2026年中考数学终极冲刺11：圆综合专项（全国通用）

该初中数学讲义聚焦中考圆综合专题，覆盖圆+直角三角形、菱形、折叠、角平分线四大核心题型，通过考情分析、定理梳理、方法指导及真题训练，构建“基础证明-综合计算”复习体系，助力学生突破切线证明、线段求值等难点。 亮点在于“模型化+分层训练”策略，如切线证明分“有切点连半径证垂直”“无切点作垂线证半径”模板，结合5大角度推导定理培养推理意识，典例、变式与中考真题联动，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生几何直观与解题效率。

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺11 圆综合 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 圆综合是中考数学压轴高频题型，各地中考普遍以解答题形式考查，分值 8–10 分，多位于试卷解答题后三道，区分度较强。命题常结合三角形、四边形、相似、勾股定理、三角函数、方程等知识综合设问，分为基础证明与综合计算两大层次。基础问以切线判定与性质、圆周角、圆心角、弧弦关系、垂径定理为主；拔高问侧重线段求值、角度计算、面积求解、动点与最值问题。题型固定、模型特征明显，常出现切线模型、圆与相似、圆与解直角三角形组合考法。该题兼顾几何推理、逻辑证明与运算能力，步骤书写、定理运用规范性要求高。圆综合是中考拉分重点，冲刺阶段需熟记圆相关定理，归纳常见辅助线作法，熟练拆解复合几何模型，强化证明思路与计算训练。 2、核心考查内容： 圆+直角三角形、圆+菱形、圆+折叠、圆+角平分线。 1、圆+直角三角形：活用直径所对圆周角为直角、切线与半径垂直；结合勾股定理、锐角三角函数、相似三角形，求解线段、角度与面积。 2、圆+菱形：结合菱形边、角、对角线的特有性质，联动圆的弦、弧、圆心角及切线定理，推导等量线段、相等角度，完成证明与计算。 3、圆+折叠：利用折叠全等、边角不变、图形对称的特点，结合圆的对称性，分析重合线段与等角关系，求解线段长度、动点相关问题。 4、圆+角平分线：借助角平分线生成等角，搭配圆周角、弦切角定理，判定等弧、等弦及等腰三角形，完成几何推理与求值。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】圆+直角三角形 一、切线证明 有切点型：已知点在圆上 模板步骤： （1）连接圆心与切点（半径） （2）证明这条半径与直线垂直（90°） （3）由 “半径⊥直线” 得出：直线是圆的切线 推导垂直常用方法： 1.角互余：两锐角相加 = 90° 2.全等 / 等腰：推出角相等，转化为直角 3.平行线：已知某线垂直，利用平行传递垂直 4.直径所对圆周角 = 90°，倒角得垂直 二、无切点型：点是否在圆上未知 模板步骤： （1）过圆心向直线作垂线段 （2）证明这条垂线段长度 = 半径 （3）得出直线是圆的切线 三、角度推导（圆综合必用 5 大定理） 1、同弧所对圆周角相等:同一段弧对应的角相等，直接倒角。 2、圆周角 = ½ 圆心角:求角度倍数关系最常用。 3、直径所对圆周角 = 90°:见直径必想直角，是构造直角三角形关键。 4、圆内接四边形对角互补:外角 = 内对角，高频用于相似倒角。 5、切线性质：切线⊥过切点的半径:只要有切线，直接写垂直。 四、长度计算（万能解题套路） 圆综合求线段长，90% 就这 3 种组合： 1、勾股定理 出现直角、切线、直径，优先构造直角三角形设未知数 → 列勾股方程 → 求解 2、相似三角形（高频：子母相似 / A 字 / 8 字） 先倒角相等 → 证相似 → 列比例式对应边对应边对应边对应边 3、三角函数（sin、cos、tan） 直角三角形中，已知一边一角，直接用比求边长。 五、阴影面积计算（固定方法） （1）割补法（最常用）阴影面积 = 整体面积 − 空白面积 （2）扇形面积公式​ （3）弓形面积弓形 = 扇形 − 三角形 【典例1】（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，为的直径，为的弦，过上一点D作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：是的平分线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）连接，证明得，由得，等量代换得，可证是的平分线； （2）连接，证明可得，由勾股定理得，进而可求出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式1】（2026·河北邯郸·二模）如图，是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的三等分点，过点D作半圆O的切线，与射线交于点E，连接． (1)直接写出射线与直线的位置关系________． (2)若，求的长； (3)若弦、弦与所围成的封闭图形的面积是，则求半圆O的半径长； 【答案】(1)垂直 (2) (3)4 【分析】（1）连接，根据“弧，弦，圆心角的关系”可得，进而得是等边三角形，然后证明，最后根据切线的性质得出答案； （2）由条件可知，再根据直角三角形的性质得，然后根据垂径定理得，接下来解直角三角形得出长，最后根据弧长公式得出答案； （3）先根据“角角边”证明，可得封闭图形的面积，再根据扇形的面积公式可得，求出答案即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点C，D是半圆O上的三等分点， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 由切线的性质得， ∴， 所以直线与直线的位置关系是垂直； （2）解：由条件可知． ∵， ∴． ∵， ∴，且． 在中，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴封闭图形的面积， ∴， 解得， 所以半圆O的半径是4． 【题型二】圆+菱形 1、菱形基础性质：四条边相等，对边平行；对角相等、邻角互补；对角线互相垂直平分，且平分一组对角。 2、圆的核心定理：同圆/等圆中，等弦对等弧、对等圆心角与圆周角；切线垂直于过切点的半径；圆内平行弦、等弦相关性质。 3、结合考点与常见结论 · （1）菱形顶点在圆上（圆内接菱形）：圆内接菱形必为正方形，对角互补结合菱形性质可推导直角。 · （2）菱形一边为圆的弦：利用边长相等，得到圆中多条等弦，进而推出等弧、等角。 · （3）菱形对角线与圆结合：对角线互相垂直，常构造直角，搭配垂径定理、勾股定理计算线段。 · （4）圆与菱形相切：结合切线性质、平行线性质，推导角度相等、线段等量关系。 4、常用解题思路 借助菱形平行、等边、等角特征，转化为圆的弦、弧、角关系；结合全等、相似、勾股定理完成证明与长度计算。 【典例2】（2026·广西梧州·二模）如图，在中，，点是的中点，点是上一点，且，，三点均在上，，是的两条切线，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线长定理可得，，进而证明，利用直角三角形斜边中线的性质得，据此证明即可； （2）连接交于点，解可得和的长，利用中位线定理可得的长，最后利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是的两条切线， ∴， ∴垂直平分（三线合一）， ∴． ∵在中，点是的中点， ∴ ． ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：连接交于点， ∵在中，，， ∴． ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴ ， ∴． ∴． 【变式2】（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且与交于点E． (1)求证：平分； (2)若， ①求的长； ②求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接，根据和过点C的切线互相垂直，得到，则，推出，由，得到，则，即平分； （2）①连接，由，得到，即可证明是等边三角形，得到，再根据弧长公式计算即可； ②连接，先证明四边形是菱形，得到， ，即可得到． 【详解】（1）解：连接， ∵和过点C的切线互相垂直， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：①连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴半径， ∴的长为； ②连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 【题型三】圆+折叠 1、折叠核心性质 （1）折叠前后图形全等，对应边、对应角完全相等。 （2）折痕是对应点连线的垂直平分线，具备轴对称性。 （3）折叠后重合点到折痕距离相等，易产生等腰三角形、相等线段。 2、圆的基础考点 垂径定理、圆周角定理、圆心角/弧/弦关系、切线性质、圆的轴对称与中心对称。 3、两者结合常考结论与题型 （1）利用双重轴对称解题：圆本身是轴对称图形，叠加折叠的轴对称，可快速推导等弧、等弦、等角，简化角度、线段证明。 （2）折叠产生等角，联动圆周角：折叠得到相等角，结合圆周角、圆内接四边形性质，进行角度换算。 （3）折叠产生等线段，转化为圆中等弦：折叠后对应线段相等，转化为圆内等弦，进而推出等弧、相等圆心角。 （4）直径 + 折叠：直径所对圆周角为直角，折叠后常构造直角三角形，结合勾股定理求边长。 （5）切线 + 折叠：结合切线垂直半径的性质，搭配折叠等角、等边，证明新的切线或线段垂直。 4、常用辅助线与解题思路 （1）连接圆心与关键点、半径，利用半径相等构造等量关系。 （2）标出折叠前后相等的边、角，将折叠条件转化为圆的几何条件。 （3）遇线段求值，优先结合勾股定理、相似三角形计算。 【典例3】（2026·广西南宁·一模）如图，以的一边为直径作，过的中点，的延长线交于点，过点作于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，，结合得出，即可得证； （2）连接，过点作于点，则，由（）得，，设，则 ，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 是的直径， ，则， 是的中点， 垂直平分， ， ， 即， 是的半径， 为的切线； （2）解：如图，连接，过点作于点， 则，由（）得，， 则四边形是矩形， 设，则 ， 在中，， 即， 解得， ． 【变式3】（2026·江西上饶·模拟预测）如图，已知是的直径，为的弦，点是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据点是的中点，可知，根据圆的性质可证，根据可证，又因为点是上的点，可证是的切线； （2）过点作于点，根据垂径定理可知，利用勾股定理可以求出，可证四边形为矩形，根据矩形的性质可知，，，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 点是的中点， ， ， ， ， , ， , 为的半径， 是的切线； （2）解：如下图所示，过点作于点， ， ， 是的直径，， ， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得． 【题型四】圆+角平分线 1、角平分线基础性质 （1）角平分线上的点到角两边的距离相等。 （2）角平分线分得的两个角大小相等。 （3）平行线 + 角平分线，可直接构造等腰三角形。 2、关联圆的核心定理 圆周角定理、同弧 / 等弧所对圆周角相等、弦切角定理、圆心角与弧弦关系、切线性质、圆内接四边形性质。 3、综合常考结论与题型 （1）角平分线→等角→等弧、等弦：圆中相等的圆周角对应相等的弧与弦，角平分线分出等角，可证两弧、两弦相等。 （2）角平分线 + 切线：切线与弦形成弦切角，结合角平分线的等角关系，推导角度等量，证明平行、线段相等。 （3）角平分线 + 圆内接图形：结合圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，进行角度推导与证明。 （4）角平分线 + 半径/垂线：利用角平分线 “距离相等”，结合半径、垂径定理，证线段相等、直线相切。 4、常用解题思路与辅助线 （1）连接半径、弦，把角的关系转化为弧、弦的关系。 （2）过角平分线上的点向角两边作垂线，利用距离相等解题。 （3）出现平行线与角平分线，优先找出等腰三角形简化计算。 【典例4】（2026·湖北十堰·二模）如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点，． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线和平行线之间的角度关系，得到，所以，从而得出与⊙O相切； （2）利用直角三角形的勾股定理解得圆的半径，将阴影部分的面积转化为三角形面积与扇形面积之差，从而计算出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r， 则， 由（1）可知， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 在中，， ∴， 故阴影部分的面积为：． 【变式4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，点在上，连接，．过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若的半径为13，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】1）根据等腰三角形等边对等角结合平行线的性质即可得出结论； （2）令与交于点M，过M作于N．利用勾股定理求出，设，则，求出，根据切线的性质得，证明，即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴平分； （2）解：如图，令与交于点M，过M作于N． ∵是直径， ∴，即， 由（1）得， ∴， 根据勾股定理． ∵， ∴ ∴ 设，则， 在中， ∵，． ∴ ∴， 解得，即， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴． ∴，即：， ∴． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 2．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为 (r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径，代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：则所需铁皮面积 故选B 3．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 5．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连结， ∵，以为直径的半圆交于点， ∴， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：C． 6．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 7．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点关于的对称点，连接，交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 8．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的内接四边形对角互补可得的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 10．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 11．（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，先延长交圆O于点C，则由圆周角定理得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：延长交圆O于点C，连接，如图所示： ∵扇形的圆心角为 ∴圆心角， 根据圆周角定理得：， 当点在扇形内部延长线上时，则； 当点在扇形内部线段上时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 14．（2025·四川攀枝花·中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当无限大时，这些“小扇形”可以近似的看成底边长分别为，高为的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积． 请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，，则图中阴影部分面积是__________． 【答案】20 【分析】本题主要考查扇形的定义及面积；设扇形的半径为，则扇形的半径为，先根据，求出，再结合扇形面积，根据，代入计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，则扇形的半径为， ∵， ∴，即， 解得， ∴扇形的半径为7， ∵扇形面积， ∴， ， ， ∴图中阴影部分面积是20； 故答案为：20． 15．（2025·江苏淮安·中考真题）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等边三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键是确定所有符合条件的观察点组成的图形． 先作出符合题意的图形，再根据弧长公式求解整个图形的周长即可． 【详解】解：先作出点关于的对称点，连接，以点为圆心，为半径画圆， 则， ∴， 同理作出圆， ∴点在以为弦的优弧上，如图： 延长交圆于点，当点在劣弧上时，此时不符合题意，如图； ∴点P组成的图形应去掉6段和劣弧一样的弧，如图： 作以点为圆心，为半径的圆与圆交于点，当在劣弧上也符合题意，此时， ∴点也可以在另外两段和劣弧一样的弧，如下图，整个实线图形即为所有符合条件的观察点组成的图形， ∴周长为， 故答案为：． 16．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证； （2）设，则，，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质求出的值，由此即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ，即， ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：∵， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 17．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 18．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角度关系，和运用勾股定理解三角形是解题关键． （1）连接，通过切线的性质得到，从而推出，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可； （2）连接，借助，利用勾股定理求出（即半径）的长，再利用平行线分线段成比例（或证明相似三角形），用k表示出和，借助，利用勾股定理求解即可； （3）借助圆周角定理，推得，作的平行线，借助，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由题意，得与相切于点E， ∴， 又， ∴， ∴， ∵和都是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1），得， ∵点F在上， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，即， 设，则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴； （3）解：由圆周角定理，得， 如图，过点O作平分，交于点M，连接 由（2），得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴在中，， ∴， ∴． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等得出两角相等，从而得出两边相等； （2）利用圆的性质及矩形的性质与判定来论证线段的关系； （3）先通过全等三角形得到线段长度，再结合已知条件求出相关线段长度，最后求三角形面积． 【详解】（1）证明：为的直径， ． 设． ， ， ， ． ． ． ． （2）证明：连接，，并延长交于点． ， 垂直平分， ，， 是的切线， ． 是的直径， ， 四边形是矩形， ， ． （3）解：如图，连接，，并延长交于点， 为的中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴≌， ， ， 设，则． 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ，， ，　　　 ， ， ． 20．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：连接， ∵点D是的内心， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴． （3）解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺11 圆综合 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 圆综合是中考数学压轴高频题型，各地中考普遍以解答题形式考查，分值 8–10 分，多位于试卷解答题后三道，区分度较强。命题常结合三角形、四边形、相似、勾股定理、三角函数、方程等知识综合设问，分为基础证明与综合计算两大层次。基础问以切线判定与性质、圆周角、圆心角、弧弦关系、垂径定理为主；拔高问侧重线段求值、角度计算、面积求解、动点与最值问题。题型固定、模型特征明显，常出现切线模型、圆与相似、圆与解直角三角形组合考法。该题兼顾几何推理、逻辑证明与运算能力，步骤书写、定理运用规范性要求高。圆综合是中考拉分重点，冲刺阶段需熟记圆相关定理，归纳常见辅助线作法，熟练拆解复合几何模型，强化证明思路与计算训练。 2、核心考查内容： 圆+直角三角形、圆+菱形、圆+折叠、圆+角平分线。 1、圆+直角三角形：活用直径所对圆周角为直角、切线与半径垂直；结合勾股定理、锐角三角函数、相似三角形，求解线段、角度与面积。 2、圆+菱形：结合菱形边、角、对角线的特有性质，联动圆的弦、弧、圆心角及切线定理，推导等量线段、相等角度，完成证明与计算。 3、圆+折叠：利用折叠全等、边角不变、图形对称的特点，结合圆的对称性，分析重合线段与等角关系，求解线段长度、动点相关问题。 4、圆+角平分线：借助角平分线生成等角，搭配圆周角、弦切角定理，判定等弧、等弦及等腰三角形，完成几何推理与求值。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】圆+直角三角形 一、切线证明 有切点型：已知点在圆上 模板步骤： （1）连接圆心与切点（半径） （2）证明这条半径与直线垂直（90°） （3）由 “半径⊥直线” 得出：直线是圆的切线 推导垂直常用方法： 1.角互余：两锐角相加 = 90° 2.全等 / 等腰：推出角相等，转化为直角 3.平行线：已知某线垂直，利用平行传递垂直 4.直径所对圆周角 = 90°，倒角得垂直 二、无切点型：点是否在圆上未知 模板步骤： （1）过圆心向直线作垂线段 （2）证明这条垂线段长度 = 半径 （3）得出直线是圆的切线 三、角度推导（圆综合必用 5 大定理） 1、同弧所对圆周角相等:同一段弧对应的角相等，直接倒角。 2、圆周角 = ½ 圆心角:求角度倍数关系最常用。 3、直径所对圆周角 = 90°:见直径必想直角，是构造直角三角形关键。 4、圆内接四边形对角互补:外角 = 内对角，高频用于相似倒角。 5、切线性质：切线⊥过切点的半径:只要有切线，直接写垂直。 四、长度计算（万能解题套路） 圆综合求线段长，90% 就这 3 种组合： 1、勾股定理 出现直角、切线、直径，优先构造直角三角形设未知数 → 列勾股方程 → 求解 2、相似三角形（高频：子母相似 / A 字 / 8 字） 先倒角相等 → 证相似 → 列比例式对应边对应边对应边对应边 3、三角函数（sin、cos、tan） 直角三角形中，已知一边一角，直接用比求边长。 五、阴影面积计算（固定方法） （1）割补法（最常用）阴影面积 = 整体面积 − 空白面积 （2）扇形面积公式​ （3）弓形面积弓形 = 扇形 − 三角形 【典例1】（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，为的直径，为的弦，过上一点D作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：是的平分线； (2)若，求的长． 【变式1】（2026·河北邯郸·二模）如图，是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的三等分点，过点D作半圆O的切线，与射线交于点E，连接． (1)直接写出射线与直线的位置关系________． (2)若，求的长； (3)若弦、弦与所围成的封闭图形的面积是，则求半圆O的半径长； 【题型二】圆+菱形 1、菱形基础性质：四条边相等，对边平行；对角相等、邻角互补；对角线互相垂直平分，且平分一组对角。 2、圆的核心定理：同圆/等圆中，等弦对等弧、对等圆心角与圆周角；切线垂直于过切点的半径；圆内平行弦、等弦相关性质。 3、结合考点与常见结论 · （1）菱形顶点在圆上（圆内接菱形）：圆内接菱形必为正方形，对角互补结合菱形性质可推导直角。 · （2）菱形一边为圆的弦：利用边长相等，得到圆中多条等弦，进而推出等弧、等角。 · （3）菱形对角线与圆结合：对角线互相垂直，常构造直角，搭配垂径定理、勾股定理计算线段。 · （4）圆与菱形相切：结合切线性质、平行线性质，推导角度相等、线段等量关系。 4、常用解题思路 借助菱形平行、等边、等角特征，转化为圆的弦、弧、角关系；结合全等、相似、勾股定理完成证明与长度计算。 【典例2】（2026·广西梧州·二模）如图，在中，，点是的中点，点是上一点，且，，三点均在上，，是的两条切线，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式2】（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且与交于点E． (1)求证：平分； (2)若， ①求的长； ②求的长． 【题型三】圆+折叠 1、折叠核心性质 （1）折叠前后图形全等，对应边、对应角完全相等。 （2）折痕是对应点连线的垂直平分线，具备轴对称性。 （3）折叠后重合点到折痕距离相等，易产生等腰三角形、相等线段。 2、圆的基础考点 垂径定理、圆周角定理、圆心角/弧/弦关系、切线性质、圆的轴对称与中心对称。 3、两者结合常考结论与题型 （1）利用双重轴对称解题：圆本身是轴对称图形，叠加折叠的轴对称，可快速推导等弧、等弦、等角，简化角度、线段证明。 （2）折叠产生等角，联动圆周角：折叠得到相等角，结合圆周角、圆内接四边形性质，进行角度换算。 （3）折叠产生等线段，转化为圆中等弦：折叠后对应线段相等，转化为圆内等弦，进而推出等弧、相等圆心角。 （4）直径 + 折叠：直径所对圆周角为直角，折叠后常构造直角三角形，结合勾股定理求边长。 （5）切线 + 折叠：结合切线垂直半径的性质，搭配折叠等角、等边，证明新的切线或线段垂直。 4、常用辅助线与解题思路 （1）连接圆心与关键点、半径，利用半径相等构造等量关系。 （2）标出折叠前后相等的边、角，将折叠条件转化为圆的几何条件。 （3）遇线段求值，优先结合勾股定理、相似三角形计算。 【典例3】（2026·广西南宁·一模）如图，以的一边为直径作，过的中点，的延长线交于点，过点作于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【变式3】（2026·江西上饶·模拟预测）如图，已知是的直径，为的弦，点是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【题型四】圆+角平分线 1、角平分线基础性质 （1）角平分线上的点到角两边的距离相等。 （2）角平分线分得的两个角大小相等。 （3）平行线 + 角平分线，可直接构造等腰三角形。 2、关联圆的核心定理 圆周角定理、同弧 / 等弧所对圆周角相等、弦切角定理、圆心角与弧弦关系、切线性质、圆内接四边形性质。 3、综合常考结论与题型 （1）角平分线→等角→等弧、等弦：圆中相等的圆周角对应相等的弧与弦，角平分线分出等角，可证两弧、两弦相等。 （2）角平分线 + 切线：切线与弦形成弦切角，结合角平分线的等角关系，推导角度等量，证明平行、线段相等。 （3）角平分线 + 圆内接图形：结合圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，进行角度推导与证明。 （4）角平分线 + 半径/垂线：利用角平分线 “距离相等”，结合半径、垂径定理，证线段相等、直线相切。 4、常用解题思路与辅助线 （1）连接半径、弦，把角的关系转化为弧、弦的关系。 （2）过角平分线上的点向角两边作垂线，利用距离相等解题。 （3）出现平行线与角平分线，优先找出等腰三角形简化计算。 【典例4】（2026·湖北十堰·二模）如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点，． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【变式4】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，点在上，连接，．过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若的半径为13，，求的长． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 5．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 7．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 12．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 13．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 14．（2025·四川攀枝花·中考真题）类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当无限大时，这些“小扇形”可以近似的看成底边长分别为，高为的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积． 请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，，则图中阴影部分面积是__________． 15．（2025·江苏淮安·中考真题）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为______． 16．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 17．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 18．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 20．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $