抛物线焦点弦的性质、抛物线中参数范围问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

抛物线焦点弦的性质、抛物线中参数范围问题专项训练 抛物线焦点弦的性质、抛物线中参数范围问题专项训练 考点目录 抛物线焦点弦的性质 抛物线中参数范围问题 考点一 抛物线焦点弦的性质 例1．（2026·重庆·模拟预测）直线与x轴相交于点A，与抛物线的准线相交于点B，过点B作C的准线的垂线与C相交于点D，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据直线 的方程求出点和点的坐标，再根据抛物线的定义和已知条件求出点的坐标，最后将点的坐标代入抛物线方程，进而求出的值. 【详解】对于直线 ，令 ，可得 ，解得 ，所以点 的坐标为. 把代入直线，可得，所以点的坐标为, 因为垂直于准线，所以； 把代入抛物线方程,可得，即，解得 ，所以点 的坐标为 ； 已知 ，且 ，则 ， 即 ，化简得，解得 . 例2．（2026·陕西渭南·二模）若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求得结果. 【详解】由题意可知，抛物线的准线为，设， 则根据抛物线的定义可知. 因为直线与抛物线交于，两点， 所以联立方程可得，化简得. 根据韦达定理得，所以. 例3．（25-26高二下·浙江·期中·多选）抛物线，分别为坐标原点和抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，表示直线的斜率，则下列结论正确的是（    ） A．当时，弦长等于8 B．的最小值为6 C．为定值 D．当存在时，的中垂线恒过定点 【答案】AC 【分析】设，对于A，求出直线的方程，联立方程，再根据焦点弦公式求解即可；对于B，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据焦半径公式结合基本不等式即可判断；对于C，根据数量积的坐标公式判断即可；对于D，求出中垂线的方程判断即可. 【详解】由题意，设， 对于A，当时，直线的方程为， 联立，消得，， 则， 所以，故A正确； 对于B，易得直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消得， 则，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B错误； 对于C，由B选项得， 即为定值，故C正确； 对于D，由B选项得， 则线段的中点坐标为，线段的中垂线所在直线的斜率为， 所以中垂线所在直线的方程为， 即， 该方程含三次项，无法对任意找到固定点使得等式成立， 所以当存在时，的中垂线不过定点，故D错误. 例4．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测·多选）已知抛物线的焦点为，准线为为坐标原点，过的直线交于两点，过点作的垂线，垂足为，则（    ） A．的最小值为3 B．平分 C．当时，与轴夹角为 D．直线恒过定点 【答案】ABD 【详解】A：设过焦点的直线为，代入抛物线方程，得， 设，，则，， 由焦点弦长公式可得， 当时，，故A正确； B：由抛物线定义，，故为等腰三角形，， 又轴，故，因此，即平分，故B正确； C：由，得，代入抛物线方程得， 直线的斜率，故直线与轴夹角为或，不是，故C错误； D：点，直线的方程为， 代入原点验证可得左边， 结合，代入可得右边， 可验证当时，，即直线恒过原点，故D正确． 例5．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最小值． 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得， 由余弦定理得，又， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， ∴，即的最小值为. 例6．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，若线段中点的纵坐标为，则___________． 【答案】 【分析】利用抛物线定义，将焦半径差转化为两点纵坐标差；结合中点纵坐标解出。再通过点在抛物线上，用纵坐标表示横坐标，得到两点横坐标之差。最后代入两点间距离公式，建立关于的方程求解. 【详解】由抛物线定义可得的准线为， 则，，由， 得：， 又中点纵坐标为，即，得， 联立，解得， 又因为在第一象限且在抛物线上， 所以：，， 得，由两点距离公式， 代入：. 变式1．（2026·辽宁大连·一模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过点A作C的切线l，交x轴于点M，过点B作l的平行线交x轴于点N，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出抛物线的切线，设出直线的方程与抛物线的方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】抛物线焦点的坐标为， 由题意可知如果直线存在斜率，显然不为零， 所以设直线的方程为， 于是有， 设，可得， 由韦达定理得， 即， 因为抛物线对称轴为横轴，所以不妨设， 当时，由， 所以该抛物线在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，令，得，即， 由题意可知直线的斜率也为， 所以直线的方程为， 令，得，即， 故， 可得当时，有最小值. 变式2．（2026·安徽池州·二模）设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F作x轴的垂线交C于两点，点M在C上（异于点），且M在x轴上的正投影为N，则四边形的面积（   ） A．与成正比 B．与成正比 C．与成正比 D．与成正比 【答案】B 【分析】根据已知求得，结合确定、，即可得. 【详解】由题意，代入，则，故， 所以，而， 由，则，A错，B对， 由，则，C、D错. 变式3．（25-26高三下·安徽合肥·月考·多选）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A．直线AB的斜率为 B． C．△AMF的周长为12 D．B，O，M三点共线 【答案】BCD 【分析】对A，根据抛物线定义得，结合为等边三角形推出直线倾斜角，得斜率判断；对B，先求出点的坐标，得到直线的方程，联立抛物线方程求出点的横坐标，结合抛物线定义得等于点到准线的距离，计算得判断；对C，由抛物线定义得等边的边长等于，计算得，计算周长判断；对D，求出点、的坐标，分别计算直线和的斜率，得斜率相等且共过原点，据此判断. 【详解】对于A：已知为等边三角形，结合轴，，可得 ， 因此直线的倾斜角为或，斜率。选项A仅给出斜率为，不全面，A错误； 对于B：设，由为等边三角形，得，， 因此，结合 ，代入等式， 解得（舍去），直线过，方程为， 联立整理得，由韦达定理得， 已知，故，因此，B正确； 对于C：由推导得 的边长为，因此周长为 ，C正确； 对于D：分两种情况验证共线： 若，则，，所以，，，三点共线； 若，则，，同理可得，三点共线. 因此D正确.    变式4．（25-26高三下·河南安阳·月考·多选）已知抛物线的焦点为，准线为，，是上两动点，过，（均与坐标原点不重合）分别作的切线，两切线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线恒过点 B．若，则直线的方程为 C．若直线过点，则点必在准线上，且 D．若点在准线上，则的面积的最小值为8 【答案】ABC 【分析】设，，由得，设直线的方程为，直线与抛物线联立方程组计算可判断A；求导，根据导数的几何意义计算可判断B；结合B可判断点必在准线上，由可判断，进而可判断C；结合前面的结论，由三角形面积公式计算可判断D. 【详解】设，. 对于A，若，则，即， 又，，则， 因为，均与坐标原点不重合，所以，则， 设直线的方程为，与联立， 得，则， 所以，解得，即直线恒过点，故A正确； 对于B，由，得，则， 则点处的切线方程为， 即，又， 所以，即， 同理可得点处的切线方程为， 因为两切线相交于点，所以， 可知点，均在直线上， 所以直线的方程为，故B正确；    对于C，若直线过焦点， 则，解得，因为准线的方程为， 所以点必在准线上，即， 当时，，又， 显然，即， 当时，，平行于轴，与轴重合，依然垂直，故C正确； 对于D，由前面的分析可知，“点在准线上”等价于“直线过焦点”， 设，联立，得， ，， 点到直线的距离， ， 易知，即时，，故D错误.    变式5．（2026·湖北宜昌·二模）已知圆与圆外切于点，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为__________. 【答案】8 【分析】根据已知条件分析得到点与满足抛物线定义，确定与在抛物线上，且线段是抛物线的焦点弦，求出焦点弦的最小值通径即可求解. 【详解】根据题意点与满足到定点的距离等于到直线的距离， 所以与在抛物线上，，线段是抛物线的焦点弦， 又抛物线的焦点弦最小值为抛物线的通径，所以的最小值为. 变式6．（2026·山东济宁·二模）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于，两点，为坐标原点，若是，的等比中项，则________ 【答案】8 【分析】设直线，与抛物线方程联立可得韦达定理，结合等比中项可得，进而可求弦长. 【详解】由题意可知：， 设直线，，， 则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 因为是，的等比中项，则， 可得，即， 所以. 考点二 抛物线中参数范围问题 例1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点． (1)若，求抛物线的方程； (2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和． ①求的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用直线与抛物线相交，通过联立方程，借助弦长公式求出抛物线方程； （2）①依题意可知直线垂直平分线段，设方程为，与抛物线方程联立，利用中点在直线上以及判别式大于零求出的取值范围即可；②解法一，利用向量数量积的坐标表示结合韦达定理求解即可；解法二，设以为直径的圆为，结合韦达定理证明点在圆上即可. 【详解】（1）设，， 联立方程消去得， 则， 所以， 解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为 （2）①依题意可知直线垂直平分线段， 所以直线的斜率为，设其方程为， 代入中消去可得到：（*）， 设，，则， 因为的中点在直线上，所以， 又因为在直线上，所以， 因为方程（*）有两个相异实根，所以，解得， 故所求的取值范围是 ②设，，，， 方法一：，， 则 ， 因为，， 所以，， 则， 又因为，即， 所以 . 方法二：以为直径的圆为， 即， 由（1），因为，所以， 所以代入方程， 可化为， 即， 记以为直径的圆的圆心为， 因为线段的中点，所以， 又 ， 所以， 所以以为直径的圆过点， 所以，的值为0. 例2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与抛物线交于异于原点的两点，． (1)若，，求证：； (2)若，过作的垂线，垂足为，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理得：，，利用向量的数量积，计算即可. （2）将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理得：，，由，得，，将代入直线和直线 的垂线方程，计算即可. 【详解】（1）当，时，直线的方程为：， 直线与抛物线交于异于原点O的两点，， 将直线方程与抛物线方程联立， 整理得：，由韦达定理得： ，， ， ， ，，， ，， ， . （2）直线的方程与抛物线的方程交于，两点， 联立得，整理得：， 由韦达定理得： ，， ， ，，， ，， ， ， ，解得：， 直线与抛物线交于异于原点的两点， ，， 直线的方程，即， 则直线过点， 过作的垂线，垂足为，则垂线的斜率为， 垂线的方程为， 在直线上，又在垂线上， ，， ，整理得：， ， ， ， ， 的范围为. 例3．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，且， (1)若为线段AC的中点， （i）求直线的斜率； （ii）求|AC|； (2)若点在抛物线上，满足，求取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii）6 (2) 【分析】（1）（i）由题意可求得，可求得，进而求得直线的斜率；（ii）利用求解即可； （2）求得直线BC的斜率为，线BP的斜率为，利用已知可得，进而可得，可求得取值范围． 【详解】（1）（i）由题意知，焦点，因为为线段AC的中点，所以，即， 所以，即，所以直线的斜率为． （ii）由题意及（1），． （2）由题意知，直线BC的斜率为， 同理直线BP的斜率为， 因为，所以，所以， 又因为直线BC的方程为，所以点在直线BC上， 所以，所以， 所以， 所以，因为，所以， 当且仅当，即满足，所以取值范围为． 变式1．（2025·湖北·模拟预测）已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点. (1)求的方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（） (3) 【分析】（1）首先求出点坐标，再由焦半径公式得到方程，求出，即可得解； （2）设，根据三点共线求出，设，由，得，，代入抛物线方程，即可得解； （3）推导可得，，设，，由面积公式及不等关系得到，设，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由，可得，所以， 由抛物线的准线方程为，所以. 解得（其中舍去）.所以的方程为. （2）由题意，知. 设，则. 因为P，，F三点共线，所以，即. 设，由，得，， 所以，即（）. 所以的轨迹方程（）. （3）因为，所以. 因为， 所以.同理. 设，， 则， . 所以，解得. 又，设，有.于是， 解得，即的取值范围是. 变式2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程; (2)若，求的值; (3)若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由准线方程求出，即可得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可； （3）设，，当时显然不成立，当时，由得到，从而得到中点的纵坐标，即可求出中点的横坐标，即可得到，即可得到关于的方程有实根，由求出参数的取值范围. 【详解】（1）由题意，，抛物线的方程为； （2）由题意，整理得，设，， 则， ，， ，整理可得， ，解得； （3）设，， 若，则，易得此时不合题意； 若，由于，关于直线对称，故，可得， 中点的纵坐标为， 将其代入中，可得， 又，化简可得， ，且， 化简可得，要使得上述关于的方程有实根， 当时不合题意， 则，故，或， 即的取值范围为或. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 变式3．（2026·江西赣州·模拟预测）设抛物线：，是大于0的常数.抛物线的焦点为，过的垂直于轴的直线交抛物线于两点（点在轴上方），直线与直线相交于点（异于），与抛物线相交于点（异于坐标原点），直线交抛物线于另一点，直线与轴相交于点. (1)若是的重心，求的值； (2)设直线与直线相交于点分别为线段的中点. （ⅰ）求证：三点共线； （ⅱ）设的面积为，的面积为，若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【分析】（1）先联立方程得，可得：，联立抛物线可得，进而根据重心可得； （2）（i）先根据中点坐标公式，直线交点，先得三点坐标，进而由向量共线可证三点共线； （ii）先根据各点坐标求出面积，由可得的取值范围. 【详解】（1）    由题意可得，，，， 联立与，可得，由于， 故，，故， 则：，化简可得：， 联立：与可得， 故，进而可得，故， 由于的重心为，故，化简得， ，. （2）（i），故直线， 联立与，得，， 因此，故，即， ， 直线，令，则， 故， , 由于，    因此，又有公共点， 故三点共线， （ⅱ）由题意， 设，，， 则，，， 由得， 得， 得， 得， 得， 得， 得， 得， 得， 又因，得， 故的取值范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $抛物线焦点弦的性质、抛物线中参数范围问题专项训练 抛物线焦点弦的性质、抛物线中参数范围问题专项训练 考点目录 抛物线焦点弦的性质 抛物线中参数范围问题 考点一 抛物线焦点弦的性质 例1．（2026·重庆·模拟预测）直线与x轴相交于点A，与抛物线的准线相交于点B，过点B作C的准线的垂线与C相交于点D，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（2026·陕西渭南·二模）若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 例3．（25-26高二下·浙江·期中·多选）抛物线，分别为坐标原点和抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，表示直线的斜率，则下列结论正确的是（    ） A．当时，弦长等于8 B．的最小值为6 C．为定值 D．当存在时，的中垂线恒过定点 例4．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测·多选）已知抛物线的焦点为，准线为为坐标原点，过的直线交于两点，过点作的垂线，垂足为，则（    ） A．的最小值为3 B．平分 C．当时，与轴夹角为 D．直线恒过定点 例5．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 例6．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，若线段中点的纵坐标为，则___________． 变式1．（2026·辽宁大连·一模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过点A作C的切线l，交x轴于点M，过点B作l的平行线交x轴于点N，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 变式2．（2026·安徽池州·二模）设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，过F作x轴的垂线交C于两点，点M在C上（异于点），且M在x轴上的正投影为N，则四边形的面积（   ） A．与成正比 B．与成正比 C．与成正比 D．与成正比 变式3．（25-26高三下·安徽合肥·月考·多选）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A．直线AB的斜率为 B． C．△AMF的周长为12 D．B，O，M三点共线 变式4．（25-26高三下·河南安阳·月考·多选）已知抛物线的焦点为，准线为，，是上两动点，过，（均与坐标原点不重合）分别作的切线，两切线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线恒过点 B．若，则直线的方程为 C．若直线过点，则点必在准线上，且 D．若点在准线上，则的面积的最小值为8 变式5．（2026·湖北宜昌·二模）已知圆与圆外切于点，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为__________. 变式6．（2026·山东济宁·二模）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于，两点，为坐标原点，若是，的等比中项，则________ 考点二 抛物线中参数范围问题 例1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点． (1)若，求抛物线的方程； (2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和． ①求的取值范围； ②求的取值范围． 例2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与抛物线交于异于原点的两点，． (1)若，，求证：； (2)若，过作的垂线，垂足为，求的取值范围． 例3．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，且， (1)若为线段AC的中点， （i）求直线的斜率； （ii）求|AC|； (2)若点在抛物线上，满足，求取值范围． 变式1．（2025·湖北·模拟预测）已知F为抛物线：（）的焦点，为在第一象限上的动点，当时，.设的准线与x轴交于点，与交于点N，，，MO与FP交于点，NO与FQ交于点. (1)求的方程； (2)求的轨迹方程； (3)若，求的取值范围. 变式2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程; (2)若，求的值; (3)若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围. 变式3．（2026·江西赣州·模拟预测）设抛物线：，是大于0的常数.抛物线的焦点为，过的垂直于轴的直线交抛物线于两点（点在轴上方），直线与直线相交于点（异于），与抛物线相交于点（异于坐标原点），直线交抛物线于另一点，直线与轴相交于点. (1)若是的重心，求的值； (2)设直线与直线相交于点分别为线段的中点. （ⅰ）求证：三点共线； （ⅱ）设的面积为，的面积为，若，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $