8.8 直线与圆锥曲线的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆锥曲线的位置关系”专题，依据课标要求覆盖位置关系判断、弦长公式、焦点弦与中点弦问题三大核心考点，通过分析高考真题明确“弦长计算”“中点弦方程”等高频考点权重，归纳代数法、点差法等常考题型解法，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养培养”，如以2025年全国卷弦长问题为例，详解“联立方程-韦达定理-弦长公式”三步法，培养学生数学思维与运算能力。设“易错警示”专栏，针对判别式忽略、点差法检验等问题，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

第8节　直线与圆锥曲线的位置关系 高考总复习 2027 课标解读　1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第一册习题3.1第14题改编)已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 C 解析 由+(3-x)2=1,化简得5x2-24x+32=0,因为 Δ=242-4×5×32=-64<0,所以方程无实数解,所以直线与椭圆的位置关系是相离.故选C. 2.(人教A版选择性必修第一册3.3.2节练习第3题改编)抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于(　　) A. B.2 C. D.15 A 解析 设抛物线y2=12x与直线y=2x+1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.由消去y得4x2-8x+1=0,Δ=(-8)2-16=48,则x1+x2=2,x1x2=,故|AB|=. 3.(人教A版选择性必修第一册习题3.2第13题改编)已知A,B是双曲线C:=1上的两点,线段AB的中点是M(3,2),则直线AB的斜率为(　　) A. B. C. D. D 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2.∵点A,B是双曲线C上的两点, ∴=1,=1,两式相减得. ∵M(3,2)是线段AB的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=4,∴, ∴直线AB的斜率kAB=. 知识梳理 1.直线与圆锥曲线的位置判断 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线相交⇔Δ　　　0;直线与圆锥曲线相切 ⇔Δ　　　0;直线与圆锥曲线相离⇔Δ　　　0.  (2)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点. (3)与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点. > = < 2.弦长公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0),则|AB|=|x1-x2|= (或|AB|=|y1-y2|= ). 说明:其中|x1-x2|(或|y1-y2|)的计算有时利用|x1-x2|=(或|y1-y2|=)更加简单,这里a和Δ分别是直线方程与圆锥曲线方程联立所得关于x的(或关于y的)一元二次方程的二次项系数和判别式. 研考点•精准突破 考点一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1　已知直线l:y=2x+m,椭圆C:=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C满足下列条件: (1)有两个公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组消去y,得9x2+8mx+2m2-4=0,则Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)当Δ>0,即-3<m<3时,方程有两个不相等的实数根,则直线l与椭圆C有两个公共点. (2)当Δ=0,即m=±3时,方程有两个相等的实数根,则直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程没有实数根,则直线l与椭圆C没有公共点. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法 (1)代数法:直线与圆锥曲线方程联立,利用判别式求解. (2)几何法:直线过定点时,若定点在圆锥曲线内部,则直线一定与圆锥曲线相交;若定点在圆锥曲线上,则直线与圆锥曲线相交或相切;若定点在圆锥曲线外部,则直线与圆锥曲线相交或相切或相离; (3)直线与双曲线只有一个交点,包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行;直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合). 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](1)过点(0,2)与双曲线=1有且仅有一个公共点的直线l的斜率的取值集合是　　 　　.  {±,±} 解析 由题意可设直线l的方程为y=kx+2,与双曲线=1联立得 (16-9k2)x2-36kx-180=0.当16-9k2=0时,方程有唯一解,此时k=±.当16-9k2≠0时,令Δ=0,则Δ=(36k)2-4(16-9k2)·(-180)=0,解得k=±.故直线l的斜率的取值集合为{±,±}. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有 　　　　　条.  3 解析 ∵点(0,1)在y轴上,∴过点(0,1)有两条与抛物线y2=4x相切的直线,与抛物线y2=4x仅有一个公共点,过点(0,1)与x轴平行的直线也与抛物线y2=4x仅有一个公共点.故这样的直线共3条. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二　弦长问题 例2　(2025·全国2,16)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4. (1)求C的方程; (2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 (1)由题意,2a=4,a=2,又e=,所以c=,b=,故椭圆C的方程为=1. (2)设P(0,-2),显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx-2. 由消去y并整理得(2k2+1)x2-8kx+4=0, 由题意Δ=64k2-4×4(2k2+1)>0,即k2>.设点A,B的横坐标分别为x1,x2,则x1x2>0,x1+x2=,x1x2=. 考点一 考点二 考点三 考点四 则S△OAB=|S△OAP-S△OBP|=|OP|·|x1-x2|=, 即|x1-x2|=, 所以(x1-x2)2=2,即(x1+x2)2-4x1x2=2,即()2-=2,解得k2=,符合题意. 则|AB|=|x1-x2|=. 考点一 考点二 考点三 考点四 教考链接 (人教A版选择性必修第一册3.1.2节练习第2题)经过椭圆+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,求线段AB的长. 解 F1(-1,0),设直线l:y=(x+1),与+y2=1联立得7x2+12x+4=0, 则Δ=122-4×7×4=32. 故|AB|=. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　1.设直线方程时应注意讨论是否存在斜率. 2.一般地,经过y轴上的点(0,y0)的直线设为y=kx+y0比较简单,经过x轴上的点(x0,0)的直线设为x=my+x0比较简单,注意这个设法下,当m≠0时,直线斜率为. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练2]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,P(2,1)在双曲线C上,满足kPA·kPB=. (1)求双曲线C的方程; (2)过点Q(3,0)的直线l(与x轴不重合)交双曲线C于M,N两点.若|MN|=,求直线l的方程. 解 (1)由题意A(-a,0),B(a,0),故kPA·kPB=,解得a2=4. 将P(2,1)代入=1,得=1,所以b2=1. 故双曲线C的方程为-y2=1. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)设直线l:x=my+3.联立整理得(m2-4)y2+6my+5=0, Δ=36m2-20(m2-4)=16(m2+5)>0且m2-4≠0,|MN|=,所以3(m4+6m2+5)=4(m2-4)2,即m4-50m2+49=0,解得m2=1或m2=49,即m=±1或m=±7.故l的方程为x±y-3=0或x±7y-3=0. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点三　中点弦问题 例3　已知椭圆C:=1(a>b>0),且该椭圆的离心率为,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M. (1)证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值; (2)若直线l的方程为2x-2y+3=0,延长线段OM与椭圆C交于点P,四边形OAPB为平行四边形,求椭圆C的方程. 考点一 考点二 考点三 考点四 (1)证明 依题意,因为e2=1-,所以a2=2b2. 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),则 两式相减可得b2()+a2()=0,得=-=-,即=-. 因为M为线段AB的中点,则x1+x2=2xM,y1+y2=2yM,直线OM的斜率kOM=,直线l的斜率kl=,于是得kl·kOM==-是定值,所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 设点P的坐标为P(xP,yP),由消去x并整理得 3y2-3y+-2b2=0,则y1+y2=,x1+x2=(y1+y2)-3=-2. 又四边形OAPB为平行四边形, 即线段AB与线段OP互相平分, 所以即点P(-2). 而点P在椭圆C上,于是得=1,解得b2=9,a2=2b2=18, 所以椭圆C的方程为=1. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法:联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组,消元得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解. (2)点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子,可以大大减少计算量,但是,使用点差法的前提是直线与圆锥曲线相交,注意检验. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练3]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(6,y0)在抛物线C上,且|AF|=10. (1)求抛物线C的方程; (2)已知直线l交抛物线C于M,N两点,且(4,2)为线段MN的中点,求直线l的方程. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 (1)点A(6,y0)在抛物线C上,由抛物线定义可得|AF|=6+=10,解得p=8, 故抛物线C的标准方程为y2=16x. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),如图所示,则两式相减可得 =16(x1-x2),即(y1-y2)(y1+y2)=16(x1-x2). 又线段MN的中点为(4,2),所以y1+y2=4.则=4,故直线l的斜率为4. 所以直线l的方程为y-2=4(x-4),即直线l的方程为 4x-y-14=0. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点四　弦的垂直平分线问题 例4　已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的离心率为,原点到椭圆的上顶点与右顶点的连线的距离为. (1)求椭圆Γ的标准方程; (2)斜率存在且不为零的直线l与椭圆相交于A,B两点,若线段AB的垂直平分线在y轴上的截距为-1,求直线l在y轴上的截距的取值范围. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 (1)椭圆Γ:=1(a>b>0)的上顶点坐标为(0,b),右顶点坐标为(a,0),因此上顶点与右顶点所在直线的方程为=1,即ay+bx-ab=0. 则原点到椭圆上顶点与右顶点的连线的距离为.又离心率e=,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,所以椭圆Γ的标准方程为+y2=1. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+m(k≠0),将y=kx+m(k≠0)代入+y2=1,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,于是Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(1+4k2-m2)>0,得1+4k2>m2,且x1+x2=. 设AB的中点M(x0,y0),则x0=,y0=kx0+m=. 因为线段AB的垂直平分线在y轴上的截距为-1,所以线段AB的垂直平分线过点(0,-1),所以,即3m=1+4k2,因为k≠0,所以3m=1+4k2>1,所以m>. 将3m=1+4k2代入1+4k2>m2得0<m<3,所以<m<3. 故直线l在y轴上的截距的取值范围是(,3). 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　圆锥曲线的弦的垂直平分线问题的一般解法是结合题意设出弦的方程,代入圆锥曲线的方程,消元后利用判别式Δ>0及弦中点既在弦上、又在垂直平分线上的特征求得相应参数的关系式. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练4]抛物线C的焦点F到准线l的距离为2. (1)求抛物线的标准方程; (2)过焦点F的直线(斜率存在且不为0)交抛物线C于A,B两点,线段AB的中垂线交抛物线的对称轴于点P,求. 解 (1)因为抛物线C的焦点F到准线l的距离为2,所以p=2, 根据建系方案的不同,抛物线的标准方程有四种可能,分别是y2=4x, y2=-4x,x2=4y,x2=-4y. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)在平面直角坐标系中,抛物线的位置并不影响的取值,因此不妨取抛物线的方程为y2=4x,此时焦点F(1,0), 根据题意,直线AB的斜率存在且不为0,因此设直线 AB的方程为x=my+1,与抛物线方程y2=4x联立, 得关于y的一元二次方程y2-4my-4=0,则Δ=16m2+16>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,|y1-y2|=, x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,则|AB|=|y1-y2|=4(1+m2). 线段AB的中点坐标为(2m2+1,2m),则线段AB的中垂线方程为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,解得x=3+2m2,即中垂线交x轴于点P(3+2m2,0),所以|FP|=2+2m2,则. 考点一 考点二 考点三 考点四 $