解三角形：正余弦定理与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的计算问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦解三角形两大核心模块，以近年模拟题和阶段检测题为载体，系统覆盖正余弦定理与三角函数性质的综合应用及复杂几何图形计算，突出知识逻辑与题型迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正余弦定理与三角函数性质结合|6题（3例+3变式）|含角平分线、垂心等元素，求角大小、周长/面积取值范围|从定理应用到三角函数性质（单调性、最值）的综合推导，构建“定理→性质→范围”逻辑链| |几何图形中的计算|6题（3例+3变式）|涉及三角形延长线、圆内接四边形、内切圆，求边长、面积及“分离比”|从简单三角形计算到复杂图形（四边形、含内切圆）综合，体现“基础图形→复合图形→几何量计算”递进关系|

解三角形：正余弦定理与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 解三角形：正余弦定理与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 考点目录 正余弦定理与三角函数性质结合应用问题 几何图形中的计算问题 考点一 正余弦定理与三角函数性质结合应用问题 例1.(2026黑龙江哈尔滨三模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC外接圆的半径为√6， H.bcosC+acos4=3asinA-ccosB. (1)求a; (②)角A的平分线交BC于点D,且AD=√5，求ABC的周长 例2.(2025·湖北黄冈·二模)如图，锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,直线1与ABC的边AB,AC 分别相交于点D,E,设∠4DE=0,满足acos(-0+bcos4+0)-=0 D50 (1)求角Θ的大小： (2)若DE∥BC且b=√5，求a+c的取值范围. 解三角形：正余弦定理与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 例3.(24-25高三上·江苏扬州阶段检测)已知锐角ABC的内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,满足 -3tan4=1. bcosA (I)求角B的大小； (2)若b=2,求ABC面积的取值范围. 变式1.(24-25高三上·湖北荆州阶段检测)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 4sinA-bsinB=csin(A-B). (1)求a的值： ②若BC的面积为B(公+-a】,求ABC月长的取值范同. 4 2 解三角形：正余弦定理与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 变式2.(2025·辽宁沈阳模拟预测)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin'C-sin CsinB= cos2B-cos2 4 (I)求角A的大小： (2)若ABC为锐角三角形，点F为ABC的垂心，AF=6,求CF+BF的取值范围. 变式3.(2025·河南·模拟预测)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C, 3cos 4 tan B+tan C=- cos BcosC (1)求A; (2)若a=√6，求b+c的取值范围 解三角形：正余弦定理与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 考点二 几何图形中的计算问题 例1.(2026·安微·模拟预测)2026年是中国航天深空探测的关键一年，某航天勘测团队在月球背面某区域进行地形 勘测，测得该区域三个勘测点A,B,C构成三角形，其中A,B两点相距2√3千米，勘测仪器测得∠BAC=60°， ∠ABC=45°. (I)求BC边的长度； (2)为进一步精准勘测，团队计划在BC边的延长线上取一点D,使得LCAD=30°，求CD的长度 例2.(2026~新疆.二模)如图，四边形ABCD为圆内接四边形，4B=5,BD=35,cosA=-4 D B (I)求sin ZABD: (2)若BC=5,求△BCD的面积. 解三角形：正余弦定理与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 4 例3.(25-26高三下·湖南长沙阶段检测)ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2+b=c,tanC= 3 (1)证明：a+b+c<2 (②)求ABC的内切圆半径r的取值范围； (③)若a=写△ABC的内切圆上有一点P,求点P到A,B,C三点的距肉的平方和的最大值 变式1.(2026天津河北一模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知b=2V2,c=4, ∠BAC=135°. (1)求a的值： 2)求sim2B+的值； 4 (3)过点A作AD L AB,D在边BC上，记△ABD与△ACD的面积分别为S,S,求三的值. S 5 解三角形：正余弦定理与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 变式2.(225河北模拟预测)设ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为，定义∫=的值为ABC的分离比” (I)若ABC为等腰直角三角形，求ABC的分离比∫： (2)证明：f=siA+sinB+sinC 2sinAsinBsinC: (3)探究f的最值 变式3.(2025广东惠州模拟预测)在ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,C,且4=了，a=4 (I)若BC边上的高AD=2√5，求证：ABC为等边三角形； 2)已知直线AM为∠BAC的平分线，目与BC交于点M，若AM=,6,求ABC的周长 6解三角形：正余弦定理与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 解三角形：正余弦定理与三角函数性质结合应用问题、几何图形中的计算问题专项训练 考点目录 正余弦定理与三角函数性质结合应用问题 几何图形中的计算问题 考点一 正余弦定理与三角函数性质结合应用问题 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换，特殊角的三角函数值得到，由正弦定理可得； （2）根据三角形面积和余弦定理可得方程组，联立可得，求出三角形周长 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， ， 又，，， 所以，，， 因为，所以，故，解得， 外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以， （2），故， 由三角形面积公式可得， ，， ，即，， 在中，由余弦定理可得， 即，故， 因为，所以，解得或（舍去）， 故的周长为. 例2．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解； （2）由正弦定理，得到，化简，根据锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 可得， 可得， 所以，可得， 又因为，可得， 所以，因为，所以. （2）解：因为，可得且， 由正弦定理得，可得， 则， 在锐角三角形中，可得 ，可得，可得， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 例3．（24-25高三上·江苏扬州·阶段检测）已知锐角的内角，所对的边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，由据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而求得的值，即可求解； （2）由（1）和正弦定理，得到，化简得到，根据为锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，即， 根据正弦定理得， 因为， 所以， 即 又因为，所以，可得，所以， 因为，所以. （2）解：在中，由正弦定理，可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 所以，所以， 所以，即面积的取值范围为. 变式1．（24-25高三上·湖北荆州·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化边，可求的值； （2）已知条件结合三角形面积公式化简求出，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式得，由，得，可求周长的取值范围． 【详解】（1）∵， 由正弦定理可得：， 由余弦定理知：，， 可得， 则有，由，解得. （2） 中由余弦定理知，又在中有， ∴，化简得， ∵，∴. 又，由正弦定理得：，， ， 因在中，，，， 所以，当时，等号成立， ∴周长的取值范围是． 变式2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，， 可得； （2）延长交于，延长交于，延长交于，， 根据题意可得，，因为，所以， 设，，在中，由正弦定理可得， 即，可得， 同理在中，可得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以． 变式3．（2025·河南·模拟预测）已知锐角三角形的内角的对边分别为，，，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据结合三角恒等变换分析运算； （2）利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换结合正弦函数分析运算. 【详解】（1）∵，即， 由于，则，即， 两边同乘以可得：， 则，且，解得. （2）由题意及正弦定理，得，， 则 ， 由（1）可知，且为锐角三角形， 则，解得， 则，所以， 故的取值范围是. 考点二 几何图形中的计算问题 例1．（2026·安徽·模拟预测）2026年是中国航天深空探测的关键一年，某航天勘测团队在月球背面某区域进行地形勘测，测得该区域三个勘测点A，B，C构成三角形，其中A，B两点相距千米，勘测仪器测得，． (1)求边的长度； (2)为进一步精准勘测，团队计划在边的延长线上取一点D，使得，求的长度． 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，再用正弦定理求解即可； （2）由正弦定理求，结合为等腰直角三角形、余弦定理求解即可. 【详解】（1）已知，，则， ，已知， ， 千米 （2），即， 已知在的延长线上，故， 在中，，故为等腰直角三角形， 由余弦定理：， 代入得， 化简得千米. 例2．（2026·新疆·二模）如图，四边形为圆内接四边形，，，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）是的内角，，， . 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 由正弦定理得 ， . （2） 四边形为圆内接四边形，， ，. 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 的面积 . 例3．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)证明： (2)求的内切圆半径r的取值范围； (3)若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出和的值，再用表示，进而得到的表达式，整理证明即可； （2）先利用和得到关于的表达式，通过函数关系确定的取值范围； （3）先求出的值，再建立坐标系，将内切圆方程表示出来，设出点的坐标，利用两点间距离公式表示出，结合圆的方程求其最大值 【详解】（1）由​，得​，​，结合已知， 由余弦定理得，化简得​， 所以 要证，即证， 因为，等价于，即， 又，即，解得， 所以，故成立，得证； （2）三角形面积​，内切圆半径​， 代入化简得​，， 是开口向下的二次函数，对称轴​，最大值为​，且， 故的取值范围是； （3）当​时，得​，​，三边长满足， 则为直角三角形，为直角，内切圆半径， 建立坐标系，如图所示 则，，，内心， 内切圆方程：， 设，则，即， 平方和， 展开化简得​， 由内切圆的范围​，当时最大，最大值为. 变式1．（2026·天津河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）利用余弦定理直接求解. （2）利用正弦定理、二倍角公式及和角的正弦公式求解. （3）利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，得， 解得． （2）由正弦定理，得，即， 因为B为锐角，所以， 则，， 所以． （3）因为，即，所以， 则． 设点A到直线的距离为d， 因为，，所以． 变式2．（2025·河北·模拟预测）设的外接圆半径为，内切圆半径为，定义的值为的“分离比”. (1)若为等腰直角三角形，求的分离比； (2)证明：； (3)探究的最值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值2，没有最大值 【分析】（1）设等腰直接三角形边长，求出外接圆和内切圆半径，再计算比值即可； （2）由正弦定理可得外加圆半径，利用等面积法求得内切圆半径，代入计算，再利用正弦定理边角互化即可证明； （3）法一、根据，令，又，所以，得到，即，然后可直接分析没有最大值；法二、根据相交弦定理得，然后，同法一可直线分析没有最大值. 【详解】（1）设的两条直角边为，斜边为2，所以外接圆半径为1. 内切圆半径满足，所以. 所以. （2）证明：的面积 则 所以. 由正弦定理， 所以. 因此，. （3）先探究的最小值：注意到， 先证明对于任意的正数，，，均有. 因为， 所以得证，当且仅当时取等. 所以， 下考虑的取值范围. 因为， 所以. 当且仅当取等. 对于， 又（i） （ii）， 当且仅当取等. 由（i）式与（ii）的平方相乘，有， 所以，所以， 故，当且仅当取等. 再探究的最大值，当足够小时，的取值足够小， 而，所以的取值将足够大，也即没有最大值. 综上，有最小值2，没有最大值. 【法二】设的外接圆圆心为，内切圆圆心为，过点作垂直于点. 连接并延长交圆于点，连接并延长交圆于点， 因为为的内心，所以为的平分线， 得，则. 所以和相似，得 又，，得. 连接，则，又， 所以， 即，所以.得. 作直线与圆交于，两点，由相交弦定理得 得.即【上面过程为欧拉公式证明】所以. 再探究的最大值，当足够小时，的取值足够小， 而取值可取到足够大，即没有最大值. 综上，有最小值2，没有最大值. 变式3．（2025·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用余弦定理并结合三角形面积公式计算可得，可得结论； （2）根据角平分线以及角度大小利用等面积法解方程可得，可得其周长. 【详解】（1）证明：在中，，， 由余弦定理得，即①. 又， 即，故②. 由①②得，即， 故. 所以为等边三角形. （2）在中，由， 得， 又直线为的平分线， 则， 所以，即③， 又由余弦定理可得，即.④， 由③④可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $