2026年中考数学终极冲刺13：几何十二大模型专项（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦几何十二大核心模型，覆盖三角形、四边形、圆及图形变换全几何板块，通过考情分析、模型特征梳理、题型示例与真题训练构建系统复习体系，助力学生掌握模型识别、辅助线构造及变式转化方法，突破中考几何综合题难点。 亮点在于“三步教学法”设计，如手拉手模型通过“找等线段-证夹角等-推全等结论”培养数学思维，隐圆模型结合“定点定长/定角定边”挖掘轨迹提升几何直观。设置基础到压轴分层练习，配套中考真题即时反馈，帮助教师精准把控复习节奏，高效提升学生解题效率与应考能力。

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺13 几何十二大模型 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 几何模型是中考几何题的核心解题工具，贯穿选择、填空、解答及压轴题，总分占比高。十二大常见模型覆盖三角形、四边形、圆、图形变换等全几何板块，是命题高频载体。基础题型直接套用模型结论快速解题，压轴题则将多个模型叠加，结合动点、折叠、旋转、最值、存在性综合设问。命题侧重考查模型识别、条件转化、辅助线构造能力，不少考题会对经典模型做变式、隐藏条件处理，区分度较强。这类题目重在考查几何推理、数形结合与知识迁移能力，熟练掌握模型可大幅简化思路、缩短解题时间。冲刺阶段需吃透每个模型的特征、结论与辅助线作法，学会在复杂图形中剥离出基础模型，灵活应对变式考法，减少解题失误。2、核心考查内容： 手拉手模型、一线三等角、半角模型、中点四大模型、将军饮马、胡不归基础、折叠模型、瓜豆原理、角平分线模型、子母相似、费马点模型、隐圆模型。 （1）手拉手模型：以共顶点等腰三角形为基础，核心证全等/相似，推导相等线段、等角、夹角定值。常结合旋转出题，求解线段长、角度、最值，多用于几何证明与计算。 （2）一线三等角：同一直线上出现三个相等角，直接判定三角形相似。重点用于线段比例、边长计算、坐标求解，是几何计算高频模型。 （3）半角模型：大角内部包含其一半角度，依托旋转构造全等，实现线段转化。常求线段和差关系、边长、面积，多见于正方形、等腰三角形题型。 （4）中点四大模型：包含倍长中线、斜边中线、中位线、中点连线模型。利用中点性质转化线段、证明平行与相等，结合全等、勾股定理解题。 （5）将军饮马：轴对称求最短路径，分两定一动、两动一定等类型。核心求线段和最小、周长最小，常结合直线、角、三角形出题。 （6）胡不归（基础）：解决PA+k·PB型最值问题，通过构造特殊角转化系数，将折线转为垂线段求最小值，是中档压轴常考题型。 （7）折叠模型：本质为轴对称，利用折叠全等、边角相等、折痕垂直平分对应点连线。结合勾股定理列方程求边长、角度、面积，多有分类讨论。 （8）瓜豆原理：动点轨迹问题，遵循 “定点定角定比例”，判断动点轨迹为直线或圆，求解轨迹长、线段最值、坐标。 （9）角平分线模型：运用角平分线等角、等距性质，搭配平行线构造等腰三角形，结合辅助线证明线段、角度等量关系。 （10）子母相似：共角的两个三角形相似，对应边成比例。多用于直角三角形、斜三角形，计算线段长度、比例关系。 （11）费马点模型：求三角形内一点到三顶点距离和最小值，构造旋转图形转化线段，主要解答距离和最值类压轴题。 （12）隐圆模型：根据定点定长、定弦定角、四点共圆等条件挖掘隐藏圆，借助圆的性质求角度、线段最值、取值范围。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】手拉手模型 识别：共顶点、两个等腰 / 等边 / 正方形，旋转型 解题步骤: 1.找两组等线段：AB=AC，AD=AE 2.证夹角相等：∠BAD=∠CAE 3.证△ABD≌△ACE（SAS） 4.得线段相等、角相等、夹角等于顶角 【典例1】（2026·浙江温州·二模）在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘． 【实践操作1】折法：如图1． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接； 步骤2：将正方形沿折叠，使点翻折至点处，交于点． 【实践操作2】折法：如图2． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接． 步骤2：将正方形折叠，使点落在上，得点，得到折痕． 【问题解决】 (1)在实践操作1中，猜想的形状，并说明理由． (2)在实践操作2中，若，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由得，由折叠得，可得，由等角对等边可得结论； （2）由折叠得，过点作交于点，交于点，得，得出，设，则，由勾股定理得出，证明，四边形是矩形，得，求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：猜想：是等腰三角形，理由如下： ∵正方形对折得到折痕， ∴，且垂直平分,， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，，， 由折叠得垂直平分， ∴为的中点， ∴， 如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴, 由折叠得, ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 又, ∴四边形是矩形， ∴， 解得， ∴， ∴． 【题型二】一线三等角 识别：一条直线上三个角相等（多为直角） 解题步骤 1.标三个等角：∠1=∠2=∠3 2.倒角证两组角对应相等 3.得三角形相似 4.列比例式求边长 【典例2】（2026·广东深圳·二模）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． (1)【问题解决】如图①，若点与线段的中点重合，则的度数为 ，线段与线段的位置关系是 ； (2)【问题探究】如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 【答案】(1)，（或垂直） (2)（或），见解析 (3)的长为或 【分析】（1）利用菱形性质 + 等边三角形判定，结合等腰三角形三线合一求解角度与位置关系； （2）先将绕顺时针旋转得到，再结合等边三角形性质以及已知角进行判定证明； （3）分在线段上、在线段上时两种情况，利用旋转性质、相似三角形、菱形等边三角形边长求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，为等边三角形． 是中点， ，平分， ，． （2）解： 如图，把绕顺时针旋转得到， ， 为等边三角形， ， 点在线段 上，且， ， , ， ， ， ． （3）解：①如图，当在线段上，记与交于点， ， ， ，， ， ， 设，则， , , ， , ， ， ， 为等边三角形 ， , ； ②如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ， 设，而，则， ， ， 同理：，，， 综上：的长为或． 【题型三】半角模型 识别：正方形 / 等边三角形内部出现半角 解题步骤 1.旋转构造全等（把半角外的三角形转过去） 2.证新三角形与半角三角形全等 3.得出线段和差关系：如 MN=BM+DN 【典例3】（2026·天津·二模）如图，E为正方形的边上一点，连接，把绕点E逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点G．，． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）若H是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 3 【分析】（Ⅰ）过点作交延长线于点，证明和全等，得到，再根据等腰直角三角形性质解答； （Ⅱ）作，结合第一问结论判定等腰直角三角形，得到、长度；再证四边形为正方形，利用中点求，最后由勾股定理算出． 【详解】解：过点作交延长线于点， ， 四边形是正方形， ，， 绕点逆时针旋转，得到， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ． 过点F作于点， ， 四边形是正方形， ， 又∵， 四边形是矩形， ∵, ∴四边形是正方形， ， ∵，H是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 【题型四】中点四大模型 ①倍长中线 1.延长中线至等长 2.连接造全等三角形 3.转移边与角 ②中位线 1.找双中点 2.得平行且一半 ③直角斜边中线 1.直角 + 斜边中点 2.中线 = 斜边一半 ④三线合一 1.等腰 + 顶角平分线 / 底边中点 / 高 2.三者互通 【典例4】（2026·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，当，，在同一条直线上时，的值最小，求得的长即可． 【详解】解：取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一条直线上时，的值最小， 点为的中点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ． 的最小值为：． 【题型五】将军饮马模型 识别：求最短路径和 解题步骤 1.作对称点（同侧变异侧） 2.连接对称点与另一定点 3.交点即为所求点 4.最短距离 = 两点直线距离 【典例5】（2026·江苏盐城·一模）在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．康居学堂数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线C：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的函数表达式为_________． (2)如图2所示，抛物线C：与直线交于A、D两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点P是直线下方抛物线上的一动点，点P的对应点为点Q，连接交直线于点G． ①请判断点是否在翻折后的图象上； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线C：绕点逆时针旋转得到新的抛物线．已知点H的坐标为，如果不垂直于x轴的直线l：与抛物线交于点E、F，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①在，② (3)过定点，定点坐标为，理由见解析 【分析】（1）先将原抛物线配方成顶点式，再根据“上加下减、左加右减”求解即可； （2）①反向思考，判断点关于直线的对称点是否在翻折前的抛物线上即可；②过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，则，可得∴为等腰直角三角形，则，设，其中，设，则，则，故，那么得到方程，则，即可求解的最大值，即可求解的最大值； （3）抛物线的对称轴为直线，由题意得，旋转点旋转前的对应点为点，设直线旋转前对应的直线为直线，那么点在抛物线的对称轴上，过点作于点，过点作于点，设直线，，联立直线与抛物线得，，整理得，，则，由题意得，，则，那么得到，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ∵将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴平移后的函数表达式为，即； （2）解：①设直线与轴交点为点，则， 当时，则，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 则轴， ∴， 设点关于直线的对称点为点， ∴， ∴点在轴上， 由对称可得，， ∴， 当时，， ∴点关于直线的对称点在抛物线上， ∴点在翻折后的图象上； ②联立抛物线与， 则， 解得或， ∴， 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，则， 由对称可得，，， 由题意得，轴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，其中， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴时，， ∴， ∴； （3）解：直线l过定点，定点为，理由如下： 抛物线，则对称轴为直线， 由题意得，旋转点旋转前的对应点为点，设直线旋转前对应的直线为直线，那么点在抛物线的对称轴上， 过点作于点，过点作于点， 设直线，， 联立直线与抛物线， 得，， 整理得，， ∴， 而， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴或（舍）， 则， ∴直线， ∴直线经过定点， 则由旋转可得，直线经过点． 【题型六】胡不归模型 识别：形如 PA+kPB（k<1） 解题步骤 1.以定点为顶点作特殊角，使 sinθ=k 2.将 k⋅PB 转化为垂线段 3.最短路径 = 点到直线垂线段长度 【典例6】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与坐标轴分别交于、两点，直线与轴交于点，且点与点关于轴对称． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点在线段上（点不与、重合），过分别作轴和轴的垂线交轴于点、交直线于点，连接交轴于，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，直线：与直线交于点P，与交于点，点在上，连接、，若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，，，再运用待定系数法将点A、C的坐标代入即可求得答案； （2）设，进而得出点、，再求出直线解析式为：，由此求出点，根据，即可求得答案； （3）直线：与直线交于点P，可确定点，进而可得，在上截取，连接．构造，四边形为平行四边形，进而证明是等腰直角三角形，设，则，结合，证明，可得，再利用，设，，求出， 利用，求出，可得，进而可得，结合，，即可求出，进一步求出，可得 ，即点、重合，由此求出直线，联立直线解析式求出交点，即可求出． 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴分别交于、两点， ∴，， 又∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为， ， ， ． （2）解：设，则， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得： ∴直线解析式为：， ∴点， ∴， ∴． （3）解：∵直线：与直线交于点P， 当时，， 即点， 由（2）可得， ∴， 在上截取，连接． 又∵， ， ∴， 又∵， ∴，即， 过作交延长线于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 设，则， ∴， 又∵， ∴ 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得：， ∴直线，， ， ∴，解得， ∴， ∴，即点是的中点， ∴点在轴上，坐标为 ∴， 联立直线和直线， 得 解得： ∴， 作于， ∴，， ∴． 【题型七】折叠模型 解题步骤 1.折叠 = 全等 + 轴对称 2.对应边相等、对应角相等 3.设未知数，在直角三角形中用勾股定理 4.解方程求边长 【典例7】（2026·天津·二模）将一个三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)点为上一动点，过点作直线直线，垂足为，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设折叠后重叠部分的面积为，． ①如图②，当折叠后重叠部分为四边形时，与交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①， ② 【分析】（1）过点作轴垂线，构造直角三角形，利用等腰边角性质得底角，结合三角函数求出线段长度，换算得出、坐标； （2）①利用折叠、轴对称性质推导角度，判定直角三角形，用整体减局部列出重叠面积二次函数，结合图形临界确定范围； ②依据二次函数对称轴与区间，求解面积取值范围． 【详解】（1）解：如图：过点作，垂足为， ∵，， ∴，， 在中， ∵，，，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵点在轴正半轴上，点在第一象限， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）①：由题可知， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质知， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ②：∵， ∴当时，有最大值，， 当时，有最小值，， ∴． 【题型八】瓜豆原理 识别：主动点动→从动点跟着动 解题步骤 1.确定定点、主动点、从动点 2.确定旋转角度、缩放比 3.从动点轨迹与主动点同形状 4.最值用：圆心距 ± 半径 【典例8】（2026·湖南株洲·一模）已知四边形是平行四边形，，．点从点出发沿边向点运动（不与、重合），同时点从点出发沿边向点运动，点的运动速度是点的运动速度的倍．连接，，作的外接圆与射线相交于另一个点，连接．          (1)【基础感悟】如图1，若，求的长； (2)【初步探索】如图2，当点运动到线段的中点时，求证：； (3)【深度探索】如图3，随着点的运动，点的位置也在变化，当点与重合时，连接，①求证：；②求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据题意得出，即可求解； （2）设，则，先证明是等边三角形，再根据圆内接四边形对角互补得出，，根据平行四边形的性质得出，则，即可得出，则； （3）①连接，作于点，作交的延长线于点，在线段上截取线段，连接，则，证明，再根据平行线的性质，即可得证； ②根据得出是的直径，则，即可得出，进而证明，则，设，则，，分别解直角三角形，求得，代入比例式，求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的运动速度是点的运动速度的倍 ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点运动到线段的中点时，则， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）①连接，作于点，作交的延长线于点， 在线段上截取线段，连接，则， ， 设 ，则， ， ， 是等边三角形， ，， ， ∵ ②∵， ∴是的直径 ∴， 又∵ ∴ 设，则， ∵ ∴ ，，， ， 解得：（舍去）， 【题型九】角平分线模型 解题步骤 1.见角平分线→向两边作垂线 2.垂线段相等，得全等 3.或用角平分线定理：ACAB​=DCBD​ 【典例9】（2026·江苏泰州·一模）结合图形，解决问题 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案． （2）①利用矩形的性质过点分别作的平行线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． ②借鉴第（2）①问的方法，过点作的平行线，构造相似三角形求解． 【详解】（1）证明：如图，作，， 是的角平分线， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ， ． （2）①解：如图所示,过点分别作的垂线，交于点，交于点， ，， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ②解: 如图，作，作， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【题型十】字母相似 识别：大三角形套小三角形，共角公共边 解题步骤 1.找公共角 + 一组等角 2.证△ABD∽△ACB 3.用公共边平方 = 边 × 边：AB2=BD·BC 【典例10】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）【问题提出】 (1)如图1，在中，D为边上一动点，，，则的最小值为________． 【问题解决】 (2)如图2，某学校为了开展班级足球比赛，在学校操场的一块等边上划分几块区域，方便同学们平时训练．设计如下：用三条围栏，，将分成四部分，其中，为裁判活动区，且，，．为了方便同学们训练，需要使裁判活动区面积最小．请你用所学的知识计算面积的最小值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）过点A作，利用垂线段最短得出当点D移动到点时，取得最小值，再由三角形面积即可求解； （2）根据等边三角形的性质及等量代换得出，，结合题意确定，设，，得出，，过点E作，，，利用三角函数得出，，，分别表示出各个三角形的面积，得出，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点A作，如图所示： 当点D移动到点时，取得最小值， ∵，， ∴即， 解得， ∴的最小值为6； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ， ， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∴， 过点E作于点E，过点D作于点N，过点E作于点H，如图所示： ∴，， ∴，，， ∴， ， ， ∴， 过点A作， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴整理得：， 当时，即时， ∴有最小值． 【题型十一】费马点模型 识别：求 PA+PB+PC 最小值 解题步骤 1.以一边向外作等边三角形 2.连接外顶点与对顶点 3.线段长度即为最小值 4.交点就是费马点 【典例11】（2026·湖北·二模）如图1，直线a与直线b相交于点O，点P在内部．规定：先以a为对称轴作点P关于a的对称点，再以b为对称轴作点关于b的对称点，从点P到点的变换（两次轴对称）称为“1次T变换”，经过n次T变换的过程为．若经过n次T变换后，点与点P第一次重合，我们就称n为“变换的最优值”． 例如：如图2，当时，点P经过第1次T变换得到点，点经过第2次T变换得到点，点经过第3次T变换得到点，此时点与点P第一次重合，所以为“变换的最优值”． （1）如图3，当时，______为“变换的最优值”． （2）若时，且变换的最优值，则此时为______°． 【答案】 6 144 【分析】根据轴对称的性质，两次轴对称变换相当于一次旋转变换. 当时，旋转角为；当时，旋转角为．点与点第一次重合，说明次变换后的总旋转角度为，据此列式计算即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可知，1次T变换相当于将点绕点旋转的角度． 当时，每次T变换旋转的角度为． 若经过次T变换后，点与点第一次重合，则旋转的总角度应为， ； （2）当时，，此时1次T变换，点绕点旋转的角度（考虑能使旋转角小于的方向作为旋转方向）为． 变换的最优值， 经过5次T变换，点旋转的总角度为， ， 解得． ， 符合题意． 【题型十二】隐圆模型 解题步骤 1.找定点 + 定长或定角 + 定边 2.确定圆心、半径，画出轨迹圆 3.最值用：点到圆心距离 ± 半径 4.直角隐圆→以斜边为直径 【典例12】（2026·安徽阜阳·模拟预测）我们知道三角形三条高线的交点为三角形的垂心，请进行如下探索： (1)如图1，在中，为的直径，为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (2)如图2，在中，，均为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (3)如图3，在中，，，和交于点F，延长至点P，使，连接，，证明：A，P，B，C四点共圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理证明，再根据三角形垂心的定义判定即可； （2）连接并延长交于点，连接，由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理证明，再根据三角形垂心的定义判定即可； （3）连接并延长交于点M，先证明，再根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角证明即可． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接， ∵点P与点B关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点为的垂心； （2）证明：如图，连接并延长交于点，连接， ∵点P与点B关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点为的垂心； （3）证明：如图，连接并延长交于点M， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴A，P，B，C四点共圆． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，，现进行如下操作： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点E，交于点F； ②以点A为圆心，长为半径画弧交于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； ④过点G作射线； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，连接得四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）由作图得，，，得到，然后结合即可证明； （2）由菱形的性质得到，，推出，然后证明出，即可得到． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由作图得，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形 ∴， ∴ 由作图得， ∴ ∴． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明； （2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所在直线对称， ∴； ∵，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得． 【详解】（1）证明：∵是的两条切线，切点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，满足的即为所作． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径． (1)求证： ①． ②． (2)，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)5 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线长定理得出，结合，，即可证明． （2）根据圆周角定理得出，由①可知：，得出，即可证明，进而得到． （3）连接．根据圆周角定理得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）①证明：是切线， ， 又，， ． ②证明：点在上． ， 由①可知：， ， ， ． （2）解：连接． 是的直径， ， 又，， ∴． ， ， ． 5．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，垂直平分线的性质，勾股定理，余弦函数： （1）由直径所对的圆周角为90度，可证，进而可得垂直平分，即可证明； （2）连接，则，结合可得，进而可得，再由勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 又， 垂直平分， ； （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， 由（1）得， ， ． 6．（2025·山东东营·中考真题） （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)与的函数解析式为； (3)点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据勾股定理，可得，根据三角形的面积公式，即可得与的函数解析式； （3）作轴于点，由勾股定理可得，可得，作轴于点，作轴于点，四边形是矩形，和为等腰直角三角形，可得，，可得，作，交轴于点，可得，由线段之间的关系，结合锐角三角函数可得，，，由，可得，可得，，，，可得点和点的坐标，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的函数解析式为． （3）解：作轴于点， ∵点的横坐标为，点的横坐标为，点在线段上， ∴，， ∴， 解得， ∴点的横坐标为，，， ∴， ∴， 作轴于点，作轴于点，则，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵点在轴上，点的横坐标为， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 作，交轴于点，则， 又∵，， ∴， ∴， ∵为轴正半轴上一点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，，点是的中点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）由四边形 是正方形， 得，由 是等边三角形，得，得，进而即可得证； （2）先由等边三角形的性质，三角形的内角和及等角对等边证得，，再由，平分证得，得出，，，证得，进而即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴，， ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：与线段相等的线段有，，，，理由如下， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形 是正方形， 为对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】(1)①证明见解析 ②为定值，该定值为 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可； ②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； （2）解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 10．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 【答案】(1)①2；②4 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确理解题目中给的条件，作出辅助线求解是解题的关键． （1）①根据题意可得此时为等腰直角三角形，作图求解即可； ②连结，根据直角三角行斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而证明，即可得解． （2）分两种情况讨论，第一种情况，，设．则，求出的长，过点作于交于点，分别证明和即可得解；第二种情况，，连接，分别证明和即可得解． 【详解】（1）①如图所示， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ，， 为中点， 、为、的中点， ， ； 故答案为：2． ②连结， ，， ， 又点为的中点， ，，， ， 又， ， ， ． （2）第一种情况如图所示，，设．则， ， ， ， 过点作于交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； 第二种情况：如右图所示，，连接， 易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立； 由（1）可知：， ， ， 又， ．， 可得，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺13 几何十二大模型 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 几何模型是中考几何题的核心解题工具，贯穿选择、填空、解答及压轴题，总分占比高。十二大常见模型覆盖三角形、四边形、圆、图形变换等全几何板块，是命题高频载体。基础题型直接套用模型结论快速解题，压轴题则将多个模型叠加，结合动点、折叠、旋转、最值、存在性综合设问。命题侧重考查模型识别、条件转化、辅助线构造能力，不少考题会对经典模型做变式、隐藏条件处理，区分度较强。这类题目重在考查几何推理、数形结合与知识迁移能力，熟练掌握模型可大幅简化思路、缩短解题时间。冲刺阶段需吃透每个模型的特征、结论与辅助线作法，学会在复杂图形中剥离出基础模型，灵活应对变式考法，减少解题失误。2、核心考查内容： 手拉手模型、一线三等角、半角模型、中点四大模型、将军饮马、胡不归基础、折叠模型、瓜豆原理、角平分线模型、子母相似、费马点模型、隐圆模型。 （1）手拉手模型：以共顶点等腰三角形为基础，核心证全等/相似，推导相等线段、等角、夹角定值。常结合旋转出题，求解线段长、角度、最值，多用于几何证明与计算。 （2）一线三等角：同一直线上出现三个相等角，直接判定三角形相似。重点用于线段比例、边长计算、坐标求解，是几何计算高频模型。 （3）半角模型：大角内部包含其一半角度，依托旋转构造全等，实现线段转化。常求线段和差关系、边长、面积，多见于正方形、等腰三角形题型。 （4）中点四大模型：包含倍长中线、斜边中线、中位线、中点连线模型。利用中点性质转化线段、证明平行与相等，结合全等、勾股定理解题。 （5）将军饮马：轴对称求最短路径，分两定一动、两动一定等类型。核心求线段和最小、周长最小，常结合直线、角、三角形出题。 （6）胡不归（基础）：解决PA+k·PB型最值问题，通过构造特殊角转化系数，将折线转为垂线段求最小值，是中档压轴常考题型。 （7）折叠模型：本质为轴对称，利用折叠全等、边角相等、折痕垂直平分对应点连线。结合勾股定理列方程求边长、角度、面积，多有分类讨论。 （8）瓜豆原理：动点轨迹问题，遵循 “定点定角定比例”，判断动点轨迹为直线或圆，求解轨迹长、线段最值、坐标。 （9）角平分线模型：运用角平分线等角、等距性质，搭配平行线构造等腰三角形，结合辅助线证明线段、角度等量关系。 （10）子母相似：共角的两个三角形相似，对应边成比例。多用于直角三角形、斜三角形，计算线段长度、比例关系。 （11）费马点模型：求三角形内一点到三顶点距离和最小值，构造旋转图形转化线段，主要解答距离和最值类压轴题。 （12）隐圆模型：根据定点定长、定弦定角、四点共圆等条件挖掘隐藏圆，借助圆的性质求角度、线段最值、取值范围。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】手拉手模型 识别：共顶点、两个等腰 / 等边 / 正方形，旋转型 解题步骤: 1.找两组等线段：AB=AC，AD=AE 2.证夹角相等：∠BAD=∠CAE 3.证△ABD≌△ACE（SAS） 4.得线段相等、角相等、夹角等于顶角 【典例1】（2026·浙江温州·二模）在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘． 【实践操作1】折法：如图1． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接； 步骤2：将正方形沿折叠，使点翻折至点处，交于点． 【实践操作2】折法：如图2． 步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接． 步骤2：将正方形折叠，使点落在上，得点，得到折痕． 【问题解决】 (1)在实践操作1中，猜想的形状，并说明理由． (2)在实践操作2中，若，求的长． 【题型二】一线三等角 识别：一条直线上三个角相等（多为直角） 解题步骤 1.标三个等角：∠1=∠2=∠3 2.倒角证两组角对应相等 3.得三角形相似 4.列比例式求边长 【典例2】（2026·广东深圳·二模）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． (1)【问题解决】如图①，若点与线段的中点重合，则的度数为 ，线段与线段的位置关系是 ； (2)【问题探究】如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 【题型三】半角模型 识别：正方形 / 等边三角形内部出现半角 解题步骤 1.旋转构造全等（把半角外的三角形转过去） 2.证新三角形与半角三角形全等 3.得出线段和差关系：如 MN=BM+DN 【典例3】（2026·天津·二模）如图，E为正方形的边上一点，连接，把绕点E逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点G．，． （Ⅰ）的长为________； （Ⅱ）若H是的中点，连接，则的长为________． 【题型四】中点四大模型 ①倍长中线 1.延长中线至等长 2.连接造全等三角形 3.转移边与角 ②中位线 1.找双中点 2.得平行且一半 ③直角斜边中线 1.直角 + 斜边中点 2.中线 = 斜边一半 ④三线合一 1.等腰 + 顶角平分线 / 底边中点 / 高 2.三者互通 【典例4】（2026·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【题型五】将军饮马模型 识别：求最短路径和 解题步骤 1.作对称点（同侧变异侧） 2.连接对称点与另一定点 3.交点即为所求点 4.最短距离 = 两点直线距离 【典例5】（2026·江苏盐城·一模）在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．康居学堂数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线C：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的函数表达式为_________． (2)如图2所示，抛物线C：与直线交于A、D两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点P是直线下方抛物线上的一动点，点P的对应点为点Q，连接交直线于点G． ①请判断点是否在翻折后的图象上； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线C：绕点逆时针旋转得到新的抛物线．已知点H的坐标为，如果不垂直于x轴的直线l：与抛物线交于点E、F，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【题型六】胡不归模型 识别：形如 PA+kPB（k<1） 解题步骤 1.以定点为顶点作特殊角，使 sinθ=k 2.将 k⋅PB 转化为垂线段 3.最短路径 = 点到直线垂线段长度 【典例6】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与坐标轴分别交于、两点，直线与轴交于点，且点与点关于轴对称． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点在线段上（点不与、重合），过分别作轴和轴的垂线交轴于点、交直线于点，连接交轴于，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，直线：与直线交于点P，与交于点，点在上，连接、，若，，求的值． 【题型七】折叠模型 解题步骤 1.折叠 = 全等 + 轴对称 2.对应边相等、对应角相等 3.设未知数，在直角三角形中用勾股定理 4.解方程求边长 【典例7】（2026·天津·二模）将一个三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)点为上一动点，过点作直线直线，垂足为，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为．设折叠后重叠部分的面积为，． ①如图②，当折叠后重叠部分为四边形时，与交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【题型八】瓜豆原理 识别：主动点动→从动点跟着动 解题步骤 1.确定定点、主动点、从动点 2.确定旋转角度、缩放比 3.从动点轨迹与主动点同形状 4.最值用：圆心距 ± 半径 【典例8】（2026·湖南株洲·一模）已知四边形是平行四边形，，．点从点出发沿边向点运动（不与、重合），同时点从点出发沿边向点运动，点的运动速度是点的运动速度的倍．连接，，作的外接圆与射线相交于另一个点，连接．          (1)【基础感悟】如图1，若，求的长； (2)【初步探索】如图2，当点运动到线段的中点时，求证：； (3)【深度探索】如图3，随着点的运动，点的位置也在变化，当点与重合时，连接，①求证：；②求的值． 【题型九】角平分线模型 解题步骤 1.见角平分线→向两边作垂线 2.垂线段相等，得全等 3.或用角平分线定理：ACAB​=DCBD​ 【典例9】（2026·江苏泰州·一模）结合图形，解决问题 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【题型十】字母相似 识别：大三角形套小三角形，共角公共边 解题步骤 1.找公共角 + 一组等角 2.证△ABD∽△ACB 3.用公共边平方 = 边 × 边：AB2=BD·BC 【典例10】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）【问题提出】 (1)如图1，在中，D为边上一动点，，，则的最小值为________． 【问题解决】 (2)如图2，某学校为了开展班级足球比赛，在学校操场的一块等边上划分几块区域，方便同学们平时训练．设计如下：用三条围栏，，将分成四部分，其中，为裁判活动区，且，，．为了方便同学们训练，需要使裁判活动区面积最小．请你用所学的知识计算面积的最小值． 【题型十一】费马点模型 识别：求 PA+PB+PC 最小值 解题步骤 1.以一边向外作等边三角形 2.连接外顶点与对顶点 3.线段长度即为最小值 4.交点就是费马点 【典例11】（2026·湖北·二模）如图1，直线a与直线b相交于点O，点P在内部．规定：先以a为对称轴作点P关于a的对称点，再以b为对称轴作点关于b的对称点，从点P到点的变换（两次轴对称）称为“1次T变换”，经过n次T变换的过程为．若经过n次T变换后，点与点P第一次重合，我们就称n为“变换的最优值”． 例如：如图2，当时，点P经过第1次T变换得到点，点经过第2次T变换得到点，点经过第3次T变换得到点，此时点与点P第一次重合，所以为“变换的最优值”． （1）如图3，当时，______为“变换的最优值”． （2）若时，且变换的最优值，则此时为______°． 【题型十二】隐圆模型 解题步骤 1.找定点 + 定长或定角 + 定边 2.确定圆心、半径，画出轨迹圆 3.最值用：点到圆心距离 ± 半径 4.直角隐圆→以斜边为直径 【典例12】（2026·安徽阜阳·模拟预测）我们知道三角形三条高线的交点为三角形的垂心，请进行如下探索： (1)如图1，在中，为的直径，为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (2)如图2，在中，，均为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (3)如图3，在中，，，和交于点F，延长至点P，使，连接，，证明：A，P，B，C四点共圆． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，，现进行如下操作： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点E，交于点F； ②以点A为圆心，长为半径画弧交于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； ④过点G作射线； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，连接得四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，，求证：． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径． (1)求证： ①． ②． (2)，，求的长． 5．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．（2025·山东东营·中考真题） （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）． 9．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 10．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $