2026年上海市杨浦区三模自编练习卷

**基本信息** 2026年杨浦三模数学卷立足核心素养，以垃圾分类调查、低碳打印服务等现实情境为载体，融合代数、几何、统计知识，设置基础巩固与创新应用梯度，适配三模复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|代数计算、轴对称、函数性质、三角形中位线、统计量、圆的切线|结合汉字对称考查几何直观，中位数与众数结合考查数据意识| |填空题|12/48|负指数、因式分解、分式方程、统计估计、新概念“重似线”、圆的综合|以“重似线”新概念题考查创新意识，垃圾分类调查数据估计体现应用意识| |解答题|7/78|一次函数应用、切线证明、低碳打印函数模型、二次函数动态问题、圆与几何压轴|22题建立低碳打印函数模型考查模型观念，25题圆与几何综合考查推理能力，贴合中考命题趋势|

2026年上海市杨浦区三模自编练习卷 1．本场考试时间100分钟，试卷共5页，满分150分． 2．作答前，请在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．并将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一．选择题（共6小题，每题4分，共24分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列函数中，y的值随x的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．当5个自然数a，b，5，6，6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众数是6，那么所有满足条件的a，b中，ab的最大值是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 6．如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝65°，则∠P的度数为（　　） A．70° B．50° C．40° D．20° 二．填空题（共12小题，每题4分，共48分） 7．计算：3﹣1＝______． 8．因式分解：2b﹣2b3＝______． 9．分式方程的解是________． 10．不等式组的解集是________． 11．某学校图书馆调查发现，每周借阅科普类书籍的人次约为345000次．数据345000用科学记数法表示为________． 12．已知关于x的一元二次方程x2+4x+（m﹣3）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 13．一个不透明的盒子里有三个完全一样的小球，其中两个标着“纪念奖”，一个标着“三等奖”．某同学随机摸出两个小球，都是“纪念奖”的概率是________． 14．如图，点E在正方形ABCD的边BC的延长线上，AE，BD相交于点F，连接CF．设∠CFE＝α，则∠E＝　 　 （用含α的代数式表示）． 15．如图，矩形ABCD中，点E是BC边上一点，DE交对角线AC于点O，AO＝3CO，连接AE．若AD＝6，CD＝3，则tan∠AEB的值是　 　 ． 16．北京的生活垃圾分类已进入全面实施、常态化运行的阶段．某社区共有1200户居民，为了解该社区居民对垃圾分类的了解程度，社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查，结果整理如下： 了解程度 非常了解 了解 一般了解 不了解 完全不了解 户数/户 60 30 6 3 1 根据以上信息，估计该社区1200户居民对垃圾分类“非常了解”的户数是　 　 户． 17．过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫作这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫作这个三角形的“重似线段”．如图，在△ABC中，AB＝10，tanB，tanC＝2，点D、E分别在边AB、AC上，如果线段DE是△ABC的“重似线段”，那么DE＝ 　 　 ． 18．以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，弦DE⊥AB于点H连接CD并延长交AB于点F、交⊙O于点G，连接OD．若弦，∠DOH＝2∠C，AH＝1．则圆的半径为　 　 ，CG的长度为　 　 ． 三．解答题（共7小题，共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分） 19．先化简，再求值：已知代数式，其中． 20．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图像经过点（﹣1，5）和（2，﹣1）． （1）求k，b的值； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝2x+n的值都小于函数y＝kx+b的值，直接写出n的取值范围． 21．如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，点D为边AB上一点，且CD⊥AC，⊙O为△ACD的外接圆． （1）尺规作图：求作⊙O（保留痕迹，不要求写作法）； （2）求证：BC是⊙O切线． 22．为助力绿色低碳城市建设，高新园区新能源服务中心推行环保再生纸低碳打印服务，收取固定基础服务费，再按打印张数收取费用，总费用与打印张数成一次函数关系．已知打印环保再生纸20张，总费用为14元；打印环保再生纸30张，总费用为16元．设打印张数为x张，总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出该项低碳打印的固定基础服务费和打印一张环保再生纸的费用； （3）某机关单位开展全民绿色低碳宣传活动，需要批量印制低碳环保宣传资料，本次打印预算经费为230元，在不超出预算的前提下，最多可以打印多少张环保再生纸宣传资料？ 23．如图，AB、CD为⊙O的两条直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切，∠ABC＝2∠BCP，弦CE平分∠DCB，弦CE与BD相交于点F． （1）求∠OCB的度数； （2）若EF＝3，求的长． 24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于M（﹣1，0），N（3，0）两点，顶点为B．点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． （1）求该抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标． （2）当点A在抛物线对称轴左侧时，过点A作AE∥x轴，交抛物线对称轴于点E，连接AB．若tan∠BAE＝3，求a的值． （3）若抛物线在点A和M之间的部分（包含A，M两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为3﹣7a，求a的值． 25．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，过点C作直线EF分别交BD和BA的延长线于点E，F，且EF＝BF．连接BC，∠CBE＝45°． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）过点D作MN⊥EF于点M，交AB延长线于点N，若CF＝3AF，AB＝4，求BN的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市杨浦区三模自编练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【答案】C 【解析】﹣选项A：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，a3⋅a3＝a3+3＝a6≠2a3，所以A错误．﹣选项B：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，（a2）3＝a2×3＝a6≠a5，所以B错误．﹣选项C：根据积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，（﹣mn）4＝（﹣1）4×m4×n4＝m4n4，所以C正确．﹣选项D：a3与a5不是同类项，不能合并，所以D错误． 2．【答案】D 【解析】A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形， 故选：D． 3．【答案】D 【解析】﹣选项A：一次函数中，，y随x的增大而增大，所以A错误．﹣选项B：一次函数中，，y随x的增大而减小，所以B正确．﹣选项C：反比例函数中，k＝3＞0，在每个象限内y随x的增大而减小，但题干未明确x的取值范围，不能直接说y随x的增大而减小，所以C错误．﹣选项D：反比例函数中，k＝﹣3＜0，在每个象限内y随x的增大而增大，所以D错误． 4．【答案】D 【解析】﹣选项A：因为M是AB中点，所以与方向相同，，A正确．﹣选项B：与方向相反，，而不是，B错误．﹣选项C：因为N是AC中点，所以，C正确．﹣选项D：因为M、N分别是边AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，，D正确． 5．【答案】A 【解析】解：唯一的众数是6，中位数为5，故a，b不相等； 当b＝4时，a的取值为0，1，2，3，则ab的最大值为3×4＝12． 故选：A． 6．【答案】B 【解析】PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，连接OB、OA， ∵∠ACB＝65°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝130°， 由切线的性质可得：OB⊥PB，OA⊥PA， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴∠P＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB＝50°． 故选：B． 二．填空题 7．【答案】 【解析】根据负整数指数幂的运算法则，． 8．【答案】2b（1+b）（1﹣b） 【解析】先提取公因式2b，得到2b﹣2b3＝2b（1﹣b2），再根据平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），对1﹣b2进行分解，1﹣b2＝（1+b）（1﹣b），所以2b﹣2b3＝2b（1+b）（1﹣b）． 9．【答案】 【解析】方程两边同乘x（x+3）得：x2﹣4＝4，即x2＝8，解得．检验：当时，；当时，．所以原分式方程的解为． 10．【答案】 【解析】解不等式3x+2≥0，得3x≥﹣2，；解不等式﹣x+2≥0，得x≤2．所以不等式组的解集为． 11．【答案】3.45×105 【解析】把345000转变为a（1≤|a|＜10），即a＝3.45，原数变为3.45时，小数点向左移动了5位，所以n＝5，用科学记数法表示为3.45×105． 12．【答案】m＜7 【解析】在方程x2+4x+（m﹣3）＝0中，a＝1，b＝4，c＝m﹣3，因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝42﹣4×1×（m﹣3）＞0，即16﹣4m+12＞0，28﹣4m＞0，4m＜28，解得m＜7． 13．【答案】 14．【答案】． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF． 又∵BF＝BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴∠BAF＝∠BCF． ∵∠BCF＝∠CFE+∠E，∠CFE＝α， ∴∠BCF＝∠E+α． ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠E． ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAF＝90°﹣∠DAF＝90°﹣∠E， ∴90°﹣∠E＝∠E+α， ∴∠E． 15．【答案】． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝3， ∴∠DAO＝∠ECO， ∵∠AOD＝∠COE， ∴△AOD∽△COE， ∴， ∵AD＝6，AO＝3CO， ∴CE＝2， ∴BE＝6﹣2＝4， ∴tan∠AEB， 16．【答案】720． 【解析】解：社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查， 由题意得，样本中“非常了解”的频率为：， 估计该社区1200户居民中“非常了解”的户数为：1200×0.6＝720． 17．【答案】或3 【解析】解：如图，作AG⊥BC于G，AB＝10，，tanC＝2， ∴，， ∴AG＝8，BG＝6，CG＝4， ∴BC＝6+4＝10，， 作△ABC的中线AF，Q为△ABC的重心， ∴， ∵线段DE是△ABC的“重似线段”， ∴当△ADE∽△ABC时， ∴∠ADE＝∠B，， ∴DE∥BC， ∴， ∴， ∴，； 当△AD'E'∽△ACB时，过B作BH⊥AC交AC于H， ∴∠AE'D'＝∠ABC，∠AD'E'＝∠C，， ∵BA＝BC＝10， ∴∠C＝∠BAC，， ∴∠BAC＝∠AD'E'，，Q在BH上， ∴AE'＝D'E'， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴； 综上：或， 18．【答案】3，． 【解析】解：∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB， ∴DHDE，∠DHO＝90°， ∴OD2＝OH2+DH2， ∴OD2＝（OD﹣1）2+（）2， ∴OD＝3， ∴圆的半径为3； ∴OH＝OA﹣AH＝2， ∵⊙O与AC相切于点A， ∴BA⊥CA， ∴DE∥CA， ∴∠GDE＝∠C， 如图，连接AE，AG， ∴∠DEA＝∠DGA∠DOA＝∠C＝∠GDE， ∴AC＝AG，AE∥CG， 又∵DE∥CA， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∴AC＝DE＝2，AE＝CD， ∴AG＝AC＝2， ∵∠HEA＝∠HDF，EH＝DH，∠AHE＝∠FHD， ∴△AHE≌△FHD（ASA）， ∴AE＝DF，AH＝FH＝1， ∴AF＝2， 过G作GM⊥CA的延长线于M， 设GM＝a，AM＝b，则CM＝2b， ∵∠GCM＝∠FCA，∠GMC＝90°＝∠FAC， ∴△GCM∽△FCA， ∴， 即， 解得b（a﹣4）， 由勾股定理得AG2＝AM2+GM2， 即（2）2＝b2+a2＝（）2+a2， 解得a或a＝0（舍去）， ∴b， ∴CM， 由勾股定理得，CG， 三．解答题 19．【答案】 20．【答案】（1）k＝﹣2，b＝3； （2）n≤﹣1． 【解析】解：（1）∵函数y＝kx+b（k≠0）的图像经过点（﹣1，5）和（2，﹣1）， ∴， 解得； （2）由（1）得，y＝﹣2x+3， 依题意得，2x+n＜﹣2x+3， 解得， ∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝2x+n的值都小于函数y＝kx+b的值， ∴， 解得n≤﹣1． 21．【答案】（1）⊙O即为所求； （2）连接OC， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90°， ∴AD是⊙O的直径， ∴OC是⊙O的半径， ∵∠A＝∠B＝30°， ∴∠ACB＝120°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠A＝30°， ∴∠BCO＝∠ACB﹣∠ACO＝90°， ∴OC⊥BC， ∴BC是⊙O的切线． 【解析】（1）解：作AD的垂直平分线MN交AD于点O，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，⊙O即为所求； （2）证明：连接OC， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90°， ∴AD是⊙O的直径， ∴OC是⊙O的半径， ∵∠A＝∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠A＝30°， ∴∠BCO＝∠ACB﹣∠ACO＝90°， ∴OC⊥BC， ∴BC是⊙O的切线． 22．【答案】（1）y＝0.2x+10； （2）该项低碳打印的基础服务费为10元，打印一张环保再生纸的价钱为0.2元； （3）最多可以打印1100张环保再生纸宣传资料． 【解析】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，由题意可得： ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝0.2x+10． （2）该项低碳打印的基础服务费为10元，打印一张环保再生纸的价钱为0.2元． （3）当y≤230时，0.2x+10≤230， ∴x≤1100 ∴最多可以打印1100张环保再生纸宣传资料． 23．【答案】（1）60°； （2）． 【解析】解：（1）∵PC与⊙O相切， ∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠ABC， ∵∠ABC＝2∠BCP， ∴∠OCB＝2∠BCP， ∴； （2）连接DE， 由（1）可知，∠OCB＝60°， ∵CE平分∠DCB， ∴， ∵， ∴∠BDE＝∠BCE＝30°， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CED＝90°， ∵，， ∴， ∵OB＝OC，∠OCB＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠COB＝60°， ∴∠BOD＝180°﹣∠COB＝120°， ∴． 24．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；顶点坐标B为（1，4）； （2）a＝﹣2； （3）﹣6 或0． 【解析】解：（1）把点M（﹣1，0）和N（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c， ， 解得：， ∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点B的坐标为（1，4）； （2）∵点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． ∴A（a，﹣a2+2a+3）， ∵AE∥x轴，交抛物线对称轴于点E， ∴E（1，﹣a2+2a+3）， ∴AE＝1﹣a，BE＝4﹣（﹣a2+2a+3）＝4+a2﹣2a﹣3＝a2﹣2a+1， ∴， 整理得：a2+a﹣2＝0， 解得a＝﹣2 或a＝1（舍去）， （3）A（a，﹣a2+2a+3），M（﹣1，0），N（3，0），B（1，4）， 分四种情况求解： 当a≤﹣1时，， ∴0﹣（﹣a2+2a+3）＝3﹣7a， 整理得：a2+5a﹣6＝0， 解得a＝﹣6或a＝1（舍）， 当﹣1＜a＜1时，， ∴﹣a2+2a+3＝3﹣7a， 整理得a2﹣9a＝0， 解得a＝0或a＝9（舍去）， 当1≤a＜3时，ymax＝yB＝4，ymin＝yM＝0， ∴4﹣0＝3﹣7a， 整理得：﹣7a＝1， 解得（舍）， 当a≥3时，ymax＝yB＝4，3﹣7a， 整理得：a2+5a﹣2＝0， 解得a（舍），a（舍）， 综上所述：a的值为﹣6或0． 25．【答案】（1）连接OC，OD， ∵∠CBE＝45°， ∴∠COD＝2∠CBD＝90°， ∵EF＝BF， ∴∠E＝∠OBE， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠E， ∴OD∥EF， ∴∠ECO+∠COD＝180°， ∴∠ECO＝90°， ∴OC⊥EF， ∵OC是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）． 【解析】（1）证明：连接OC，OD， ∵∠CBE＝45°， ∴∠COD＝2∠CBD＝90°， ∵EF＝BF， ∴∠E＝∠OBE， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠E， ∴OD∥EF， ∴∠ECO+∠COD＝180°， ∴∠ECO＝90°， ∴OC⊥EF， ∵OC是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：如图， ∵AB＝4， ∴AO＝OB＝OC＝OD＝2， ∵OC⊥EF， ∴∠OCF＝∠OCM＝90°， ∴OF2＝OC2+CF2， ∵CF＝3AF， ∴（2+AF）2＝22+（3AF）2， ∴AF， ∴CF， ∵DM⊥EF， ∴∠OCM＝∠CMD＝∠COD＝90°， ∴四边形CODM是矩形， ∵OC＝OD， ∴四边形CODM是正方形， ∴CM＝OD＝2，OC∥MN， ∴FM2，△FCO∽△FMN， ∴， ∴， ∴FN， ∴BN＝FN﹣AB﹣AF． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $