第3讲 解三角形训练-2026届高三数学三轮冲刺

第3讲解三角形 高考预测一：三角形中的求值问题 类型一：三角恒等变换 cosA-2cosC 2c-a 1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,已知cosB b. sin C (1)求sinA的值： COs B=1 (2)若 4,b=2,求△ABC的面积. 2·在△4BC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a≠b, cos2 A4-cos2B=3sin Acos A-3sin Bcos B (I)求角C的大小： ()若c=v月，sA= 2,求△4BC的面积. 3.△MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设sinB-sinC)'=sin'A--sin BsinC, (1)求A: (2)若V2a+b=2c,求sinC. 4.在O(sinB-sinC)y'=sin2A-sin BsinC,② bsin BC=asin B asin B=bcos(A-) 2 ,③ 6这三个条件中 任选一个，补充在下面问题中并作答。 问题：△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若V2a+b=2c,,求A和C. 类型二：几何图形 5.在△ABC中， 3.AB=15,点D在边BC上，CD=1,cos∠ADc1 26. (1)求sin∠BAD; (2)求△ABC的面积. ∠B=T 6.如图，在△ABC中， 6,MB=85,点D在BC边上，且CD=2, os∠ADC=号 (1)求sin∠BAD: (2)求BD,AC的长. c 7.如图，在△4BC中，AB=2.cosB 3,点D在线段BC上. 3 ∠ADC= (1)若 4不，求4AD的长： sin∠BAD 2)若BD=2DC△4CD的面积为3V2 ,求sin∠CAD的值. A B D 8.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1,CD=2,AC=√7 (1)求cos∠CAD的值： (2)若 4,sn<CBA=② os∠BAD=-V7 6,求BC的长. 9.如图，在平面四边形ABCD中，∠A=45°，∠ADC=90°，AB=2,BD=5. (1)求sin∠ADB: (2)若DC=2V2,求BC. B 10.在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AB=2,BD=V5,∠BCD=2∠ABD,△MBD的面积为2. (1)求AD的长： (2)求ACBD的面积. 11.如图，在平面四边形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=CD=4. (1)当四边形ABCD内接于圆O时，求四边形ABCD的面积S: (2)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线BD的长. A D A D B A T=tan二+tan二+tan+tan 12.如图所示，已知圆内接四边形ABCD,记 2 2 T=2+2 (1)求证：sinA sin B: (2)若AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求T的值及四边形ABCD的面积S. B A 13.如图，角A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角，AB=6,BC=3,CD=4. (1)若B=60°，∠DAC=30°，求sinD: (2)若∠BAD+∠BCD=180°，AD=5,求coS∠BAD D 14.某市欲建一个圆形公园，规划设立A,B,C,D四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其 中A,B,C的位置已确定，AB=2,BC=6(单位：百米)，记∠ABC=8,且已知圆的内接四边形对 角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题 (1)如果DC=DA=4,求四边形ABCD的区域面积： 28π (2)如果圆形公园的面积为3万平方米，求cos8的值， 类型三：向量问题 15.锐角△MBC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,V3b)与i=(csA,sinB)平行. (1)求角A: (2)若a=V2,求△MBC周长的取值范围. 16在ABC中，内角4，B,C的对边分别为4，b,c,且a>e.已知际C-2osB- 3,b=3. 求： (1)a和c的值； (2)cos(B-C)的值. 17.△MBC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若ABAC=BABC=1.解答下列问题： (1)求证：A=B: (2)求C的值： (3)若AB+AC=V6,求△4BC的面积. 高考预测二：三角形中的取值范围或最值 类型一：化为角的关系 l8.设△ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，a=2 bsin A. (1)求角B的大小： (2)求cosA+sinC的取值范围. B 19.在A4BC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,A、4、C成等差数列. (1)若b=V13,a=3,求c的值： (2)设t=sin Asin C,求t的最大值. 20.在△MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,角A,B,C依次成等差数列. (1)若sinB=sin Asin C,试判断△ABC的形状； ②)若△4BC为纯角三角形，且a>c,试求S2+V3sn2cos22的取值范面 2 类型二：周长或边长的范围 21.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且A,B,C依次成等差数列. (1)求角B的大小： (2)若b=V5,求△4BC周长的取值范围. 22.在△MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-V3sinA)cosB=0. (1)求角B的大小： (2)若a+c=1,求b的取值范围. 23.在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin'A+sin2C-sin AsinC=sin2B. (1)求角B的大小： 5v3 (2)若△MBC为锐角三角形，其外接圆的半径为3，求△4BC的周长的取值范围. 类型三：面积的范围 2c-b cos B 24.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足a cosA. (1)求角A的大小： (2)若a=2V5,求△4BC面积的最大值. 25.在△ABC内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csin B. (1)求角B: (2)若b=2,求△4BC面积的最大值. asin 4+C=bsin d 26.△4BC的内角A、B、C的对边分别为a,b,C.已知 2 (1)求B: (2)若△MBC为锐角三角形，且C=1,求△4BC面积的取值范围. 27.己知圆O的半径为R(R为常数)，它的内接三角形ABC满足2R(sin'A-sin'C)=(N2a-b)sinB成立， 其中a,b,C分别为∠A,∠B,∠C的对边， (1)求角C: (2)求三角形ABC面积S的最大值. 第3讲解三角形解析 高考预测一：三角形中的求值问题 类型一：三角恒等变换 cos A-2cosC_2c-a 1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,已知cosB b. sinC (1)求sinA的值； 1 cos B= (2)若 4,b=2,求△ABC的面积. cos A-2cosC 2c-a 2sin C-sin A 【解析】解：(1) cos B b sin B, .'cos Asin B-2sin BcosC=2cos Bsin C-sin Acos B. .sin Acos B+cos Asin B=2sin BcosC+2cos Bsin C, .sin(A+B)=2sin(B+C) .sin C=2sin A, sinC=2 .sin A (2)由(1)可得c=2a, 由余弦定理可得b2=a2+c2-2 accos B, 4=a2+4a2-a2, 解得a=1,则c=2, 1 .cos B= 4, ÷sin B=15 4, s=)acsin B=x1×2x5- 2 2 44 2.在△4BC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,已知a≠b, cos2 A-cos2 B=3 sin Acos A-3sin B cos B (I)求角C的大小： (I)若c=5. sini=y② 2,求△ABC的面积. 【解析】（本题满分为12分） 解：(I)cos2A-cos2B=V3 sin AcosA-V3 sin BcosB. 1+cos24 1+cos2B 3. .2 2 -sin 24-V3 2 sin 2B ,.2分 可得：cos2A-cos2B=V35sin2A-V5sin2B,可得： sin(24-Z)=sin(2B- 6 6,4分 △4BC中，a≠b,可得A≠B, .2A-T+2B-T= -=π 6 6 A+B=2π 3,可得：36 分 (Ⅱ)由(I)可得， A+B=2 , :sinA=② A=I B=77 2,可得：4， 12,.8分 sin 7r 12 =sin(+=6+2 431 4,10分 a :c=3,由正弦定理sinA sinC,可得：a=V2,l1分 5a-csn8=3+ 1 .12 4 分 sim7z=in75°=6+2 (注：解法较多，酌情给分，直接12 4的也给分) 3.A4BC的内角A,B，C的对边分别为a,b,c.设inB-sinC)'=sin'A--sin BsinC, (1)求A: (2)若V2a+b=2c,求sinC. 【解析】解：(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C. (sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C. .'sin2B+sin2C-2sin Bsin C=sin2A-sin Bsin C. ∴由正弦定理得：b2+c2-a2=bc, ".cos4=b+c-a be I 2bc 2bc2, π ∴.A=9 0<A<π， 3 2)2a+b=2c,4= 3 “由正弦定理得V2sinA+sinB=2sinC, +sin( 6 2 3 -C)=2sin C √2 in(C-)= c-=C=+ 解得 6 2, 64, 46. smC-sm匠+爱-牙os+eosn2-2x5+2x{6+2 461 4 6 4 m6=2x2+2×24 4.在①(siB-sinC)y'=sin'A-sin BsinC,②0 bsin+C=asin B。asinB=bcos(A-石 2 ,③ 6这三个条件中 任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若V2a+b=2c,,求A和C. 【解析】解：若选O,(sinB-sinC)=sinA-sin BsinC,由正弦定理可得b-c'=r-bc, 则b+c2-a2=bc, cosd-bito-a be1 由余弦定理可得 2bc 2bc2, 又0<A<π， A= 3 .v2a+b=2c, ..2sin A+sin B=2sin C, sin+sin( 3 C)-2sinC 3 ·2smos=2 2, sin(c-名）=2. .C-Z-I 64, c-8. B+C=asin B bsin πA、 若选②， 2 ，由正弦定理可得 sin Bsin()=sin Asin B sinB≠0， 4 =2sin ∴.cos 2 2 A A1 :0<x 22, A=π 3, .:2a+b=2c, .2sin A+sin B=2sin C, s号m-0-2smc】 2i咖c、1n cosc= 2, .sin(c)= 6 2, “C-π=π Γ64， .C=Sr -12. asin B=bcos(A- sin Asin B=sin Bcos(4-) 若选③ 6,由正弦定理可得 6, :sinB≠0， ·sinA=cos(A- 6 :A+A-T=TT+A=A-四 62或2 6, A= 3, .:2a+b=2c, .2sin A+sin B=2sinC, V2sin+sin( π -C)=2sin C 3 3 . sinc、 cosC= 2, ·sin(c- √2 )= 62 .C-I 64, .C= 12. 类型二：几何图形 5.在△ABC中， <B=π 3,AB=15,点D在边BC上，CD=1, cos∠ADC= 26 (1)求sin∠BAD; (2)求△MBC的面积. 【解析】解：(1)由 os∠ADC= 可得n10C-产-15 26,可得 26 则sn∠B1D=sin∠4DC-7=sin∠ADCo-os乙ADCsin?-155x！1x5_5 3 326226226 BD 15 BD AB 7W515V5 (2)在△MBD中，由正弦定理可得sin∠BAD sin∠ADB，,即2626，解得BD=7, 所以BC=7+1=8, 所以△4BC的面积5-24B-BC-s血∠ABD-×15×8×sim5=305 6.如图，在△4BC中， 6,B=85,点D在BC边上，且CD=2,s∠ADC= ∠B= 7 (1)求sin∠BAD: (2)求BD,AC的长 c 1 os∠ADC= 【解析】解：(1)在△ADC中，因为 sin∠ADC=4V3 所 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADC cos B-cos∠ADC sin B 4w3511 7272 11 214 BD=AB:sim∠BAD8V5x 4=11 sin∠ADB 4V3 (2)在△ABD中，由正弦定理得 7 在△ABC中，由余弦定理得： AC-B+BC-2B.BC.c05B8+32xx3x49 2 所以AC=7. 7.如图，在△4BC中，AB=2, CosB=1 3,点D在线段BC上. (1)若 ADC=4”,求AD的长： 3 42 sin∠BAD (2)若BD=2DC,△ACD的面积为3，求sin∠CAD的值. A C D 2W2 cosB=÷sinB 【解析】解：(1)△ABC中， 3 3. 4c-子，2a08=号 3 AD 2 2w22 8 △ABD中，由正弦定理可得32， .AD=3 3； (2)设DC=a,则BD=2a, 42 :BD=2DC,△ACD的面积为3， 1 .4V2=×2×3a× 2W2 2 3, .∴.a=2 1 ∴AC= 4+36-2×2×6×号=4V2 3 4 2 由正弦定理可得sin∠BAD sin∠ADB,.sin∠BAD=2sin∠ADB, 2 4v2 sin∠CAD=V2 4 in∠ADC sin∠CAD sin∠ADC, sin∠ADB=sin∠ADC, sin∠BAD =4W2 ∴.sin∠CAD 8.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1,CD=2,AC=√万 (1)求cos∠CAD的值： 14sin∠CBA=V21 (2)若 os∠BAD=-V7 6,求BC的长. D B 【解析】解：AD=1,CD=2,AC=√7 os∠CAD=4C+AD2-CD2 (1)在△ADC中，由余弦定理，得 2AC.AD. coS∠CAD= 2W7 1； (2)设∠BAC=a,则C=∠BAD-∠CAD, cos∠CAD= 7 7 cos∠BAD=-V 14 ∴.sin∠CAD= v21 7 sin∠BAD= 3W21 14 i咖a 7 BC AC 在△ABC中，由正弦定理，sina sin∠CBA, 解得：BC=3. 即BC的长为3， 9.如图，在平面四边形ABCD中，∠A=45°，∠ADC=90°，AB=2,BD=5. (1)求sin∠ADB: (2)若DC=2W2,求BC. B A 【解析】解：(1)△4BD中，∠A=45°，AB=2,BD=5, AB BD 由正弦定理得sin∠ADB sin A, 5 即sin∠ADB sin45°， √2 in∠ADB= 解得 5； os∠BDC=sin∠ADB= 2 (2)由∠ADC=90°，所以 5, 在ABCD中，由余弦定理得： BC-BD+DC-2BD.DC.c05BDC-2)2xx2x =25 5 解得BC=5, 10.在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AB=2,BD=V5,∠BCD=2∠ABD,△MBD的面积为2. (1)求AD的长： (2)求ACBD的面积. B.BD-sin∠ABD=x2xV5.sin∠ABD=2 1 【解析】解：(1)由己知5m sin∠ABD=2 所 5,又 所yos∠ABD= ∠ABD∈C0,2).所y 5, 在△MBD中，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2-2 AB.BD.cos∠ABD=5, 所以AD=V5 (2)由AB1BC,得 ∠ABD+∠CBD=T 所以 sim∠CBD=cos∠ABD= 5, 又 ∠BCD=2∠ABD,sin∠BCD=2sin∠ABD.cos∠ABD=4 5, ∠BDC=x-∠CBD-∠BCD=X-号∠ABD)-2∠ABD-7-∠ABD=∠CBD BD CD 所以△CBD为等腰三角形，即CB=CD,在△CBD中，由正弦定理得：sin∠BCD sin∠CBD, CD-BD-sin∠CBp.V5x -5 15、545 sin∠BCD B.CD-sin∠BCD=2×4x4*58 2 所以 5 D B 11.如图，在平面四边形ABCD中，AB=2,BC=6,AD=CD=4, (1)当四边形ABCD内接于圆O时，求四边形ABCD的面积S: (2)当四边形ABCD的面积最大时，求对角线BD的长. D A B 【解析】（本题满分为14分） 解：(I)连接BD,由余弦定理可得： BD2=AB2+AD2-2AB.ADc0sA=22+42-2×2×4×c0sA, BD2=BC2+CD2-2BC.CD-cos C=42+62-2×4×6×cosC, 可得：20-16c0sA=52-48cosC,.2分 又四边形ABCD内接于圆O,则又A+C=π， 所以：20-16c0sA=52-48c0s(π-A),化简可得： Cos4=_1 2 又A∈(0，)】 12x C-I 所以3， 3,4分 S=Sum Sacn-7x2x4xsin+4x6xsin=8/3 所以 3 3 ,.6分 (2)设四边形ABCD的面积为S,则 =SmD+SncD4B-AD-sin A+BC.CD-sin C 可得：BD2=AB+AD2-2 AB.AD-c0sA=BC2+CD2-2BC-CD.cosC,8分 s=×2x4sinA+×4x6sinC 2 (S=sin 4+3sinC 4 可得：2+4-2×2×4cosA=4+6-2×4×6c0sC,可得：2=3cosC-c0sA,平方后相加，可得： S -+4=10+6sin Asin C-6cos AcosC 1 S2 =6-6c0s(A+C) 即：16 ,10分 S2 又A+C∈(0,2π)，当A+C=元时，16有最大值，即S有最大值. cosC=2, 1 此时，A=π-C,代入2=3cosC-cosA,可得： C=π 又C∈(0，)，可得：3,12分 BD=BC2+CD:-2BC-CD-cosC=4+6-2x4x6xcos=28 在△BCD中，可得： 3 ,可得BD=2√7 .14分 D D B B D 12.如图所示，己知圆内接四边形ABCD,记 T=tan4 2 T22 十 (l)求证：sinA sin B； (2)若AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求T的值及四边形ABCD的面积S. B A D 解 析 】 解 1 ) sin 4 T=tn tantan tanrcor tan sin B 22 2 2 2 2+cot 2.+ A 2+B cos sin 4 2 sin B sinA sin B (2)由于：AB=6,BC=3,CD=4,AD=5, 由题知：Cos∠BAD+cos∠BCD=0. B+AD'-BD BC+CD:-BD=0=BD:=247 可得： 2AB.AD 2BC.CD cos4=3 sin4=210 则 7 7 S=1(4D.AB+CD-BC)sin A=610 则2 S=2MB-BC+AD-CD)sin∠ABC=6Ni0→sSin∠ABC=6Ni0 则2 19, T=2+2=2240 十 sin A sin B 210 6v10 3 7 19 B D 13.如图，角A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角，AB=6,BC=3,CD=4. (1)若B=60°，∠DAC=30°，求sinD: (2)若∠BAD+∠BCD=18O°，AD=5,求coS∠BAD D c0sB=3+6-4C31 【解析】解：(1)在△4BC中， 2×3×62 .AC2=32+62-3×6=27, :4C=35, sin∠DAC_sinD AMCD中，由正弦定理CD AC, .sin D=4C 5sin∠DAC=3V CD .sin3033 4 8. c0s∠BAD=S+62-BD (2)在A4BD中， 2×5×6, cos∠BCD=32+42-BD2 在△BCD中， 2×3×4, :∠BAD+∠BCD=180°， 53+6-BD2+3+4-BD=0三 ∴.cos∠BAD+cos∠BCD=0,.2×5×62×3×4 2(25+36-BD2)+59+16-BD)-=0 可得： 120 可得：2×61-2BD2+5×25-5BD2=0, 可得7BD2=247, 247 c0s∠BAD=52+63-BD225+36-247 7 2×5×6 60 1 14.某市欲建一个圆形公园，规划设立A,B,C,D四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其 中A,B,C的位置已确定，AB=2,BC=6(单位：百米)，记∠ABC=8,且已知圆的内接四边形对 角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题. (1)如果DC=DA=4,求四边形ABCD的区域面积； 28π (2)如果圆形公园的面积为3万平方米，求Cos8的值. D 【解析】解：(I)连结BD,可得四边形ABCD的面积为： S-S+S.cm=AB-ADsinA+BC-CDsinC 2 :四边形ABCD内接于圆， ∴.A+C=180°，可得sinA=sinC. S=14B-ADsinA+BC-CDsin C 2 (AB.AD+BC.CD)sin4 1 =。(2×4+6×4)sinA 2 =16sinA..(*) 在△ABD中，由余弦定理可得： BD2=AB2+AD2-24B.ADcos A=22+42-2x2x4cos A=20-16cos A. 同理可得：在△CDB中，BD2=CB2+CD2-2CB.CDcosC=62+42-2×6×4cosC=52-48cosC, .'.20-16cos A=52-48cosC, 1 CosA=- 结合cosC=cos180°-)=-cosA,得64cosA=-32,解得0 2 Ae(0°，180). .A=120°， 代入()式，可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8V5 28π 28元=πR R=227 (2)·设圆形公园的半径为R,则面积为3万平方米，可得：3 ,可得： 3 sin0=AC_3AC AC 2R=4V27 4V214v21 由正弦定理sinB 3,可得： 3 :由余弦定理可得：AC=V22+62-2×2×6×c0s9=V40-24c0s6 ∴sin0= 3AC 3V40-24cos0 4W21 4V21 两边平方，整理可得：14sin20=15-9cos0, .sin20+cos20=1, 15-9cos0 +cos20=1 .14 ,整理可得：14c0s20-9cos20+1=0, 1 1 c0s0= ∴解得： 7,或2. D 类型三：向量问题 15.锐角△1BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,N5b)与i=(cosA,sinB)平行. (1)求角A: (2)若a=V2,求A4BC周长的取值范围. 【解析】解：(1)因为：m/万， 所以：asin B-V3 bcosA=0, 由正弦定理，得：sin Asin B-V3 sin BcosA=0, 又因为：sinB≠0， 从而可得：tanA=3, 由于：0<A<π， A 所以：3. b= c=a= √22N6 sin B sin C sin A 33 (2)因为：由正弦定理知 2 =a+b+c=2+2y6 -(sin B+sin C) 可得：三角形周长 3 C= 2r-B 又因为： 所以： sin B+sin C=sin B+sin(-B)=3 sin(B+ 3 因为：△ABC为锐角三角形， <B<gB+∈,2)sinB+sinC∈(GV5] 所以：6 2, 63’3 所以：1∈(N6+2,3V2] 16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BABC=2.cosB= 3,b=3」 求： (1)a和c的值； (2)cos(B-C)的值. 【解析】解：(1)BABC=2,cosB= 3,b=3, 可得ca cos B=2,即为ac=6; b2=a2+c2-2accosB, 即为a2+c2=13, 解得a=2,c=3或a=3,c=2, 由a>c,可得a=3,c=2; (2)由余弦定理可得 cosC=+2-c=9+9-47 2ab -2×3×39, ，494v2 819, sin B=1- 1_22 cos(B-C)-cos BcosC+sin BsinC-1x23 -X- Γ393、927 17.△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若ABAC=BABC=1.解答下列问题： (1)求证：A=B; (2)求c的值； (3)若AB+ACV6,求△4BC的面积。 【解析】证明：(1)因AB.AC=BABC,故becosA=accosB,即bcos A=acos B. 由正弦定理，得sin BcosA-=sin AcosB,故sin(A-B)=0, 因为-π<A-B<π， 故A-B=0,故A=B.…(4分) +c2-a=1 bc. (2)因AB,AC=1,故bccos A=1,由余弦定理得2bc 即b2+c2-a2=2；又由(1)得a=b, 故c2=2,故c=2.…(10分) (3)由AB+AC=6得B+1ACP+2ABAC上6， 即c2+b+2=6, 故C2+b=4,因c2=2,故b=V2, 故△ABC是正三角形， 故面积 4xw2= 3 2.…(16分) 高考预测二：三角形中的取值范围或最值 类型一：化为角的关系 l8.设△4BC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，a=2 bsin A. (1)求角B的大小： (2)求cosA+sinC的取值范围. 【解析】解：(1)由正弦定理得：a=2 bsin A台sinA=2 sin Bsin A, A为锐角，故sinA≠0， ∴.sinB= 2,而B为锐角， .B=I 6 (2) “B=交 6, A+C= 6 ∴.cosA+sinC= cos4+sin(z) 6 =cos4+sin cos 4-cos sin 4 6 6 s4+5 -sin A 2 =5sm4+ :△ABC是锐角三角形， 4+C=57 6, π 0<C=-A2, 6 A< π 3 2, 2<A+<5 .3 36, <sin(A+)<V③ .2 32 5+9 .2 3 B 19.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,A、4、C成等差数列. (1)若b=13,a=3,求c的值： (2)设t=sin Asin C,求t的最大值. 【解析】解：(1)A、4、C成等差数列， B .2×2=A+C=180°-B 4 .B=120°， b=V13,a=3, .13=9+c2-6ccos120°， .c2+3c-4=0, c=1; t=sin Asin C=sin Asin(60)3sin dcos4-sin'4= 11 -+-sin(2A+30) (2) 2 2 42 0°<A<60°， ∴.30°<2A+30°<150°， .2A+30°=90°，t的最大值是4. 20.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,角A,B,C依次成等差数列. (1)若sinB=sin AsinC,试判断△ABC的形状： sinsincos A。A1 (2)若△MBC为钝角三角形，且a>C,试求2 222的取值范围. 【解析】解：(1)sin2B=sin AsinC,∴b2=ac. A,B,C依次成等差数列，2B=A+C=E-BB- 3. 由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B,a2+c2-ac=ac,∴a=c. ∴△4BC为正三角形. （2)要求的式子如+5inos-}-1上cosC, 2222 sin4 2 2 4sinA sn+4osA-2m(4+ 1 6 <A<22<A+<5 .2 3,.3 66, :2si(4+<51. 1 61 2,故4 in(1+<5 6 4 sin+sin4cos3 ∴.代数式2 2 0s22的取值范围是4，马) 类型二：周长或边长的范围 21.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且A,B,C依次成等差数列. (1)求角B的大小： (2)若b=V5,求△4BC周长的取值范围. 【解析】解：(1)A,B,C成等差数列， ∴.A+C=2B B=T 又A+B+C=π，.3： a b sin sinc sin sin =2 (2)在△ABC中，由正弦定理， 3 ∴.△ABC的周长1=a+b+c=2sinA+3+2sinC =2sinA+V5+2sin2π-A0=25sin(A+乃+N5 3 6 又 40,2 .1∈(23,3v3] ·△4BC周长的取值范围(2V3,3W5 22.在△MBC中，角A，,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-V5sinA)cosB=0 (1)求角B的大小： (2)若a+c=1,求b的取值范围. 【解析】解：(1)由已知得：-cos(A+B)+cosAcosB-V3 sin AcosB=0 sin Asin B-3sin Acos B=0. :sinA≠0，∴.sinB-√3cosB=0,即tanB=V3, 又B为三角形的内角， (2).a+c=1,即c=1-d cosB、1 2 由 余 弦 定理 得： b2 =a2+c2-2ac-cos B. 即 -ae-(a+o-3cc-3a) 4 0<a<1,4b<1 则26<1 1 23.在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinA+sinC-sin AsinC=sinB. (1)求角B的大小： 5W3 (2)若△4BC为锐角三角形，其外接圆的半径为3，求△4BC的周长的取值范围. 【解析】解：(l)△MBC中，由sinA+sinC-sin AsinC=sin2B, 得a2+c2-ac=b2,即a2+c2-b=ac: osB-a'tci-biac1 所以 2ac 2ac 2: B=T 又B∈(0，元)，所以°3： B=T 5w3 (2)由(1)知3，且外接圆的半径为3， b=2R 由正弦定理得如3，b=2x 55x5-5 -X 32 a==2R=105 由正弦定理得sinA sinC Γ3： +cs10 所以 3 (sin 4+sinC) 4+C=27 3, a+c=10 所以 3 -[sin A+sin( 2元-A】 10W53 3xGsin4+- -cos A) =10sin(4+) 6； 0<A<z0<C<T 又△4BC为锐角三角形，则2且 2, C=2-A<A< π <A+<2 3 ,则6 2,所以3 63: 3 <sin(4+)1 所以2 6； 所以55<a+G,10,即△4BC周长的取值范围是5+5W5,1]. 类型三：面积的范围 2c-b cosB 24.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a cosA. (1)求角A的大小： (2)若a=2W5,求△4BC面积的最大值. 2c-b cos B 【解析】解：(1)a cosA, ∴.(2c-b)cosA=a-cos B 由正弦定理，得：(2sinC-sinB)cosA=sin A-cos B .整理得2 sin C.cos A-sin B-cos A=sin A-cos B .'2sin C.cos A=sin(A+B)=sin C 在△ABC中，sinC≠0. 1 3 Cos4=b+o2-a I (2)由余弦定理 2bc2,a=25」 .b2+c2-20=bc.2bc-20 bc,20,当且仅当b=c时取“=”. S=Ibcsin A 53 ∴.三角形的面积 2 ·三角形面积的最大值为55 25.在△ABC内角A、B、C的对边分别为a,b,C,已知a=bcosC+csin B. (1)求角B: (2)若b=2,求△MBC面积的最大值. 【解析】解：(l)a=bcosC+csin B, ∴.根据正弦定理，得sinA=sin BcosC+sin Bsin C.,①， A+B+C=π， sinA=sin(B+C)=sin BcosC+cos BsinC…②， .比较①②，可得sinB=cosB, 即tanB=l, 结合B为三角形的内角，可得B=45°： (2)△4BC中，b=2,B=45°， ∴根据余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B, 可得a2+c2-2 accos45°=4， 化简可得a2+c2-V2ac=4 a+..2ac, .4=a2+c2-V2ac.(2-√2)ac 即aG,4+2V2)当且仅当a=c时等号成立. △ABC面积 S=acsin Bu+1 2 综上所述，当且仅当a=C时，△4BC面积S的最大值为V2+1. asin 4C-bsin 26.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,C.已知2 (1)求B: (2)若△ABC为锐角三角形，且C=1,求△MBC面积的取值范围. asin 4+C=bsin 为，asin交B acos- -=bsin A 【解析】解：(1) 2 ,即为2 2 sin Acos B」 =sin Bsin A=2sin cos 可得 2 .sin A>0. B BB ∴.cos2=2sin2cos 2 22， B cos- =0 若2，可得B=(2k+)r,k∈Z不成立， sinB、1 m22, B=I 由0<B<π，可得3； (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1, b=a2+1-2a-l-cos*=Va2-a+l 由余弦定理可得 由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a+1>a2,且l+a2>a2-a+l, 解得2下a<2 可将a6c可积-wn号-卓传5 8.2 27.已知圆O的半径为R(R为常数)，它的内接三角形ABC满足2R(sinA-sin'C)=(N2a-b)sinB 成立，其中a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边， (1)求角C; (2)求三角形ABC面积S的最大值. 【解析】解：(1)2R(sin2A-sin2C)=(N2a-b)sinB ..4R2(sin2 A-sin2 C)=2R(2a-b)sin B 由正弦定理得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C代入， 得a2-c2=2ab-b2, .c2=a2+b2-V2ab. COsC=a+b-c_V2 由余弦定理知， 2ab 2, …C-π 4； 2)由)知，C-至。448- 4 2absinC -ab 4 sin Aesin B 4 =√2R'sinsin(3r-0 4 V2 sin,cos中 2sin 4] Rsin24-v2 -c0s24)+ 4 N2R2 sin(24-)+ 2 A-B=37 2+1R 当且仅当”8时， S max= 2