精品解析：陕西西安中学2026年普通高等学校招生全国统一考试(模拟) 数学试题

密★考试启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学 （时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效. 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明A错误；利用作差比较法，结合不等式性质可逐一判断选项BCD. 【详解】A项，若，，则，故 A错误； B项，若，则， ，，故B正确； C项，若，则， ，，故C错误； D项，若，则，， ，，故D错误. 故选：B. 2. 设直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（ ） A. 平行 B. 相交 C. 是异面直线 D. 可能相交，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】按直线的三种位置关系分析． 【详解】如图，长方体中， 当所在直线为a，所在直线为b时，a与b相交； 当所在直线为a，所在直线为b时，a与b异面. 故选：D. 【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题． 3. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 26 B. 24 C. 20 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知，解得， 故. 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】为奇函数，，解得， 时，， ，符合题意， ． 5. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，方差为2.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误； 对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故C正确； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故D错误； 故选：C 6. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算和外接圆的特点可知，结合模长相等关系可求得，由投影向量公式可直接求得结果. 【详解】中，，则O是BC的中点， 所以BC为圆O的直径， 则有，又，则为等边三角形， 有，，，向量在向量夹角为， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 7. 已知，.若集合中有且仅有一个元素，则的所有取值之积为（ ） A. 4 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】将复数模的条件转化为复平面上的圆，根据两圆相切的充要条件求出的所有正取值，再计算乘积即可. 【详解】由，则在复平面内，复数对应的点到点的距离为， 则集合表示在复平面内，以为圆心，半径为的圆； 由，若，，不合题意； 若，则，即， 此时，即，不合题意； 故，则在复平面内，复数对应的点到点的距离为， 即集合表示在复平面内，以为圆心，半径为的圆； 由集合中有且仅有一个元素，则两圆相切， 若两圆相内切，则有，解得（负值舍去）； 若两圆相外切，则有，解得； 故的所有取值之积为. 8. 已知，且，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将M换成只含的方程，然后对这个未知数进行取值范围的讨论即可. 【详解】由题意可得，， 可得， 即， 将代入，可得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断. 【详解】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 10. 声音中也包含着正弦函数，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，，等.例如某一声音的函数表达式为，关于该函数下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，判断 与间的关系即可；对于B选项，判断 与间的关系即可；对于C选项，通过和差化积公式，结合导数与函数单调性间关系，判断正负即可；对于D选项，根据函数本身的周期性与单调性，即可求解； 【详解】对于A选项， ，因此A选项正确. 对于B选项， ， ，因此B选项正确. 对于C选项，根据和差化积公式， ，当 时， ， 而对于，当 和 时，，，单调递减， 当时， ，，单调递增，故C选项错误. 对于D选项，因为周期为，故计算上的最大值即可， 则当时，令，得， ， 和 ；令，得 ， 和 ， 即在， ， 和 上单调递增；在 ， 和 上单调递减， 而，，， ， 因此最大值为，故D选项正确. 11. 已知除数函数（）的函数值等于的正因数的个数，例如.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 是奇数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用除数函数概念，结合质因数概念，和裂项相消计算判定即可． 【详解】选项A：由，即3个2和2个3的乘积， 由分步计数原理可得 ，所以A正确； 选项B：同理，即个2的乘积，所以， 则，所以B不正确． 选项C：设，则，（是的质因数） 所以，即是奇数，所以C正确； 选项D：又 ，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机事件满足，，且和相互独立，则______. 【答案】# 【解析】 【详解】因. 又因与相互独立，所以，则. 所以. 13. 已知椭圆：（）的左右顶点为A，B，P为椭圆上一点，过点作轴于点，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设点的坐标，将线段长度关系转化为坐标等式，结合椭圆方程推导与的关系，进而计算离心率. 【详解】由题意得椭圆的左右顶点坐标为，， 设点，则有， 因轴，故，则， 又 ，，因此， 由，即，即， 故，整理得， 故. 14. 在长方体中，，，点在棱上，不与重合，点在棱上，，平面将长方体分为两部分.在四棱柱内部有一球，半径为.在三棱柱内部有一球，半径为，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则．平面把长方体分成一个直四棱柱和一个直三棱柱．球在直柱体内的半径不能超过柱体高的一半，也不能超过底面内最大内含圆的半径．因此问题可转化为求底面直角梯形和直角三角形中最大内含圆半径之和的最大值． 【详解】设 则 因为，所以平面把原长方体分成的两部分都是直柱体，且柱体高度均为． 因此内部球的半径都不超过 先求四棱柱内球的最大半径． 它的底面是直角梯形，其中，，． 当时，在直角梯形内可以放入半径为的圆，且球半径不能超过柱体高度的一半，所以 当时，半径为的圆放不下． 设最大圆半径为，可使圆心到，的距离都不小于，为了使半径最大， 圆心应在两平行边，的中间位置，且到与斜边的距离相等． 在底面中建立平面直角坐标系，取 边所在直线方程为 圆心可取为．于是圆心到边的距离为 令这个距离等于，得 综上， 再求三棱柱内球的最大半径． 它的底面是直角三角形，直角边为 所以底面内切圆半径为 该值不超过，所以柱体高度不会再限制球半径． 下面求的最大值． 当时，令 ，则 ，且 函数随增大而增大，所以在 时最大值在处取得， 即，此时 当时，令 ，则 ，并记 此时 下面证明它小于． 有 因为 ，只需证明分子小于． 当 时， 所以分子小于． 当时， ，且要证 等价于 两边均为正，平方得 而 其中，所以不等式成立． 因此当时， ． 综上， 当且仅当时取等号． 故的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某篮球运动员进行投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为.若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为. （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 数学期望为 【解析】 【小问1详解】 设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”. 由题意得，，，，. 由全概率公式得， . 所以，该运动员第二次投篮命中的概率为. 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2. ， ， . 的分布列为 . 16. 如图，在平行六面体中所有棱长均为2，，底面为正方形. （1）证明：面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量方法得到垂直平面的两个交线即可； （2）以为原点，为轴，过点且垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系，根据题意得到各点坐标，从而得到平面与平面的法向量，根据夹角公式计算即可. 【小问1详解】 设向量，，， 由题意得， ，，，， 所以 ， ， 又因为， 所以 ， 所以， 由于与交于点，且 平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图所示，以为原点，为轴， 过点且垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则由题意得，，，，， 则，，，， 设点的坐标为，则， 由于， 有，解得， 又有，解得， 又因为，所以 ，解得， 因此点的坐标为，， 在平行六面体中，有，，， 得， ，， ，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，令，则， 因此平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，令，则， 因此平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，为锐角， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 在中，角、、的对边为、、，已知，，. （1）求边上的高； （2）若为锐角三角形，直线与的边、分别相交于D，E，（不与顶点重合），把分成面积相等的两部分，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据半角公式计算得到，在中，通过余弦定理即可求解； （2）根据三角形面积公式得到边长关系，根据基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，因此，， 由余弦定理，，则， 解得或， 当时，边上的高， 当时，边上的高. 【小问2详解】 当时，为锐角三角形， ，， 设，，则，则 在中根据余弦定理，， 由基本不等式，当且仅当时，取得最小值， 则. 18. 已知双曲线C：（，）过点，且的渐近线方程为. （1）求的方程； （2）记双曲线的左右顶点为，，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； （3）过原点且相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为渐近线方程为，所以可得​，再将点代入双曲线方程，联立即可求解，得到双曲线方程； （2）先求出 的坐标，设过的直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到坐标的关系，再写出的表达式，代入坐标关系化简即可求得比值； （3）设的斜率为，则​的斜率为​，分别将两条直线方程与双曲线联立，求出弦长和，根据四边形面积公式 得到关于的表达式，结合双曲线的交点限制和函数性质求解取值范围. 【小问1详解】 已知双曲线（）的渐近线方程为， 因此，即. 双曲线过点 ，代入方程得： ， 将代入： ， 解得，则 . 因此双曲线的方程为 【小问2详解】 由（1）知双曲线的左右顶点为，，右焦点. 设过的直线方程为，，. 联立，消去得直线与右支交于两点， 由韦达定理得，而,故， 斜率，，则 将和代入， 化简得： ， 故. 【小问3详解】 设直线（），则. 联立与双曲线：需， 则， ， 故. 同理，联立与双曲线需， 则. 四边形的面积， 代入得 , 不妨设，则, 令，则 ，设 ， 因为，所以 ，所以，故. 因此四边形面积的取值范围为. 19. 已知函数（）的图象与函数（）的图象相切于点；函数（）的图象与（）的图象相切于点，点与不重合. （1）若. （i）求和； （ii）令，证明：存在唯一的极小值点，且； （2）证明：函数（）的图象与函数（）的图象相切于点处的公切线过定点. 【答案】（1）（i），（ii）证明见解析 （2）过定点. 【解析】 【分析】（1）利用在切点处的斜率相等，以及代入两函数得到的函数值相等，联立求解； （2）求出公切线的方程，再求出定点. 【小问1详解】 （i）已知函数（）的图象与函数（）的图象相切于点， 若，则，求导得，函数（）的导数为 ， 因此有，解得，再代入，解得， 已知函数（）的图象与（）的图象相切于点 函数（）的导数为， 因此有，解得，即，再代入，解得， （ii）由（i）知，，所以， ， 所以 ，定义域为， 求导得，令，则，即， 设，则 恒成立，因此在上单调递增， 由于，当时， ， 并且，， 因此方程在内有唯一解，设为，即， 当时，，即，在单调递减； 当时，，即，在单调递增， 所以存在唯一的极小值点且， 极小值为， 要证，即证，化简得， 由，两边取对数得 ，即， 因此， 因此，只需要证明，由于，化简得 ， 由于，所以 恒成立，因此， 综上所述，存在唯一的极小值点，且. 【小问2详解】 与 相切于 ，则， 两式相除：，因此 ， 因为交点 在两函数图像上， 所以，所以,所以 此时公切线方程为 令，， 所以函数（）的图象与函数（）的图象相切于点处的公切线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 密★考试启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学 （时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效. 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 设直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（ ） A. 平行 B. 相交 C. 是异面直线 D. 可能相交，也可能是异面直线 3. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 26 B. 24 C. 20 D. 30 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，方差为2.8 6. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 7. 已知，.若集合中有且仅有一个元素，则的所有取值之积为（ ） A. 4 B. C. D. 9 8. 已知，且，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 10. 声音中也包含着正弦函数，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，，等.例如某一声音的函数表达式为，关于该函数下列说法正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 的最大值为 11. 已知除数函数（）的函数值等于的正因数的个数，例如.则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 是奇数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机事件满足，，且和相互独立，则______. 13. 已知椭圆：（）的左右顶点为A，B，P为椭圆上一点，过点作轴于点，若，则椭圆的离心率为______. 14. 在长方体中，，，点在棱上，不与重合，点在棱上，，平面将长方体分为两部分.在四棱柱内部有一球，半径为.在三棱柱内部有一球，半径为，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某篮球运动员进行投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为.若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为. （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望. 16. 如图，在平行六面体中所有棱长均为2，，底面为正方形. （1）证明：面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 在中，角、、的对边为、、，已知，，. （1）求边上的高； （2）若为锐角三角形，直线与的边、分别相交于D，E，（不与顶点重合），把分成面积相等的两部分，求的最小值. 18. 已知双曲线C：（，）过点，且的渐近线方程为. （1）求的方程； （2）记双曲线的左右顶点为，，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值； （3）过原点且相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧，求四边形面积的取值范围. 19. 已知函数（）的图象与函数（）的图象相切于点；函数（）的图象与（）的图象相切于点，点与不重合. （1）若. （i）求和； （ii）令，证明：存在唯一的极小值点，且； （2）证明：函数（）的图象与函数（）的图象相切于点处的公切线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $