奥数：第9讲 速算与巧算小升初进阶（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学 人教版

📚 【人教版】小学六年级下数学奥数：第9讲 速算与巧算小升初综合练习 核心目标：掌握10种核心速算技巧，提升计算速度与准确率。 💡 一、知识点总结与核心方法 在奥数计算中，硬算往往费时费力，我们需要通过“观察数字特征”来寻找捷径。 1. 核心速算巧算方法表 方法名称 适用场景 核心口诀/公式 分组凑整法 加减法中存在互补数 凑成整十整百，先加减 位值原理法 循环多位数求和 按数位拆分， 重码数拆分 大数乘法（如20242024） ， 周期分组法 加减交替的长串算式 找周期（如4个一组），算剩余 换元法 复杂算式重复出现 设字母代替长串，化繁为简 平方差公式 相近大数平方、乘积 裂项相消法 分数连加（分母相乘） 放缩估值法 求整数部分、小数点后几位 夹逼准则，锁定范围 2. 易错点警示 · 符号陷阱：去括号或分组时，注意“-”号后面括号内的符号变化。 · 漏算余项：周期分组后，末尾不足一组的剩余项容易被忽略。 · 放缩边界：放缩法取值范围要精准，避免导致整数部分判断错误。 📖 二、经典例题精讲 【例题1】等差数列求和法 题目：计算 的和。 解析：利用等差数列求和公式。 答案： 【例题2】分组凑整法 题目：计算： 解：每位数字和： 总和 答案： 【例题3】重码数拆分法（重点） 题目：计算 。 解析：可以利用重码数拆分规律： 因此： 利用这一规律，可将原式简化，实现抵消巧算。 答案：20262026 补充：同类题通用技巧 对于形如 a×(b×10001)-c×(a×10001) 的算式，利用乘法分配律提取公因式a×10001后，结果一定为 10001×(b-c) . 【例题4】换元法（重点） 题目：计算 解： ①设元简化 设： 则原式中的各部分可表示为： 原式转化为：原式==B-A ②还原计算 答案： 【例题5】周期分组法 题目：计算 解： 观察规律并分组： 通过观察算式 ，我们可以发现从第 2 项开始，每四个数为一组，其和为 0。 例如： 这个规律是通用的：对于任意偶数 （作为组的第一个数），都有 。 确定分组的范围： 我们需要判断从 2 到 2026 之间的数字能否正好被 4 整除分组。 我们要分组的数字序列是从 2 开始，一直到某个数。 让我们看看最后一组的情况。如果最后一组完整，那么它的形式应该是 。 算式的最后一项是 2026。 我们尝试把 2026 放入分组逻辑中。 第一组结束于 5 ( ) 第二组结束于 9 ( ) ... 第 组结束于 。 让我们换个角度，直接看从 2 开始的连续整数个数。 从 2 到 2026 共有 个数字。 我们将这 2025 个数字每 4 个分为一组： 这意味着，从 2 开始，可以分成 506 个完整的组（每组和为 0），最后还会剩下一个数字。 计算剩余部分： 第一部分： 开头的 。 第二部分： 中间的完整组。从 2 开始，共 506 组，每组结果为 0。 这些组覆盖的数字范围是从 2 到 。 也就是 。 第三部分： 剩下的最后一个数字。根据上面的除法余数，剩下的就是序列的最后一个数，即 2026。 注意符号：原式是 。我们需要确认 2026 前面的符号。 根据规律： 除以 4 余 2 的数（如 2, 6, 10...）前面是加号。 除以 4 余 3 的数（如 3, 7, 11...）前面是减号。 除以 4 余 0 的数（如 4, 8, 12...）前面是减号。 除以 4 余 1 的数（如 5, 9, 13...）前面是加号。 2026 除以 4： 。 因为余数是 2，所以 2026 前面的符号应该是 加号 (+)。这与题目给出的结尾一致。 综合计算： 原式 答案：2027 【例题6】换元法与平方差 题目：计算 。 解析：设 ， 则原式变为： = =2 答案：原式=2. 【例题7】分数裂项相消 题目：计算 。 解析：利用公式 。 解：①应用公式拆分每一项 根据公式 ，我们可以得到： …… ②将拆分后的项代入原算式 将上述拆分结果代入原算式中，得到： ③消去中间项 去掉括号后，我们可以观察到相邻的项互为相反数，可以进行抵消： 其中， 和 抵消， 和 抵消，以此类推，直到 和前面的 抵消。最终只剩下第一项的 和最后一项的 。 ④计算最终结果 答案：原算式的计算结果为 。 【例题8】放缩估值法 题目：计算 ，求结果的小数点后前三位。 解析：这5个数都接近 。 放大：全部按最小的 算， 缩小：全部按最大的 算， 实际值在 到 之间。 答案：小数点后前三位是 389 📖 三、拓展例题精讲 【例题1】位值原理 题目：计算： 解析： 首先，观察括号内的六个加数： 、 、 、 、 , 我们可以发现，这六个数都是由数字 、 、 、 、 、 组成的，并且它们是按照一定的规律循环排列的（即数字 依次向左移动一位得到下一个数）。 根据位值原理，一个多位数可以表示为各个数位上的数字与其对应的计数单位（如个位是 ，十位是 ，百位是 等）的乘积之和。 我们将这六个数相加，可以分别统计每个数字在各个数位上出现的次数。 在这六个数中： 十万位上的数字分别是： 万位上的数字分别是： 千位上的数字分别是： 百位上的数字分别是： 十位上的数字分别是： 个位上的数字分别是： 我们可以计算一下每个数位上所有数字的总和： 十万位数字之和： 万位数字之和： 千位数字之和： 百位数字之和： 十位数字之和： 个位数字之和： 这六个数的总和可以表示为： 计算括号内的数字之和： 所以，括号内六个数的总和为： 现在，我们需要计算这个总和除以 ： 计算 ： 最后除以 ： 答案： 【例题2】拆分法 计算： 解析： 分析通项： 观察算式中的每一项，分母都是四个连续自然数的乘积。 第 项可以表示为： 在这个算式中， 从 开始，一直取到 。 寻找裂项规律： 对于形如 的分数，我们可以利用裂项公式将其拆分。 我们知道： 由此可以得出： 应用规律到原算式： 将上述公式应用到原算式的每一项中： 第一项 ( )： 第二项 ( )： 第三项 ( )： ... 最后一项 ( )： 求和并相消： 将上述拆分后的各项相加，提取公因数 ： 原式 观察括号内的部分，中间的项（如 和 ）会两两抵消，最后只剩下第一项的被减数和最后一项的减数： 原式 计算最终结果： 计算括号内的数值： 代入算式： 原式 通分计算括号内的减法： 最后乘以 ： 原式 答：原算式的计算结果为： 。 ✍️ 四、基础练习与参考答案 【练习1】等差求和法 题目：计算 。 解：等差数列求和 答案：。 【练习2】周期分组法 题目：计算 。 解析：观察规律，每3个数为一组： 。 解：每3项一组：(1+2-3)=0，(4+5-6)=3，(7+8-9)=6，…，(97+98-99)=96，最后单独 +100。 剩余和：3+6+9+…+96，项数 96÷3=32，和 (3+96)×32÷2=1584，再加 100 得 1684。 答案：1684. 修正：补充完整解析及答案 1684。 【练习3】奇偶数列配对 题目：求 到 中所有奇数之和减去所有偶数之和。 解析： 奇数和 偶数和 配对相减： 共有 对，每对结果为 。 总和 。 答案： 📝 五、拓展练习与参考答案 1. 位值原理： 题目：计算 提示：转化为 。 2. 放缩估值 题目：计算：，求小数点后前三位 解：放缩估值： 答案：小数点后前三位 📌 六、总结 本讲重点在于“观察”。看到大数想拆分（重码数），看到重复想换元，看到分数连加想裂项。熟练掌握这些技巧，计算速度将提升一倍以上！ 学科网（北京）股份有限公司 $