期末培优：解三角形周长、边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形周长、边长及面积的最值与范围问题，通过区域期中真题构建从基础计算到动态范围的递进训练，渗透推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周长、边长最值与范围|3例+3变式|结合面积、角平分线、锐角三角形条件，考查边长范围及周长最值|以正弦定理、余弦定理为基础，通过边角互化构建函数关系，渗透函数思想与几何约束| |面积最值与范围|3例+3变式|涉及锐角三角形、中线、四边形面积，综合考查面积范围及最值|整合面积公式与基本不等式、三角函数性质，形成从静态计算到动态范围的思维链|

期末培优：解三角形周长、边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 期末培优：解三角形周长、边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 考点目录 解三角形周长、边长最值与范围问题 解三角形面积最值与范围问题 考点一 解三角形周长、边长最值与范围问题 例1．（25-26高一下·江苏淮安·期中）已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得. （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故. 例2．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． (1)求角C； (2)已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用正弦定理边化角，代入已知等式化简得到，从而得到角C； （2）①为中点，将表示为 ，对其平方后结合余弦定理、基本不等式即可求 的最小值； ②先根据向量性质判断为边上的高，结合①和面积公式求出，即可得到三角形周长. 【详解】（1）由正弦定理得， 即有，又三角形内角和为，所以， 即有，因为，所以，即. （2）①由余弦定理得， 又基本不等式得，故有，当且仅当时取等， 由得， 即， 所以的最小值是2； ②由已知得， 即，即， 即，即，又，所以可知三角形边AB上的高为2， 由等面积法得，即，即， 由①知，所以有，即， 所以，因此三角形的周长为． 例3．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知的面积为，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若，，求外接圆半径； (3)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理可求得外接圆的半径； （3）利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，即可得出该三角形周长的最大值. 【详解】（1）由得，整理得， 因为，故，于是得到，故. （2）因为，，由余弦定理可得，故， 设外接圆的半径为，由正弦定理可得，则， 故外接圆的半径为. （3）因为，由余弦定理和基本不等式可得 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的周长为，即周长的最大值为. 变式1．（24-25高一下·江苏·期中）在中，． (1)若的面积为，求； (2)若，且为锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于，先利用正弦定理将边化角，再利用和角的正弦公式展开，即可求出角，再由三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理即可； （2）先利用正弦定理表示出，即可得到周长的表达式，再由是锐角三角形得到角范围，即可借助三角函数求出周长的取值范围． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， ， 又因为在中，， 所以， 整理可得，又因为，， 所以，因为，所以. 因为，所以. 因为，所以由余弦定理可知，， 所以. （2）因为，又由（1）可知，所以， 由正弦定理可知， 所以， 所以的周长 . 因为为锐角三角形，所以， 解得，所以， 所以， 所以， 即周长的取值范围为. 变式2．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，求的值； (2)若，平分，求的值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解； （2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算； （3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域. 【详解】（1）由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． （2）由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． （3）在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 因为为锐角三角形，则，且， 则，，解得，则， 所以， 所以周长的取值范围为． 变式3．（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和差的正弦公式化简计算可得； （2）利用余弦定理及面积公式得到方程组，解得即可； （3）依题意可得将两边平方，结合余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式及三角函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理知可得， 而， ， 即，又，     ，即， 又，则 ，则. （2）由（1）及题设可得，即，     将代入，整理得，则， 即（负值舍去），故. （3）因为为的中点，所以， 两边平方得，     在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以且，解得，     所以，所以，则， 所以， 所以中线的取值范围是. 考点二 解三角形面积最值与范围问题 例1．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. 例2．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的大小； (2)设的角平分线交于点. ①求面积的取值范围 ②求线段长的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）借助数量积公式可得，再利用正弦定理将边化为角后结合两角和的正弦公式计算即可得解； （2）①借助正弦定理可边化为角，再利用面积公式结合三角形内角和关系，可用表示出面积，利用的范围即可得解；②借助等面积法计算可用表示出，再借助①中所得即可得解. 【详解】（1），则， 由正弦定理将边化为角可得， 又， 故， 即，又，则， 故，又，则； （2）①由正弦定理，可得， 则 ， 由，则，故， 则，故； ②由，则， 即，则， 即，由（2）①知， 故，则，故， 故. 例3．（25-26高一下·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角； （2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解； （3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围. 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 变式1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； （3）由题意知，进而根据等面积法得，再结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， （2）解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值.    （3）解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以    变式2．（25-26高一下·广东湛江·期中）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．求： (1)角C及边c的值； (2)的最大值； (3)三角形面积的最大值． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】(1)使用余弦定理和正弦定理求解； (2)利用基本不等式求出即可； (3)利用基本不等式求出，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则 由 ，得， 根据正弦定理，得， 则. （2）由（1）知， ， 则， 即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. （3）由（1）知，， 则， 即，得 当且仅当时等号成立， 则. 变式3．（25-26高一下·广西崇左·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，满足，. (1)求； (2)若为线段上一点，且满足，，求的长； (3)若为锐角三角形，求面积的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正余弦边角关系求角的大小； （2）首先得到为等边三角形，设并应用余弦定理列方程求参数值，即可得； （3）由（1）及正弦定理，应用三角恒等变换得，再应用三角形面积公式得到，结合求范围. 【详解】（1）由题可得， 所以； （2）为线段上一点，且满足，， 为等边三角形，而， ，且，设， 在中， 即， 整理得，解得或（舍），即 （3）在中，由正弦定理得： ， 于是得， 因为是锐角三角形，则，且， 于是有，则，即，则， 从而得，所以面积的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：解三角形周长、边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 期末培优：解三角形周长、边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 考点目录 解三角形周长、边长最值与范围问题 解三角形面积最值与范围问题 考点一 解三角形周长、边长最值与范围问题 例1.(25-26高一下江苏淮安·期中)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2, (a-bsinC)cosB=a+bsinBcosC. (1)求B: (②若48C的面积为2-5，求46C的月长。 4 (3)求a-√5c的取值范围. 例2.(25-26高一下·江苏南京·期中)在ABC中，已知a,b,c分别三个内角A,B,C的对边，且 2ac0sC+bcosC+ccosB=0,点D为边AB上一点. (1)求角C: (2)已知D是边AB上一点，c=45. ①若而=)孤，求可的最小值： ②若存在1∈R,使得CD=入 CA CB 且CD=2,求ABC的周长. CAcos A CBcos B 期末培优：解三角形周长、边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 例3.(24-25高一下·江苏连云港期中)已知ABC的面积为S,角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且 BA.BC-23s. 3 (1)求B; (2)若a=1,c=3,求ABC外接圆半径； (3)若b=√6，求ABC周长的最大值， 变式1.(24-25高一下江苏期中)在ABC中，a=ccos B+-b. (1)若a+b=8,△ABC的面积为35，求c; (②)若c=4，且ABC为锐角三角形，求ABC周长的取值范围. 2 期末培优：解三角形周长、边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 变式2.(24-25高一下江苏南京·期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,2bc0sA+b=c. 0)若8-牙，求C的值： (2)若2CD=DB,AD平分∠BAC,求c0sC的值： (3)若ABC为锐角三角形，且b=1,求ABC周长的取值范围. 变式3.(24-25高一下·河南郑州期中)已知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边， acosC+3asin C-b-c=0 (1)求角A: (2)若a=2,ABC的面积为5，求b,C: (3)若a=√3，且ABC为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围 期末培优：解三角形周长、边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 考点二 解三角形面积最值与范围问题 例1.(25-26高一下江苏南京阶段检测)已知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边，满足 asinB=√3 bcosA. (1)求A, (2)若a=2,且ABC的面积为5，求ABC的周长； (3)若ABC是锐角三角形，且a=2,求ABC面积S的取值范围. 例2.(25-26高一下江苏苏州期中)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, AB.AC-c-ac,a=4. 2 (1)求B的大小： (②)设∠ABC的角平分线BE交AC于点E. ①求ABC面积的取值范围 ②求线段BE长的取值范围， 期末培优：解三角形周长、边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 例3.(25-26高一下·天津武清·阶段检测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若平面向量m⊥n,其中 m=(a,sinA),n=(cosC,-c). (I)求角C的大小： (2)若a+b=8,求ABC周长的最小值； (3)若ABC是锐角三角形，且c=2V5,求ABC面积S的取值范围. 变式1.(25-26高一下江苏扬州期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 3(b cosC+ccos B)=2asin A (1)求A; (2)若c=2 bcosA,点D在ABC外，DA=DC=1,求四边形ABCD面积的最大值： (3)若A为钝角，A的角平分线交BC于点M,AM=2,求ABC面积的最小值 期末培优：解三角形周长、边长最值与范围问题、面积最值与范围问题专项训练 变式2.(25-26高一下广东湛江期中)已知ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=-ab,且 bsinC=2√5sinB.求： (1)角C及边c的值： (②)a+b的最大值； (3)三角形面积的最大值. 变式3.(25-26高一下广西崇左·期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且a,b,C满足 btac_sin A sinC,c=12. ac sin C sin A (I)求B: (2)若D为线段BC上一点，且满足AD=BD,AC=3√21，求CD的长； (3)若ABC为锐角三角形，求ABC面积的范围 6