期末培优：空间向量法证明空间位置关系、空间角度问题、空间距离问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦空间向量法在位置关系证明、角度与距离计算中的系统应用，通过分层例题构建从基础到综合的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量法证明空间位置关系|4例+4变式|选择填空题为主，直接考查方向向量与法向量关系判定|以向量垂直、平行的代数条件为基础，构建线面、面面位置关系的判定逻辑| |空间向量法求空间角度问题|3例+3变式|解答题为主，结合几何体背景考查线面角、二面角计算|在位置关系判定基础上，通过向量夹角公式实现空间角的代数化求解| |空间向量法求空间距离问题|3例+3变式|解答题为主，涉及点面距离等计算|基于法向量与投影原理，将距离问题转化为向量模长计算，形成完整应用链|

期末培优：空间向量法证明空间位置关系、空间角度问题、空间距离问题专项训练 期末培优：空间向量法证明空间位置关系、空间角度问题、空间距离问题专项训练 考点目录 空间向量法证明空间位置关系 空间向量法求空间角度问题 空间向量法求空间距离问题 考点一 空间向量法证明空间位置关系 例1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，解得. 例2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 【答案】D 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 例3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 【答案】/ 【详解】因为， 所以. 例4．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【分析】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 变式1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 变式2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合空间向量垂直的坐标关系求解即可. 【详解】因为，直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，即，解得 变式3．（25-26高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 【答案】 【分析】由直线垂直平面，推得直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量平行的坐标比例关系列方程求解. 【详解】已知，， 若，则与平行， 所以，则，即. 变式4．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 【答案】 【分析】根据线面平行的性质，结合直线方向向量和平面法向量的性质、空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 考点二 空间向量法求空间角度问题 例1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.    (1)证明：平面BCM； (2)已知，为上的点，且与平面所成角的正弦值为. ①求线段PQ的长； ②若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①2或；② 【分析】（1）先证平面，得，，再由线面平行的判定定理证明结论. （2）①建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由线面角的空间向量法求得值即得；②分别求出平面和平面的一个法向量，由面面角的空间向量法求解. 【详解】（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面，所以，. 因为平面，平面，所以平面. （2）①以DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，    因为，所以，，，，， 设，则有，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 则， 因为与平面所成角的正弦值为是， 所以，解得或. 所以PQ的长为2或. ②因为，由①知，＝，，平面的一个法向量为. 又，，所以，， 设平面的法向量为，则，即 令，得，，所以. 所以， 所以二面角的正弦值为. 例2．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面． (1)证明：平面． (2)空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为与的交点 (3)． 【分析】（1）根据正方形的性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间距离公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1），分别为，的中点， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ，， 平面，平面， 平面． （2）取的中点，连接，取中点，连接， ，，，， ∵平面平面，平面，平面平面， 平面． ∵四边形是边长为2的正方形，为中点， ，， 分别以，，所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，则，，，， 假设存在点到点，，，距离都相等， 解得，，即， ∴点存在，且点为与的交点； （3）设平面、平面的法向量分别为，， 由（2）知，，，， 令，． 令，． 设平面、平面的夹角为， ， 平面与平面的夹角的余弦值为． 例3．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量后，借助点到平面的距离公式计算即可得； （3）利用空间向量求出线面角的正弦值． 【详解】（1） 连接交于点，连接， 因为是矩形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面； 所以平面； （2）因为平面，是矩形， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，令，得， 所以点到平面的距离； （3）显然是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 变式1．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面；（2）①建立空间直角坐标系，根据点到面的距离公式，求出，②求面和面的法向量，根据二面角的向量公式求出的值. 【详解】（1）过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，面， 面面，面面， 所以面， 又因为面，所以， 因为四边形是矩形，所以， 所以， 因为，， ，面，面， 所以面. （2）因为面，面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，，则，， 且由得， ①设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 所以， 又，所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此； ②设，则， 即有，且， 设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 即， 由已知是面的一个法向量， 所以， 解得． 变式2．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)通过构造平行四边形，结合线面平行的判定定理证得平面. (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到平面的距离. (3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值的表达式，结合二次函数的性质求得其最大值. 【详解】（1）取的中点，连接、. 由为中点，得且； 由为中点，得且，故且， 所以四边形为平行四边形，因此. 又平面，平面，故平面. （2）连接，设，连接，则平面， 以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由为二面角的平面角，得、， 而是的中点，所以，所以是等边三角形， 因为，所以，高， ，，，，， ，，， ，设平面的法向量为， 则，故可设平面的法向量， 由平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， ，所以直线到平面的距离为. （3）设为线段上的动点，令()， 则 ， 则，向量. 设直线与平面所成角为， 则, ， 当时，取得最小值， 此时取得最大值为：. 变式3．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，利用等腰三角形三线合一性质、勾股定理和线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角向量求法可求得结果； （3）根据二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）取中点，连接， 在三棱柱中，所有棱长均为，， 都为边长为的等边三角形， ，，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， 直线与所成角的余弦值为. （3）由（2）得：，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 轴，平面的一个法向量， ，， 即二面角的正弦值为. 考点三 空间向量法求空间距离问题 例1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． (1)证明：、、、四点共面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为空间内一组基底，根据空间向量线性运算结合空间向量共面基本定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据点到平面距离空间向量法计算即可. 【详解】（1）因为为非零向量且不共线， 所以可以作为空间内一组基底， 因为在侧棱上，， 所以， 同理可得， 因为为的中点，所以， 因为, 所以共面，即、、、四点共面； （2）以点为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 例2．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． (1)求证：是线段的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先判断四点共面，再结合线面平行的性质得到，最后结合平行四边形的性质求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用面面角的向量求法求解即可. （3）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM， 如图，作出符合题意的图形， 在三棱柱中，因为，所以， 所以四点共面，因为直线平面，平面， 平面平面，所以． 所以四边形是平行四边形， 得到，所以为的中点． （2）因为平面，平面， 所以，又因为正方形，， 故可以B为原点建立空间直角坐标系，如下图， 因为，所以，，，， ， ，，所以，． 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得， 易知平面的法向量， 得到， 故平面与平面夹角的余弦值为． （3）设平面的一个法向量为， 而，由中点坐标公式得，则， 由，得，取，得， 又，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得. 例3．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，确定为直线与平面所成的角，即可求解； （2）建系，由点到面的距离公式即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为正四棱锥， 所以平面． 故为直线与平面所成的角． 在正方形中，，则对角线． ．在Rt中，． 即直线与平面所成角的正弦值为 （2） 以为原点，方向分别为轴． 由（1）知． 则． 为中点，故． 向量． 设平面的法向量为． 令，得．故． 点到平面的距离： 变式1．（25-26高二下·福建厦门·期中）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点D到平面的距离. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可； （2）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）因平面，平面， 则，又四边形为矩形，则. 如图建立以A为原点的空间直角坐标系，    则， ，，. 设平面法向量为，则， 取，则. 设直线与平面夹角为， 则； （2）由（1）解析可得， 所以到平面的距离为： 变式2．（25-26高二上·贵州安顺·期中）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，为的中点．平面．    (1)若分别为的中点，求证：平面； (2)若求点到平面的距离； 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点N，的中点M，连接，只需证明即可； （2）以A为原点，所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再根据点到平面距离公式求解即可. 【详解】（1）取的中点N，的中点M，连接， 与为等腰直角三角形且， ，， 不妨设，.. 因为E、F分别为的中点，，且. ，∴四边形为平行四边形， ， 平面，平面，平面； （2） 平面，且，以A为原点，所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，    由题意，，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 点到平面的距离为：. 变式3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在四棱锥中，平面，为的中点，底面是边长为2的正方形，且二面角的正切值为．求： (1)线段的长； (2)点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面和平面的法向量，结合二面角的向量求法求解即可. （2）根据点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）因为平面，，平面，所以，. 又底面是边长为2的正方形，所以. 所以，，两两垂直． 如图所示，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 又为的中点，所以， 设，则，所以，． 因为平面，则即为平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，取，得，. 即为平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，则，所以. 又，所以或（舍去）. 则，整理得， 解得或（负值舍去）， 故，则，所以. （2）由（1）得，，， 设点到平面的距离为，则. 即点到平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：空间向量法证明空间位置关系、空间角度问题、空间距离问题专项训练 期末培优：空间向量法证明空间位置关系、空间角度问题、空间距离问题专项训练 考点目录 空间向量法证明空间位置关系 空间向量法求空间角度问题 空间向量法求空间距离问题 考点一 空间向量法证明空间位置关系 例1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 例2．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 例3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 例4．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 变式1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 变式4．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则________． 考点二 空间向量法求空间角度问题 例1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.    (1)证明：平面BCM； (2)已知，为上的点，且与平面所成角的正弦值为. ①求线段PQ的长； ②若，求二面角的正弦值. 例2．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面． (1)证明：平面． (2)空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 例3．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 变式1．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 变式2．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，在正四棱锥中，，点，分别为，的中点，且是二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 变式3．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 考点三 空间向量法求空间距离问题 例1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）如图所示，在四棱锥中，底面，底面为正方形，在侧棱上，，为的中点，点在侧棱上，且． (1)证明：、、、四点共面； (2)若，求点到平面的距离． 例2．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． (1)求证：是线段的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 例3．（25-26高二下·上海宝山·期中）如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 变式1．（25-26高二下·福建厦门·期中）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点D到平面的距离. 变式2．（25-26高二上·贵州安顺·期中）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，为的中点．平面．    (1)若分别为的中点，求证：平面； (2)若求点到平面的距离； 变式3．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在四棱锥中，平面，为的中点，底面是边长为2的正方形，且二面角的正切值为．求： (1)线段的长； (2)点到平面的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $