第7章 微专题16 与函数相关的图形变换问题-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

微专题十六与函数相关的图形变换问题 类型一平移变换 1.（2024·连云港)如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+1(k≠0)的图象与反比例函 数y=6的图象交于点A,B,与y轴交于点C,点A的横坐标为2. (1)求k的值 6 (2)利用图象直接写出x+1<时x的取值范围. (3)如图2，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数y=6(心0)的图象交于点D,与)轴交于 点E,再将函数y=6(x>0)的图象沿AB平移，使点A,D分别平移到点C,F处，求图中阴影部分的 面积. 图1 图2 类型二轴对称变换 2.(2024·广东)【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=ax(a>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB),以 线段BD为对角线作矩形ABCD,AD,作轴反比例函数y=的图象经过点A 【构建联系】 (1)求证：函数y=的图象必经过点C (2)如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为 (1,2)时，求k的值 182 【深入探究】 (3)如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E,A重合时，连接AC交BD于点 P.以点O为圆心，AC长为半径作⊙O.若OP=32,当⊙0与△ABC的边有交点时，求k的取值 范围 (E) B 0 图 图2 图3 类型三旋转变换 3.（2024·广州)已知抛物线G:y=ax2-6ax-a3+2a2+1(a>0)过点A(x1,2)和点B(x2,2),直线1：y= mx+n过点C(3,1),交线段AB于点D,记△CDA的周长为C,△CDB的周长为C2,且C=C2+2. (1)求抛物线G的对称轴 (2)求m的值 (3)直线l绕，点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t<45)得到直线'，当1'∥AB时，直线 '交抛物线G于E,F两点 ①求t的值. ②设△AEF的面积为S,若对于任意的a>0,均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解 析式. 183,∴.△AEC,是等边三角形 ∴.EC,=AE=2,.EC=EC1=2,.BC=2+1=3. 6号19 微专题十五 半角模型 1.202 7 2.证明：，四边形ABCD为正方形，∠EAF=45°， ∴.AD=AB,∠DAF+∠BAE=45°. 如图，将△ADF绕点A顺时针旋转 90°，使AD与AB重合，得到△ABG. 45 由正方形及旋转的性质，得DF=BG, AF=AG,∠DAF=∠BAG,∠ADF= ∠ABG=∠ABE=90°， .·.∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°=∠FAE ∠ABG+∠ABE=∠GBE=180°， G,B,E三点共线 (AG=AF 在△AGE和△AFE中， ∠GAE=∠FAE AE=AE. .∴.△AGE≌△AFE(SAS), ∴.∠GEA=∠FEA,即EA平分∠BEF 3.解：【问题情境】AB=AC,∠BAC=90°， .如图1，将△ABD绕点A逆时针旋 转90°得到△ACD',连接ED' D 由旋转的性质，得∠BAD=∠CAD', ∠B=∠ACD',AD=AD',BD=CD. D C(B) 图1 ∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴.∠BAD+∠EAC=45°. ∠BAD=∠CAD', .∴.∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°， .∠DAE=∠D'AE. 在△ADE和△ADE中，AD=AD',∠DAE=∠D'AE,AE=AE, .△ADE≌△AD'E(SAS),DE=D'E. 又：∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°，CD'= BD=3,CE=4, ,∴.在Rt△ECD'中，EC2+CD'2=ED'2 .ED'=√42+32=5，DE=D'E=5. 【知识迁移】DN2+BM=MN2. 证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠ABE=∠BAD=∠ADC=90° 如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得 到△ADF,过点D作DH⊥BD交AF'于点 H,连接NH. B E 由旋转的性质，得AE=AF',BE=DF'、 图2 ∠BAE=∠DAF',∠ADF'=∠ABE=90°， ∠ADF+∠ADF=180°，.F,D,F'三点共线. 由题意，得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE, .EF=DF+BE=DF+DF'=F'F 又.AE=AF',AF=AF, ∴.△AEF≌△AF'F(SSS),.∠EAF=∠F'AF. .·BD为正方形ABCD的对角线， ∴.∠ABD=∠ADB=45°. ,·DH⊥BD,∴.∠ADH=∠HDB-∠ADB=45°=∠ABM 又.'AB=AD,∠BAM=∠DAH, 3 ∴.△ABM≌△ADH(ASA),,AM=AH,BM=DH. 又.·∠MAN=∠HAN,AN=AN, ..△AMN≌△AHN(SAS),.MN=HN 在Rt△HND中，DN2+DH=-HN2, .DN2+BM2=MN2. 【拓展应用】2BE2+2DF2=EF 4.解：.'AB=AC,∠BAC=120° .如图，把△ACE绕点A顺时针旋转 120°得到△ABP,连接PD, .AP=AE,PB=CE=16,∠PBA=∠C,B ∠EAP=∠BAC=120°. .AB=AC,∠BAC=120°， ..∠ABD=∠C=∠ABP=30°， .∠ABD+∠ABP=60°，即∠PBD=60 :∠DAE=60°， ∴.∠PAD=∠EAP-∠DAE=120°-60°=60°=∠DAE. (AD=AD, 在△AED和△APD中，{∠EAD=∠PAD, AE=AP, ..△AED≌△APD(SAS),.ED=PD 过点D作DH⊥BP,垂足为点H ∠PBD=60°，.∠HDB=30°， BM=2BD=2×10=5, .HD=√BD-BH=√102-5=53， HP=BP-BH=16-5=11, .PD=√HP2+HD2=√/112+(53)2=14， .DE=PD=14,BC=BD+DE+EC=10+14+16=40. 5.解：(1)MN=BM+CN.理由如下： A .'BD=CD,∠BDC=120°， ·.如图，将△MDB绕点D顺时针旋转 120°至△HDC,则△HDC兰△MDB, .DH=DM,CH=BM,∠HDC=∠MDB, ∠HCD=∠MBD. 易得∠MBD=∠NCD=90°， .∠HCD+∠NCD=180°，.N,C,H三点共线。 又.·∠BDC=120°，∠MDN=60°， .∠MDB+∠NDC=60°，.∠HDC+∠NDC=60°=∠HDN, .∠HDN=∠MDN=60°. 又：DH=DM,DN=DN,∴.△HDW≌△MDN(SAS), .MN=HN=CH+CN=BM+CN. (2)·△ABC是等边三角形，.AB=AC=BC, .CAARC =AB+AC+BC=3AB, CAAMN=AM+MN+AN AB-BM+MN+AC-CN 2AB+MN- (BM+CN). 由(1)可得MN=BM+CN,∴.CAAw=2AB, C△AwN2AB2 六CAc3MB3 微专题十六与函数相关的图形变换问题 1解：(1)：点A在y=6的图象上， 当x=2时=日=3423》. 将点A(2,3)代入y=kx+1,得k=1. (2)x的取值范围为x<-3或0<x<2. [提示]由(1)知y=x+1, (y=x+1, 联立6解得3或 (y=-2 B(-3,-2). 由图象，可得x+1<6时，x的取值范围为x<-3或0<<2 (3)由(1)，知y=x+1, .当x=0时，y=1,C(0,1) 6 将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数y=D(x> 0)的图象交于点D,与y轴交于点E, ..CE=4,直线DE的解析式为y=x-3 设直线DE与x轴交于点H. 在y=x-3中，当x=0时，y=-3,当y=0时，x=3, .H(3,0),E(0,-3), ∴.OH=OE=3,∴.∠FEC=45 如图，过点C作CG⊥DE,垂足为点G, cc 又：A(2,3),C(0,1),.AC=22 连接AD,CF,如图. 由平移的性质，得ACDF,AC=DF, .四边形ACFD为平行四边形， .阴影部分的面积等于口ACFD的面积， ∴.S匙=22×22=8. 2.(1)证明：设B(m,am),则Am,m ADx轴，四边形ABCD为矩形， D点的纵坐标为女，点C的纵坐标为am m 将y=代入y=,得 =ax, m am k kk入 ,x= Dmnc(am片 、am 将x=代人y=人，得y=am, am 函数y=的图象必经过点C (2)解：，：点B(1,2)在直线y=ax上， ∴.a=2,y=2x B(1,2),.A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2. :函数)=女的图象经过点A,C。 c(会241，D(5D=k-2,Bc=-1 :把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E, BE=BC=今1，DE=DC=k-2,∠BED=LBCD=90 DE_k-2=2 BE k 21 如图1，过点D作DH⊥y轴于点H,过点B 作BF⊥y轴于点F. ADx轴，.H,A,D三点共线，同理，F B,C三点共线. ,'∠BED=∠BFE=90°， .∠HED+∠BEF=90°， 图 ∠BEF+∠EBF=90°. .∠HED=∠EBF. .·∠DHE=∠EFB=90°， A△R得-得-袋2 B1,2).台B=1,0m= 、 k .HE=2,EF 4HF=2+ 由图1易知那=02+号6-26- 3 (3)解：把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E,点 E,A重合， .∠ABP=∠DBC=45°，AC⊥BD, .四边形ABCD为正方形， AP ∴.AB=BC=CD=DA= sim 45=AP,AP=PC=BP=PD= 2AC,AD//Bc/轴， .直线y=x为第一、三象限的角平分线，∴y=x 当⊙0过点B时，如图2所示，过点D作DH∥x轴交y轴于 点H. ADx轴，.H,A,D三点共线。 (E) 以点O为圆心，AC长为半径作 ⊙0,0P=32, .OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP= 0 3AP=32, 图2 .AP=√2， .AB=AD=2AP=2,BD=2AP=22,BO=AC=2AP=22. AB轴， 、△DHO~△DAB,AB-AD-BD' HO DH DO H0DH22+2W2 ·2222 .H0=HD=4,.HA=HD-DA=4-2=2, .A(2,4),.k=2×4=8. 当⊙0过点A时，根据A,C关于直线OD对称，知⊙0必过 点C,如图3所示，连接AO,C0,过点D作DH∥x轴交y轴 于点H. A 图3 :A0=0C=AC,.△A0C为等边三角形，.∠A0C=60°. 0PLAC,LA0P=2X60°=30， AP=m30x0P=5X32=6=PD. 3 ..AC=BD=2AP=2/6,AB=AD=2AP=23,0D=OP+PD= 3√2+√6. AB小y轴，.△DHO∽△DAB, 2 ,H0DHD0,H0_DH_32+√6 AB AD BD…232526 .HO=HD=3+√3，.HA=HD-DA=3+√3-2V3=3-√3 .A(3-√3,3+√3)，.k=(3-√3)×(3+√3)=6， 当⊙0与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8. 3.解：(1)抛物线G:y=ax2-6ax-a3+2a2+1(a>0), =3 七抛物线G的对称轴为直线x三-，加 (2)直线1：y=m2x+n过点C(3,1),.3m2+n=1. 如图1. 直线1：y=m'x+n过点C(3,1),交线 段AB于点D,记△CDA的周长为C1, △CDB的周长为C2,且C,=C2+2, 点A在点B的左边，AD+AC+CD= CD+BC+BD+2. 图1 由(1)知，点C在抛物线的对称轴上， ∴.CA=CB,∴AD=BD+2. 设D(p,2), 六任=23，解得p=4,D4,2》. p-x1=x2P+2, 点D在直线1上，.4m2+n=2, 0m2=1,解得m=±. (3)①如图2，当'∥AB时，与抛物线 交于点E,F,'轴. 由(2)知，直线1：y=x+n, .∴.∠DCF=45° .0≤t<45, ∴.31=45，解得t=15. 图2 ②设E(x3,1),F(x4,1), Sar.(7)R 当y=1时，ax2-6ax-a3+2a2+1=1, x2-6x-a2+2a=0, 则x3+x4=6,x3x4=-a2+2a, .EF=x3-x4=(x3+x4)2-4x3x4 =/36-4(-a2+2a) =/4a2-8a+36 =/4(a-1)2+32 ,4>0,∴.当a=1时，EF有最小值，EF的最小值为42， 六此时5ag有最小值，最小值为SAg=之×42=22， 对于任意的a>0,均有S≥k成立， k的最大值为22， 此时抛物线G的解析式为y=x2-6x+2. 第八章统计与概率 第一节统计 必备知识·夯根基 ①全体②个体③（x+,++)@t+ f+f+…+f ⑤不变⑥最多⑦多⑧最大⑨最小⑩大①不变 121B360°41 核心考点·分类练 1.D2.D3.D4.A 3 3解，1-98+8=0分1,88517 3 3 90(分). ·x甲=x乙∴.不能以此确定两人的名次」 (2)m-98x4+84x3+88x3 90.8(分)， 4+3+3 88×4+85×3+97×3 乙= =89.8(分). 4+3+3 .…90.8>89.8. .甲排第一，乙排第二 (3)将内容、能力和效果三项得分按3：4：3的比例确定各 人的测试成绩，确定录用者，因为能力比内容更重要.（答案 不唯一，合理即可) 6.C7.A8.甲9.10810.1500 11.解：(1)根据题意，得a=24-4-2-9-2=7. 补全频数分布直方图如图。 乙基地水体H值数据的频数分布直方图 频数 0 8 6 3° 07.007307.607.908.208.50pi值 (2)7.677.79 (3)甲基地水体的pH值更稳定.理由如下： 甲基地水体pH值的方差为0.10，乙基地水体pH值的 方差为0.13,0.10<0.13， .甲基地水体的pH值更稳定 (4)甲基地水体pH值的日变化量为8.26-7.27=0.99， 乙基地水体pH值的日变化量为8.21-7.11=1.1,0.5< 0.99<1,1.1>1. ∴.该日两基地的pH值甲符合要求，乙不符合要求. 12.解：(1)抽取的总人数为5÷10%=50，而成绩在80≤x< 90的有20人， .成绩在70≤x<80的有50-20-5-10=15（人）. 补全频数分布直方图如图. 模型设计成绩的频数分布直方图 人数（频数） 25 20 20 15 15 10 10 5 0 60708090100成绩/分 (2)83 (3)估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的 人数为1000x20+10 50 600. /(4)甲的成绩为94×+90x2 -=92.4(分)， +95x2 乙的成绩为90×3 =92(分)」 …92<92.4,.….甲的综合成绩更高. 当堂达标检测 1.A2.A3.D4.甲5.16.> 7.(1)12.5(2)<(3)乙、丁、甲、丙