第4章 三角形 习题课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形的边”，涵盖定义、分类、三边关系等核心知识点。通过基础题（如判断三角形构成、顶点与边的对应）导入，逐步过渡到分类辨析、等腰三角形性质，再到综合应用题（如不等式组与周长计算），构建从基础到拓展的学习支架。 其亮点在于分层设计题目，融合数学眼光、数学思维与数学语言。基础题培养抽象能力（如三角形分类判断），综合题提升推理意识（如倍长三角形腰长计算），创新题（如“不均衡三角形”定义应用）发展应用意识。学生能在探究中深化理解，教师可借助分层资源实现精准教学。

第4章 三角形 4.3 全等三角形 4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边） 1 1．[湘潭市期中]如图，已知 ，能直接用 “边角边”证明 的条件是( ) A A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 2. 如图，已知 ，下面甲、乙、丙、丁 四个三角形中，与 全等的是( ) A A. B. C. D. 返回 基础提优题 3 返回 3. 小明用同种材料制 成的金属框架如图所示，已知 ，， ，其中 框架的质量为， 的质量 为 ，则整个金属框架的质量为 ( ) D A. B. C. D. 基础提优题 4 4. 在测量一个小口圆形容 器的壁厚时，小明用“ 型转动钳”按如图方法 进行测量，其中， ，测得 ，，用和 表示圆形容器的壁 厚是_________. 返回 基础提优题 5 5.如图，在 的方格中，每个小方格的边长 均为1，则与 的数量关系是 ____________ ____. 基础提优题 6 【点拨】如图， 在与 中， 所以 （边角边）.所以 . 又因为 ，所以 . 返回 基础提优题 7 6. 如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，AB与EC交于点D，FB与EC交于点M. (1)EC与BF有什么数量关系？并说明理由． 【解】EC＝BF.理由： 因为AE⊥AB，AF⊥AC，所以∠BAE＝∠CAF＝90°. 所以∠BAE＋∠BAC＝∠CAF＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAF. 基础提优题 8 基础提优题 (2)试判断EC与BF的位置关系，并说明理由． 【解】EC⊥BF.理由：由(1)知△AEC≌△ABF， 所以∠AEC＝∠ABF. 因为∠BAE＝90°，所以∠AEC＋∠ADE＝90°. 又因为∠ADE＝∠BDM，所以∠ABF＋∠BDM＝90°. 所以∠BMD＝180°－(∠ABM＋∠BDM)＝180°－90°＝90°，所以EC⊥BF. 基础提优题 10 7．[武汉市汉阳区模拟]如图, 中，，平分，点为 上 一点.则图中全等三角形有( ) C A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 基础提优题 11 【点拨】因为平分 ，所以 .在和 中， 所以 （边角边）.所以， .在 综合应用题 12 和中， 所以 （边角边）.在和 中，所以 （边角边）.所以共3对全等三角形. 返回 综合应用题 8. 如图，在中， ， ，，平分交 于点 ，在上截取，则 的周长 为( ) A A. 19 B. 20 C. 18 D. 17 综合应用题 14 【点拨】因为是 的平分线，所以 .在和 中， 所以 （边角边）.所以.因为，， ， 所以的周长 . 返回 综合应用题 15 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D，E均在小正方形网格的格点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于(　　) A．180°－α B．180°－2α C．90°＋α D．90°＋2α C 综合应用题 16 【点拨】如图，由图可知：GD＝EH＝1，∠CGD＝∠BHE＝90°，CG＝BH＝4，所以△CGD≌△BHE(边角边)，所以∠GCD＝∠HBE.因为CG∥BD， 所以∠CAB＝∠ABD.因为∠CAB＋∠GCD＝∠CFB＝α，所以∠ABD＋∠HBE＝α，所以∠ABE＝∠ABD＋∠DBH＋∠HBE＝90°＋α.故选C. 返回 综合应用题 10. 如图，在长方形 中，,点在边 上，且 .动点在边上，从点 出发 以的速度向点运动，同时，点 在 边上，以的速度由点向点 运 动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则 的值为______. 4或 综合应用题 18 （第12题） 【点拨】设运动时间为,则 , .所以 .因为在长方形 中， ,所以分两种情况 讨论:①当时, , ,即,，解得, ;②当 时,, ,即 , ，解得, .综上所述，的值为4或 . 返回 综合应用题 19 11.如图，在和中，,分别平分 和 ,与相交于点,若 , ,则 等于____. 综合应用题 20 【点拨】如图，在上截取 ,连 接.因为 ，所以 .因为,分别平分 和 ,所以, .在 和 中, 所以 综合应用题 21 （边角边）.所以.在 和 中, 所以 （边角边）.所以 .又因为 ,所以 .因为 综合应用题 ,所以 因为 , 所以 由①②组 成方程组可解得 . 返回 综合应用题 12.［2025武汉江岸区月考］如图，在中， , 的平分线交于点，延长交于点，, 分别在 ,上，连接,，， . 综合应用题 24 （1）当 时，求 的度数； 【解】设 ，所以 . 又因为平分,平分 ，所以 . 所以 .所以 ，即 . 综合应用题 25 （2）求证： . 综合应用题 26 【证明】如图,在上取点，使 ， 连接 . 因为平分 ， 所以 . 在和中， 所以 （边角边）. 综合应用题 27 所以，，因为 ，所以 .因为 ， ，所以 . 因为平分，所以 . 综合应用题 所以.又因为,所以 .所以 .在和 中， 所以 （边角边）.所以.所以 . 返回 综合应用题 13. 某数学兴趣小组进行了一次探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】(1)如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE. 求证：△ACD≌△EBD. 创新拓展题 30 创新拓展题 31 【变式与应用】(2)如图②，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3.设EP＝x，求x的取值范围． 【解】如图①，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ. 因为EP是△DEF的中线，所以PD＝PF. 创新拓展题 32 创新拓展题 33 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】(3)如图③，AD是△ABC的中线，点E，F分别在边AB，AC上，且DE⊥DF.求证：BE＋CF＞EF. 创新拓展题 34 【证明】如图②，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG.　 因为AD是△ABC的中线，所以DC＝DB. 创新拓展题 35 返回 创新拓展题 36 在△AEC和△ABF中， 所以△AEC≌△ABF(边角边)，所以EC＝BF. 【证明】因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD. 在△ACD和△EBD中， 所以△ACD≌△EBD(边角边)． 在△PDE和△PFQ中， 所以△PDE≌△PFQ(边角边)，所以FQ＝DE＝3. 在△EFQ中，EF－FQ＜QE＜EF＋FQ，即5－3＜2EP＜5＋3， 所以1＜EP＜4，即x的取值范围是1＜x＜4. 在△DFC和△DGB中， 所以△DFC≌△DGB(边角边)．所以CF＝BG. 因为DE⊥DF，所以∠FDE＝∠GDE＝90°. 在△EDF和△EDG中， 所以△EDF≌△EDG(边角边)．所以EF＝EG. 在△BEG中，根据三角形三边关系，得BG＋BE>EG. 所以BE＋CF>EF. $第4章 三角形 4.1 认识三角形 第3课时 三角形的角 1 返回 1．如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(　　) A．85° B．80° C．75° D．70° A 基础提优题 2 返回 2．如图，∠A＝70°，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是(　　) A．125° B．115° C．110° D．120° A 基础提优题 返回 3.如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠BAC＝4∠C，AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD的度数是________． 64° 基础提优题 4 4. 在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少？ 【解】第一种情况：当BD在△ABC内部时，如图①.在△ABC中，因为BD是AC边上的高(已知)，所以∠ADB＝90°(垂直的定义)．又因为∠ABD＝30°(已知)，所以∠A＝180°－∠ADB－∠ABD＝180°－90°－30°＝60°.又因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°(三角形的内角和定理)，所以∠ABC＋∠C＝120°.又因为∠ABC＝∠C，所以∠C＝60°. 基础提优题 5 返回 第二种情况：当BD在△ABC外部时，如图②.在Rt△ABD中，因为∠ABD＝30°(已知)，∠D＝90°，所以∠BAD＝60°.易知∠BAD＝∠ABC＋∠C，所以∠ABC＋∠C＝60°.又因为∠ABC＝∠C，所以∠C＝30°. 综上所述，∠C的度数为30°或60°. 基础提优题 5．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形形状的是(　　) C 返回 基础提优题 7 返回 6．[北京市海淀区模拟]在△ABC中，∠A∠B∠C＝123，则△ABC(　　) A．是锐角三角形　 B．是直角三角形 C．是钝角三角形　 D．不存在 B 基础提优题 8 7．已知在△ABC中，∠A－∠B＝20°，∠B－∠C＝35°，则△ABC按角分类为________三角形． 锐角 返回 基础提优题 9 8．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使两直角边重合，则∠α的度数为(　　) A．75° B．105° C．135° D．165° D 返回 综合应用题 10 9．如图，把三角形纸片ABC沿DE所在直线折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，点A′是点A的对应点，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是(　　) A．2∠A＝∠1－∠2 B．∠A＝2(∠1－∠2) C．2∠A＝∠2－∠1 D．∠A＝∠1－∠2 A 返回 综合应用题 11 10.一块板材如图所示，测得 ， ， ，根据需要为 ，师傅说板材不符合要 求且只能改动，则可将 ______（选填“增加”或“减少”） ___ . 减少 5 综合应用题 12 【点拨】延长交于点 ，如图.因为 ， ， 所以 . 因为 ， ， ， 所以 .因为根据需要 为 ，所以可将减少 . 综合应用题 13 返回 方法2：过点B，D作射线BF，F在BD的延长线上，则 ∠CDF＝∠CBD＋∠C，∠FDA＝∠ABD＋∠A，所以 ∠ADC＝∠CDF＋∠FDA＝∠CBD＋∠C＋∠ABD＋∠A＝ ∠CBA＋∠C＋∠A＝90°＋35°＋20°＝145°.因为根据需要 ∠ADC＝140°，所以可将∠A减少5°. 综合应用题 11. 如图，，， 分别是 三边延长线上的点， ，则 的 度数为( ) A A. B. C. D. 返回 综合应用题 15 12. 如图，两面镜子 ，的夹角为 ，当光线经过镜子后 反射，，.若 ， 则 的度数是( ) A A. B. C. D. 综合应用题 16 返回 【点拨】如图．因为∠α＝68°，所以∠2＋∠3＝180°－∠α＝180°－68°＝112°.因为∠1＝∠2，∠3＝∠4， 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2×112°＝224°，所以∠5＋∠6＝180°－(∠1＋∠2)＋180°－(∠3＋∠4)＝360°－224°＝136°，所以∠β＝180°－(∠5＋∠6)＝44°. 综合应用题 13. 如图，已知AB∥CD，AC⊥AB，P是AB上的一点，连接CP，将△ACP沿CP所在直线折叠，点A落在点M处，连接MB，MD.若∠B＝∠D，∠CMD＝∠PMB＋12°，则∠ACP的度数为________． 25.5° 综合应用题 18 【点拨】如图，延长PM交CD于点E.因为AC⊥AB，所以∠A＝90°.由折叠的性质可知∠APC＝∠MPC，∠CMP＝∠A＝90°.所以∠CME＝90°.因为AB∥CD， 所以∠2＝∠3.又因为∠2＝∠1＋∠D， ∠B＝∠D，所以∠3＝∠1＋∠B＝ ∠CMD－90°＋180°－∠3－∠PMB.所以2∠3＝90°＋∠CMD－∠PMB.因为∠CMD＝∠PMB＋12°， 综合应用题 返回 综合应用题 14. 三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交射线ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C，且0°<∠OAC<90°.则下列结论正确的有________(填序号)． ①∠ABO的度数为30°； ②△AOB是“灵动三角形”； ③若∠BAC＝70°， 则△AOC是“灵动三角形”； ④当△ABC为“灵动三角形”时， ∠OAC的度数为30°或52. 5°. ①②③ 返回 创新拓展题 21 15. [南通市期末]如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AD上(不与A，D重合)，∠BED＝∠BDE，延长BE交AC于点F. (1)如图①，若∠ABC＝90°，则∠BFC的度数为________； 90° 创新拓展题 22 【点拨】 因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAD＝∠FAD.因为∠BED＝∠BDE，∠BED＝∠AEF，所以∠AEF＝∠BDE.因为∠BFC＝∠AEF＋∠FAD，所以∠BFC＝∠BDE＋∠BAD.因为∠BDE＋∠BAD＋∠ABC＝180°，所以∠BDE＋∠BAD＝180°－∠ABC，所以∠BFC＝180°－∠ABC.因为∠ABC＝90°，所以∠BFC＝180°－90°＝90°. 综合应用题 (2)当∠ABC≠90°时，试说明：∠BFC＋∠ABC＝180°； 【解】因为AD为△ABC的角平分线，所以∠BAD＝∠FAD. 因为∠BED＝∠BDE，∠BED＝∠AEF， 所以∠AEF＝∠BDE. 因为∠BFC＝∠AEF＋∠FAD， 所以∠BFC＝∠BDE＋∠BAD. 又因为∠BDE＋∠BAD＋∠ABC＝180°， 所以∠BFC＋∠ABC＝180°. 创新拓展题 24 (3)如图②，∠ACB的平分线交BF于点G，请用一个等式表示∠CGF，∠ABC，∠ACB三个角之间的数量关系，并说明理由． 创新拓展题 25 返回 创新拓展题 16. 【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫作∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． (1)【问题解决】如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝__________； 85°或100° 创新拓展题 27 (2)如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数． 创新拓展题 28 创新拓展题 (3)【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的“三分线”所在的直线与∠ACD的“三分线”所在的直线交于点P.若∠A＝m°，∠ABC＝n°，请画出图形，并求∠BPC的度数(用含m，n的代数式表示)． 创新拓展题 30 创新拓展题 创新拓展题 返回 创新拓展题 所以∠CMD－∠PMB＝12°.所以2∠3＝90°＋12°＝102°.所以∠3＝51°.所以∠APC＝＝64.5°.所以∠ACP＝90°－∠APC＝90°－64.5°＝25.5°. 【解】∠ABC＝∠CGF＋∠ACB.理由如下： 由(2)可知∠ABC＝180°－∠BFC， 根据三角形内角和定理，得∠CGF＋∠GCF＝180°－∠BFC， 所以∠ABC＝∠CGF＋∠GCF. 因为∠ACB的平分线交BF于点G， 所以∠GCF＝∠ACB， 所以∠ABC＝∠CGF＋∠ACB. 【解】因为BP⊥CP，所以∠BPC＝90°，所以∠PBC＋∠PCB＝90°. 因为BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，所以∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，所以∠ABC＋∠ACB＝90°， 所以∠ABC＋∠ACB＝135°. 所以∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝45°. 分四种情况： ①如图①，当BP和CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACD的“邻AC三分线”时，易得∠BPC＝∠A＝m°； ②如图②，当BP和CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACD的“邻CD三分线”时，易得∠BPC＝∠A＝m°； ③如图③，当BP和CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACD的“邻AC三分线”时，易得∠BPC＝∠A＋∠ABC＝m°＋n°； ④如图④⑤，当BP和CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACD的“邻CD三分线”时， 当m>n时，易得∠BPC＝∠A－∠ABC＝m°－n°；当m<n时，易得∠P＝∠ABC－∠A＝n°－m°. 综上所述，∠BPC的度数为m°或m°或m°＋n°或m°－n°或n°－m°. $第4章 三角形 4.5 等腰三角形 第3课时 等边三角形的性质和判定 1 1. 如图，直线 ，等边 三角形的两个顶点， 分别落在直 线，上，若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 105° 基础提优题 返回 基础提优题 3．如图，已知等边三角形ABC的高为7 cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则PD＋PE＋PF＝________. 基础提优题 5 返回 基础提优题 4．如图，在等边三角形ABC的边AC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BD，AE.求证： (1)△BCD≌△ACE； 【解】因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以BC＝AC，DC＝EC，∠BCD＝∠DCE＝60°.所以△BCD≌△ACE(SAS)． 基础提优题 7 返回 (2)∠ABD＝∠AED. 【证明】因为△BCD≌△ACE，所以∠BDC＝∠AEC. 因为∠BDC＝∠BAC＋∠ABD，∠AEC＝∠DEC＋∠AED， 所以∠BAC＋∠ABD＝∠DEC＋∠AED. 因为△ABC和△CDE都是等边三角形， 所以∠BAC＝∠DEC＝60°，所以∠ABD＝∠AED. 基础提优题 8 5.将含 角的直角三角板和直尺按如图 所示的方式放置，已知 ，点 ，表示的刻度分别为， ，则 线段的长为(　　) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm A 基础提优题 9 【点拨】因为直尺的两对边相互平行， 所以 .因为 ， 所以 ，所以 ，所以 是等 边三角形，所以 . 返回 基础提优题 10 6.如图，已知等边三角形的高为,为 内一 点，于点,于点,于点 ,则 ______. 2.5 基础提优题 11 【点拨】由折叠可知∠ADB′＝∠ADB＝60°，DB′＝DB，所以∠B′DC＝180°－(∠ADB＋∠ADB′)＝60°.因为BC＝5，AD为BC边上的中线，所以DC＝DB＝DB′＝2.5，所以△B′DC为等边三角形，所以CB′＝DC＝2.5. 返回 基础提优题 7. 如图，在等边三角形中， ,点 在上，且,点是 上一动点， 连接,将线段绕点逆时针旋转 得 到线段,若使点恰好落在 上，则线段 的长是________． 6 【点拨】如图，点D恰好落在BC上．因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠C＝60°，所以∠COD＋∠ODC＝180°－∠C＝120°.因为将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD， 基础提优题 13 返回 基础提优题 D 8. 如图，P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝106°，在以线段AP，BP，CP的长度为边长的三角形中，最小内角的度数是(　　) A．13° B．15° C．16° D．14° 综合应用题 15 【点拨】因为 是等边三角形，所 以.如图所示，将绕点 逆时针旋转 得到，连接 , 所以， ， ，，所以 为等边三角形，所以 ，所以以线段，， 的长度为边长的三角形， 即为，最小的内角为.因为 ，所以 ，所以 ， 所以 . 返回 综合应用题 16 9. 如图, ,平分,且.若点, 分别在,上,且 为等边三角形,则满足上述条件的 有( ) D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 综合应用题 17 【点拨】如图，过点作 于 ,于.连接 ,则 .又因为,所以 .所以 .所以是等边三角形.若向 方向移动到点 .所以. 因为平分 ,所以 综合应用题 18 ,向方向移动到点，且时，. 连接.在和 中， 综合应用题 所以.所以.所以 是等 边三角形.所以存在无数个满足条件的等边三角形 .同理， 当向方向移动, 向 方向移动时,也存在无数个满足条 件的等边三角形.综上，满足条件的 有无数个. 返回 综合应用题 返回 10. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB.若CE＝9，则CF的长为________． 6 综合应用题 21 11. 如图，点P为等边三角形ABC内一点，且PB＝6，PC＝8， PA＝10，点M，N分别为边AC，AB上的动点，且AM＝AN，则PM＋PN的最小值为____________． 10 综合应用题 22 【点拨】如图，将线段绕点 按逆时 针方向旋转 得到,连接, ,则 ,,所以 是 等边三角形，所以.因为 是等边三角形，所以 ,所以 .因为 ,所以,所以 .因为 ,所以当,,三点共线时， 的值 综合应用题 23 最小，即的值最小，最小值为 的长.因为, 所以 ,所以 的最小值为10,故答案为10. 返回 综合应用题 12. 已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC. (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系：AE________DB(填“＞”“＜”或“＝”)； ＝ 综合应用题 25 (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系：AE____DB(填“＞”“＜”或“＝”)； ＝ 综合应用题 26 (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED＝EC,若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长． 【解】因为△ABC为等边三角形，所以∠ACB＝∠ABC＝60°.易知点E在AB的延长线上．如图所示，作EF∥AC，则∠BFE＝∠ACB＝60°.又 因为∠FBE＝∠ABC＝60°， 综合应用题 27 所以△EFB为等边三角形，所以BF＝BE＝EF.因为DE＝EC，所以∠D＝∠BCE.所以易得△DBE≌△CFE，所以DB＝CF. 因为AB＝1，AE＝2， 所以BE＝1.所以FB＝1. 所以DB＝FC＝FB＋BC＝2， 所以CD＝BC＋DB＝3. 返回 综合应用题 创新拓展题 29 创新拓展题 创新拓展题 (2)如图②，△ABC是等边三角形，△ADC是等腰直角三角形，其中AC＝AD，∠CAD＝90°，AE是∠CAD的平分线，连接BD交AE于点F.猜想BF，AF，DF之间的数量关系，并证明你的猜想． 创新拓展题 32 【解】BF＝AF＋DF.理由如下： 如图②，在BF上截取BH＝DF，连接AH. 因为△ABC为等边三角形，所以AB＝AC，∠BAC＝60°. 因为△ACD为等腰直角三角形，AC＝AD，∠CAD＝90°， 所以∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝60°＋90°＝150°，AB＝AD， 综合应用题 所以∠ABD＝∠ADB＝15°.又因为AB＝AD，所以△ABH≌△ADF(边角边)，所以AH＝AF. 因为AE是∠CAD的平分线，所以∠DAE＝45°， 所以∠AFH＝∠ADB＋∠DAE＝15°＋45°＝60°， 所以△AHF是等边三角形，所以AF＝HF， 所以BF＝HF＋BH＝AF＋DF. 综合应用题 (3)如图③，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，延长EB至点F，连接CF，连接AF交CD于点G，使CE＝2GE＋BE.若BE＝8，BF＝28，求△BCF的面积． 创新拓展题 35 【解】如图③，在CE上截取CQ＝BE. 因为∠ACB＝90°，BE⊥CD，所以∠ACQ＋∠BCE＝∠BCE＋∠CBE＝90°，所以∠ACQ＝∠CBE. 又因为AC＝BC，CQ＝BE，所以△ACQ≌△CBE(边角边)，所以AQ＝CE，∠AQC＝∠CEB＝90°. 综合应用题 返回 创新拓展题 2．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，连接CE并延长，交AB于点F，则∠AFE的度数为________． 【点拨】因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝60°.因为AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC，BD＝CD＝BC，所以∠CDE＝90°.因为DE＝BC，所以DE＝DC，所以∠DEC＝∠DCE＝45°，所以∠AFE＝∠B＋∠DCE＝105°. 【点拨】连接PA，PB，PC，作AB边上的高CG，如图所示，则CG＝7 cm.因为S△ABP＋S△BCP＋S△ACP＝S△ABC，所以AB·PD＋BC·PF＋AC·PE＝AB·CG.因为△ABC是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC，所以AB(PE＋PF＋PD)＝AB·CG，所以PD＋PE＋PF＝CG＝7 cm. 所以OD＝OP，∠DOP＝60°，所以∠COD＋∠AOP＝180°－∠DOP＝120°，所以∠ODC＝∠AOP.在△AOP和△CDO中，所以△AOP≌△CDO，所以AP＝OC.因为AC＝9，OA＝3，所以AP＝OC＝AC－OA＝6. 13.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD.求证：EF＝BE＋FD. 【证明】如图①，延长CD到P，使DP＝BE，连接AP.因为∠B＝∠ADC＝90°，所以∠B＝∠ADP＝90°.又因为AD＝AB， 所以△ADP≌△ABE(边角边)，所以∠DAP＝∠BAE，AP＝AE.因为∠EAF＝∠BAD，所以∠DAF＋∠BAE＝∠BAD， 所以∠PAF＝∠DAF＋∠DAP＝∠DAF＋∠BAE＝∠BAD，所以∠PAF＝∠EAF.又因为AF＝AF，所以△PAF≌△EAF(边角边)，所以PF＝EF.因为PF＝DP＋FD，所以EF＝BE＋FD. 因为CQ＝BE，CE＝2GE＋BE＝QE＋CQ， 所以2GE＝QE，所以QG＝GE. 又因为∠AQG＝∠AQC＝∠FEG＝90°，∠AGQ＝∠FGE， 所以△AQG≌△FEG(角边角)，所以AQ＝EF. 因为BF＝28，BE＝8，所以CE＝EF＝AQ＝8＋28＝36， 所以S△CBF＝BF·CE＝×28×36＝504. $第4章 三角形 4.2 命题与证明 4.2.1 定义，命题 1 1. 下列属于定义的是( ) D A. 两点确定一条直线 B. 两直线平行，同位角相等 C. 等角的补角相等 D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分 返回 基础提优题 2 返回 2．有下列语句：①三角形的内角和等于180°；②如果两个角的和是90°，那么这两个角互余；③请画出两条互相平行的直线；④过直线外一点作已知直线的垂线；⑤x与y的和等于0吗？ 其中，是命题的是(　　) A．①② B．③④⑤ C．②③ D．①④⑤ A 基础提优题 3 返回 3．有下列命题：①两点之间，直线最短；②对顶角相等；③内错角互补，两直线平行；④三角形的一个外角等于任意两个内角之和；⑤三角形三个内角中至少有2个锐角． 其中是真命题的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 基础提优题 4 返回 4. 命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是 ( ) D A. 平行 B. 两条直线 C. 同一条直线 D. 两条直线平行于同一条直线 基础提优题 5 返回 5.把命题“同角的余角相等”改写成“如果 ，那么……”的 形式：______________________________________________. 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 基础提优题 6 返回 6．下列说法正确的是(　　) A．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 B．每个命题都有逆命题 C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是真命题 B 【点拨】A选项，原命题是假命题，它的逆命题不一定也是假命题，错误，不符合题意；B选项，每个命题都有逆命题，正确，符合题意；C选项，真命题的逆命题不一定是真命题，错误，不符合题意；D选项，假命题的逆命题不一定是真命题，错误，不符合题意．故选B. 基础提优题 7 7. 给出下列命题： ①若，则 ； ②锐角都相等； ③一个角的补角大于这个角； ④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 以上命题的逆命题是假命题的个数是( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 返回 基础提优题 返回 8．[无锡市中考]请写出命题“若a>b，则a＋1>b＋1”的逆命题：____________________________________________. 若a＋1>b＋1，则a>b 基础提优题 9 9. [北京市西城区模拟]用三个不等式,, 中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论， 组成一个命题，可以组成真命题的个数为___，请同学们写 出一个真命题:____________________________________. 3 若,,则（答案不唯一） 综合应用题 10 返回 综合应用题 10. 已知，画一个，使 ， ，且交于点与 有怎样的数量关系？ 综合应用题 12 （1）我们发现与 有两种位置关系：如图①与图 ②所示. 综合应用题 13 ①图①中与 的数量关系为____________________； 图②中与 的数量关系为_______________； ②由①得出一个真命题（用文字叙述） ________________ ___________________________________. 如果两个角的两 边互相平行，那么这两个角相等或互补 综合应用题 14 （2）应用②中的真命题，解决以下问题： 若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少 ，请直接写出这两个角的度数. 【解】这两个角的度数为 , 或 , . 返回 综合应用题 15 【点拨】①若a>b，ab>0，则<，真命题，理由：因为a>b，ab>0，所以>.所以<；②若ab>0，<，则a>b，真命题，理由：因为ab>0，<，所以×ab<×ab.所以a>b；③若a>b，<，则ab>0，真命题，理由：因为<，所以－<0，即<0.因为a>b，所以b－a<0.所以ab>0.综上，组成真命题的个数为3. $第4章 三角形 4.4 尺规作图 第2课时 尺规作图（2） 1 1．[永州市期末]如图①，已知线 段，，求作，使 ， ，张丽的作法如图 ②，则下列说法中一定正确的是( ) A A. 作 的依据为“角边角” B. 弧是以 的长为半径画的 C. 弧是以点为圆心， 的长为半径画的 D. 弧是以 的长为半径画的 返回 基础提优题 2 2. 如图是在某地发现的一块三角形陶瓷碎片的一部分．现打算复制一块完整的陶瓷片，请你根据提供的信息用尺规作一个完整的三角形陶瓷片．(不写作法，保留作图痕迹) 【解】如图所示，△ABC即所求． 基础提优题 3 3. 数学课上，李老师给出这样一道题： 如图①，已知直线及外一点 ，作直线 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图.如图②，过 点作直线交直线于点，作 .作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点 ，交 直线于点 ； ，使得，且经过点 （不写作法，保留作图痕迹）. 综合应用题 4 ②以点为圆心，以 长为半径作弧，交于点 ； ③以点为圆心，以 长为半径作弧， 交前面的弧于点 ； ④过点，作直线，则直线 即为所求. 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 返回 基础提优题 4.如图所示的是 . （1）过点作直线，使得 （用尺规作图，保留作 图痕迹，不写作法）； 【解】如图，直线 即为所求. 综合应用题 6 （2）在（1）的图形中，取的中点，连接.若 的 面积为4,，则直线与 间的距离为___. 【点拨】如图,因为为的中点， 的面积为4,所以 .设直线与间的距离为 ，则 .因为，所以 . 返回 综合应用题 7 5.[三明市期末]如果两点到一条直线的距离相等，则称 该直线为“两点的等距线”. （1）已知线段及点，如图①.过点作点， 的一条等 距线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）. 综合应用题 8 【解】如图所示，等距线, 即为所求.若等距线经过线 段 的中点，如图①. 综合应用题 9 若等距线 ，如图②. 综合应用题 10 （2）如图②，已知，，， 是正方形网格中的三个 格点. 综合应用题 11 ①在该网格中，过点用无刻度的直尺画出点， 的所有等 距线. 如图③，等距线， 即为所求. 综合应用题 12 ②在该网格中，是否存在异于点的格点，使得 与 的面积相等？若存在，在图③中依次用，， ， 标识这些格点；若不存在，请说明理由. 如图④，，，，， 为所求. 返回 综合应用题 13 $第4章 三角形 4.2 命题与证明 4.2.3 定理，推论 1 1．下列说法错误的是(　　) A．命题不一定是定理，定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理 C 基础提优题 2. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同 旁内角互补；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是 定理的有( ) B A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 返回 基础提优题 3 返回 3．三角形内角和定理的推论是_______________________________________________. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 基础提优题 4 返回 4．定理“两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等”的逆定理是________________________________________________________________________________________________． 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 基础提优题 5 返回 5．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，∠1＝∠2，求证：BE∥CF.现有下列步骤：①因为∠2＝∠1； ②所以∠ABC＝∠BCD＝90°；③所以BE∥CF；④因为AB⊥BC，DC⊥BC；⑤所以∠EBC＝∠FCB.则正确的顺序是__________________．(填序号) ④②①⑤③ 基础提优题 6 6．[北京市东城区期末]我们已经通过剪拼的方法，知道“三角形的内角和等于180°”，但这种实验得到的结论仍需要严格的证明，小明同学利用所学的平行线的相关知识，采用两种方法，通过添加辅助线进行证明，请你选择其中一种方法完成证明． 基础提优题 7 已知：如图， ， 求证： . ___________________________ 基础提优题 8 方法一： 证明：如图，过点 作 . _____________________________ 方法二： 证明：如图，过点 作 ，延长到点 . _______________________________________ 续表 基础提优题 9 【证明】（任选其一即可）方法一：如图①， 过点作，所以 ， . 又因为 ，所 以 . 基础提优题 10 方法二：如图②，过点作 ， 延长到点 ， 所以， . 又因为 ， 所以 . 返回 基础提优题 11 7. 证明：两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线互相平行． 【解】已知：如图，AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，EM平分∠BEF，FN平分∠EFC. 求证：EM∥FN. 证明：因为AB∥CD(已知)， 所以∠BEF＝∠EFC(两直线平行，内错角相等)． 因为EM平分∠BEF，FN平分∠EFC(已知)， 综合应用题 12 返回 综合应用题 8.（1）如图， ，数学课上，老师请同 学们根据图形的特征添加一个关于角的条件， 使得 ，并证明. 小丽添加的条件： . 两直线平行，同位角相等 请你帮小丽将下面的证明过程补充完整. 证明：因为 （已知）， 所以 _______（________________________）. 综合应用题 14 因为 （已知）， 所以 ____（_______________________ ___）， 所以 _______（_________________ _______）. 所以 （等量代换）. 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，内错角相等 综合应用题 （2）如图，请你从; 平分 ; 中任选两个作为条件， 另一个作为结论，组成一个真命题，并加以 证明. ② 证明：因为,所以, .又因为 , 所以,即平分 . 条件：______，结论：____.（填序号） 返回 综合应用题 16 所以∠MEF＝∠BEF，∠NFE＝∠EFC(角平分线的定义)．所以∠MEF＝∠NFE(等量代换)． 所以EM∥FN(内错角相等，两直线平行)． $第4章 三角形 4.6 线段的垂直平分线 第2课时 线段垂直平分线的作法 1 1. 如图，已知 ，用尺规在 上确定一点，使 ，则下列 四种不同的作图方法中正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 返回 2．[湘潭市模拟] 如图，在 中，按 以下步骤作图：①分别以， 为圆心，以大 于 的长为半径作弧，两弧相交于两点 ，；②作直线交于点，连接 . 若， ，则 ( ) B A. B. C. D. 基础提优题 3 返回 3．[北京市西城区期末]已知：如图，∠BAC＝45°. 求作：线段,使得 . 作法：①分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧， 两弧分别交于点和点 ; ②作直线,交于点 ; ③连接，线段 即为所求作的线段. 基础提优题 4 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）. 【解】如图. 综合应用题 5 （2）求证： . 【证明】因为是线段 的垂直平分线， 所以 , 所以 . 因为 , 所以 , 所以 . 返回 综合应用题 6 返回 4. 如图，下列是四种用无刻度直尺和圆规 作角平分线的方法，其中不正确的个数是( ) A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 综合应用题 7 5．如图，已知四边形ABCD，AB＝AD，在DC边上求作一点P，使得△ABP≌△ADP.(保留作图痕迹，不要求写作法) 【解】如图所示，点P即为所求． 综合应用题 8 （第4题） 6. 如图，在四边形中， , ,.按下列步骤作图：①以点 为 圆心，适当长度为半径画弧，分别交, 于,两点；②分别以点, 为圆心，以大于 A A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 的长为半径画弧，两弧交于点;③连接并延长交 于 点 . 则 的长是( ) 综合应用题 9 7. 如图，已知线段和线段 ,某个等腰三角形底边 长为,底边上的高为 . （1）请用直尺、圆规作出等腰三角 形，不写作法，保留作 图痕迹； 【解】如图, 即为所求. 综合应用题 10 （2）当与 满足什么数量关系时，这个等腰三角形的底角 是 . 综合应用题 11 当与满足 时，这个等腰三 角形的底角是 .因为 垂直平分 ,所以 , . 因为 ,所以 , 所以,即 . 返回 综合应用题 12 $第4章 三角形 4.5 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 1 1. 下列条件中，可以判定 是等腰三 角形的是( ) D A. B. C. 三角形的一个角为 D. ， 返回 基础提优题 2 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分 ∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交BD于E，图中 等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C 基础提优题 3 返回 所以∠ABD＝∠EBC＝∠ACE＝∠ECB＝36°，所以△EBC是等腰三角形．因为∠ABD＝∠A＝36°，所以△ABD是等腰三角形．因为∠CED＝∠ECB＋∠EBC＝72°，且∠CDE＝∠ABD＋∠A＝72°，所以∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝72°，所以△EDC和△BCD是等腰三角形．综上所述，共有5个等腰三角形．故选C. 基础提优题 3. 母题教材P136习题 如图，一艘海轮位 于灯塔的南偏东 方向的 处，它以每 小时40海里的速度向正北方向航行，2小时 后到达位于灯塔的北偏东 方向的 处， 则处与灯塔 的距离为________海里． 80 返回 基础提优题 5 返回 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点E，F分别在BA，BC的延长线上，∠ABC，∠ACF与∠EAC的平分线相交于点D.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有________个． 3 基础提优题 6 5.如图，在中，，点在 的 延长线上，于点，交于点 ， 若，，则 的长度为____. 10 基础提优题 7 （第5题） 【点拨】因为，所以 .因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 .因为 ，所以 ，所以.因为 ， 所以 ，所以 . 返回 基础提优题 8 6．如图，在△ABC中，∠A＝∠BCA，∠ABC＝100°，D是AC的中点，延长BC至点E，使CE＝CD，连接BD和DE，则∠BDE的大小为________°. 110 基础提优题 9 返回 基础提优题 返回 7.【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题， 请你完成解答，提炼方法并完成题（2）. （1）如图①，在中，平分，交于点 ，过 点作的平行线，交于点，请判断 的形状，并 说明理由. 基础提优题 11 【解】是等腰三角形，理由如下：因为平分 ， 所以 . 因为，所以，所以 ， 所以 是等腰三角形. 基础提优题 12 【方法应用】 （2）如图②，在平行四边形 中， 平分，交边于点，过点 作交的延长线于点，交于点 . ①图中一定是等腰三角形的有( ) B A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 基础提优题 13 ②已知，，求 的长. 基础提优题 同（1）理得 .所以 . 因为，所以 .因 为，所以 ， 所以，所以 .因为， 所以 .因为，所以 ， 所以 .因为 ，所以 . 返回 基础提优题 15 8. 如图，点为的角平分线的交点， ， ，，将平移，使其顶点与点 重合， 则图中阴影部分的周长为( ) C A. B. C. D. 综合应用题 16 【点拨】如图，连接，.因为点 为 的角平分线的交点，所以和 分 别平分和 ，所以 所以， ，所以 .所以图中阴影 部分的周长为 . ，.因为将 平移，使其顶点 与点重合，所以，，所以 ， ，所以， ， 返回 综合应用题 17 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝(　　) A．10 B．11 C．13 D．15 B 综合应用题 18 返回 【点拨】延长BE交AC于M，如图．因为BE⊥AE，所以∠AEB＝∠AEM＝90°，所以∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2.因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4，所以AB＝AM＝5.因为BE⊥AE，所以BM＝2BE＝6.因为∠4是△BCM的外角，所以∠4＝∠5＋∠C.因为∠ABC＝3∠C，∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5，所以3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C，所以∠5＝∠C，所以CM＝BM＝6，所以AC＝ AM＋CM＝11.故选B. 综合应用题 10.[西安市长安区期末]如图，中， , 垂直的平分线于,为 的中点，则图中两个阴影 三角形与 的面积之差的最大值为__. 综合应用题 20 【点拨】如图，延长,交于点 .因为 ,所以 ,所以 , .易 知,所以,所以 .因为 ,所以.所以.因为 ,所 以.因为 , ,所以,所以 . 综合应用题 21 易得.因为为 的中点，所 以,所以 所以 ,所以.因为 . 当时， 的面积最大，最大面积为 . 返回 综合应用题 11.（1）【操作实践】如图，中， , , 请画出一条直线把 分割成两个等腰三角形，并标出分割 成两个等腰三角形底角的度数.（要求用两种不同的分割方法） 综合应用题 23 【解】如图所示. 综合应用题 24 （2）【分类探究】中，最小内角 ,若 被一条直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写 出 最大内角的所有可能值. 综合应用题 25 设分割线为 ,相应的角度如图所示. 图①中的最大内角是 ,图②中 的 最大内角是 ,图③中 的最大 内角是 ,图④中的最大内角是 . 故的最大内角的可能值是 或 或 或 . 综合应用题 26 （3）【猜想发现】若一个三角形能被一条直线分割成两个 等腰三角形，需满足什么条件?（请你至少写出两个条件，无 需证明） 若一个三角形能被一条直线分割成两个等腰三角形，应满足 下列条件之一： ①该三角形是直角三角形； ②该三角形有一个角是另一个角的2倍； ③该三角形有一个角是另一个角的3倍.（写出其中两个即可） 返回 综合应用题 27 12. 如图，在 中， ，， ， ，，是 边上的两个 动点，其中点从点开始沿 方向运 （1）_________.（用含 的式子表示） 动，且速度为，点从点开始沿 方向运动， 且速度为，它们同时出发，设出发的时间为 . 创新拓展题 28 （2）当点在边 上运动时，出发几秒 后， 是等腰三角形？ 【解】由题意可知 .因为 ,所以当点在边 上运动， 为等腰三角形时，有，即 ，解得 ， 所以出发后， 是等腰三角形. 创新拓展题 29 （3）当点在边上运动时，出发多少秒后， 是以 或 为底边的等腰三角形？ 创新拓展题 30 ①如图①所示，当是以 为底边的等腰三 角形时，，所以 . 因为 ，所以 ， ，所以 ， 所以 ， 所以，所以 ，所 以 创新拓展题 31 ②如图②所示，当是以 为底边的 等腰三角形时， ， 所以 ，所以 . 综上所述，出发或后， 是以 或 为底边的等腰三角形. 返回 创新拓展题 32 【点拨】因为AB＝AC，∠A＝36°，所以△ABC是等腰三角形，且∠ABC＝∠ACB＝＝72°.又因为BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， 【点拨】因为∠A＝∠BCA，∠ABC＝100°，所以∠A＝∠BCA＝(180°－100°)＝40°，AB＝BC.因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，所以∠BDC＝90°.因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠CED.又因为∠BCD＝∠CDE＋∠CED＝40°，所以∠CDE＝20°，所以∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝110°. $第4章 三角形 4.3 全等三角形 4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、 角角边） 1 1. 打碎的一块三角形玻璃如图所示，现 在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是 ( ) A （第1题） A. 带①④去 B. 带②③去 C. 带③④去 D. 带②④去 返回 基础提优题 2 返回 2.如图，点，，，在同一条直线上， ， ，.若 ， ，则 的度数为 _____ . 110 基础提优题 3 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，动点D，E，F分别在边AB，BC，AC上移动，移动过程中始终保持BD＝CE，∠DEF＝∠B，请你分析是否存在始终与△BDE全等的三角形，并说明理由． 基础提优题 4 【解】存在始终与△BDE全等的三角形，△CEF≌△BDE.理由如下：因为∠CED＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，∠DEF＝∠B，所以∠CEF＝∠BDE. 因为AB＝AC，所以∠B＝∠C. 在△CEF和△BDE中，∠C＝∠B，CE＝BD，∠CEF＝∠BDE， 所以△CEF≌△BDE(角边角)． 返回 基础提优题 返回 4．[武汉市江夏区期中]如图，在 和中，点，， 在同一直线上， 已知， ，添加以下 条件后，仍不能判定 的 是( ) A A. B. C. D. 基础提优题 6 5．[衡阳市期末]如图，在 中， ，，于点 ， 于点，， ，则 ( ) A A. B. C. D. 基础提优题 7 【点拨】因为， ,所以 .因为 , ，所以 ， .所以 . 在和中， 所以（角角边）.所以 ， .所以 . 返回 基础提优题 8 6. []如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC.若________，则AD＝CB. 从①OA＝OC，②∠ABC＝∠CDA，③AB＝CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 基础提优题 9 基础提优题 返回 基础提优题 7.[石家庄市桥西区期末]在中， ， 将 沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的 是( ) D A. B. C. D. 综合应用题 12 【点拨】A.根据边角边可以推出剪下的两个三角形全等，故 A选项不符合题意；B.根据边角边可以推出剪下的两个三角 形全等，故B选项不符合题意；C.如图①,因为 ,且 ， 所以.因为 ，所以.又因为， ，所以 （角边角）. 综合应用题 13 根据角边角可以推出剪下的两个 三角形全等，故C选项不符 合题意；D.如图②,易证，又， 是和的夹边但 不是和 的夹边，所以两个 三角形不一定全等，故D选项符合题意.故选D. 返回 综合应用题 8. 如图，的面积为12，平分且 于点 ，交于点，若，则 的面积为 ( ) B A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 综合应用题 15 【点拨】因为 ，所以 .因为的边 上的 高和的边 上的高相同，所以 .因为 的面积为12，所以.因为 平分 ，所以.因为 ，所以 .在 和 综合应用题 16 中， 所以 （角边角）.所以 . 返回 综合应用题 （第9题） 9.［2025济宁月考］如图，在 与 中，交于点，交 于点 ，交于点， ， ， .下列结论： ； ； ； . 其中正确的有________.（填序号） ①②④ 综合应用题 18 （第9题） 【点拨】①在和中， 所以 （角角边）.所以 ， .所以 ,即 ， 综合应用题 19 故结论①正确；②在和 中， 所以 （角边角）. 所以.因为 ，所以 ,即.在 和中， 所以 （第9题） 综合应用题 （角角边）.所以 ， 故结论②正确；③根据已知条件不能判定 ，故结论③不正确；④由② 可知 ，故结论④正确. （第9题） 返回 综合应用题 10. 如图，在 中， ,,,为 边上的高，点从点出发，在直线 上以 的速度运动，过点作 的垂线交直线 于点,当点运动______时， . 2或5 综合应用题 22 【点拨】因为 ,所以 .因为为 边上的高，所 以 .所以 .所 以.因为 ,所以 .因为过点作的垂线交直线于点 ,所以 .在 和 综合应用题 23 中,所以 （角角边）.所以 如图，当点 在射线 上运动时， .因为点 从点 出发，在直线上以 的速度运动，所以 点 运动了 综合应用题 ;②当点在射线 上运动时， 所以点运动了 .综 上所述，当点运动或时， . 返回 综合应用题 11.如图，已知，点是上一点， . 综合应用题 26 （1）如图①，若 ， ，求证： ① ； 【证明】因为 ，所以 .所以 . 综合应用题 27 ② . 【解】在上截取，连接 ，如图 ①， 因为 ，所以 . 综合应用题 28 所以.因为 ， 所以，即 .由① 知.在和 中， 所以 （角边角）.所以 . 综合应用题 （2）如图②，请直接写出当与 之间满足什么数量 关系时，总有 成立. 当时，总有 成立. 综合应用题 30 【点拨】如图②，在上截取 ，连接 ，因为，所以 .因为 ， ， ，所以.易知 ，所 以. 当 时， .所以 （角边角）.所以 . 返回 综合应用题 31 12. 在中， ，， 为直线上一动点，连接.在直线的右侧作 ， 且，过点作的垂线，垂足为 . 创新拓展题 32 【观察发现】 （1）如图①，当点在线段 上时，判断线段与 之间的 关系，并说明理由； 创新拓展题 33 【解】， .理由如下： 根据题意可知 ， 所以 . 又因为 ,所以 ， .所以 . 因为，所以 . 所以 . 创新拓展题 34 所以 . 在和 中， 所以 （角角边）.所以 . 又因为，所以 . 创新拓展题 【探究迁移】 （2）将图①中的，连接，交直线于点 ，我们很容易 发现.如图②，当点在线段 的延长线上时，连 接交直线于点，线段和线段 之间的关系有没有 变化？此时 吗？说明理由. 创新拓展题 36 线段与线段 之间的关系 不变， .理由如下： 从题图②易知， 同（1）可得，， . ，， 所以 . 创新拓展题 37 所以 . 又因为 ，所以 . 在和 中， 所以 （角角边）.所以 . 创新拓展题 【拓展应用】 （3）如图③，当点在线段的延长线上时，连接 交直线 于点，当，时，求和 的面积. 创新拓展题 39 易知 ， ， 所以 ， ， . 所以 . 因为 ， 所以 . 创新拓展题 40 所以 . 因为 ，所以 . 根据图形面积割补法可得, 创新拓展题 ， 所以 . 返回 创新拓展题 【解】解法一：选①OA＝OC. 理由：因为AD∥BC，所以∠ADO＝∠CBO. 在△DAO和△BCO中， 所以△DAO≌△BCO(角角边)，所以AD＝CB. 解法二：选②∠ABC＝∠CDA. 理由：因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA. 在△ADC和△CBA中， 所以△ADC≌△CBA(角角边)，所以AD＝CB. $第4章 三角形 4.6 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 1 1. 如图，等腰三角形中， ， .线段的垂直平分线交于 ，交 于，连接，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 2．如图，△ABC中，∠A＝45°，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若AE＝6，EF＝8，FC＝10，则△ABC的面积是________． 72 基础提优题 3 返回 基础提优题 3．如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD. (1)若∠B＝40°，求∠ACD的度数； 【解】连接BD并延长，交AC于H，如图． 因为DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，所以DA＝DB，DC＝DB，所以∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC，所以∠ADH＝∠DAB＋∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB＋∠DBC＝2∠DBC，所以∠ADC＝2∠ABC＝80°. 基础提优题 5 基础提优题 返回 (2)判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【解】∠ABC＋∠ACD＝90°，理由如下： 因为∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180°，所以2∠ACD＋2∠ABC＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝90°. 基础提优题 7 4．游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的(　　) A．三边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 A 返回 基础提优题 8 5. 风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞” 等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2 000 多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图， 已知，， ， ，制作这个风筝需要的布料至少为 _______ . 2 700 返回 基础提优题 9 6．[长沙市华益中学期末] 如图，在 中， ,的垂直平分线分别交,于点,, 的垂 直平分线分别交,于点,,直线,交于点 . 基础提优题 10 （1）求证：点在线段 的垂直平分线上； 基础提优题 11 【证明】 如图所示，连接,, , 因为垂直平分,垂直平分 , 所以, , 所以 , 所以点在线段 的垂直平分线上. 基础提优题 12 （2）已知 ,求 的度数. 基础提优题 13 【解】因为垂直平分, 垂直 平分 , 所以, , ,,所以 , , , , ,所以 .设 基础提优题 14 所以 , .因为 , , 所以 ,即 . 因为, 基础提优题 所以 , 所以 . 返回 基础提优题 7. 如图，在中， ， ，，垂直平分 ，点 为直线上的任一点，则 周长的 最小值是( ) B A. 8.5 B. 9 C. 12 D. 12.5 综合应用题 17 【点拨】如图所示，设交于点 ， 连接，.因为垂直平分 ，所以 当点与点重合时，的周长最小，最小为 . ，.因为的周长为 ， 返回 综合应用题 18 8.[益阳市模拟] 如图， 中， , ,的平分线与 的垂直平分线交于点,将沿 在上，在上折叠，点与点 恰好 重合，则 为( ) D A. B. C. D. 综合应用题 19 （第8题） 【点拨】连接,,设 的垂直平分线交 于点.因为 ,为 的平 分线， ,所以 , . 综合应用题 20 因为是的垂直平分线，所以 , 所以 ,所以 . 因为为的平分线，,所以 所在直线垂直平分,所以 ,所以 .由折叠可知 , 所以 .在 中， , 故选D. （第8题） 返回 综合应用题 9.[成都市青羊区期末] 如图，，分别是， 的 垂直平分线，垂足分别为，，且 ， ， ，则____ . 44 综合应用题 22 【点拨】如图，连接,因为, 分别 是,的垂直平分线，所以 ， ，所以，在 和 中， 所以 （边边边）， 综合应用题 23 所以.因为 ， ，所以 ， ，所以 ， . 返回 综合应用题 10.如图，在中，，，平分 ， 是的中点，是上一点，连接交于点 . 综合应用题 25 （1）若的周长与四边形 的周 长相等，求线段 的长； 【解】 因为是的中点，所以 .因为 的周长与四边形 的周长相等， 所以 . 所以.因为， ， 所以，所以 ,所以 . 综合应用题 26 （2）若，， ， 连接 . ①求证：点在线段 的垂直平分线上； 【证明】连接，因为，是 的中点， 所以 . 因为平分，，所以垂直平分 ， 所以，所以 ， 所以点在线段 的垂直平分线上. 综合应用题 27 ②求的度数（用含 的式子表示）. 【解】因为，即 ，所以 .因为 平分 ， ，所以 .因为 ，所以 ，所以 . 返回 综合应用题 28 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝8 cm，CA＝6 cm，点P从点C开始以1 cm/s的速度沿路径C→A→B运动，点Q从点B开始以 2 cm/s的速度沿路径B→C→A运动，P，Q同时出发，用t(s)表示运动时间． (1)若P在线段CA上运动，Q在线 段BC上运动，求t为何值时， 点C在线段PQ的垂直平分线上． 创新拓展题 29 基础提优题 创新拓展题 返回 基础提优题 【点拨】如图，连接BE.因为AB的垂直平分线交AC于点E，所以AE＝BE＝6，所以∠ABE＝∠A＝45°，所以∠AEB＝180°－∠A－∠ABE＝180°－45°－45°＝90°，所以BE⊥AC， 所以S△ABC＝AC·BE＝(AE＋EF＋FC)·BE＝×(6＋8＋10)×6＝72. 因为DA＝DB，DC＝DB，所以DA＝DC，所以∠ACD＝∠CAD＝(180°－80°)＝50°. 【解】由题意得BQ＝2t cm，CP＝t cm，则CQ＝(8－2t)cm. 因为点C在线段PQ的垂直平分线上，所以CQ＝CP，即8－2t＝t，解得t＝，即当t＝时，点C在线段PQ的垂直平分线上． (2)当Q点到达A点时，P，Q两点都停止运动，求当t为何值时，线段CQ的长度等于线段AP长度的. 【解】因为BC＝8 cm，CA＝6 cm，所以BC＋AC＝14 cm， 所以0≤t≤7. 当0≤t≤4时，CQ＝(8－2t)cm，AP＝(6－t)cm， 则8－2t＝(6－t)，解得t＝； 当4＜t≤6时，CQ＝(2t－8)cm，AP＝(6－t)cm， 则2t－8＝(6－t)，解得t＝； 当6＜t≤7时，CQ＝(2t－8)cm，AP＝(t－6)cm， 则2t－8＝(t－6)，解得t＝(舍去)． 综上所述，当t＝或时，线段CQ的长度等于线段AP长度的. $第4章 三角形 4.2 命题与证明 4.2.2 证明，举反例 1 1. 能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 2.判断下列各命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一个反例． (1)若a2>1，则a>1； 【解】假命题．当a＝－2时，满足a2＞1，但a＜1(举反例不唯一)． 基础提优题 (2)锐角小于它的余角； (3)如果AB＝2BC，那么点C是AB的中点． 【解】假命题.45°的余角为45°，但45°＝45°(举反例不唯一)． 返回 【解】假命题．当点C在AB的延长线上，且AB＝2BC时，点C不是AB的中点(举反例不唯一)． 基础提优题 3．完成下面的推理填空： 已知：如图，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G. 求证：AB∥CD. 证明：因为AF⊥CE(已知)， 所以∠CGF＝90°(垂直的定义)． 因为∠1＝∠D(已知)， 所以______∥______(______________________________)， AF DE 同位角相等，两直线平行 基础提优题 5 返回 所以∠4＝∠CGF(__________________________)， 所以∠4＝90°. 又因为∠2＋∠3＋∠4＝180°， 所以∠2＋∠3＝________°. 又因为∠2与∠C互余(已知)， 所以∠C＝∠3(同角的余角相等)， 所以AB∥CD(____________________________)． 两直线平行，同位角相等 90 内错角相等，两直线平行 基础提优题 6 返回 4．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是(　　) A．三角形中最少有一个角是直角或钝角 B．三角形中没有一个角是直角或钝角 C．三个角全是直角或钝角 D．三角形中有两个(或三个)角是直角或钝角 D 基础提优题 7 5.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和. 如图，已知是的一个外角.求证： . 基础提优题 8 【证明】假设.在 中， ,所以 . 所以 ,这与“邻 补角互补”相矛盾，所以假设不成立.所以原命题成立，即 . 返回 综合应用题 9 返回 6．[北京市中考]能说明命题“若a2>4b2，则a>2b”是假命题的一组数a，b的值为a＝________，b＝_________________. －3 1(答案不唯一) 综合应用题 10 7. 【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现有些角平分线的位置关系比较特殊：邻补角的平分线_____________，一对对顶角的平分线______________________________．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线_____________，一对内错角的平分线_______________，一对同旁内角的平分线_______________； 互相垂直 共线(或在一条直线上) 互相平行 互相平行 互相垂直 综合应用题 11 【论证】如图①，已知AB∥CD，GH分别与AB，CD交于点E，F，EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD，则EM________FN，请证明这个结论的正确性； ∥ 综合应用题 12 【应用】如图②，两条笔直的街道AB，CD相交于点O，街道OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，请应用“探究”中的结论说明街道EOF是笔直的． 因为OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，∠AOC与∠BOD是一对对顶角，所以根据“一对对顶角的平分线共线(或在一条直线上)”可得点E，O，F在同一条直线上，即街道EOF是笔直的． 返回 综合应用题 证明：因为AB∥CD，所以∠GEB＝∠EFD. 因为EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD， 所以∠GEM＝∠GEB，∠EFN＝∠EFD， 所以∠GEM＝∠EFN，所以EM∥FN. $第4章 三角形 4.1 认识三角形 第1课时 三角形的边 1 1. 下列由三条线段组成的图形是三角形的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 返回 2. 如图所示，以A为顶点的三角形有______个，以∠C为内角的三角形有________________________．在△ACE中，AC所对的角是________，∠C所对的边是________，以线段AD为边的三角形有____________________． 6 ，， △ABD，△ADE，△ADC 基础提优题 返回 3．如图表示的是三角形的分类，下列说法正确的是(　　) A．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形 B．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形 C．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形 D．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 D 基础提优题 4 返回 4．已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足 a2－6a＋b2－4b＋13＝0，c为奇数，则△ABC按边分类 为___________三角形． 等腰 基础提优题 5 返回 5. 满足下列条件的三条线段，， ，能组成三角形的有 ( ) C ，，；，， ； ；， ， . A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ①③ 基础提优题 返回 6. 若使用如图所示的①②两根铁丝做成一 个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成 两段的铁丝是( ) A A. 只有①可以 B. 只有②可以 C. ①②都可以 D. ①②都不可以 基础提优题 7 7.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是______________． 3b－a－c 返回 基础提优题 8 返回 8. 定义：一个三角形的一边长是另一边长 的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是“倍长三角形”，底边的长为4，则腰 的长为___. 8 【点拨】因为是等腰三角形， 为底边， 所以.①当时， ; ②当时， ,此时不符合三角形 的三边关系，所以不能构成三角形，故不符合题意. 所以腰 的长为8. 基础提优题 9 9. 如图，用四个螺丝将四根不可弯曲的木 条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相 邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相 邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹 C A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间的距离最大为( ) 综合应用题 10 【点拨】已知四根木条的长分别为2，3，4， 6.①选 ，4，6,即5，4，6作为三角形的 三边长.因为 ，所以能构 成三角形，此时两个螺丝之间的最长距离 为6；②选 ，6，2,即7,6,2作为三角形的三边长.因为 ，所以能构成三角形，此时两个螺丝之间 的最大距离为7；③选 ，2，3,即10，2，3作为三角形的 综合应用题 11 三边长.因为 ，所以不能构成三 角形，此种情况不成立；④选 ，3，4, 即8，3，4作为三角形的三边长.因为 ，所以不能构成三角形，此种情 况不成立.综上所述，任意两螺丝之间的距 离最大为7.故选C. 返回 综合应用题 10. 根据如图所示的三个图形所表示的规律，按此规律，则第n个图形中的三角形的个数是(　　) A．6(n－1) B．6n C．6(n＋1) D．12n C 综合应用题 13 返回 【点拨】第1个图形中，三角形的个数是6＋6＝6×2，第2个图形中，三角形的个数是6＋6＋6＝6×3，第3个图形中，三角形的个数是6＋6＋6＋6＝6×4，…，则第n个图形中三角形的个数是6(n＋1)．故选C. 综合应用题 11. 已知的边、边 的长 度分别是不等式组 的最大整数解与最小整数解.如 果的周长是奇数，则的第三条边 的长度的最 小值为___. 3 综合应用题 15 返回 综合应用题 12. [成都市武侯区自主招生]若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形有________个． 33 【点拨】根据题意知三角形的三边长都小于20，设最小的两边长分别为x，y，且x≤y≤19，x＋y＞20，当x＝2时，y＝19，当x＝3时，y＝18，当x＝4时，y＝17，18，当x＝5时，y＝16，17，当x＝6时，y＝15，16，17，当x＝7时，y＝14，15，16，当x＝8时，y＝13，14，15，16，当x＝9时， 综合应用题 返回 y＝12，13，14，15，当x＝10时，y＝11，12，13，14，15，当x＝11时，y＝11，12，13，14，当x＝12时，y＝12，13，14，当x＝13时，y＝13，所以符合条件的三角形的个数为1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋4＋3＋1＝33. 综合应用题 13.如图，过，，，， 五个点中任意三点画三角形. （1）以 为一边可以画出___个三角形，请在图①中画出图形； 3 综合应用题 19 【解】画出的,, 如图①所示. 综合应用题 20 （2）以 为顶点可以画出___个三角形，请在图②中画出图形. 6 综合应用题 21 【解】画出的，，，，， 如图②所示. 返回 综合应用题 22 14. 如图，小红欲从A地前往B地，有三条路线可走：①A→B；②A→D→B；③A→C→B. (1)在不考虑其他因素的情况下，我们可以肯定小红会走路线①，理由是______________________________________ _____________________________________； (2)小红绝对不会走路线③，因为路线③的 路程最长，即AC＋BC＞AD＋BD.你能说明 其中的原因吗？ 三角形中任意两边之和大于第三边(或两点之间线段最短) 综合应用题 23 如图，延长BD交AC于点E.在△CBE中，由三角形的三边关系，得BC＋CE>BE ①. 在△ADE中，由三角形的三边关系，得AE＋DE>AD②. 由①＋②，得BC＋CE＋AE＋DE>BE＋AD.又因为CE＋AE＝AC, BE＝BD＋DE，所以AC＋BC>AD＋BD. 返回 综合应用题 24 15.若三边均不相等的三角形三边,,满足 为最长边，为最短边 ,则称它为“不均衡三角形”.例如，一 个三角形三边长分别为7,5,4,因为 ,所以这个三角 形为“不均衡三角形”. 创新拓展题 25 （1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为____ （填序号）. ①,, ; ②,, ; ③,, ; ④,, . ② 创新拓展题 26 【点拨】①中，,故长为,, 的小木棍不 能组成“不均衡三角形”;②中， ,所以长为 ,, 的小木棍能组成“不均衡三角形”;③中， ,所以长为,, 的小木棍不能组成“不 均衡三角形”;④中，,所以长为,, 的小木棍不能组成“不均衡三角形”.故答案为②. 创新拓展题 27 （2）已知“不均衡三角形”三边长分别为,16, 为整数,求 的值. 【解】因为 ,所以需分三种情况： ①当,即 时, ,解得 .因为 ,解得 ,所以不合题意，舍去； 创新拓展题 28 ②当,即 时, ,解得,故.因为 为整数，所以.当 时， , ,易知长 为22,16,14的线段可组成三角形. 创新拓展题 29 ③当,即 时, ,解得.故 . 因为为整数，所以或13或14.易知当 或13或14 时，长为,16, 的线段可以组成三角形. 综上所述， 的值为10或12或13或14. 返回 创新拓展题 30 【点拨】解不等式①，得x≤8.解不等式②，得x>5，所以该不等式组的解集为5<x≤8.所以该不等式组的最大整数解为8，最小整数解为6.所以AB＝8，BC＝6，所以8－6＜AC＜8＋6，即2<AC<14.因为△ABC的周长是奇数，8＋6＝14是偶数，所以△ABC的第三条边AC的长度的最小值为3. $第4章 三角形 4.4 尺规作图 第1课时 尺规作图（1） 1 1. 如图是作 的作图痕迹，则此作图的已知条件是 ( ) A A. 已知三角形的三边 B. 已知三角形的两边及其夹角 C. 已知三角形的两角及其夹边 D. 已知三角形的两角及一角的对边 返回 基础提优题 2 返回 2．[济宁市模拟]如图，作一个角等于已知角(尺规作图)的正确顺序是(　　) A．①⑤②④③　 B．②①③④⑤ C．②①④③⑤　　 D．①③②④⑤ A 基础提优题 3 返回 3．利用下列尺规作图，不一定能判定直线a平行于直线b的是(　　) C 基础提优题 4 4.如图，在中， , .按以下步骤作图：（1）以点 为 圆心，适当长为半径画弧，分别交线段, 于点,;（2）以点为圆心， 的长为半径 画弧，交线段于点;（3）以点 为圆心， 58 的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点 ;（4） 作射线,与相交于点.则____ . 返回 基础提优题 5 5．[西安市未央区模拟]如图，已知∠AOB＝51°，点C为边 OA上一点，请用尺规作图法，在OB左侧找一点D, 使得 △COD是一个等腰三角形，其中∠COD＝102°.(保留作图痕 迹，不写作法) 【解】如图， 即为所求. 返回 综合应用题 6 6. 对于尺规作图：已知 和线段, ，求 作，使，， ，有下列步骤： ①在射线上截取线段 ； ②作一条线段 ； ③以为顶点，以为一边，作 ； ④连接， 就是所求作的三角形. 步骤的合理顺序为__________（填序号）. ②③①④ 返回 综合应用题 7 7. 如图，已知△ABC. (1)请根据“SAS”作△BCD，使△DCB≌△ABC，其中点D在BC右侧，且DC＝AB(要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法)； 【解】如图． 综合应用题 (2)若∠ACB＝60°，∠ABC比∠CAB的2倍小15°，求∠ACD的度数． 【解】因为∠ABC比∠CAB的2倍小15°， 所以∠ABC＝2∠CAB－15°.因为∠ACB＝60°， 所以∠CAB＋∠ABC＝180°－∠ACB＝120°， 所以2∠CAB－15°＋∠CAB＝120°，所以∠CAB＝45°， 所以∠ABC＝2×45°－15°＝75°，由(1)作图可知，∠DCB＝∠ABC＝75°，所以∠ACD＝60°＋75°＝135°. 返回 综合应用题 $第4章 三角形 4.1 认识三角形 第2课时 三角形的高、角平分线与中线 1 返回 1．用三角板画△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是(　　) C 基础提优题 2 返回 2．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了说明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG.若DE＝10，AF＝6，则△ABC的面积是________． 120 基础提优题 3 D 返回 基础提优题 4 （第4题） 4.如图，在中，是 的平 分线，是的平分线，若 的度数为 ，则 的度数为 ____. 【点拨】因为是 的平分线， 是的平分线，所以, 所以 . 返回 基础提优题 5 5.如图，在中，是高， 平分 ， ， ，求 的度数. 【解】因为是高，所以 .所以 . 因为 ，所以 . 因为平分， ，所以 ， 所以 . 返回 基础提优题 6 返回 A 基础提优题 7 返回 7．如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝8，AC＝6，DF＝5，则DE＝________． 基础提优题 8 8．如图，在△ABC中，已知点D是边BC上一点，E，F分别是AD，CE的中点，且 S△ABC＝4，则△BEF的面积是________． 1 基础提优题 9 返回 基础提优题 9．[张家界市期末]如图，在△ABC中，AB＞AC，AD交边BC于点D.设△ABC的重心为M，若点M在线段AD上，则下列结论正确的是(　　) A．∠BAD＝∠CAD B．AM＝DM C．△ABD的周长等于△ACD的周长 D．△ABD的面积等于△ACD的面积 D 返回 基础提优题 11 10．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D沿CB自点C向点B运动(点D与点C，B不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，在点D的运动过程中，BE＋CF的值(　　) A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．无法确定 B 返回 综合应用题 12 11. 如图，在中， , , ,若四边形 的面积为28,则 的面积为 ( ) A A. 60 B. 56 C. 70 D. 48 综合应用题 13 【点拨】连接,,过点作 于点,如图.设.因为 , , , 所以,所以. 因为 ,同理 可得, 所以 ,所以 .所以 .因为 ,所以 综合应用题 14 , 因为四边形 的面积为28, 所以,所以 ,所以 ,故选A. 返回 综合应用题 12.如图，是的中线，是上的一点，, 分别是 ,的中点，若 的面积是24,则阴影部分的面积为___. 6 综合应用题 16 【点拨】如图，连接.因为 的面 积是24,是的中线，所以 的面积为12,点是的中点，所以 是 的中线，所以 .因为 ,分别是,的中点,所以 , , , 所以 , 综合应用题 17 所以阴影部分面积为 . 返回 综合应用题 13. 不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度的最大值是________． 5 返回 综合应用题 19 14. 如图，点C为直线AB外一动点，AB＝5，连接CA，CB，点D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD交于点F，当四边形BDFE的面积为5时，线段AC的长度的最小值为________． 6 综合应用题 20 综合应用题 返回 因为AB＝5，所以CH＝6.又因为垂线段最短，所以AC≥CH＝6，所以线段AC的长度的最小值为6. 综合应用题 15. 在△ABC中，AD是角平分线，∠B<∠C. (1)如图①，AE是高，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数； 综合应用题 23 综合应用题 (2)如图②，点E在AD上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的关系，并说明理由； 综合应用题 25 综合应用题 (3)如图③，点E在AD的延长线上，EF⊥BC于点F，则∠DEF与∠B，∠C的关系是________________________(直接写出结论，不需说明理由)． 综合应用题 27 返回 综合应用题 16.如图①,有一块三角形菜地，若从顶点 修一条笔直的小路 交于点 ,小路正好将菜地分成面积相等的两部分. 创新拓展题 29 （1）画出点 的位置并说明理由. 创新拓展题 30 【解】如图①,取的中点,点即为所求.理由：连接 .因 为为的中点，所以,所以与 等底同 高，所以 . 创新拓展题 31 (2)假设在菜地中有一点E，如图②所示，BC上是否存在点F， 使折线A—E—F将△ABC分为面积相等的两部分？若存在， 请画出点F的位置，并说明理由． 创新拓展题 32 存在.如图②,取的中点,连接, , ,过点作,交于点,点 即 为所求.理由如下：连接交于 . 因为,所以 . 因为,所以点到的距离与点到 的距离相等， 所以,所以 , 所以 , 所以 . 返回 创新拓展题 33 3．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的 是(　　) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3＝∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 6．[湘潭市期末]在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若中线BD将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为(　　) A.　　B．4　　C.或4　　D.或4 【点拨】因为S△ABC＝4，所以S△ABD＋S△ACD＝S△ABC＝4.因为E是AD的中点，所以S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD.所以S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝S△ABD＋S△ACD＝×4＝2.因为F是CE的中点，所以S△BEF＝S△BCE＝1. 【点拨】如图，连接BF，过点C作CH垂直直线AB于H.因为D，E分别是AB，BC的中点，所以S△ACE＝S△ABC＝S△BDC，S△AFD＝S△BFD，S△CEF＝S△BEF，所以S△CEF＋S四边形BDFE＝S△CEF＋S△ACF，S△AFD＋S△CEF＝S△BFD＋S△BEF＝S四边形BDFE＝5，所以S△ACF＝S四边形BDFE＝5，所以S△ABC＝S△ACF＋S四边形BDFE＋S△AFD＋S△CEF＝15，所以CH·AB＝15. 【解】因为AD平分∠BAC，所以∠CAD＝∠BAC.因为AE⊥BC，所以∠AEC＝90°.所以∠CAE＝180°－90°－∠C＝90°－∠C，所以∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝∠BAC－(90°－∠C)＝(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝∠C－∠B＝(∠C－∠B)．因为∠B＝35°，∠C＝65°，所以∠DAE＝(65°－35°)＝15°. ∠DEF＝(∠C－∠B)．理由：如图①，过A作AG⊥BC于点G.因为EF⊥BC，所以AG∥EF，所以∠DAG ＝∠DEF. 由(1)可知，∠DAG＝(∠C－∠B)，所以∠DEF＝(∠C－∠B)． ∠DEF＝(∠C－∠B) 【点拨】如图②，过点A作AG⊥BC于点G.因为EF⊥BC，所以AG∥EF，所以∠DAG＝∠DEF.由(1)可知，∠DAG＝(∠C－∠B)，所以∠DEF＝(∠C－∠B)． $第4章 三角形 4.3 全等三角形 4.3.5 全等三角形的应用 1 1．[株洲市期末]如图，某校学生为测量 点 到河对面的目标之间的距离，他们在 点同侧 选择了一点，测得 , , 然后在处立了标杆，使 ，那么他 们为了能测得， 之间的距离，还需要( ) D A. 直接测量 的长度 B. 测量 的长度 C. 测量 的度数 D. 作 交于点，测量出 的长度 返回 基础提优题 2 2. 风力发电具有环保、节能、可再生等优点，现已被广泛推广应用，其风力发电基础底座直径的大小引起同学们的兴趣，某综合实践小组的同学开展了以测量为主题的项目学习活动，形成了如下活动报告： 项目主题 实物的测量与计算 驱动问题 如何测量风力发电基础底座的直径 活动内容 利用三角形全等的知识进行测量与计算 基础提优题 3 活动过程 如图所示为测量方案示意图，AB为东西方向风力发电基础底座的直径． ①从点A处向正西方向步行4 m到达点C处； ②从点B处向正东方向步行4 m到达点D处； ③从点D处沿正南方向步行一定距离 到达点E处，F为DE的中点； ④从点E处沿正东方向步行16 m到达 点G处，此时C，F，G三点在一条直线上 基础提优题 (1)请根据上述数据,计算风力发电基础底座的直径AB的长． 【解】根据题意，得∠CDF＝∠GEF，∠CFD＝∠GFE. 因为F为DE的中点，所以DF＝EF. 在△CDF和△GEF中，∠CDF＝∠GEF， DF＝EF，∠CFD＝∠GFE， 所以△CDF≌△GEF(角边角)．所以CD＝GE＝16 m. 因为AC＝BD＝4 m， 所以AB＝CD－AC－BD＝16－4－4＝8(m)． 基础提优题 5 返回 (2)请你设计一个不同的测量方案，并在图中画出示意图．(不需写出测量数据) 【解】答案不唯一，合理即可．如：如图，分别在AB，BA的延长线上取两点D，C，在风力发电基础底座外取一点E(点E不在直线AB上)，作射线DE，CE，并分别在射线CE，DE上取点F，G，使EF＝CE，EG＝DE，连接GF，测得AC，BD，GF的长即可． 基础提优题 6 3．小川在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小川用发声物体靠近小球时， 基础提优题 7 如图②，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，且测得点B到OA的距离BD为10 cm，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直(图中的A，B，O，C在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E，测得点C到OA的距离CE为18 cm，则在两次摆动中，点B和点C的高度差DE的长为________cm. 8 基础提优题 8 基础提优题 返回 所以OD＝CE＝18 cm，OE＝BD＝10 cm，所以DE＝OD－OE＝18－10＝8(cm)． 基础提优题 4. 如图，为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如下的测量方案，他们首先取地面BC的中点D，此时用测角仪恰好测得∠ADE＝90°，并量得旗杆高度AB＝10.8 m，教学楼高度CE＝20.2 m，则AE的长为________m.   31 综合应用题 11 基础提优题 返回 基础提优题 【点拨】因为BD⊥OA，CE⊥OA，所以∠BDO＝∠OEC＝90°，所以∠COE＋∠OCE＝90°.因为OB⊥OC，所以∠COE＋∠BOE＝90°，所以∠BOE＝∠OCE. 在△COE和△OBD中，所以△COE≌△OBD(角角边)， 【点拨】如图，分别延长AD，EC交于点F. 因为BC的中点为D，所以BD＝CD.易知∠B＝∠DCE＝90°＝∠DCF.在△ADB和△FDC中，所以△ADB≌△FDC(角边角)，所以AD＝FD，CF＝AB＝10.8 m． 因为CE＝20.2 m，所以FE＝CE＋CF＝20.2＋10.8＝31(m)．因为∠ADE＝90°，所以∠FDE＝90°.在△ADE和△FDE中，所以△ADE≌△FDE(边角边)，所以AE＝FE＝31 m. $第4章 三角形 4.3 全等三角形 4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边） 1 A. 边角边 B. 边边边 C. 角边角 D. 角角边 返回 1．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用尺规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是(　　) B 基础提优题 2 返回 2. 如图，在和 中， ， ，要利用“边边边”来 判定和 全等，下面的条件 中：； ； ； ，可利用的是 ( ) A A. ①或② B. ②或③ C. ①或③ D. ①或④ 基础提优题 3 返回 3．[德州市期末]在如图的网格中，△ABC是格点三角形，则 与△ABC有一条公共边且全等(不含△ABC)的所有格点三角形 的个数是________． 5 基础提优题 4 4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：△CBE≌△CDF. 【证明】连接AC.因为AE＝AF，CE＝CF，AC＝AC，所以△ACE≌△ACF(边边边)，所以∠CEA＝∠CFA，所以易知∠CEB＝∠CFD.又因为∠B＝∠D，CE＝CF，所以△CBE≌△CDF(角角边)． 返回 基础提优题 5 返回 5．如图，点E，F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，AC与BD交于点O，则下列说法不正确的是(　　) A．BE＝DF B．△AEB≌△CFD C．∠EAB＝∠OAE D．AE∥CF C 基础提优题 6 6．如图，D为等腰三角形ABC内一点，AC＝BC＝BP，AD＝BD，∠DBP＝∠DBC，∠C＝62°，则∠BPD的度数为________． 31° 基础提优题 7 返回 基础提优题 7. 如图， 为比赛出发 点，,两点为标志物，且到 点的距离 相等，选手小明从 点出发，计划沿 的平分线骑摩托车行驶，若小明沿 射线行驶，在点处经红外线设备测得他到标志物, 两 点的距离相等，判断小明的行驶路线是否偏离预定路线，并 说明理由. 基础提优题 9 【解】小明的行驶路线没有偏离预定路线. 理由如下： 如图，连接,，由题意得 , .在和 中， 所以 . 基础提优题 10 所以.所以是 的 平分线.所以小明的行驶路线没有偏离预定 路线. 返回 基础提优题 8．如图，已知长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是其四条边的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在(　　) A．A，C两点处 B．B，E两点处 C．G，F两点处 D．E，G两点处 D 返回 基础提优题 12 9. 长沙市兴联路大桥是目前湖南省单体投资最大的市政斜拉桥，这座大桥的开通，不仅为市民出行带来了便利，也为长沙的经济发展注入了新的活力．如图是兴联路大桥的示意图，其采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是______________________． 三角形具有稳定性 基础提优题 13 10. 如图，在中，, 分别是边 ,上的点，且,, 交 于点,的延长线交于点 .若 ,则图中的全等三角形 共有( ) D A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对 综合应用题 14 【点拨】在和 中， 所以 （边角边）.所以, ,所 综合应用题 15 以.在和 中, 所以 （角边角）.所以, , .所以易得 , .在和 中， 综合应用题 所以 （边角边）.所以,在 和 中，所以 （边边边）,同理可得 （边边边）, （边边边）, （边边边）.故选D. 返回 综合应用题 11. 如图，已知△ABC和△EDF都是等腰三角形，且△ABC≌△FED，顶角∠C＝36°，等腰三角形EDF的顶点D在AC边上滑动，点E在BA边的延长线上滑动．将线段DA绕点D逆时针旋转36°得到线段DG，连接EG，FG，若△EFG是以FG为腰的等腰三角形，则∠FGE＝____________． 144°或72° 综合应用题 18 【点拨】因为△ABC和△EDF都是等腰三角形，且△ABC≌△FED，∠C＝36°，所以DE＝DF，∠EDF＝36°，∠BAC＝72°，所以∠DAE＝180°－∠BAC＝108°.又因为线段DA绕点D逆时针旋转36°得到线段DG，所以DA＝DG，∠ADG＝36°，所以∠ADG－∠EDG＝∠EDF－∠EDG，即∠ADE＝∠GDF.在△ADE和△GDF中，DE＝DF，∠ADE＝∠GDF，DA＝DG，所以△ADE≌△GDF(边角边)，所以∠DAE＝∠DGF＝108°，AE＝FG.当EG＝FG时， 综合应用题 如图①.在△DGE和△DGF中，EG＝FG，DE＝DF，DG＝DG，所以△DGE≌△DGF(边边边)，所以∠DGE＝∠DGF＝108°，所以∠FGE＝360°－∠DGE－∠DGF＝144°；当FE＝FG时， 综合应用题 如图②，连接AG.因为DA＝DG，∠ADG＝36°，所以∠DAG＝∠DGA＝72°，所以∠DGA＋∠DGF＝180°，∠EAG＝∠DAE－∠DAG＝36°，所以易知点A，G，F三点共线．因为FE＝FG，AE＝FG，所以AE＝EF，所以∠GAE＝∠GFE＝36°.又因为FE＝FG，所以∠FGE＝∠FEG＝72°.综上所述，∠FGE＝144°或72°. 返回 综合应用题 12.如图，在一个风筝中，， . 创新拓展题 22 （1）分别在,的中点,处拉彩线, ，求证：这两 根彩线的长度相等. 综合应用题 23 综合应用题 24 （2）如果， ，那么彩线 的长度相等吗？如果， 呢？由此你能得到什么结论？ 综合应用题 25 【解】当， 时，彩线的长度 相等.理由如下：连接，易知 , 因为，， ,所以 . 综合应用题 26 综合应用题 综合应用题 （3）除了 的条件外，你还能在哪些已 知条件下得到两根彩线的长度相等的结论？ 【解】当 时，两根彩线的长度相等. （答案不唯一） 返回 综合应用题 29 13. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图①，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．我们发现利用边边边证明两个三角形全等，从而证明∠AOC＝∠BOC. 创新拓展题 30 学习了轴对称的知识后，我们知 道角是轴对称图形，角平分线所 在直线就是它的对称轴，爱动脑 筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线 的方法.方法如下：如图②，将两个全等的三角形纸片 和的一组对应边分别与 的一边共线，同时这条 边所对顶点落在的另一条边上，则和 的 另一组对应边的交点在 的平分线上. 创新拓展题 31 （1）小慧的做法正确吗？请说明理由； 创新拓展题 32 ① 【解】正确.理由如下： 如图①所示，因为 ，所以 ， .又因为 ， 所以 （角角边），所以 ，.所以.又因为 ， ，所以 （角角边）.所以 .又因为，,所以 （边边边）.所以，即平分 . 创新拓展题 33 （2）小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画 角平分线.请你和小旭一样，只用刻度尺画出图③中 的 平分线. 如图②所示， 即为所求. ② 创新拓展题 34 【点拨】如图②,借助刻度尺作出 ,,连接, 交 于点,作射线.因为 , ，,所以 （边角边）. 所以.因为， ，所以 .又因为， , 所以 （角角边）. 所以.又因为 ， ,所以 （边边边）.所以 . 所以平分 . 返回 创新拓展题 35 【点拨】连接CD.在△ACD和△BCD中，所以△ACD≌△BCD(边边边)，所以∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝31°.在△BCD和△BPD中，所以△BCD≌△BPD(边角边)，所以∠BPD＝∠BCD＝31°. 【证明】连接AC. 在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC， 所以△ABC≌△ADC(边边边)．所以∠BAC＝∠DAC. 因为E，F分别是AB，AD的中点，AB＝AD， 所以AE＝AB＝AD＝AF. 又因为∠EAC＝∠FAC，AC＝AC，所以△AEC≌△AFC(边角边)．所以EC＝FC.所以这两根彩线的长度相等． 又因为AC＝AC，所以△AEC≌△AFC(边角边)．所以EC＝FC.所以这两根彩线的长度相等． 当AE＝AB，AF＝AD时，彩线的长度相等．理由如下：连接AC，易知∠BAC＝∠DAC. 因为AE＝AB，AF＝AD，AB＝AD，所以AE＝AF. 又因为AC＝AC，所以△AEC≌△AFC(边角边)．所以EC＝FC.所以这两根彩线的长度相等． 由此可得结论：当AE＝AB，AF＝AD时，这两根彩线的长度相等． $第4章 三角形 4.5 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1 1. 在中，已知 ，若 是等腰三角形，则 为( ) D A. B. C. 或 D. 或 或 返回 基础提优题 2 返回 2．如图，B，C两点分别在直线a，b上，且a∥b，BA＝BC，AB⊥a，若∠1＝115°，则∠BCA的度数等于________． 25° 基础提优题 3 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数为________． 返回 45° 基础提优题 4 4.［上海金山区期末］如图，已知在 中，为边 上一点， . （1）求证： ； 【证明】因为，所以 ， .因为 ， 所以 . 基础提优题 5 （2）过点作的平行线交 的延长线 于点，若，求证： 平分 . 因为，所以 .因为 ，所以， .所以 .所以平分 . 返回 基础提优题 6 5. “一亭幽绝费平章，峡 口清风赠晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶 染丹黄.饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳. 此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔？”其中 “一亭”指的是一座具有悠久历史的古典园林建筑——“爱晚 亭”.如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形 ， ，是边上的一点.下列条件不能说明 是 的角平分线的是( ) 基础提优题 7 A. B. C. D. 与 的周长相等 √ 基础提优题 【点拨】A.因为∠DAB＝∠DAC，所以AD是△ABC的角平分线，故A选项不符合题意；B.因为△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，所以AD是△ABC的角平分线，故B选项不符合题意；C.若BC＝2AD，不能说明AD是△ABC的角平分线，故C选项符合题意；D.因为△ABD与△ACD的周长相等，AB＝AC，AD＝AD，所以BD＝CD.因为△ABC是等腰三角形，所以AD是△ABC的角平分线，故D选项不符合题意． 返回 基础提优题 6．如图，在△ABC中，点E是边AB上一点，连接CE，BE＝CE，过点E作ED⊥BC于点D.若△ACE的周长为20，BD＝3，则△ABC的周长为________． 26 基础提优题 10 【点拨】因为BE＝CE，DE⊥BC，所以BD＝CD＝3，所以BC＝6.因为△ACE的周长为20，所以AC＋CE＋AE＝AC＋BE＋AE＝AC＋AB＝20，所以△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝20＋6＝26. 返回 基础提优题 7．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝AE. (1)如图①，当AD是边BC上的高，且∠BAD＝30°时，求∠EDC的度数； 综合应用题 12 综合应用题 (2)如图②，当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD与∠EDC之间的数量关系，并加以证明． 综合应用题 14 ∠BAD＝2∠EDC.证明如下： 因为AB＝AC，AD＝AE，所以∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED. 因为∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠AED＝∠C＋∠EDC， 所以∠B＋∠BAD＝∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠AED＋∠EDC＝∠C＋2∠EDC，所以∠BAD＝2∠EDC. 返回 基础提优题 8.[邵阳市期末]已知,,分别是等腰三角形 三边的 长，且满足,若,, 均为正整数，则这样的等腰 三角形 有( ) B A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【点拨】因为,所以 ,所以 .因为,, , ,均为正整数，所以或 综合应用题 16 或当 时，三边长分别为1,6,6;当 时，三边长分别为2,3,3;当 时，三边长 分别为3,2,2或3,3,1,所以一共有4个满足题意的等腰三角形存 在，故选B. 返回 综合应用题 17 9. 如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠CDO＋∠CFO＝100°，则∠C的度数为(　　) A．40° B．45° C．50° D．60° A 返回 综合应用题 18 10.[益阳市模拟]如图，在第1个 中， ,,在边 上任取 一点,延长到,使 ,得到第 2个;在边上取一点,延长 到,使,得到第3个, , 按此作法继续下 去，则第2 028个三角形的底角度数是________. 综合应用题 19 【点拨】因为在中， , ,所以 .因 为,是 的外角， 所以 .同理可 得 , , ,所以第 2 028个三角形的底角度数是 . 返回 综合应用题 20 11.如图，中，,,是 的平分线，是边上的动点，是 边上的动点，则 的最小值为____. 10 综合应用题 21 【点拨】过点作于点,连接 ,如图.因 为,是 的平分线，所以 ,,所以点,关于 对称，所以 ,所以 .根据垂线段最 短，可得,即 的最小值为 的长. 因为 的面积为65,所以 ,所以 , 即 的最小值为10. 返回 综合应用题 22 12.如图，在等腰三角形中，，为 延长线上 一点，且，垂足为，连接，若 ， 则 的面积为 ___. 9 综合应用题 23 【点拨】如图，过作于，过 作 于.因为， ， ,所以 .因为 ，所以 .因为 .所以 . 在与中， 所以 综合应用题 24 （角角边），所以 ，所以的面积 . 返回 综合应用题 13. 【问题情境】 情境一：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 情境二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 创新拓展题 26 【特例证明】 （1）如图①，若与 互为“顶补等腰三角形”. ，于，于 ，求证： . 创新拓展题 27 【证明】如图①. 因为与 互为“顶补等腰三角形”， 所以 ， ，所以 .又因 为，，所以 ， ， 所以 . 创新拓展题 28 又因为 ，所以 . 在和中， 所以 （角角边），所以 . 创新拓展题 【拓展运用】 （2）如图②，在四边形 中， ，， ， ，在四边形 的内部是否 存在点，使得与 互为“顶补等腰三角形”？若存 在，请给予证明；若不存在，请说明理由. 创新拓展题 30 【解】存在.证明：如图②，连接，取 的中点，连接，.因为 ， ，,所以 （边边边），所以 .因 为是的中点，所以 ， .所以 .因为 创新拓展题 31 ，， ，所以 （边边边），所以 .因为 ， 所以 ,所以 与 互为“顶补等腰三角形”. 返回 创新拓展题 【解】因为AB＝AC，AD是边BC上的高， 所以∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD. 因为∠BAD＝30°，所以∠CAD＝30°. 因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝×(180°－30°) ＝75°，所以∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝15°. $第4章 三角形 4.3 全等三角形 4.3.1 认识全等三角形 1 返回 1. 下列各学科使用的教学器具中，属于全等图形的是(　　) A 基础提优题 2 返回 2．[益阳市模拟]下列命题：①形状相同的三角形是全等三角形；②面积相等的三角形是全等三角形；③周长相等的三角形是全等三角形；④三个角对应相等的两个三角形全等；⑤经过平移、旋转、轴对称得到的三角形与原三角形是全等三角形．其中真命题有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 基础提优题 3 返回 3．若下图中的两个三角形全等，则∠1的度数是(　　) A．76° B．60° C．54° D．50° D 基础提优题 4 返回 4．如图，点D是△ABC内一点，连接AD，BD，∠BAC＝90°， AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D旋转至点E， 则△ABD≌△________，∠BAD的对应角为________， BD的对应边为________． ∠CAE 基础提优题 5 返回 5. 如图，两个全等的直角三角形重 叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点 的方向平移到 的位置，， ，平移距离为2，则阴影部 分的面积为___. 7 基础提优题 6 6.如图，已知在中， 于点 ，，的延长线交 于点 . （1）求证： ； 【证明】因为，所以 . 因为，所以 . 所以 .所以 .所以 . 基础提优题 7 （2）若，，求 的长. 【解】因为 ，所以 ， . 因为 ，所以 . 所以 . 返回 基础提优题 8 返回 7. 已知一个三角形的三条边的长分别是5， 7，10，另一个三角形的三条边的长分别是, ，5. 若这两个三角形全等，则 的值为( ) D A. 7 B. C. 8 D. 或7 【点拨】分两种情况讨论：①当, 时， 解得,.所以;②当, 时,解得,.所以.综上所述，的值是 或7. 基础提优题 9 返回 8. 如图，方格纸中的每个小方格的边长均为1，△ABC的各个顶点恰好是小方格的顶点．若△ACP与△ABC全等(不与△ABC重合)，则所有满足条件的点P有________个． 3 综合应用题 10 9.如图，和是分别沿着, 边翻折 形成的，若,则 的度数为____, 综合应用题 11 【点拨】设,则, .因 为 ,所以 ,解得 .所以 , , .因为 是沿着边翻折 形成的，所以 , .所以 . 综合应用题 12 因为是沿着边翻折 形成的， 所以 .又因为 ,所以 . 所以 . 返回 综合应用题 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9 cm，AC＝12 cm，AB＝15 cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止运动，速度为3 cm/s，设运动时间为t s．在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4 cm，DF＝5 cm，∠D＝∠A.在△ABC的边上，若另外有一动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点 A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好有△APQ≌△DEF，则点Q的运动 速度为____________cm/s. 综合应用题 14 综合应用题 返回 综合应用题 或 【点拨】因为△APQ≌△DEF，所以AP＝DE＝4 cm，AQ＝DF＝5 cm.设点Q的运动速度为x cm/s.分两种情况讨论： ①如图①，当点P在AC上，点Q在AB上时，易得4÷3＝5÷x，解得x＝； ②如图②，当点P在AB上，点Q在AC上时，易得点P的运动路程为9＋12＋15－4＝32(cm)，点Q的运动路程为9＋12＋15－5＝31(cm)．所以32÷3＝31÷x，解得x＝.综上，点Q的运动速度为 cm/s或 cm/s. $