2026年上海市静安区三模自编练习卷

**基本信息** 2026年上海静安区初中数学三模卷，注重基础与能力梯度，通过老年食堂就餐卡等生活情境题及菱形动态综合题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配三模复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|函数定义域、代数运算、统计量|第5题几何变换结合对称与旋转，考查空间观念| |填空题|12/48|因式分解、圆的计算、概率|第15题正多边形中心角关联概率，体现数学眼光| |解答题|7/78|反比例函数、圆的切线、抛物线综合|第22题老年食堂就餐卡问题构建函数模型，第23题菱形动态问题考查推理能力，符合核心素养要求|

2026年上海市静安区三模自编练习卷 1．本场考试时间100分钟，试卷共5页，满分150分． 2．作答前，请在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．并将核对后的条形码贴在答题纸指定位置． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一．选择题（共6小题，每题4分，共24分） 1．函数的定义域是（　　） A．x ＝ 2 B．x ＝ 3 C．x ≠ 2 D．x ≠ 3 2．下列计算正确的是（　　） A．3x • 4x ＝ 12x² B．x + x ＝ 2x² C．（﹣x）⁴÷（﹣x）³ ＝ x D． 3．当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（　　） A．a² B．a² + 2a C． D．a² + 2a + 2 4．已知一组数据：x1，x2，x3，它们的平均数是4，方差是3，那么数据3x1，3x2，3x3的平均数与方差分别是（　　） A．4，3 B．12，27 C．4，9 D．12，9 5．直角坐标平面上有一点A（m，n），其中mn≠0，先将点A沿着直线y ＝﹣x翻折，得到点B，再将点B绕着原点顺时针旋转90°后得到点C，那么点C与点A的位置关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y ＝ x对称 6．在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，从点O分别向AB、BC、CD、DA所在直线作垂线，垂足分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH．已知一个四边形的两条对角线相等，它的垂足四边形是等腰梯形，那么这个四边形可能是（　　） A．等腰梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．菱形 二．填空题（共12小题，每题4分，共48分） 7．计算：（﹣2026）0 ＝ 　． 8．分解因式：4x2﹣9y2 ＝ 　． 9．已知正比例函数y ＝ kx（k≠0）图像经过点（﹣2，4），那么当自变量x的值增大时，y的值随之 　（填“增大”或“减小”）． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k ＝ 0有两个相等的实数根，则k的值为 　． 11．方程的解是 　． 12．如图是放在水平地面上的一种晾衣架，及其侧面抽象成的几何图形，已知AB∥MN∥PQ，如果∠2＝100°，∠3＝130°，那么∠1的度数是　 　 ． 13．已知点F是△ABC的重心，设，，那么向量　 　 ． 14．某校开展“宪法宣传周”系列教育活动后，进行测评，随机抽取6名学生的测试成绩（分）统计图，则这6名学生成绩的中位数为　 　 分． 15．某八人小队进行一项抽奖活动，共准备了8张奖券，奖券上标的数字分别为：15，30，45，60，75，90，105，120，规定每人抽一张奖券，如果抽到的数字正好等于某一个正多边形中心角的度数，那么这位同学有奖．请写出第一个上去抽奖的同学中奖的概率是 　． 16．如果抛物线y＝a（x+n）2+h（其中a、n、h是常数，且a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0），那么抛物线y＝a（x+n﹣2）2+h与x轴的交点坐标是 　． 17．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D为AB延长线上一点，连接CD，满足∠BCD＝∠CAD．过点C作AB的垂线，交⊙O于点E，交AB于点F，连接AE并延长，与CB的延长线交于点G．若，则AB的长度为　 　 ，EG的长度为　 　 ． 18．如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，若AB＝4，则△ADF的面积为　 　 ． 三．解答题（共7小题，共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分） 19．如图，若点A在反比例函数y（k≠0）的图像上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3． （1）求k的值； （2）当A点在反比例函数图像上运动时，其他条件不变，△AMO的面积发生变化吗？并说明你的理由． 20．如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 21．（1）解方程：x2+5x﹣6＝0； （2）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高CD＝2，水面宽度．求截面⊙O的半径． 22．本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花800元可买到一张面值960元的就餐卡，其中160元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的八折在卡中扣款．李爷爷现持有一张面值960元的就餐卡，如果从五月1日开始，在该月31天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按八折付款后，到五月31日结束时，卡内余额为y元． （1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域． （2）如果李爷爷到月底结束时，卡内还有192元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ （3）如果李爷爷将卡内960元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 23．如图，在菱形ABCD中，点E是线段BC上的一动点（点E不与B，C重合），连结AE交BD与点H，作AE的垂直平分线FG分别交AE，BD于点F，G．连结AG，CG． （1）若AG＝3，求CG的长． （2）求证：∠ABC＝2∠EAG． （3）若菱形的边长为5，，当AF+FG+CG取最小值时，求FG的长． 24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于M（﹣1，0），N（3，0）两点，顶点为B．点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． （1）求该抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标． （2）当点A在抛物线对称轴左侧时，过点A作AE∥x轴，交抛物线对称轴于点E，连接AB．若tan∠BAE＝3，求a的值． （3）若抛物线在点A和M之间的部分（包含A，M两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为3﹣7a，求a的值． 25．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，过点C作直线EF分别交BD和BA的延长线于点E，F，且EF＝BF．连接BC，∠CBE＝45°． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）过点D作MN⊥EF于点M，交AB延长线于点N，若CF＝3AF，AB＝4，求BN的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市静安区三模自编练习卷 答案与解析 一．选择题 1．【答案】D 【解析】在函数中，令分母x﹣3≠0，解得x≠3．逐一分析选项：A选项x ＝ 2错误；B选项x ＝ 3错误；C选项x≠2错误；D选项x≠3正确．所以答案是D． 2．【答案】A 【解析】A选项：根据单项式乘法法则，3x⋅4x＝（3×4）x1+1＝12x2，正确；B选项：根据合并同类项法则，x+x＝2x，而不是2x2，错误；C选项：根据同底数幂除法法则，（﹣x）4÷（﹣x）3＝（﹣x）4﹣3＝﹣x，错误；D选项：根据负整数指数幂法则，，正确．所以答案是A． 3．【答案】D 【解析】A选项：当a ＝ 0时，a2＝0，不是正数，错误；B选项：a2+2a＝a2+2a+1﹣1＝（a+1）2﹣1，当a＝﹣1时，值为﹣1，不是正数，错误；C选项：，当a＝﹣1时，值为，不是正数，错误；D选项：a2+2a+2＝a2+2a+1+1＝（a+1）2+1，因为（a+1）2≥0，所以（a+1）2+1＞0，一定为正数，正确．所以答案是D． 4．【答案】B 【解析】已知数据x1，x2，x3的平均数是4，即．那么数据3x1，3x2，3x3的平均数为．已知数据x1，x2，x3的方差是3，根据方差性质，若一组数据扩大n倍，其方差扩大n2倍，所以数据3x1，3x2，3x3的方差为32×3＝27．逐一分析选项：A选项4，3错误；B选项12，27正确；C选项4，9错误；D选项12，9错误．所以答案是B． 5．【答案】B 【解析】设点A（m，n），将点A沿着直线y ＝﹣x翻折，根据关于直线y ＝﹣x对称的点的坐标特征，点B的坐标为（﹣n，﹣m）．再将点B（﹣n，﹣m）绕着原点顺时针旋转90°，根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律，点C的坐标为（﹣m，n）．点A（m，n）与点C（﹣m，n）关于y轴对称．逐一分析选项：A选项关于x轴对称错误；B选项关于y轴对称正确；C选项关于原点对称错误；D选项关于直线y ＝ x对称错误．所以答案是B． 6．【答案】A 【解析】A选项：等腰梯形的对角线相等，但仅知道垂足四边形是等腰梯形，不能直接确定原四边形就是等腰梯形，有可能其他对角线相等的四边形也满足条件，所以该选项不一定正确．B选项：矩形的对角线相等且互相平分，根据垂足四边形的性质，可推出其垂足四边形是菱形，不是等腰梯形，该选项错误．C选项：平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，其垂足四边形一般不是等腰梯形，该选项错误．D选项：菱形的对角线互相垂直但不一定相等，其垂足四边形不是等腰梯形，该选项错误．综上，答案选A． 二．填空题 7．【答案】1 【解析】因为﹣2026≠0，所以（﹣2026）0 ＝1． 8．【答案】（2x+3y）（2x﹣3y） 【解析】4x2﹣9y2 ＝ （2x）2﹣（3y）2，根据平方差公式可得（2x+3y）（2x﹣3y）． 9．【答案】减小 【解析】把点（﹣2，4）代入y ＝ kx，可得4 ＝﹣2k，解得k ＝﹣2．因为k ＝﹣2＜0，所以当自变量x的值增大时，y的值随之减小． 10．【答案】 【解析】在方程x2﹣3x+k ＝ 0中，a ＝ 1，b ＝﹣3，c ＝ k．因为方程有两个相等的实数根，所以Δ ＝（﹣3）2﹣4×1×k ＝ 0，即9﹣4k ＝ 0，解得k ＝． 11．【答案】2 【解析】因为，所以或．当时，2x﹣1＝0，解得，但当时，，不满足二次根式有意义的条件，舍去．当时，x﹣2＝0，解得x＝2，此时2x﹣1＝2×2﹣1＝3＞0，满足条件．所以方程的解是x＝2． 12．【答案】50°． 【解析】解：如图，延长AB到点C， ∵AB∥MN， ∴∠2+∠CBD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠2＝100°， ∴∠CBD＝180°﹣∠2＝180°﹣100°＝80°， ∴∠CBE＝∠3﹣∠CBD＝130°﹣80°＝50°， ∵AB∥PQ， ∴∠1＝∠CBE＝50°（两直线平行，内错角相等）， 13．【答案】． 【解析】解：如图所示，设D为AC的中点， ∵F是△ABC的重心， ∴F在中线BD上，， 设，， ∵D为AC的中点， ∴， ∴， ∴． 14．【答案】90． 【解析】解：把这组数据从小到大排列为：80，85，90，90，95，100， 最中间两个数的平均数是（90+90）÷2＝90， 15．【答案】 【解析】正多边形的中心角公式为（n为边数，n⩾3且n为整数），所以正多边形中心角的度数可能为360÷3＝120°，360÷4＝90°，360÷5＝72°，360÷6＝60°，360÷8＝45°，360÷9＝40°，360÷10＝36°等．在奖券数字15，30，45，60，75，90，105，120中，符合正多边形中心角度数的有30，45，60，90，120，共5个．根据概率公式（n是所有可能情况数，m是事件A发生的情况数），这里n＝8，m＝5，所以中奖概率是． 16．【答案】（0，0），（6，0） 【解析】因为抛物线y＝a（x+n）2+h经过点A（﹣2，0）、B（4，0），所以其对称轴为直线x＝1．抛物线y＝a（x+n﹣2）2+h是由抛物线y＝a（x+n）2+h向右平移2个单位得到的．则点A（﹣2，0）、B（4，0）也向右平移2个单位，得到A'（0，0），B'（6，0）．所以抛物线y＝a（x+n﹣2）2+h与x轴的交点坐标是（0，0）和（6，0）． 17．【答案】，8． 【解析】解：如图，连接OC，BE， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠OBC＝90°， ∴∠OCB+∠CAD＝90°， ∵∠BCD＝∠CAD， ∴∠OCB+∠BCD＝90°， ∴∠OCD＝90°， 设OB＝OC＝x，则， 在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB， ∴AB垂直平分CE， ∴BC＝BE，AC＝AE， ∵AB＝AB， ∴△ABE≌△ABC（SSS）， ∴∠BAC＝∠BAE，BC＝BE， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴BE＝6， ∵∠BAC＝∠BAE，∠BCD＝∠CAD， ∴∠BCD＝∠BAE， ∵∠ABG＝∠CBD， ∴∠G＝∠D， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BEG＝90°， ∴， ∴若，则EG＝8， 18．【答案】6． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∵点E是BC的中点， ∴， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEC＝180°﹣∠AEF＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝180°﹣∠B＝90°， ∴∠FEC＝∠BAE， ∴△FEC∽△EAB， ∴， 即， ∴FC＝1， ∴DF＝CD﹣CF＝3， ∴， 三．解答题 19．【答案】见试题解析内容 【解析】解：（1）∵△AOM的面积是3， ∴|k|＝2×3＝6． 又∵图像在二，四象限，k＜0， ∴k=﹣6． （2）∵A是反比例函数y（x＞0）图像上的点， ∴S△AMOxy＝3， ∴△AMO的面积不发生变化． 20．【答案】1＜a＜15且 【解析】方程两边同乘3（x﹣2）得：x+3+3（4﹣a）＝a（x﹣2）x+3+12﹣3a＝ax﹣2ax﹣ax＝﹣2a+3a﹣3﹣12（1﹣a）x＝a﹣15．因为方程的解为正数，所以，即（a﹣15）（1﹣a）＞0，解得1＜a＜15．又因为分母3x﹣6≠0且x﹣2≠0，即x≠2，当x＝2时，，a﹣15＝2﹣2a，3a＝17，，所以．综上，a的取值范围是1＜a＜15且． 21．【答案】（1）x1＝﹣6，x2＝1； （2）3． 【解析】解：（1）x2+5x﹣6＝0， （x+6）（x﹣1）＝0， x+6＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝﹣6，x2＝1； （2）连接OA， 设⊙O的半径为r， ∵CD＝2，AB＝4， ∴OC＝r﹣2，， 在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，即， 解得r＝3． 22．【答案】（1）；（2）（元）；（3）560元． 【解析】（1）每天午餐、晚餐都就餐，即每天就餐2次，五月31天，每餐标价为x元，按八折付款，那么消费金额为2×31×0.8x＝49.6x元．卡内余额y＝960﹣49.6x．因为卡内余额不能为负，所以960﹣49.6x⩾0，解得，又因为x＞0，所以定义域为．（2）当y＝192时，960﹣49.6x＝192，49.6x＝960﹣192，49.6x＝768，（元）．（3）卡内960元全部用完，即y＝0，960﹣49.6x＝0，．按标价消费的总金额为元．实际花费800元，优惠金额为1200﹣800+160＝560元． 23．【答案】（1）3 （2）方法1：连结EG，AC， ∵FG垂直平分AE，∴AG＝EG， ∵AG＝CG， ∴AG＝EG＝CG，设∠DBC＝α， 在菱形ABCD中，BD⊥AC，即∠BGC＝90°， ∴∠GCB＝∠BCG+∠ACG＝90°﹣α， ∴∠GEC＝∠GAC＝90°﹣α， ∴∠GEA+∠EAG＝2α， ∵AG＝EG， ∴∠EAG＝∠AEG＝α， 在菱形ABCD中，∠ABC＝2∠DBC， ∴∠ABC＝2∠EAG． 方法2：过点G分别作GN⊥AB于N，GM⊥BC于M， ∴∠GNA＝∠GME＝90°， 由角平分线性质可得，GN＝GM， ∵FG垂直平分AE， ∴AG＝EG， ∴△GNA≌△GME， ∴∠AGN＝∠EGM， 设∠ABG＝α， 在菱形ABCD中，∠ABC＝2∠ABG＝2α， ∴∠AGE＝∠NGM＝180°﹣2α， ∵AG＝EG， ∴∠EAG＝∠AEG＝α， ∴∠ABC＝2∠EAG． （3）1． 【解析】（1）由菱形对称性得：对角线BD是对称轴，A关于对称轴BD对称的对称点为点C， ∴AG＝CG＝3． （2）方法1：连结EG，AC， ∵FG垂直平分AE， ∴AG＝EG， ∵AG＝CG， ∴AG＝EG＝CG， 设∠DBC＝α，在菱形ABCD中，BD⊥AC，即∠BGC＝90°， ∴∠GCB＝∠BCG+∠ACG＝90°﹣α， ∴∠GEC＝∠GAC＝90°﹣α， ∴∠GEA+∠EAG＝2α， ∵AG＝EG， ∴∠EAG＝∠AEG＝α， 在菱形ABCD中，∠ABC＝2∠DBC， ∴∠ABC＝2∠EAG． 方法2：过点G分别作GN⊥AB于N，GM⊥BC于M， ∴∠GNA＝∠GME＝90°， 由角平分线性质可得，GN＝GM， ∵FG垂直平分AE， ∴AG＝EG， ∴△GNA≌△GME， ∴∠AGN＝∠EGM， 设∠ABG＝α，在菱形ABCD中，∠ABC＝2∠ABG＝2α， ∴∠AGE＝∠NGM＝180°﹣2α， ∵AG＝EG， ∴∠EAG＝∠AEG＝α， ∴∠ABC＝2∠EAG． （3）在菱形ABCD中，∠ABC＝2∠ABD， ∵∠ABC＝2∠EAG， ∴∠ABD＝∠EAG， ∴， 由（1）得AG＝CG， ∴AF+FG+CG＝AF+FG+AG， 在Rt△AFG中，， ∴设FG＝a，则AF＝2a，， 要使得AF+FG+CG最小，即AG最小，即AG⊥BD， ∵菱形的边长为5，根据菱形对角线性质，BD⊥AC，， ∴BG＝2a， ∴（）2+（2a）2＝52， 解得a＝1， ∴FG＝a＝1． 24．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；顶点坐标B为（1，4）； （2）a＝﹣2； （3）﹣6 或0． 【解析】解：（1）把点M（﹣1，0）和N（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c， ， 解得：， ∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点B的坐标为（1，4）； （2）∵点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． ∴A（a，﹣a2+2a+3）， ∵AE∥x轴，交抛物线对称轴于点E， ∴E（1，﹣a2+2a+3）， ∴AE＝1﹣a，BE＝4﹣（﹣a2+2a+3）＝4+a2﹣2a﹣3＝a2﹣2a+1， ∴， 整理得：a2+a﹣2＝0， 解得a＝﹣2 或a＝1（舍去）， （3）A（a，﹣a2+2a+3），M（﹣1，0），N（3，0），B（1，4）， 分四种情况求解： 当a≤﹣1时，， ∴0﹣（﹣a2+2a+3）＝3﹣7a， 整理得：a2+5a﹣6＝0， 解得a＝﹣6或a＝1（舍）， 当﹣1＜a＜1时，， ∴﹣a2+2a+3＝3﹣7a， 整理得a2﹣9a＝0， 解得a＝0或a＝9（舍去）， 当1≤a＜3时，ymax＝yB＝4，ymin＝yM＝0， ∴4﹣0＝3﹣7a， 整理得：﹣7a＝1， 解得（舍）， 当a≥3时，ymax＝yB＝4，3﹣7a， 整理得：a2+5a﹣2＝0， 解得a（舍），a（舍）， 综上所述：a的值为﹣6或0． 25．【答案】（1）连接OC，OD， ∵∠CBE＝45°， ∴∠COD＝2∠CBD＝90°， ∵EF＝BF， ∴∠E＝∠OBE， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠E， ∴OD∥EF， ∴∠ECO+∠COD＝180°， ∴∠ECO＝90°， ∴OC⊥EF， ∵OC是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）． 【解析】（1）证明：连接OC，OD， ∵∠CBE＝45°， ∴∠COD＝2∠CBD＝90°， ∵EF＝BF， ∴∠E＝∠OBE， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠E， ∴OD∥EF， ∴∠ECO+∠COD＝180°， ∴∠ECO＝90°， ∴OC⊥EF， ∵OC是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：如图， ∵AB＝4， ∴AO＝OB＝OC＝OD＝2， ∵OC⊥EF， ∴∠OCF＝∠OCM＝90°， ∴OF2＝OC2+CF2， ∵CF＝3AF， ∴（2+AF）2＝22+（3AF）2， ∴AF， ∴CF， ∵DM⊥EF， ∴∠OCM＝∠CMD＝∠COD＝90°， ∴四边形CODM是矩形， ∵OC＝OD， ∴四边形CODM是正方形， ∴CM＝OD＝2，OC∥MN， ∴FM2，△FCO∽△FMN， ∴， ∴， ∴FN， ∴BN＝FN﹣AB﹣AF． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $