2025-2026学年苏科版八年级数学下学期5月学情自测卷.（测试范围：第6-11章）.

**基本信息** 立足八年级下学期核心内容，以河南文创、航模社团等真实情境为载体，通过动态几何、统计推断等问题设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|概率、二次根式、分式方程等基础概念|第5题因式分解密码设计，融合符号意识与应用能力| |填空题|6/18|分式值、频率估计概率、折叠几何计算|第15题平行四边形折叠，考查空间观念与几何直观| |解答题|8/72|统计分析、四边形证明、动态最值探究|24题正方形动态问题三问递进，培养推理能力与创新意识；19题河南文创统计，体现数据意识与文化传承|

2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列说法中错误的是（    ） A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率大于等于0，小于等于1 D．概率很小的事件可能发生 【答案】C 【分析】根据必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0 ，随机事件发生的概率大于0，小于1 ，分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：A、必然事件发生的概率为1，故A选项正确，不符合题意； B、 不可能事件发生的概率为0 ，故B选项正确，不符合题意； C、随机事件发生的概率大于0，小于1 ，故C选项错误，符合题意； D、概率很小的事件发生的可能性小，故D选项正确，不符合题意． 故选：C 【点睛】此题考查了判断事件发生可能性的大小，解题的关键是熟练运用三种事件发生概率数值的大小来判断． 2．为了解某校学生每周参加社团活动时间的情况，随机抽查了100名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1200名学生，依此估计，该校每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是（    ）    A．240名 B．300名 C．360名 D．480名 【答案】D 【分析】根据频数分布直方图计算样本中参加社团活动时间在6～8小时的学生数，进而可以估算全校参加社团活动时间在6～8小时之间的学生人数． 【详解】解：由图可知，随机抽查的100名学生中参加社团活动时间在6～8小时之间的学生有40名， 该校每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是（名）， 故选：D． 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，根据样本的频数估计总体的频数． 3．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断即可； 【详解】A.，无意义，故A错误； B.是二次根式，故B正确； C.是三次根式，故C错误； D.没有说明a的取值范围，故D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义应用，准确分析判断是解题的关键． 4．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（   ） A． B．且C．D．且 【答案】B 【分析】先求出分式方程的解，再根据解是正数得出不等式，求出解集即可． 【详解】解：， 去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵方程的解是正数， ∴，且， 即，且， 解得且． 5．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：中，爱，我，一，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱美 B．一中游 C．我爱一中 D．美我一中 【答案】C 【分析】先对给定多项式因式分解，再根据密码对应关系得到结果即可． 【详解】解： ， ∵，，，分别对应下列六个字：中，爱，我，一， ∴将因式分解，结果呈现的密码信息可能是我爱一中． 6．如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练计算角的和差是解题的关键． 先证得四边形是等腰梯形，可得，由等边三角形的性质得，根据角的和差得出，，再由等边对等角得出，，再根据角的和差计算可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 7．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再得出，，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，， ∴点运动到的中点时，的长为． 8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 连接， 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 9．如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由正方形的性质得，，， ，， 由折叠得到， ， 又， ， ∴，又， ， ∴． 在中，，， 由勾股定理得， 解得，即正方形的边长为24． 10．如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则DE的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形性质求出的度数，设，在中用表示出和，进而表示出和，再通过作高利用勾股定理表示出，最后根据列方程求解． 【详解】解：在中，，， ． ， ． 设，在中，， ，． 是的中点， ， ． 过点作于点， 在中，， ， ． ，， ． ， ， 解得：， 即． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．设，，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查完全平方公式，分式的求值，根据，结合完全平方公式，求出的值，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 12．已知，则的值是________． 【答案】 【分析】先由已知条件得到，再利用因式分解的方法逐步转化为含有已知条件的形式，利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入得 ， 再次把代入得 ． 13．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2/2或1 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 14．在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键，根据频率估计概率，摸到白球的频率稳定在附近，即摸到白球的概率为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设黑球有个，则总球数为个．根据题意得： ， 解方程：． 经检验，是方程的解， 故答案为：11． 15．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是_________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得，，进而求出，由折叠的性质得，，，求出得，求出得，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵将沿着所在的直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质以及解直角三角形．熟练掌握平行四边形和折叠的性质，得到是解决本题的关键． 16．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 【答案】9 【分析】过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由勾股定理推出，再根据列式求解即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴ ． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．因式分解： (1) (2) (3) (4)先因式分解再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4)因式分解结果为，值为 【分析】本题考查因式分解的基本方法，整体解题思路为：先观察式子，若有公因式先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式继续分解到不能分解为止；第（4）小题先完成因式分解得到最简结果，再代入已知数值计算即可．用到的知识点为提公因式法、平方差公式、完全平方公式． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 把， 代入得：原式 18．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式和分式的计算以及分解因式，掌握完全平方公式，平方差公式以及分式的加减乘除混合运算是解题的关键． （1）将进行平方差公式的计算，进行完全平方公式的计算，最后在进行加减混合运算即可得出结果． （2）先算括号里的，再将除以转换成乘以，并将进行分解因式，最后进行乘法运算即可得出结果． 【详解】（1）； 解：原式， ， ． （2）． 解：原式， ， ． 19．近年来，河南博物院以“考古盲盒”“唐宫夜宴”等文创产品火出圈，成为河南文化名片．某中学数学兴趣小组为了解全校学生对四类河南主题文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷并开展抽样调查，部分数据整理如下： 在下面四类河南主题文创产品中，你最喜爱的是（单选） A．考古盲盒玩偶                      B．河南文物冰箱贴 C．龙门石窟创意摆件              D．唐宫夜宴手机挂件 数据的收集与整理： 数学兴趣小组从回收的问卷中随机抽取部分问卷进行整理，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是 ． (2)补全条形统计图，并求出扇形图中“考古盲盒玩偶”对应扇形的圆心角的度数． (3)若全校共有1800名学生，请估计全校最喜爱“唐宫夜宴手机挂件”的学生人数． 【答案】(1)120 (2)图见解析； (3)600人 【分析】（1）用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可； （2）求出喜爱玩偶的人数，补全条形图，用360度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【详解】（1）解：； （2）解：喜爱玩偶的人数为，补全条形图如下： ； 答：扇形图中“考古盲盒玩偶”对应扇形的圆心角的度数为． （3）(人) 答：估计全校最喜爱“唐宫夜宴手机挂件”的学生有600人． 20．某学校七年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“书画”区域的次数 落在“书画”区域的频率 (1)完成上述表格：_____；______； (2)请估计当次数很大时，频率将会接近______（精确到），假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是_______（精确到）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度? 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题． （1）根据频率频数总数，求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）当次数很大时，频率将会接近，获得“书画”奖品的概率约是， 故答案为：，； （3）标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是． 21．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 22．为培养学生的创新能力，康居路初中教育集团航模社团现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同． (1)求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ (2)该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共12台，且购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)编程机器人价格为850元；无人机价格为1000元 (2)购买编程机器人8台，航拍无人机4台时，总花费最少，最少为10800元． 【分析】（1）设编程机器人的单价为x元，则得航拍无人机的单价为元；根据等量关系：用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同，列出分式方程并求解即可，注意要检验； （2）设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台，由题中不等关系可确定m的取值范围；设购买两种设备的总费用为w元，根据题意可列出函数关系式，从而求得最小花费． 【详解】（1）解：设编程机器人的单价为x元，则航拍无人机的单价为元； 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则； 答：编程机器人价格为850元；航拍无人机价格为1000元； （2）解：设购买编程机器人m台，则购买航拍无人机台， 由题意得：，解得：； 设购买两种设备的总费用为w元，则， 整理得：； ∵，且， ∴当时，w最小，最小值为10800元； 此时购买航拍无人机为（台）； 答：购买编程机器人8台，航拍无人机4台时，总花费最少，最少为10800元． 23．如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定； （1）根据菱形的性质得到，根据对角线相等且平分的四边形是矩形证明即可； （2）根据菱形的性质得到，即可得到，根据角平分线可得，进而可得，然后根据勾股定理求出长，根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是矩形， ∴，     ∴， ∴． 24．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)最小值为． 【分析】（）由正方形的性质可得，，证明，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求证； （）证明，所以，， 然后证明，，再证明四边形是矩形，又，所以四边形是正方形； （）由（）知，四边形是正方形，所以，，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，然后通过非负数性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与交于点， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：由（）知，四边形是正方形， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∵点在的延长线上，且在上， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列说法中错误的是（    ） A．必然事件发生的概率为1 B．不可能事件发生的概率为0 C．随机事件发生的概率大于等于0，小于等于1 D．概率很小的事件可能发生 2．为了解某校学生每周参加社团活动时间的情况，随机抽查了100名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1200名学生，依此估计，该校每周参加社团活动的时间在6～8小时之间的学生数大约是（    ）    A．240名 B．300名 C．360名 D．480名 3．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（   ） A． B．且C．D．且 5．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：中，爱，我，一，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱美 B．一中游 C．我爱一中 D．美我一中 6．如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 7．如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（   ）    A． B．2 C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 10．如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则DE的长是（   ） A． B．6 C． D．3 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．设，，则______． 12．已知，则的值是________． 13．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 14．在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 15．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是_________． 16．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．因式分解： (1) (2) (3) (4)先因式分解再求值：，其中，． 18．计算 (1)； (2)． 19．近年来，河南博物院以“考古盲盒”“唐宫夜宴”等文创产品火出圈，成为河南文化名片．某中学数学兴趣小组为了解全校学生对四类河南主题文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷并开展抽样调查，部分数据整理如下： 在下面四类河南主题文创产品中，你最喜爱的是（单选） A．考古盲盒玩偶                      B．河南文物冰箱贴 C．龙门石窟创意摆件              D．唐宫夜宴手机挂件 数据的收集与整理： 数学兴趣小组从回收的问卷中随机抽取部分问卷进行整理，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是 ． (2)补全条形统计图，并求出扇形图中“考古盲盒玩偶”对应扇形的圆心角的度数． (3)若全校共有1800名学生，请估计全校最喜爱“唐宫夜宴手机挂件”的学生人数． 20．某学校七年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“书画”区域的次数 落在“书画”区域的频率 (1)完成上述表格：_____；______； (2)请估计当次数很大时，频率将会接近______（精确到），假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是_______（精确到）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度? 21．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 22．为培养学生的创新能力，康居路初中教育集团航模社团现需购买航拍无人机和编程机器人．已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用10000元购买航拍无人机的数量和用8500元购买编程机器人的数量相同． (1)求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ (2)该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共12台，且购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍．问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23．如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 24．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $