5.1 分式及其基本性质 同步练习 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式概念与性质，通过基础辨析-性质应用-综合拓展三层设计，实现从概念理解到运算推理的渐进式巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|分式概念及有意义条件|选择题辨析分式与整式（如第1题），强化符号意识| |理解应用|分式基本性质及约分|结合符号法则判断值的正负（如第8题），发展运算能力| |综合提升|综合应用及拓展|分式除法有意义条件等综合题（如巩固练习第3题），培养推理能力|

5.1 分式及其基本性质 考点1: 分式的概念 一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母，那么称为分式. 其中A称为分式的分子，B称为分式的分母. 对于任意一个分式，分母都不能为零. · 分式必须满足三个条件： ①具备的形式，且B≠0；②A，B均是整式；③分母B中含有字母.三个条件缺一不可. 区分整式与分式的关键是看分母，分母中含有字母的是分式，不含有字母的是整式. 考点2: 分式有(无)意义及分式值为0的条件 分类 条件 分式有意义 分母不为零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B≠0 分式的值为0 分子为零，分母不为零，即A＝0，B≠0 · 对于分式：①若的值为正数，则，或. ②若的值为负数，则，或. ③若的值为1，则A＝B且B≠0. ④若的值为－1，则A＋B＝0且B≠0. 练习1. 1. 下列代数式：①；②；③；④＋；⑤．其中分式的个数是( ). A．1 B．2 C．3 D．4 2. 要使式子有意义，则x的取值范围是( ). A．x≠ B．x≠5 C．x≠－ D．x≠－ 3. 使有意义的x的取值范围是( ). A．x≠2 B．x＞2 C．x ≤2 D．x ≥2 4. 若分式的值为0，则x是( ). A．x＝－2 B．x＝2 C．x≠－2 D．x≠±2 5. 若分式的值为0，则x的取值是( ). A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝0 考点3: 分式的基本性质 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变. 这一性质可以用式子表示为：＝，＝(m≠0) 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变 字母表示：＝＝－＝－ · ①若分式的分子或分母是多项式，应用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个不等于0的整式. ②当分子或分母是多项式时，分子和分母的符号指的是分子和分母整体的符号，而不是分子或分母中多项式的第一项的符号. 考点4: 分式的约分及最简分式 1. 分式的约分 (1)定义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. (2)方法：分子和分母同时除以它们的公因式. (3)依据：分式的基本性质. (4)关键：确定分子和分母的公因式. (5)条件：分子、分母都是积的形式时才能约分. · ①约分的结果是整式或最简分式. ②分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变，即“形变值不变”.但可能改变分式中字母的取值范围，因此，在确定分式中字母的取值范围时，不能约分. 2. 约分的步骤 (1)分子、分母都是单项式 →第一步：找出分子、分母系数的最大公因数和所有相同字母的最低次幂的积 →第二步：约分 [例](分子、分母系数的最大公因数是5；所有相同字母的最低次幂的积是y2)→＝ 约分→＝ (2)分子、分母有多项式→第一步：将多项式因式分解→第二步：约分 [例](因式分解)→＝(约分)→＝a－b 3. 最简分式：分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式. 练习2. 1. 若分式的值为正，则x的取值范围是( ). A．x＞0 B．x＞－ C．x ≠－ D．x＞－且x≠0 2. 若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值( ). A．是原来的100倍 B．是原来的10倍 C．不变 D．是原来的倍 3. 下列各式，，，，，中，最简分式的个数是( ). A．4 B．3 C．2 D．1 4. 式子：①＝－；②＝；③＝．其中正确的是( ). A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5. 若分式的值为负，则x的范围是 ． 6. 分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 巩固练习： 1. 下列各式：，，，＋x，，其中分式共有( )个． A．2 B．3 C．4 D．5 2. 下列关于分式的判断，正确的是( )． A．当x＝2时，的值为0 B．当x≠3时，有意义 C．无论x为何值，的值不可能是正整数 D．无论x为何值，总有意义 3. 若分式÷有意义，则x的取值范围是( )． A．x≠－1且x≠2 B．x≠－1且x≠3 C．x≠2且x≠3 D．x≠－1且x≠2且x≠3 4. 如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值( )． A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．不变 5. 下列变形正确的是( ). A．＝ B．＝－ C．＝－ D．＝－1 6. 当x满足条件 时，分式没有意义． 7. 已知y＝． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 分式及其基本性质 考点1: 分式的概念 一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母，那么称为分式. 其中A称为分式的分子，B称为分式的分母. 对于任意一个分式，分母都不能为零. · 分式必须满足三个条件： ①具备的形式，且B≠0；②A，B均是整式；③分母B中含有字母.三个条件缺一不可. 区分整式与分式的关键是看分母，分母中含有字母的是分式，不含有字母的是整式. 考点2: 分式有(无)意义及分式值为0的条件 分类 条件 分式有意义 分母不为零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B≠0 分式的值为0 分子为零，分母不为零，即A＝0，B≠0 · 对于分式：①若的值为正数，则，或. ②若的值为负数，则，或. ③若的值为1，则A＝B且B≠0. ④若的值为－1，则A＋B＝0且B≠0. 练习1. 1. 下列代数式：①；②；③；④＋；⑤．其中分式的个数是( B ). A．1 B．2 C．3 D．4 2. 要使式子有意义，则x的取值范围是( D ). A．x≠ B．x≠5 C．x≠－ D．x≠－ 3. 使有意义的x的取值范围是( B ). A．x≠2 B．x＞2 C．x ≤2 D．x ≥2 4. 若分式的值为0，则x是( B ). A．x＝－2 B．x＝2 C．x≠－2 D．x≠±2 5. 若分式的值为0，则x的取值是( B ). A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝±2 D．x＝0 考点3: 分式的基本性质 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变. 这一性质可以用式子表示为：＝，＝(m≠0) 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变 字母表示：＝＝－＝－ · ①若分式的分子或分母是多项式，应用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个不等于0的整式. ②当分子或分母是多项式时，分子和分母的符号指的是分子和分母整体的符号，而不是分子或分母中多项式的第一项的符号. 考点4: 分式的约分及最简分式 1. 分式的约分 (1)定义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. (2)方法：分子和分母同时除以它们的公因式. (3)依据：分式的基本性质. (4)关键：确定分子和分母的公因式. (5)条件：分子、分母都是积的形式时才能约分. · ①约分的结果是整式或最简分式. ②分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变，即“形变值不变”.但可能改变分式中字母的取值范围，因此，在确定分式中字母的取值范围时，不能约分. 2. 约分的步骤 (1)分子、分母都是单项式 →第一步：找出分子、分母系数的最大公因数和所有相同字母的最低次幂的积 →第二步：约分 [例](分子、分母系数的最大公因数是5；所有相同字母的最低次幂的积是y2)→＝ 约分→＝ (2)分子、分母有多项式→第一步：将多项式因式分解→第二步：约分 [例](因式分解)→＝(约分)→＝a－b 3. 最简分式：分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式. 练习2. 1. 若分式的值为正，则x的取值范围是( D ). A．x＞0 B．x＞－ C．x ≠－ D．x＞－且x≠0 2. 若分式的a，b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值( B ). A．是原来的100倍 B．是原来的10倍 C．不变 D．是原来的倍 3. 下列各式，，，，，中，最简分式的个数是( B ). A．4 B．3 C．2 D．1 4. 式子：①＝－；②＝；③＝．其中正确的是( B ). A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5. 若分式的值为负，则x的范围是 x＜且x≠0 ． 6. 分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 －6或0或2或8 ． 巩固练习： 1. 下列各式：，，，＋x，，其中分式共有( B )个． A．2 B．3 C．4 D．5 2. 下列关于分式的判断，正确的是( D )． A．当x＝2时，的值为0 B．当x≠3时，有意义 C．无论x为何值，的值不可能是正整数 D．无论x为何值，总有意义 3. 若分式÷有意义，则x的取值范围是( D )． A．x≠－1且x≠2 B．x≠－1且x≠3 C．x≠2且x≠3 D．x≠－1且x≠2且x≠3 4. 如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值( A )． A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．不变 5. 下列变形正确的是( B ). A．＝ B．＝－ C．＝－ D．＝－1 6. 当x满足条件 x＝±1 时，分式没有意义． 7. 已知y＝． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 解：(1) x＞2 ；(2) x＝－2或x＝0或x＝1或 x＝3 或x＝4或x＝6 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $