2026年中考数学终极冲刺12：图形变换压轴专项（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“图形变换压轴”专题，覆盖平移、旋转、折叠、综合变换四大核心考点，对应中考8至12分压轴题。按变换类型构建知识体系，整合几何图形与函数综合知识，通过“考情分析-核心性质梳理-模型归纳-典例变式训练-中考真题链接”流程，帮助学生突破分类讨论、多解等难点，体现复习系统性与针对性。 亮点在于“模型化+步骤化”教学创新，如旋转变换总结90°直角旋转、半角模型等必考模型，折叠变换提炼“勾股定理列方程”解题步骤，培养学生几何直观与推理能力。设置“基础典例-变式提升-中考真题”三级训练，配合即时反馈，确保高效突破，助力教师精准把控节奏，提升学生综合解题能力。

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺12 图形变换压轴 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 图形变换压轴题是中考数学重难点，多作为解答题最后两道出现，分值 8 至 12 分，区分度突出。考查以平移、轴对称、旋转、折叠四大变换为主，常结合三角形、四边形、圆等几何图形综合命题，部分题型联动函数、动点、最值、存在性问题。试题先设置基础变换计算、角度与线段求解，再延伸至多过程变换、分类讨论、图形探究等拔高设问。命题侧重考查图形变换的核心性质，强调数形结合、几何推理与运算能力，旋转、折叠类题目易伴随多解情况，是主要失分点。这类题型灵活多变，常融合全等、相似、勾股定理、三角函数等知识。备考需熟练掌握各类变换的边角等量关系，总结常见辅助线作法，强化分类讨论意识，规范解题步骤，全面应对复杂综合设问。 2、核心考查内容： 平移变换、旋转变换、折叠变换、综合变换。 （1）平移变换：掌握平移对应线段平行且相等、对应角相等的性质，图形形状、大小不变。常考平移方向、距离计算，坐标变化规律，结合三角形、四边形求解线段、周长、面积。多与动点结合，分析平移过程中图形位置、重叠区域变化，运用全等、勾股定理进行计算与证明。 （2）旋转变换：核心是旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。高频考查旋转角判定、线段与角度推导，常出现旋转构造全等/等腰/直角三角形模型。难点为旋转后多位置分类讨论，结合相似、三角函数、最值问题综合设问。 （3）折叠变换（轴对称）：本质为轴对称，折叠前后图形全等，对应边、角相等，折痕是对称轴。常考角度换算、线段长度计算、阴影面积求解，易结合直角三角形、勾股定理列方程解题。折叠易产生隐含等腰三角形、垂直关系，部分题型需分情况讨论折叠位置。 （4）综合变换：融合两种及以上变换，过程复杂、综合性强。要求依次分析每一步变换的边角、坐标变化，串联全等、相似、特殊四边形、圆等知识点。侧重考查识图推理、分步拆解能力，普遍设置动点、存在性、最值、范围类压轴问题，对分类讨论、数形结合能力要求较高。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】平移变换 1、坐标系平移：点/函数图像平移，坐标加减，求新坐标、解析式、路径长。 2、图形平移求值：平移后线段、角度、面积不变，求线段长、角度、重叠面积。 3、平移存在性：平移后构成等腰、直角、平行四边形，分类讨论。 【典例1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，是一块长方形场地，长，宽，从中间建成的小路宽都为，其余部分种植草坪，则草坪的面积为_______． 【答案】 【分析】将左右两块草坪向中间拼接，拼接后的草坪刚好形成一个长为，宽为的新长方形，据此计算即可． 【详解】解：由图可知，草坪的面积为． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在上，，线段在直线上左右滑动，，当最大时，的长为________． 【答案】 【分析】将沿向左平移得到，连接，当最大时，三点共线，， 根据，可得，可求. 【详解】解：将沿向左平移得到，连接，如图： ∴， ∵在中，， ∴， 当最大时，三点共线，，如图： ∵矩形中，，，，， ，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 【题型二】旋转变换 一、核心必记 1、旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度 、旋转性质（必考） 对应边相等，对应角相等、对应点到旋转中心距离相等、旋转角全部相等、图形形状、大小不变，只变位置。 常见旋转角度 °、°、°、°、°、°（中心对称） 二、大必考模型（直接套结论） 模型：°直角旋转（最常考） 等腰直角三角形绕直角顶点旋转，结论：全等垂直相等，解题口诀：见等腰直角，优先证旋转全等。 模型：°等边三角形旋转 等边△绕顶点旋转°，必出新等边三角形，求线段最值、长度直接用等边边长代换。 模型：半角模型（°°） 正方形内°半角、菱形半角，套路：旋转凑角，拼接线段，结论：线段和差直接相等 三、解题万能步骤（考场直接用） 找旋转中心，标相等线段、确定旋转角，找等角、写出旋转全等（SS为主）、转移边、转移角，把零散线段凑一起、放入直角三角形用勾股/三角函数求值。 【典例2】（2026·山东聊城·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别为的中点，将绕点E顺时针旋转，使点A落在处，点F落在处，连接，，则在旋转过程中，面积的最小值为________． 【答案】 【分析】计算圆心E到直线的距离，再减去圆的半径，即可得到到的最小距离，代入三角形面积公式求解． 【详解】解：由旋转知，， ∴是在以圆心，长为半径的圆上运动． ∵矩形中，，，，是中点，是中点， ∴，． ∴，即圆半径​． ∵中，， ∴，其中h是到直线的距离． ∵圆心到直线的距离等于矩形的边长， ∴​， ∴． 【变式2】（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 【答案】或 【分析】连接，设，根据矩形性质和旋转性质可得，，进而得出，利用勾股定理表示出和，结合共线及推导出，利用角度转换运算可得，再根据三角函数建立方程求解即可． 【详解】解：连接，如图： 四边形是矩形，，，是的中点， ，，，， 由旋转的性质可得，，， ，，， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 点在边上 ， 在中，， 在中，， ， 点落在上， 是的中点， 在中，， 在中，， 由旋转性质可知， ， 是的中点， ，即， 点在上， ， ， ， ， ， 即， 解得，． 【题型三】折叠变换 1、矩形 / 正方形折叠：折叠出全等，设未知数，勾股定理列方程求边长。 2、三角形折叠：折叠后角度、边长转化，结合直角、相似计算。 3、折叠+最值：折叠后动点路径最短，结合将军饮马、隐圆。 4、折叠+坐标：坐标系中折叠求点坐标、函数解析式。 【典例3】（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】利用点关于x轴对称的坐标特征，求出系数、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点坐标为，直线与关于x轴对称， ∴将原直线的替换为即可得到对称直线的方程，即，整理得， ∴，， ∴． 【变式3】（2026·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，当，，在同一条直线上时，的值最小，求得的长即可． 【详解】解：取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一条直线上时，的值最小， 点为的中点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ． 的最小值为：． 【题型四】综合变换 1、平移+旋转：先平移再旋转，双重变换求坐标、线段长。 2、旋转+折叠：动态几何压轴，全等+勾股+相似混合使用。 3、函数+变换：二次函数与旋转/折叠结合，求坐标、面积、存在性。 【典例4】（2026·广东肇庆·二模）【问题情境】 在中，，D为的中点．过点D作于点E，已知． (1)如图1，连接，求的周长； (2)【拓展延伸】如图2，将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点H，G，直线与直线交于点M（点M不与点A重合），与直线交于点N． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②在绕点D旋转的过程中，当直线时，求的长． 【答案】(1) (2)①，详见解析；②的长为3或13 【分析】（1）根据中位线可知的长度，再根据勾股定理即可得，进而根据周长即可求解； （2）①证明，即可得到对应关系；②当点M在线段上时，过点A作于点I，交直线于点K，根据等面积法可知的长度，证明，根据相似三角形的性质即可求解；当点M在直线上且位于点C右边时，过点A作．于点J，延长交于点K，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，，D为的中点， ． ， ∴是的中位线， ， ， ， 的周长； （2）解：①，理由如下： 如图1，连接， 图1 ∵将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点H，G， ， 在和中， ， ． ， ； ②如图，当点M在线段上时，过点A作于点I，交直线于点K，则四边形是矩形， ． ， ∴由勾股定理，得． ，， ， ， ． ， ， ， ，即，解得； 如图，当点M在直线上且位于点C右边时，过点A作．于点J，延长交于点K，则四边形是矩形， 同理， ， ， ， ． ， ， ， ，即，解得． 综上所述，的长为3或13． 【变式4】（2026·浙江温州·二模）探究角度与线段比例之间的关系 如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． 【图形认识】 (1)求证：． 【引元关联】 (2)设，求关于的函数表达式． 【特例计算】 (3)如图2，当时，分别求出和的值． 【规律研究】 (4)已知，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， (4) 【分析】（1）根据，得出，根据相似三角形的性质，结合已知条件即可得证； （2）根据，得出，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求解； （3）根据余弦的定义得出，则，则，得出，在和中，，得出方程，解方程，即可求解； （4）作于点，在和中，，解方程，得出，记，根据得出，进而得出，最后求得函数值的范围，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴，． ∵， ∴ ∴． （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得． 在和中，， ∴， ∵，解得． （4）作于点， 则，， 在和中， ， ∴， ∴． 记， ∵， ∴， ∴或（舍）． ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 2．（2025·四川雅安·中考真题）某中学八年级（1）班同学在学习了《利用轴对称设计图案》一课后，一小组设计了如图所示的轴对称图案，某同学大胆提议，从a，b，c，d四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形，则应选取的方格是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：如图，当把a方格填涂上阴影，填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 5．（2025·山东德州·中考真题）某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键． 通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项． 【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A； 由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D； 由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合． 故选：C． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，掌握尺规作图是解题的关键． 由作图可得，，根据垂直平分线的判定即可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论③；由作图可得，得到，根据特殊角的三角函数值即可判断结论⑤，由已知条件无法得到是等边三角形，四边形是菱形，即可判断①④错误． 【详解】解：由作图可得，， ∴垂直平分，故②正确． ∵，， ∴平分，故③正确． 由作图可得， ∴， ∴，故⑤正确． ∵，但无法判断， ∴无法得到是等边三角形，故①错误． ∵，，但无法得到， ∴无法证明四边形是菱形，故④错误． 综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个． 故选：B 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 9．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键． 首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论． 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查矩形的性质，旋转的性质，全等、相似三角形的判定与性质，找到全等三角形和相似三角形建立线段之间的等量关系是解题关键． 先通过矩形的性质求出的长，再取与的交点为M，通过旋转和矩形的对角线相等且互相平分，证明，再利用等边对等角和对顶角，三角形内角和，推出，通过已知条件得到相似比，建立线段之间的等量关系，最后列方程求出对应的值即可． 【详解】解：如图，取与的交点为M， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是矩形的对角线，的交点， ∴， ∴， 由旋转的性质，可知，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 解得， ∴， ， ∴的周长为， 故选：B． 11．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解决本题的关键． 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 12．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 13．（2016·山东菏泽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质， 根据平移变换的规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，线段向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∴， ∴， 故答案为：2． 14．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________． 【答案】/ 【分析】过点作，交的延长线于，过点作于，可证得，进而证得四边形是正方形，再证得，求得，利用三角函数求得，即可求得答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于，过点作于，如图， ∵将沿翻折，点恰好与点重合， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 则点到直线的距离为． 故答案为：． 15．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 16．（2023·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 【答案】(1)的解析式为；的解析式为； (2)①；②的解析式为，图象见解析； (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求出的解析式，然后根据直线平移的规律：上加下减即可求出直线的解析式； （2）①根据题意可得：点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为，再得出点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果； ②由①的结果可得直线的解析式，进而可画出函数图象； （3）先根据题意得出点A，B，C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再把点C的坐标代入整理即可得出结果． 【详解】（1）设的解析式为，把、代入，得 ，解得：， ∴的解析式为； 将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式为； （2）①∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次， ∴点P按照乙方式移动了次， ∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为； ∴点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②由于， ∴直线的解析式为； 函数图象如图所示：    （3）∵点的横坐标依次为，且分别在直线上， ∴， 设直线的解析式为， 把A、B两点坐标代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵A，B，C三点始终在一条直线上， ∴， 整理得：； 即a，b，c之间的关系式为：． 17．（2015·福建龙岩·中考真题）下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形． （1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长； （2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换； （3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形． 【答案】（1）；（2）答案见试题解析，②③都属于平移；（3）答案见试题解析． 【详解】试题分析：（1）根据剪拼前后图形的面积相等，得出拼成的正方形的边长； （2）利用平移拼出正方形； （3）在六边形图形上剪拼成的正方形即可． 试题解析：（1）根据剪拼前后图形的面积相等，得出拼成的正方形的边长==， （2）如图，②③都属于平移， （3）如图乙： 考点：1．图形的剪拼；2．综合题． 18．（2023·四川德阳·中考真题）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．    (1)求的值； (2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)正方形，见解析 【分析】（1）确定旋转角，结合，，计算即可． （2）先证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证明即可． 【详解】（1）根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， 故． （2）根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，      ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 19．（2021·甘肃兰州·中考真题）在中，，，，将绕点顺时针旋转，角的两边分别交射线于，两点，为上一点，连接，且（当点，重合时，点，也重合）．设，两点间的距离为，，两点间的距离为． 小刚根据学习函数的经验，对因变量随着自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小刚的探究过程，请补充完整． （1）列表：下表的已知数据是根据，两点间的距离进行取点，画图，测量分别得到了与的几组对应值； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 请你通过计算补全表格：______； （2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图像； （3）探究性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势； （4）解决问题：当时，的长度大约是______．（结果保留两位小数） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）随着自变量的不断增大，函数不断减小；（4） 【分析】（1）根据题意画出图形，证明，根据相似三角形性质可得结果； （2）描点连线画出图形即可； （3）根据（2）画出图像判断增减性即可； （4）根据，可得，画出与（2）中图像交点即为所求． 【详解】解：（1）当时，即两点之间的距离为， 旋转至如图所示时： ∴此时点和点C重合， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）函数图像如下图： ； （3）根据图像可知：随着自变量的不断增大，函数不断减小； （4）∵， ∴， 如图：与（2）中函数图像交点即为所求 ∴， 即的长度大约是：cm， 故答案为：． 20．（2019·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知三个顶点的坐标分别为，， （1）请在网格中，画出线段关于原点对称的线段； （2）请在网格中，过点画一条直线，将分成面积相等的两部分，与线段相交于点，写出点的坐标； （3）若另有一点，连接，则　 　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析，；（3）1. 【分析】(1)分别作出点B、C关于原点对称的点，然后连接即可； (2)根据网格特点，找到AB的中点D，作直线CD，根据点D的位置写出坐标即可； (3)连接BP，证明△BPC是等腰直角三角形，继而根据正切的定义进行求解即可. 【详解】(1)如图所示，线段B1C1即为所求作的； (2)如图所示，D(-1，-4)； (3)连接BP，则有BP2=32+12=10， BC2=32+12=10，BC2=42+22=20， BP2+BC2=PC2， ∴△BPC是等腰直角三角形，∠PBC=90°， ∴∠BCP=45°， ∴tan∠BCP=1， 故答案为1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺12 图形变换压轴 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 图形变换压轴题是中考数学重难点，多作为解答题最后两道出现，分值 8 至 12 分，区分度突出。考查以平移、轴对称、旋转、折叠四大变换为主，常结合三角形、四边形、圆等几何图形综合命题，部分题型联动函数、动点、最值、存在性问题。试题先设置基础变换计算、角度与线段求解，再延伸至多过程变换、分类讨论、图形探究等拔高设问。命题侧重考查图形变换的核心性质，强调数形结合、几何推理与运算能力，旋转、折叠类题目易伴随多解情况，是主要失分点。这类题型灵活多变，常融合全等、相似、勾股定理、三角函数等知识。备考需熟练掌握各类变换的边角等量关系，总结常见辅助线作法，强化分类讨论意识，规范解题步骤，全面应对复杂综合设问。 2、核心考查内容： 平移变换、旋转变换、折叠变换、综合变换。 （1）平移变换：掌握平移对应线段平行且相等、对应角相等的性质，图形形状、大小不变。常考平移方向、距离计算，坐标变化规律，结合三角形、四边形求解线段、周长、面积。多与动点结合，分析平移过程中图形位置、重叠区域变化，运用全等、勾股定理进行计算与证明。 （2）旋转变换：核心是旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。高频考查旋转角判定、线段与角度推导，常出现旋转构造全等/等腰/直角三角形模型。难点为旋转后多位置分类讨论，结合相似、三角函数、最值问题综合设问。 （3）折叠变换（轴对称）：本质为轴对称，折叠前后图形全等，对应边、角相等，折痕是对称轴。常考角度换算、线段长度计算、阴影面积求解，易结合直角三角形、勾股定理列方程解题。折叠易产生隐含等腰三角形、垂直关系，部分题型需分情况讨论折叠位置。 （4）综合变换：融合两种及以上变换，过程复杂、综合性强。要求依次分析每一步变换的边角、坐标变化，串联全等、相似、特殊四边形、圆等知识点。侧重考查识图推理、分步拆解能力，普遍设置动点、存在性、最值、范围类压轴问题，对分类讨论、数形结合能力要求较高。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】平移变换 1、坐标系平移：点/函数图像平移，坐标加减，求新坐标、解析式、路径长。 2、图形平移求值：平移后线段、角度、面积不变，求线段长、角度、重叠面积。 3、平移存在性：平移后构成等腰、直角、平行四边形，分类讨论。 【典例1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，是一块长方形场地，长，宽，从中间建成的小路宽都为，其余部分种植草坪，则草坪的面积为_______． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在上，，线段在直线上左右滑动，，当最大时，的长为________． 【题型二】旋转变换 一、核心必记 1、旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度 、旋转性质（必考） 对应边相等，对应角相等、对应点到旋转中心距离相等、旋转角全部相等、图形形状、大小不变，只变位置。 常见旋转角度 °、°、°、°、°、°（中心对称） 二、大必考模型（直接套结论） 模型：°直角旋转（最常考） 等腰直角三角形绕直角顶点旋转，结论：全等垂直相等，解题口诀：见等腰直角，优先证旋转全等。 模型：°等边三角形旋转 等边△绕顶点旋转°，必出新等边三角形，求线段最值、长度直接用等边边长代换。 模型：半角模型（°°） 正方形内°半角、菱形半角，套路：旋转凑角，拼接线段，结论：线段和差直接相等 三、解题万能步骤（考场直接用） 找旋转中心，标相等线段、确定旋转角，找等角、写出旋转全等（SS为主）、转移边、转移角，把零散线段凑一起、放入直角三角形用勾股/三角函数求值。 【典例2】（2026·山东聊城·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别为的中点，将绕点E顺时针旋转，使点A落在处，点F落在处，连接，，则在旋转过程中，面积的最小值为________． 【变式2】（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，，，是的中点．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与边交于点，连结．当点落在上时，__________． 【题型三】折叠变换 1、矩形 / 正方形折叠：折叠出全等，设未知数，勾股定理列方程求边长。 2、三角形折叠：折叠后角度、边长转化，结合直角、相似计算。 3、折叠+最值：折叠后动点路径最短，结合将军饮马、隐圆。 4、折叠+坐标：坐标系中折叠求点坐标、函数解析式。 【典例3】（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 【变式3】（2026·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【题型四】综合变换 1、平移+旋转：先平移再旋转，双重变换求坐标、线段长。 2、旋转+折叠：动态几何压轴，全等+勾股+相似混合使用。 3、函数+变换：二次函数与旋转/折叠结合，求坐标、面积、存在性。 【典例4】（2026·广东肇庆·二模）【问题情境】 在中，，D为的中点．过点D作于点E，已知． (1)如图1，连接，求的周长； (2)【拓展延伸】如图2，将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点H，G，直线与直线交于点M（点M不与点A重合），与直线交于点N． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②在绕点D旋转的过程中，当直线时，求的长． 【变式4】（2026·浙江温州·二模）探究角度与线段比例之间的关系 如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． 【图形认识】 (1)求证：． 【引元关联】 (2)设，求关于的函数表达式． 【特例计算】 (3)如图2，当时，分别求出和的值． 【规律研究】 (4)已知，求的取值范围． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川雅安·中考真题）某中学八年级（1）班同学在学习了《利用轴对称设计图案》一课后，一小组设计了如图所示的轴对称图案，某同学大胆提议，从a，b，c，d四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形，则应选取的方格是（   ） A．a B．b C．c D．d 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 4．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东德州·中考真题）某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A． B． C． D． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 11．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 12．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 13．（2016·山东菏泽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 14．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________． 15．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 16．（2023·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式：从点移动到点称为一次乙方式． 例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．    (1)设直线经过上例中的点，求的解析式；并直接写出将向上平移9个单位长度得到的直线的解析式； (2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为，在图中直接画出的图象； (3)在（1）和（2）中的直线上分别有一个动点，横坐标依次为，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 17．（2015·福建龙岩·中考真题）下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形． （1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长； （2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换； （3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形． 18．（2023·四川德阳·中考真题）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．    (1)求的值； (2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 19．（2021·甘肃兰州·中考真题）在中，，，，将绕点顺时针旋转，角的两边分别交射线于，两点，为上一点，连接，且（当点，重合时，点，也重合）．设，两点间的距离为，，两点间的距离为． 小刚根据学习函数的经验，对因变量随着自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小刚的探究过程，请补充完整． （1）列表：下表的已知数据是根据，两点间的距离进行取点，画图，测量分别得到了与的几组对应值； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 请你通过计算补全表格：______； （2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图像； （3）探究性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势； （4）解决问题：当时，的长度大约是______．（结果保留两位小数） 20．（2019·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知三个顶点的坐标分别为，， （1）请在网格中，画出线段关于原点对称的线段； （2）请在网格中，过点画一条直线，将分成面积相等的两部分，与线段相交于点，写出点的坐标； （3）若另有一点，连接，则　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $