精品解析：陕西榆林市靖边中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试临门一卷(二) 数学试题

2026普通高等学校招生全国统一考试·临门一卷（二） 数学 本试题卷共4页.全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，， 所以. 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，故复数z的虚部为． 3. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，即得，又，所以． 因为，则，所以，解得（负值舍去）． 4. 若函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数性质建立关于方程求解. 【详解】由可得， ， 若为奇函数，则有， 即，整理得， 则，解得， 当时，，令，解得或， 此时定义域为关于原点对称， 符合为奇函数，故符合题意． 5. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用余弦定理得出，再应用面积公式计算求解. 【详解】由余弦定理得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 6. “黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把图片横竖各分三部分，以比例1:0.618:1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若图片长、宽比例为8:5，设．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数得到，利用正切二倍角公式进行求解. 【详解】由题意得，故. 故选：D 7. 已知圆C：，直线与圆C交于A，B两点，点P在圆C上，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用极化恒等式可得，再利用垂径定理可得，最后可求解. 【详解】 圆C：，半径，取中点M，则， 记，， 所以， 在中，由勾股定理，， 由极化恒等式，， 代入消元得：. 故选：B 8. 已知函数的最小正周期为，将所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前12项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由辅助角公式化简，并利用的最小正周期求出，得到的解析式，令得到或，，确定奇数项和偶数项分别为公差为的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】， 因为的最小正周期为，，所以，故， 所以，令，即， 即，所以或， 解得或，， 又所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列， 故令且，得到，，，，……， 显然，奇数项为首项为，公差为的等差数列， 偶数项为首项为，公差为的等差数列， 故数列的前12项和为. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两组样本数据和，其中是的中位数，则这两组样本数据的（ ） A. 极差不相等 B. 中位数相等 C. 平均数相等 D. 标准差可能相等 【答案】BD 【解析】 【分析】不妨设，则，即可得新数据，结合极差、中位数的定义分析判断AB；举反例判断CD. 【详解】不妨设，则， 新数据按升序排列可得， 对于选项A：两组数据的极差均为，即极差相等，故A错误； 对于选项B：两组数据的中位数均为，即中位数相等，故B正确； 对于选项C：例如，则，平均数为， 新数据的平均数为， 显然，所以平均数不相等，故C错误； 对于选项D：例如，则，显然其标准差为0， 新数据的标准差也为0，两者相等，故D正确； 故选：BD. 10. 如图，在直三棱柱中，，，且，点D在线段上运动，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 与不可能平行 C. 与不可能垂直 D. 四棱锥的外接球面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直可对A判断求解；建立空间直角坐标系，并设，，假设与平行，利用向量法即可求解对B判断；利用向量求出即可对C判断；利用补形法将直三棱柱补成长方体，即可求出长方体外接球半径，即可对D判断求解. 【详解】A：由题平面，平面，所以， 又因，且，平面， 所以平面，因平面，所以， 又，则四边形为正方形，所以， 因，平面，所以平面，故A正确； B：如图，以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，， 设，，得， 所以，， 假设与平行，则，即，则，无解， 所以假设不成立，故与不可能平行，故B正确； C：，， 若与垂直，则，则，即， 又因，所以假设成立，故C错误； D：四棱锥的外接球就是直三棱柱的外接球， 因为，可将直三棱柱补成长方体，则长方体外接球即为直三棱柱的外接球， 长方体的体对角线长为(为外接球半径)，解得， 所以外接球面积为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 两个函数的图象在处的切线互相平行 B. 存在实数，使得 C. 函数在上单调递增 D. 的图象可由的图象绕某个点旋转得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过求导得切线斜率判断A；分析与的单调性求最值，比较最值判断B；构造新函数并分析导函数符号验证C；利用中心对称的代数特征推导对称点，结合旋转性质验证D. 【详解】对于A，求的导数得，故； 求的导数得，故. 两函数的图象在处切线斜率相等，且、， 切线不重合，故切线互相平行，A正确. 对于B，：当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故在处取最小值. ：当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取最大值.因， 故的值始终大于的值，不存在实数使，B错误. 对于C，设， . 当时，，故分子， 即，故在上单调递增，C正确. 对于D，若函数与关于点中心对称， 则对任意，有. ，对应得，；，， 故与的图象关于点对称. 而关于点对称的图形绕其对称中心旋转后会与另一图形重合， 因此的图象可由的图象绕点旋转得到，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则的零点之和为_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得, 所以的零点之和为． 13. 从标有的个小球中随机摸取个，则摸到的个小球上数字之和是的倍数的概率为_____________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据题意求出取个小球的结果总数，再找出之和为的倍数的情况，然后求其概率. 【详解】从袋中的个小球中取出个小球，共有种情况， 取出小球之和为的倍数情况为：，，，，共种情况， 所以取出之和为的倍数的概率：． 14. 已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与椭圆在第四象限交于点．若，则的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】借助光的反射定律确定入射点的坐标，由斜率求出，再结合椭圆定义及余弦定理求出离心率. 【详解】设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点， 则点，直线的斜率为，即， 于是，由，得， 在中，由余弦定理得， 整理为0，即，而，解得， 所以椭圆的离心率为． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）数列满足，，求的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，列出关于和的方程组，解方程组得到和，再代入等差数列通项公式得到的通项； （2）由，利用累加法，将时的，代入得，再验证时是否满足所得表达式，最终得到的通项. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题意可得： 解得，， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 由可得： ， ， … ， 通过累加可得， 又，所以， 当时，符合，故． 16. 某市场上工业品零件W的三种品牌公司的产品，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记，，表示买到的工业品零件W的品牌分别为甲、乙、丙，B表示从市场上买的一个工业品零件W是优质品． （1）求事件B发生的概率； （2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该市场选取10个工业品零件W，再从这10个零件中任选2个，用X表示这2个零件中品牌甲的个数，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P 数学期望1． 【解析】 【分析】（1）由全概率公式即可求解； （2）由分层抽样得出品牌甲乙丙工业品的个数，由题意分析出，1，2，分别求得对应概率即可得出分布列，再根据期望的计算方法即可求解期望． 【小问1详解】 由题得，市场占有率：，，， 优质率：，，， 则由全概率公式得． 【小问2详解】 由题意，10个工业品零件W中品牌甲5个，品牌乙3个，品牌丙2个， ，1，2， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若集合恰有一个元素，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）极小值为，极大值为． （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由导数得出的单调区间即可得出函数的极值； （3）画出的图像，结合图像，即可求解实数m的取值范围． 【小问1详解】 因为函数， 对函数求导得． 所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 令，则或． 当时，因为，所以，此时在上单调递增； 当时，因为，所以或，此时在，上单调递减， 所以在处取得极小值为， 在处取得极大值为． 【小问3详解】 因为集合恰有一个元素，即只有一个根， 也就是说函数与只有一个交点， 由（2）可画出函数的图像如下所示， 因为，时，， 所以根据图像可以得出当或时，集合恰有一个元素， 实数m的取值范围为． 18. 等边三角形绕边上的高旋转一周形成一个圆锥，如图，已知均为弧的三等分点（点靠近点），为母线的中点，． （1）已知为内一点，且平面，作出点的轨迹并证明； （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）设为圆锥底面圆周上一点，求三棱锥体积的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的判定定理证明平面平面，再由面面平行的性质可得点的轨迹； （2）设点为弧中点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法计算可得结果； （3）利用余弦定理计算得到的面积，利用空间向量计算得到点到平面距离的最大值，最后由三棱锥体积公式计算可得结果. 【小问1详解】 设中点为，连接，，，，则点的轨迹为线段． 分别为，的中点，，且， 又为弧的三等分点，且， 且，∴四边形是平行四边形，， 为弧的三等分点，，， ∴四边形是平行四边形，， 由，，平面，平面， 平面，平面，∴平面平面， 为内一点，且平面， ∴当点在线段上时，平面，满足平面， ∴点的轨迹为线段（不包括端点）． 【小问2详解】 设点为弧中点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，，， 设是平面的一个法向量， 则，令，可得，，所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，可得，，所以， 设平面和平面夹角为，为锐角， 则，， 所以平面和平面夹角的正弦值为． 【小问3详解】 由于，，， 则， ， 设，， 则点到平面的距离， 当时，， ∴三棱锥体积的最大值为． 19. 已知双曲线的左右顶点为，，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于，两点（其中在第一象限，且，异于点），为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过分别作，的垂线，垂足分别为，，记，的面积为，，若，求的最大值； （3）设圆上一点处的切线．若与双曲线左右两支分别交于，，问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）是，定值为，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，求出，进而求出双曲线方程； （2）设直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理结合三角形面积公式求出，再利用基本不等式求最大值； （3）求出切线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理计算求解． 【小问1详解】 双曲线左右顶点为，，且， ，解得， 双曲线的一条渐近线的斜率为，即，解得， 双曲线的方程为． 【小问2详解】 设直线，联立双曲线方程得，整理得， 设，则， ，设，则， ， ， 是在上的投影， ， 的方程为， ，故，同理， ，令， ，当且仅当时等号成立， ，即的最大值为． 【小问3详解】 设点，则， 由切线的性质可知，设直线的斜率为， ， ， 直线的方程为：， 整理得，即， 联立双曲线得， 设，由韦达定理得， ，即， ， ， 是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026普通高等学校招生全国统一考试·临门一卷（二） 数学 本试题卷共4页.全卷满分150分，考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 4. 若函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. “黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把图片横竖各分三部分，以比例1:0.618:1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若图片长、宽比例为8:5，设．则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆C：，直线与圆C交于A，B两点，点P在圆C上，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知函数的最小正周期为，将所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前12项的和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两组样本数据和，其中是的中位数，则这两组样本数据的（ ） A. 极差不相等 B. 中位数相等 C. 平均数相等 D. 标准差可能相等 10. 如图，在直三棱柱中，，，且，点D在线段上运动，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 与不可能平行 C. 与不可能垂直 D. 四棱锥的外接球面积为 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 两个函数的图象在处的切线互相平行 B. 存在实数，使得 C. 函数在上单调递增 D. 的图象可由的图象绕某个点旋转得到 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则的零点之和为_____________． 13. 从标有的个小球中随机摸取个，则摸到的个小球上数字之和是的倍数的概率为_____________． 14. 已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与椭圆在第四象限交于点．若，则的离心率为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）数列满足，，求的通项公式． 16. 某市场上工业品零件W的三种品牌公司的产品，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记，，表示买到的工业品零件W的品牌分别为甲、乙、丙，B表示从市场上买的一个工业品零件W是优质品． （1）求事件B发生的概率； （2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该市场选取10个工业品零件W，再从这10个零件中任选2个，用X表示这2个零件中品牌甲的个数，求X的分布列和数学期望． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若集合恰有一个元素，求实数m的取值范围． 18. 等边三角形绕边上的高旋转一周形成一个圆锥，如图，已知均为弧的三等分点（点靠近点），为母线的中点，． （1）已知为内一点，且平面，作出点的轨迹并证明； （2）求平面和平面夹角的正弦值； （3）设为圆锥底面圆周上一点，求三棱锥体积的最大值． 19. 已知双曲线的左右顶点为，，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于，两点（其中在第一象限，且，异于点），为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过分别作，的垂线，垂足分别为，，记，的面积为，，若，求的最大值； （3）设圆上一点处的切线．若与双曲线左右两支分别交于，，问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $