平面向量基本定理及坐标表示 课件-2027届高三数学一轮复习

第32讲 平面向量基本定理及坐标表示 1 1.掌握平面向量基本定理. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4.能用坐标表示平面向量共线. 课 标 要 求 2 1.平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果, 是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的 ______向量,______________实数,,使 . 不共线 任一 有且只有一对 （2）基底 若,________,我们把, 叫作表示这一平面内______向量的一 个基底. 不共线 所有 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 3 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量作正交分解. 互相垂直 3.平面向量的坐标运算 （1）平面向量的坐标运算 已知，，则 ________________， ________________， __________. （2）向量的坐标求法 已知,,则________________, _______________________. 课 前 基 础 巩 固 4 4.平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则 _______________. 课 前 基 础 巩 固 5 ① 常用结论 1.爪子定理 形式1：如图①，在中，是边 上的 点，若， ，则 ，其中，，可知二求一.特别地，若 为边的中点，则. 课 前 基 础 巩 固 6 ② 形式2：如图②，在中，是边 上的 点，且，则 ， 其中，，可知二求一.特别地，若 为 边的中点，则 . 2.三角形的重心坐标公式：已知的顶点， ， ，则线段的中点坐标为， 的重心坐 标为 . 课 前 基 础 巩 固 7 题组一 常识题 1.［教材改编］已知向量，点的坐标为，则点 的 坐标为______. [解析] 方法一：设，则 ， 解得，，所以 . 方法二：设为坐标原点，因为 ， 所以，所以 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 8 2.［教材改编］设平面向量，，则 _________. [解析] . 课 前 基 础 巩 固 9 3.［教材改编］在中，点为边上一点，且 ， 设，，则_ ________.（用， 表示） [解析] 由题意，可得 . 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 常错题 ◆ 索引：忽视构成基底的两个向量不能共线致误；两个向量共线的 坐标表示公式掌握不牢致误；忽视共线包括两种情况致误. 4.给出下列四组向量：， ； ，；， ； ， .其中可以构成基底的是____.（填序号） ② [解析] 两个不共线的向量可以构成一个基底， ①③④中与 均共线，②中与 不共线.故填②. 课 前 基 础 巩 固 11 5.已知向量，，若，则 ____. [解析] 因为，，且 ， 所以，解得 . 课 前 基 础 巩 固 12 6.已知，，点在直线上，，则点 的坐标为_ _____________. 或 [解析] 由点在直线上，且， 可得 或. 当时，设 ，则， 解得，，此时点 的坐标为. 当时，设 ，则， 解得，，此时点 的坐标为. 综上，点的坐标为或 . 课 前 基 础 巩 固 13 探究点一 平面向量基本定理 例1（1）如图，在中，点， 分别在 ，边上，且，，点 为 的中点，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据条件，结合图形，得到 ，再利 用向量的线性运算，即可求解； √ 课 堂 考 点 探 究 14 [解析] 因为点为 的中点， 所以， 又, ， 所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 15 （2）[2025·北京朝阳区二模]在矩形中，, , ，点为线段的中点，与交于点 .设 ，其中,分别是与, 方向相同 的单位向量，则( ) A., B., C., D., ［思路点拨］根据条件，可得 ，然后利用平面向量 基本定理即可得解. √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 在矩形中，因为点为线段 的中点， 所以，所以 ， 则有. 因为,， , 分别是与,方向相同的单位向量, 所以, ， 则 ， 又因为，所以, .故选B. 课 堂 考 点 探 究 17 [总结反思] （1）应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或 三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. （2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底, 并用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解 决问题. 课 堂 考 点 探 究 18 变式题（1）[2025·湖南长沙雅礼中学一模]在中， , ,,.若，则 的 值为( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以为的中点，所以 . 因为，所以，所以 ， 所以 ， 所以, ，所以 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 19 （2）[2025·天津卷节选] 在中，为 边的中点， ，，，则_________（用， 表示）. [解析] 因为，所以 ， 所以， 又为 边的中点，所以 . 课 堂 考 点 探 究 20 探究点二 平面向量的坐标运算 例2（1）在平面直角坐标系内，的三个顶点分别为 ， ，，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］将各点的坐标代入即可求解. [解析] 因为，， ， 所以 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 21 （2）已知向量,, 在正方形网格（规定小方格的 边长为1）中的位置如图所示，若 ，则 的值为____. ［思路点拨］根据题意建立平面直角坐标系， 然后表示出,,的坐标，代入 中可求出 , 的值，从而可求得结果. 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 根据题意建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ， ， 因为， 所以 ， 所以 解得 所以 . ， 所以 ， 课 堂 考 点 探 究 23 [总结反思] （1）利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进 行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一 原则,转化为方程（组）进行求解. （2）向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使 向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化 为我们熟知的数量运算. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题（1）已知,，若表示向量,, 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 由题得 ，， 因为表示向量,, 的有向线段首尾相接能构成三角形， 所以， 则 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 25 （2）如图,在直角梯形中,, , ,为 的中点,若 ,则 的值为__. 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 不妨设,则, 以为原点， ，所在直线分别为, 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系, 则，, ,, , ,, , , , 解得故 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 平面向量共线的坐标表示 例3（1）[2025·南通押题卷]已知两个不相等的向量 ， ，若，则 ( ) A. B.0 C. D. ［思路点拨］根据向量的坐标运算得 ， 然后根据向量共线的坐标运算求得或 ，再代入验证即 可求解. √ 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 因为向量， ， 所以， 由 得， 所以 ，解得或. 当时，， ，此时，不符合题意； 当时，， ，此时 ，符合题意.故选C. 课 堂 考 点 探 究 29 （2）已知平面四边形的三个顶点，， ， 且，则顶点 的坐标为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设出点的坐标,求出, 的坐标,利用向量相等构造 方程组求解. [解析] 设，则，， 因为 ，所以解得 所以顶点的坐标为 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 30 [总结反思] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： ①若，，则 的充要条件是 ； ②若，则 . 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数. 当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. 课 堂 考 点 探 究 31 变式题（1）[2026·杭州学军中学开学考]已知向量 ， ，.若，，三点共线，则 ( ) A. B. C.11 D. [解析] 因为向量，， ， 所以. 因为，，三点共线，所以 ， 所以，解得 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 32 （2）已知向量,.若,则实数 _ ____. 0或 [解析] ,, 因为 , 所以, 解得或 . 课 堂 考 点 探 究 33 【备选理由】例1考查平面向量线性运算的应用及平面向量基本定理 的应用. 例1 ［配例1使用］平面内三个向量 ， ，的位置如图所示，其中与 的夹 角为 ，与的夹角为 ，且 6 ,.若，则 ___. 教 师 备 用 习 题 34 [解析] 方法一：如图，作平行四边形 ， 则， 因为与的夹角为 ，与 的夹角为 ， 所以 . 在中，由 ，， 可得，， 所以 ， 所以，所以，，所以 . 教 师 备 用 习 题 35 方法二：以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以, ，. 由，得解得 所以 . 教 师 备 用 习 题 36 例2 ［配例2使用］[2025·广东中山纪念中学最后一卷]如图，扇形 的圆心角为, 是扇形内部（包括边界）任意一点，若 ，那么 的最大值是( ) A.2 B. C.4 D. √ 【备选理由】例2考查平面向量的坐标运算. 教 师 备 用 习 题 37 [解析] 以点为坐标原点，所在直线为 轴建 立如图所示的平面直角坐标系， 设扇形的半径为，则， ， 所以, ， 设点 ， 则 ， 因为 ， 教 师 备 用 习 题 38 所以 所以 所以 . 因为 ，所以， 所以当且时， 取得最大值4.故选C. 教 师 备 用 习 题 例3 ［配例3使用］ （1）在平面直角坐标系中,已知点,,, , ,与交于点,则点 的坐标为_______. [解析] 因为点,,,所以， ， 又，,所以, ， 所以,. 设的坐标为,则 , 【备选理由】例3通过向量共线的坐标表示,考查推理论证能力、运 算求解能力. 教 师 备 用 习 题 40 又，,,三点共线,所以与 共线, 所以,即. 因为 , ,,,三点共线, 所以与 共线,所以,即. 由 解得所以点的坐标为 . 教 师 备 用 习 题 （2）已知点，0，，4，，6，为坐标原点，则 与 的交点 的坐标为______. [解析] 方法一:由，，三点共线，可设 , 则 ， 由, 共线，得，解得 ， 所以,所以点的坐标为 . 教 师 备 用 习 题 42 方法二:设点，则， 因为，且 与 共线， 所以，即. 因为 ， ，且,共线， 所以 ，解得， 所以点的坐标为 . 教 师 备 用 习 题 43 作业手册 44 1.已知点，，向量，则向量 等于( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，所以 ， 所以 ，故选D. √ ◆ 基础热身 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 45 2.若{，是平面 内的一个基底，则下列四组向量能构成平面 的一个基底的是( ) A.， B.， C.， D.， √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 [解析] 由{，是平面 内的一个基底，可知， 非零不共线. 对于A，，故， 共线，A不满足 题意； 对于B，， 不共线，B满足题意； 对于C，，故， 共线，C不满足题意； 对于D，，故 ， 共线， D不满足题意.故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 3.如图，已知，用，表示，则 等于( ) A. B. C. D. [解析] 因为 , 所以 . 故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 4.知，，，，若与共线，则 ( ) A.1 B.2 C.或2 D. 或1 [解析] 因为，，， ， 所以，， 又与 共线，所以， 解得或 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 5.[2025·吉林长春二模]在中，，点在 上，若 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ， 则 ， 又,,三点共线，所以，解得 .故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 6.（多选题）[2025·湖北华中师大附中月考]已知向量 ， ，，若，， 三点能构成三角形， 则实数 的值可以是( ) A. B. C.1 D. [解析] 由题意知 ， . 假设 ，，三点共线，则，解得 ， 所以只要，，，三点就能构成三角形.故选 . √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 7.[2025·安徽合肥示范中学三模] 已知向量， ， 若，则 ____. [解析] ，， ， ，解得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 8.在中，点是边的中点，点在 边上，且 ，与相交于点，设， ，则向量 __________.（用, 表示） 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 [解析] 由题意得，，三点共线， 所以存在 ，使得. 又，， 三点共线， 所以存在，使得 . 由平面向量基本定理可得解得 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.已知，，，设， ， ，且， . （1）求 ； 解： . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 （2）求满足的实数， 的值； 解：方法一：， ， ， 解得 方法二:， ，又 ， ， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 （3）如果且，求 的值. 解：， ， . ，，解得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 10.已知,,是坐标原点，点满足 ， 且，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设，则,, ， 由题意 可知， ， 所以消去 ，得点的轨迹方程为 .故选D. √ ◆ 综合提升 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 11.在中，点是线段上任意一点，点在线段 上，且满 足，若存在实数和，使得 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 [解析] 方法一：设， , ， ， .故选C. 方法二（等和线定理） ， 则， 由等和线定理得 ， 则 .故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 12.（多选题）在平面直角坐标系中，已知点, , ， ，则下列说法正确的是 ( ) A.若，则 B.若点在直线上，则 C.若，则 D.若与共线，则 √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 [解析] 由题知，,, ， 所以. 对于A，若 ，则，即 ， 故A正确； 对于B，， 若点在直线 上，则，所以， 即 ，故B错误； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 对于C， ， ， ， 若，则 ， 即 解得所以 ，故C正确； 对于D，， 若与 共线，则， 即 ，故D错误. 故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.如图所示，在中，，分别在边， 上，且，，与交于 点， ，，则__________.（用， 表示） [解析] ，，三点共线， 设 ，，三点共线， 设 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 由平面向量基本定理得 解得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.[2025·柳州三模] 在中， ，，， 为 内（包括边界）一点，且.若 ，则 的最大值为____. [解析] 如图，以为坐标原点，, 所在直线分 别为,轴建立平面直角坐标系， 则, , , 设 ,则， 过点作 轴的垂线，垂足为，则 , ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 所以， 所以 ,,. 因为 ，所以， 所以 , ， 则 ， 又 ，所以， 所以当 ，即时， 取得最大值 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 15.如图，在中，为线段上靠近点的三等分点， 是线段 （不包括端点）上一点，过点的直线与边， 分别交于点 ，，设， . （1）若，，求 的值； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 解：由点,,三点共线，可设 ， 即 ， 即 ， ，， . 为线段上靠近点的三等分点， . 由点,,三点共线可设 ， 即 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 故解得 故 ， 故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）若点为线段的中点，求 的最小值. 解：由（1）可知， ， 又， ， ， 又为线段 的中点， ， ， 故得 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 故 的最小值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.（多选题）[2025·湖北黄冈二模]设平面向量,的夹角为 ， 若，且 ，则( ) A.当时，,, 三点共线 B.当,时，平分 C.当时， 的最大值为2 D.当时，的取值范围为 √ √ √ ◆ 能力拓展 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 [解析] 对于A，当 时，， 可得,, 三点共线，故A正确. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 对于B，当, 时，由， 可得 ， 即， 故,,三点共线，且. 过点作 ，交于点， 因为，，所以， ， 故，则， 由可得 ，则 ， 故平分 ，故B正确. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 对于C，如图，以为坐标原点，所在直线为 轴,建立平面 直角坐标系，则 ,，即， 因为 ，所以不妨设， ， 由 可得 ， 故 解得 故 ，其中， 故的最大值为 ，故C错误. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于D，根据C选项可得 则， 因为 ，所以 ， 即的取值范围为 ，故D正确. 故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.已知点为扇形的弧上任意一点，且 ，若 ，则 的取值范围是_ ______. [解析] 以为坐标原点，所在直线为轴，过点 作的垂线，以该直线为 轴建立平面直角坐标系，如图. 设扇形的半径为1，则, , 设，其中 , . 由 ， 得 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 整理得 , ， 解得 , ， 则 , 因为 ，所以 , 所以，故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【知识聚焦】 1.（1）不共线 任一 有且只有一对 （2）不共线 所有 2.互相垂直 3.（1）<m></m> <m></m> <m></m> （2）</m> <m></m> 4.<m></m> 【对点演练】 1.<m></m> 2.<m></m> 3.<m></m> 4.② 5.<m></m> 6.<m></m>或<m></m> 课堂考点探究 例1（1）C （2）B 变式题（1）C （2）<m></m> 例2（1）B （2）<m></m> 变式题（1）D （2）<m></m> 例3（1）C （2）A 变式题（1）C （2）0或<m></m> 答 案 核 查 80 基础热身 1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.ABD 7.<m></m> 8.<m></m> 9. <m></m>. （2）</m>，<m></m>.（3）<m></m>. 综合提升 10.D 11.C 12.AC 13.<m></m> 14.<m></m> 15.（1）<m></m>.（2）</m>. 能力拓展 16.ABD 17.<m></m> 答 案 核 查 81 $