回转， 回转的速度为a度/秒，光线记为OG'.两灯同时开始旋转，且满足(a-3)+b-2=0. E G B 图1 图2 (1)a= ,b= (②)如图1，连接AB,将线段AB平移到线段AB,（点A的对应点为A),点A在x轴上，且 S△4BB,=510,求B的坐标， 试卷第1页，共3页 (3)如图2，点C是河道中一航标灯，点M是线段AB延长线上一点，连接AC、BC. ∠CAB和∠CBM的角平分线交于点D,∠DBC和∠CAD的角平分线交于x轴上点N, ∠CBH=2∠CAF,∠ANB-∠D=15·.在点N处设置一个可360°旋转的探照灯，当桥 头A、O灯开始旋转时，点N处的探照灯从NA开始绕N以1度/秒顺时针旋转，光线记为 NA,当NA到达NH时，所有运动均停止.时间t为何值时，射线NA所在直线，射线AF'所 在直线，射线OG'所在直线能围成直角三角形，请直接写出t的值. 试卷第1页，共3页 人教七年级数学下册期末模拟试卷 一、单选题(每题3分,共30分) 1．如图，木条a、b被木条c所截，已知，若要使，则需使的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由邻补角互补可得，再根据两直线平行、内错角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴， 要使，需． 2．若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一确定，，，各在数轴上的大体位置进行确定结果． 【详解】解：由数轴可知盖住的数大于0小于3， ，，，， 四个数，，，，只有被墨迹覆盖． 3．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点，，的坐标，归纳类推出一般规律即可． 【详解】解：由图可知，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 归纳类推得：点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 4．现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍．设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲袋原有银子比乙袋多6两，可得第一个等量关系：，从甲袋取7两放入乙袋后，甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两，根据“此时乙袋银子是甲袋的2倍”，可得第二个等量关系：；联立得到方程组即可 【详解】∵甲袋原有银子比乙袋多6两， ∴ 变形得； ∵从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍， 此时甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两， ∴； 可得 5．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据一元一次方程变形与不等式的基本性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．方程两边同除以得，与选项中结果不符，故A错误； B．不等式两边同乘，不等号方向改变，得，与选项中结果不符，故B错误； C．给两边同时加c可得 又，则，，即，故C正确； D．举反例：若，满足，但，，不满足 ，故D错误． 6．丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活、服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．如图是从全校学生中随机抽取部分学生进行社会实践活动意向调查的相关统计图，根据图中信息，下列说法错误的是（   ） A．共抽取了200名学生 B．选B的有70人 C．选A的占比34% D．选C的占比20% 【答案】B 【分析】结合条形统计图中D类的人数和扇形统计图中D类的占比，利用“总人数=部分人数÷对应占比”计算抽取的总人数．用总人数减去A、C、D类的人数，得到B类的人数． 用A类人数除以总人数，计算A类的占比．用C类人数除以总人数，计算C类的占比．逐一对比选项判断正误． 【详解】选项A：已知D类人数为12，对应占比，总抽取人数为 名， 该说法正确． 选项B：B类人数 :人，不是70人, 该说法错误． 选项C：选A的占比为 ， 该说法正确． 选项D：选C的占比为 ， 该说法正确． 7．如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 8．如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况：当点P在之间时，当点P在的下方时，当点P在的上方时，即可求解． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当点P在之间时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故A选项不符合题意； 当点P在的下方时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故B选项不符合题意； 当点P在的上方时，如图，过点P作，此时， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，故C选项不符合题意；D选项符合题意； 9．有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 10.定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，列出方程，求出的值，再根据，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：由题意，的“溯源值”是方程的解， 解，得， ∵， 二、填空题(每题3分,共18分) 11．如图，，于点E，交于点F，交于点M，已知，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，垂直的定义，余角的定义计算即可； 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 12．已知点的坐标为，且点到轴的距离为，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，解绝对值方程即可得到的值． 【详解】解：∵点到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得：或． ∴的值为或． 13．为了估计某湿地公园中某种候鸟的种群数量，科研人员在春季捕捉了40只这种候鸟，给它们戴上脚环后放回，一个月后再次捕捉200只这种候鸟，发现其中有8只带有脚环．假设在两次捕捉期间鸟群数量稳定且脚环未脱落，那么该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为________只． 【答案】1000 【分析】根据题意列方程求解种群数量即可. 【详解】解：设该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为只， ， 交叉相乘得： ， ∴， 解得：， 该湿地公园中这种候鸟的种群数量大约为只． 14．一个正数的平方根分别是和，则的值是________． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 整理得：， 解得：， 当 时， ，， ∴ ， 故答案为：． 15．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 【答案】0或或 【分析】先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得，， ∴， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，． 16．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解出原不等式组中的两个不等式解集分别为：，， （1）把代入解集中，解不等式组即可； （2）根据题意得，不等式组有且只有5个整数解，所以确定出的值，只能取，再写出实数的取值范围即可． 【详解】解：先解不等式组中的两个不等式， 解不等式， 展开得， 移项合并同类项得， 解不等式， 两边同乘6去分母得， 展开整理得， 解得， 因此不等式组的解集为. （1）当时，代入得， 因此不等式组的解集为. （2）若不等式组有5个整数解，由可知，5个整数解依次为， 因此可得不等关系， 不等式三边同时加2得， 三边同时除以3得. 三、解答题(每题9分,共72分) 17．已知一个正数的两个平方根分别是和；的立方根为． (1)求a，b的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义求解即可； （2）先计算出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得， 的立方根为， ， ； （2）解：，， ， 的算术平方根为3． 18．【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用夹逼法估算无理数的大小即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，其中是整数，， ∴，， ∴. 19．解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①：去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 解不等式②：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 两个解集的公共部分为， 因此原不等式组的解集为． 20．为增强学生安全意识，某校举行了一次全校2000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 安全知识竞赛成绩频数分布直方图安全知识竞赛成绩扇形统计图 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数为度_________； (4)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)320人 【分析】（1）用B：的频数除以占比，求得的值，进而用C：的人数除以总人数求得的值； （2）根据总人数求得D等级的人数，进而补全统计图； （3）根据D等级的占比乘以，即可求解． （4）用样本估计总体，用乘以等级的占比，即可求解． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴． （2）等级学生有（人）， 补全频数分布直方图如下： 安全知识竞赛成绩频数分布直方图 （3）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为． 故答案为． （4）（人）． 答：估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有320人． 21．在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵已知长方形，其中点，点． ∴ ∴，； （2）①，理由如下： 如图1，过点作于， 由平移知，轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即：； ②如图，∵四边形是长方形， ∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合， 连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则， ∵ 设 ∴ 由①可得 ∴ ∴即 解得： ∴ 22．综合与实践 为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下： ①若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生； ②型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人； ③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示： 型号 最大载客人数 日租金（元） 请根据上述信息，完成下列任务： (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金． (3)【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由． 【答案】(1) ， (2) 共有种租车方案，最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元 (3) 能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆 【分析】（1）根据若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生；型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人；列二元一次方程组求解； （2）设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆，根据租车的数量是整数，可知共有种租车方案，分别计算出种方案所需费用，通过比较得出最省钱的租车方案； （3）由（2）可知共有种租车方案：分别计算出降价后种租车方案所需租金，得到符合要求的租车方案． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：， 答：型号大巴车最大载客数为人，型号大巴车最大载客数为人； （2）解：设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆， 为整数且， 解得：， 且为整数， 当时，， 当时，， 共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； ， 最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元； （3）解：由（2）可知共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 学校的计划能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆． 23．如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求． (3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或或 【分析】（1）设，可得：，根据角之间的关系可得：，，根据，可得方程，解方程求出的值，把的值代入即可求出结果； （2）过点作，设，，可得，根据平行线的性质可得，即可求出； （3）设，，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由平分，，可得，所以可得，因为四边形的一边与平行，分四种情况求解． 【详解】（1）解：设， ， ， ，， ，即， 解得：， ； （2）解：如下图所示，过点作， 设，， ，，， ，即， ，即， ，， ，， ，， ，，， ， ， ； （3）解：设，， 平分， ， ， ， ， ，， ，即， ， 平分，， ， ， ， ， 如下图所示，当时，则， ， 解得：， 即； 如下图所示，当时，则， ； 如下图所示，当时，则， ，，， 即， 解得：， ， 当时， 则， 即， 解得：（不符合实际，舍去）； 综上，当四边形的一边与平行时，的度数为或或． 24．重庆两江灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，若河两岸，桥垂直于河两岸，如图1，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，河岸上点，点．为了强化灯光效果，在桥头、安置了可旋转探照灯．已知灯从开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为，灯从射线开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为．两灯同时开始旋转，且满足． (1)________，________． (2)如图1，连接，将线段平移到线段（点的对应点为），点在轴上，且，求的坐标． (3)如图2，点是河道中一航标灯，点是线段延长线上一点，连接、．和的角平分线交于点，和的角平分线交于轴上点，，．在点处设置一个可旋转的探照灯，当桥头、灯开始旋转时，点处的探照灯从开始绕以度/秒顺时针旋转，光线记为，当到达时，所有运动均停止．时间为何值时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或秒 【分析】（1）利用非负数的性质解答即可； （2）根据 ，得出，进而得出 ，则或，进而求得或； （3）分别过点作，根据角平分线的定义以及平行线的性质，，则，设，进而根据得出，即①，，得出②，解方程组得出，得出，进而分三种情况讨论，根据平行线的性质列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴ ， 解得 ， ∵， ∴或， ∵， ∴或； （3）解：如图，分别过点作 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设 ∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，即① ∵平分 ∴，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴② 联立①②得 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 已知灯从开始顺时针旋转，速度为3度/秒，，旋转至后开始回转，回转的速度为2度/秒，则，， 灯从射线开始顺时针旋转，速度为2度/秒，，旋转至后开始回转，回转的速度为3度/秒，则， 当时，如图 ∴当时，，解得：（舍去） 当时，，无解 当时，，解得：（舍去） ∴不存在的情形， 当时，如图，设交于点 当 ∴ ∴ 解得：（舍去） 当从返回时， 则 解得： 当时，如图，设直线，交于点，过点作 ∴， 当时， ∴ 解得：（舍去） 当时， 解得： 综上所述，时间或时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $