精品解析：陕西靖边县靖边中学2025-2026学年普通高等学校招生全国统一考试高三冲刺数学押题卷(五)

2026年普通高等学校招生全国统一考试・冲刺押题卷（五） 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（ ） A. 66 B. 68 C. 70 D. 72 6. 已知是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意，关于的不等式对都成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. 向量与平行 C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 当时， 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 直线为图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 点与点关于原点对称 B. 函数是奇函数 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线的方程为，则___________． 13. 在1，2，3，4，5，6，7中任取4个数组成一个各位数字互不相同的4位数，则中间两位数字比首位和末位数字都小的偶数有___________个． 14. 已知直线与轴，轴分别交于点，与椭圆（，且是正整数）相切于点是的两个焦点，是坐标原点．若的面积与面积的比值为，则的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱柱中， ，平面分别是的中点，分别是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知是双曲线的右焦点，在上，且与轴垂直． （1）求的方程； （2）若过点与的右支相切的直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，求的面积； （3）设过点作两条直线与的右支分别交于（异于点）两点，且直线的斜率互为相反数，问直线的斜率是否为定值？若是，求出直线的斜率；若不是，说明理由． 19. 已知等比数列与等差数列中，．记集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列． （1）求数列与的通项公式； （2）求证：； （3）在这50个数中，任取3个不同的数，当时，记成等差数列的概率为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试・冲刺押题卷（五） 数学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知集合，，在数轴上合并两个集合的范围可得： 所有元素覆盖的区间是从（包含）到（不包含），即. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 3. 已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因的焦点为，则，解得， 由题意，点的横坐标，所以． 4. 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在区间上是单调函数，所以，且， 所以． 5. 一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（ ） A. 66 B. 68 C. 70 D. 72 【答案】C 【解析】 【详解】由长方形的面积之和为1，得： ， 所以， 所以水果质量在区间（单位：g）内的个数为个. 6. 已知是第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 又，， 因为是第二象限角，所以，， 所以，， 所以. 7. 已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的母线为l，则由题意知，所以， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积与圆柱的体积比为. 8. 若对任意，关于的不等式对都成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将不等式整理为关于的二次函数，利用恒成立条件得，再通过导数求函数的最小值，进而确定的取值范围. 【详解】由对成立，得对成立， 所以，整理得， 令，则，，可知在上单调递增. 因为，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，所以，又，所以实数的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. 向量与平行 C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【详解】由得，所以A正确； 因为， 又，所以与不平行，故B错误； ，故C正确； 由，得， 所以，所以，故D正确． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 直线为图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象 【答案】BD 【解析】 【详解】由图象知，，所以，故错误； 函数形式为，代入零点得 ， 由得，故正确； 因为， 所以 ，故错误； ，故正确． 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 点与点关于原点对称 B. 函数是奇函数 C. 当时， D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【详解】取得，，取得， 所以，，故A错误； 因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 取得， 所以， ， 所以， 若，则故C错误； ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线的方程为，则___________． 【答案】2 【解析】 【详解】由，得，所以， 又曲线在点处的切线的方程为， 所以，解得，又点在切线上， 所以，所以，所以． 13. 在1，2，3，4，5，6，7中任取4个数组成一个各位数字互不相同的4位数，则中间两位数字比首位和末位数字都小的偶数有___________个． 【答案】60 【解析】 【详解】首位是3，末位是4的有2个；首位是3，末位是6的有2个； 首位是4，末位是6的有个；首位是5，末位是4的有个； 首位是5，末位是6的有个；首位是6，末位是4的有个； 首位是7，末位是4的有个；首位是7，末位是6的有个， 所以由分类加法计数原理知共60个． 14. 已知直线与轴，轴分别交于点，与椭圆（，且是正整数）相切于点是的两个焦点，是坐标原点．若的面积与面积的比值为，则的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】联立直线与椭圆方程，判别式为0，可得，进而结合已知可得，可得，进而求解即可. 【详解】的方程与方程联立，得， 由与相切得，所以， 此时点的纵坐标为，所以的面积为，是的半焦距， 又的面积为的面积与面积的比值为，所以， 又，所以， 显然满足上式，上式化为， 所以0，因为是正整数，所以只能取1， 所以，所以椭圆的离心率． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，且． （1）求； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，通过同角三角函数的基本关系求得的值； （2）利用基本不等式可得，从而求出的面积的最大值. 【小问1详解】 由，得， 所以由余弦定理，得， 因为中，，所以， ，所以. 【小问2详解】 由和，得， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性即可； （2）令，分离参数，构造函数，将问题转化为与函数有两个交点；利用导数分析函数的单调性及取值情况，可得的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为. 时，，， 令，易知在上单调递减，且， 所以当时，；当时，. 所以时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由有两个零点得，方程在上有两个根， 所以，所以在上有两个根. 设，，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且的极大值为， 又，当时，，且时，. 所以要使方程在上有两个根， 则直线与的图象有两个交点， 所以，故实数的取值范围为. 17. 如图，在四棱柱中， ，平面分别是的中点，分别是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 因为分别是的中点，棱柱的侧面是平行四边形，侧棱互相平行且相等， 所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面． 连接，由分别是的中点，分别是的中点 ，得，所以，因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证平面，连接，进而证明平面，利用面面平行的判定定理可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为和面的一个法向量，利用向量法可求得二面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，在棱柱底面中，，所以平分，且． 分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系 则， ， 所以. 设平面的一个法向量， 则，即，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量， 则，即，取，则， 所以平面的一个法向量， 设二面角的大小为， 则，所以， 故二面角的正弦值为． 18. 已知是双曲线的右焦点，在上，且与轴垂直． （1）求的方程； （2）若过点与的右支相切的直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，求的面积； （3）设过点作两条直线与的右支分别交于（异于点）两点，且直线的斜率互为相反数，问直线的斜率是否为定值？若是，求出直线的斜率；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求得，即可得方程； （2）设过与的右支相切的直线方程为，与双曲线方程联立，利用判别式求得切线方程，进而与渐近线方程联立求得的坐标，可求得面积； （3）设直线，联立方程组，利用根与系数的关系可得，设，则中的换成，得，进而计算可得结论. 【小问1详解】 设的右焦点为，由在上，且与轴垂直，得， 又，所以， 所以的方程为． 【小问2详解】 的两条渐近线方程为， 设过与的右支相切的直线方程为，将此方程与方程联立，消去得， 则，且，解得， 所以切线方程为，切线与轴交于点， 由与分别联立，求出的纵坐标分别为， 所以的面积为． 【小问3详解】 设直线的方程为，由的方程与方程联立， 得 则，所以， 设，则中的换成，得， 直线的斜率为 ， 所以直线的斜率为定值. 19. 已知等比数列与等差数列中，．记集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列． （1）求数列与的通项公式； （2）求证：； （3）在这50个数中，任取3个不同的数，当时，记成等差数列的概率为，求． 【答案】（1） （2） 因为，即． 若，使，那么， 所以若，则， 因为，重复使用上述结论，即得． 同理，，即， 因为“”是数列的公差3的整数倍， 所以说明与，同时属于或同时不属于， 当时，显然，重复使用上述结论，即得． （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差等比数列基本量的计算可求得数列与的通项公式； （2）若，使，可得，进而可得，利用已知可得，与，同时属于或同时不属于，进而计算可得结论； （3）结合（2）可得，可得在与之间的项数为，，进而计算可求得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 因为，则，所以， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 记中的元素，从小到大排列得数列，则由（2）知， 先求中，在与之间的项数， 则得， 因为，所以在与之间的项数为， 所以在数列中的项数记为， 则， 显然递增，因为， 所以在的前150项中，有4项在中，有146项是中的项，的第151项到200项中，第176项是的第5项， 所以的第151项到200项中，第176项是的第5项，其余项从小到大依次是的第147项到第195项， 在的第147项到第195项中，取3项，从小到大排，成公差为的数列有47个，公差为的数列有45个，公差为的数列有43个，…，公差为的数列有1个， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $