8.5　直线与圆锥曲线的位置关系——2027届高考数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆锥曲线的位置关系”核心专题，依据高考评价体系明确位置关系判断、中点弦问题、弦长与面积计算及定点定值定线四大考查方向，通过典例解析与变式训练梳理考点权重，归纳相切判定、点差法、弦长公式等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“考点清单+方法总结+真题变式”的系统训练，如中点弦问题用点差法推导斜率，弦长计算结合韦达定理与判别式，培养学生数学思维与运算能力。特设易错点分析与答题模板，助力学生掌握设而不求、参数消元等技巧，教师可据此开展专题突破，提升复习效率。

8.5 直线与圆锥曲线的位置关系 返回目录 考点1　直线与圆锥曲线的位置关系 典例1　(位置关系判断)(2024届湖南衡阳一中模拟,5)已知直线kx+y+2k=0与椭圆  + =1相切,则k的值为 ( ) A.2　　    B. 　　    C.±2　　    D.±      C     考点清单 返回目录 解析　联立  消去y,得4x2+3(-kx-2k)2=12, 化简得(4+3k2)x2+12k2x+12k2-12=0, 因为直线kx+y+2k=0与椭圆 + =1相切,所以Δ=(12k2)2-4×(4+3k2)×(12k2-12)=0, 化简整理得k2-4=0,所以k=±2.故选C. 返回目录 典例2　(中点弦问题)已知直线l交抛物线C:x2=-28y于M,N两点,且MN的中点为(-2,-11), 则直线l的斜率为 ( ) A.- 　　    B. 　　    C. 　　    D.-      C     解析　设M(x1,y1),N(x2,y2),则 两式相减得(x2+x1)(x2-x1)=-28(y2-y1),所以直线l的 斜率为k= = ,又因为MN的中点为(-2,-11),所以x1+x2=-4,则k=- =- = .故 选C. 返回目录 方法总结    1.直线与圆锥曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离. (1)直线与椭圆有两个公共点⇔相交;直线与椭圆有一个公共点⇔相切;直线与椭圆没有 公共点⇔相离. (2)直线与双曲线有两个公共点⇒相交. 当直线与双曲线只有一个公共点时,除了直线与双曲线相切外,还有可能是直线与双曲 线相交,此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有公共点⇔相离. (3)直线与抛物线有两个公共点⇒相交. 返回目录 当直线与抛物线只有一个公共点时,除了直线与抛物线相切外,还有可能是直线与抛物 线相交,此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有公共点⇔相离. 2.中点弦问题 求解与中点弦有关问题的两种方法: (1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为二次方程之后,结合根与系 数的关系,建立等式关系或不等式关系. (2)点差法:若题中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,可设出直线和圆 锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,然后利用中点求出直线的斜率,进 返回目录 而求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中 点轨迹、垂直平分线问题.“点差法”中必须保证判别式Δ大于零. 返回目录 变式训练 1.(设问条件变式)已知双曲线E: - =1,则过点(2, )与E有且只有一个公共点的直 线共有( ) A.4条　　    B.3条　　    C.2条　　    D.1条     C     返回目录 解析　由题意得点(2, )在双曲线的渐近线y= x上,且位于第一象限,和双曲线的右 顶点的横坐标相同,如图,F1,F2分别为左、右焦点,   所以过点(2, )且与双曲线E有且只有一个公共点的直线只有两条:一条是直线x=2,另 一条是过点(2, )且与另一条渐近线平行的直线.故选C. 返回目录 2.(逆反条件变式)已知椭圆M: + =1,过点P(1,m),斜率为 的直线l与M交于A,B两 点,且P为AB的中点,则m= ( ) A.1　　    B.-1　　    C. 　　    D.-      B     解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),由P为AB的中点得x1+x2=2,y1+y2=2m. 由A,B在椭圆上,得 两式相减得 + = +  = + =0,易知x1≠x2,则 + = + × =0,解得m= -1.故选B. 返回目录 考点2　弦长与面积问题 典例3    (2026届山西长治质监,16)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1, F2,且|F1F2|=4,过F2作直线l与C交于A,B两点,△F1AB的周长为8 . (1)求C的方程; (2)若△F1AB的面积为 ,求l的方程. 解析    (1)设椭圆的半焦距为c(c>0),由题意知2c=4,所以c=2, 因为△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8 ,所以a=2 , 所以b2=a2-c2=4, 故C的方程为 + =1. 返回目录 (2)由题意知l的斜率不为零.设l:x=my+2,联立 消去x可得(m2+2)y2+4my-4=0,Δ> 0恒成立, 设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=- ,y1y2=- , 所以|y1-y2|= = , 由 = |F1F2||y1-y2|= = ,解得m=±1, 所以l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0. 返回目录 方法总结    1.弦长问题 (1)当弦的两端点坐标易求时,可求出两端点坐标,再用两点间距离公式直接求解. (2)若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长|AB|=  = |x1-x2|= · 或|AB|= |y1-y2|=  · (k≠0). (3)当直线过抛物线的焦点时,可利用抛物线的焦点弦公式求解弦长. 返回目录 2.面积问题 (1)利用弦长公式与点到直线的距离公式计算三角形的面积S△PAB= |AB|·d(其中d为P到 AB的距离). (2)如图,S△AQB= |PQ|·|yA-yB|= |AC|·|xQ-xB|,其中AC⊥x轴,PQ⊥y轴.   (3)S△ABC= |AB|·|AC|·sin∠BAC. (4)对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度的乘积的 . 返回目录 变式训练 3.(设问条件变式)斜率为1的直线l与椭圆 +y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为  ( ) A.2　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析　设l的方程为y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,由Δ=(8t)2-4×5×4(t2-1)>0得0≤t2<5, 由根与系数的关系得x1+x2=- t,x1x2= , 则|AB|= |x1-x2|=  =  =  . 当t2=0时,|AB|max= .故选C. 返回目录 考点3　定点、定值与定线问题 典例4　(定值问题)如图,已知椭圆C1: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点 A为C1上的一个动点(非左、右顶点),连接AF1并延长,交C1于点B,且△ABF2的周长为8, △AF1F2面积的最大值为2. (1)求椭圆C1的标准方程; (2)若椭圆C2的长轴端点为F1,F2,且C2与C1的离心率相等,P为AB与C2异于F1的交点,直线 PF2交C1于M,N两点,证明:|AB|+|MN|为定值. 返回目录 解析    (1)∵△ABF2的周长为8,∴由椭圆的定义得4a=8,即a=2. ∵△AF1F2的面积在点A与椭圆C1的上(或下)顶点重合时取最大值2, ∴ ·2c·b=2,即bc=2, ∵a2=b2+c2,∴b2+ =4, 解得b= (舍负), ∴椭圆C1的标准方程为 + =1. (2)证明:由(1)可知F1(- ,0),F2( ,0),椭圆C1的离心率e= = . 返回目录 设椭圆C2的方程为 + =1(a'>b'>0),则有a'= , = = , 解得b'=1, ∴椭圆C2的标准方程为 +y2=1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB,MN的斜率分别为k1,k2, 则lAB:y=k1(x+ ),lMN:y=k2(x- ), 联立  消去y,整理得(2 +1)x2+4  x+4 -4=0,∴x1+x2=- ,x1x2= , 返回目录 ∴|AB|=   = ·  = , 同理可得|MN|= ,∴|AB|+|MN|= + ,【化简此式若通分,则过于烦琐,所 以需找k1和k2之间的关系,看题图可知直线AB与MN交于点P,结合点P在C2上找k1与k2的 关系】 设P(x0,y0), 由点P在C2上得 +2 =2①, 返回目录 又y0=k1(x0+ )⇒k1= , y0=k2(x0- )⇒k2= , ∴k1·k2= · = = =- ,【想用到①式就需出现 , ,只能k1和k2相乘】 ∴k2=- , ∴|AB|+|MN|= + = + =6, 即|AB|+|MN|为定值. 返回目录 方法总结    1.求解定点问题常用的方法 (1)“特殊探路,一般证明”,即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目标的 一般性证明. (2)“一般推理,特殊求解”,即先由题设条件得出曲线的方程,再根据参数的任意性得 到定点坐标. (3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)来证明. 2.求解定值问题常用的方法 (1)引入变量法:解题流程为 返回目录   (2)特例法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. 3.动点在定直线(曲线)上的问题的解题策略 (1)从特殊入手,初步确定动点所在的直线(曲线),再证明一般情况下动点也在该定直线 (曲线)上即可. (2)从动点的坐标入手,直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到动 点的横、纵坐标关系,进而得出定直线(曲线)的方程. 返回目录 变式训练 4.(定点问题)已知离心率为 的椭圆C: + =1(a>b>0)过点P(2,1). (1)求椭圆C的方程; (2)不过点P的直线l与椭圆C交于A,B两点,且 · =0,求证:直线l过定点,并求出定点坐 标. 返回目录 解析    (1)根据条件可知  解得  所以椭圆C的方程为 + =1. (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 返回目录 联立 消去x得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0, 则x1+x2=- ,x1x2= ,(*) 因为 · =0,所以(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0, 即(x1-2)(x2-2)+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=0, 展开整理得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0, 将(*)代入上式,化简整理得12k2+16km+5m2-2m-3=0, 对其因式分解得(2k+m-1)(6k+5m+3)=0, 因为直线l不过点P(2,1),所以2k+m-1≠0,于是6k+5m+3=0,即 k+m=- ,所以直线l过定点 返回目录  . 当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为x=x0,设A(x0,y0),B(x0,-y0), 于是 + =1, 因为 · =0,所以(x0-2)2+1- =0, 消去y0得5 -16x0+12=0,解得x0= 或x0=2(舍去), 所以此时直线l也经过定点 . 综上所述,直线l过定点 . 返回目录 5.(定直线问题)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且点P( , )在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程; (2)设双曲线的左、右顶点分别为A,B,在直线x=1上取一点P(1,t)(t≠0),直线AP交双曲线 右支于点C,直线BP交双曲线左支于点D,直线AD和直线BC的交点为Q.求证:点Q在定直 线上. 返回目录 解析    (1)因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,所以a=b,则双曲线方程可化为x2-y2=a2, 代入P( , )得a2=4, 则双曲线的标准方程为 - =1. (2)证明:设直线AP的方程为x= y-2, 由题可知,t≠±3,联立  消去x整理得 y2- y=0, 返回目录 所以yC= ,xC= yC-2= . 设直线BP的方程为x=- y+2,由题可知,t≠±1,联立  消去x整理得 y2- y=0, 所以yD= ,xD=- yD+2= . 所以kAD= = =- , 返回目录 kBC= = = , 则直线AD的方程为y=- (x+2),直线BC的方程为y= (x-2).设Q(x0,y0),则 两 式作商消去t得 =- ,解得x0=1,所以点Q在直线x=1上. 返回目录 $