第2节 平面向量基本定理及坐标表示 课件-2027届高三数学一轮复习

第2节　平面向量基本定理及坐标表示 课标要求 1. 掌握[课标变化：了解→掌握]平面向量基本定理. 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 目录/ CONTENTS 考点一 平面向量基本定理 01 考点二 平面向量的坐标运算 02 考点三 向量共线的坐标表示 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 平面向量基本定理 目 录 条件 e1，e2是同一平面内的两个 ⁠ 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝ ⁠ 基底 若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所 有向量的一个基底 不共线向量　 λ1e1＋λ2e2　 不共线　 高中总复习·数学 目 录 提醒：（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不 能作为基底；（2）如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1 ＋μ2e2，那么可以得到 即基底给定，同一向量的分解形式唯 一.特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0. 高中总复习·数学 目 录 题组练透 1. 设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向 量组：① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 .其中可作为 这个平行四边形所在平面的一个基底的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ √ 解析： 　平面内任意两个不共线的向量都可以作为基 底，如图，对于①， 与 不共线，可作为基底；对于 ②， 与 为共线向量，不可作为基底；对于③， 与 是两个不共线的向量，可作为基底；对于④， 与 在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·天津河北联考）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，且BD ＝2AD，点E是CD的中点.设 ＝a， ＝b，则 可以表示为（　　） A. a＋ b B. a＋ b C. a－ b D. a－ b √ 解析： 　由题设知， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ） ＝ ＋ ，所以 ＝ a＋ b.故选B. 高中总复习·数学 目 录 3. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在线段BD 上，且 ＝3 ，若 ＝λ ＋μ （λ，μ∈R），则（　　） A. λ＝ μ B. λ＝2μ C. λ＝3μ D. λ＝ μ √ 解析： 　在平行四边形ABCD中，因为 ＝3 ，所以 ＝ ＝ （ － ），又因为 ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，又因为 ＝λ ＋μ ，所以λ＝ ，μ＝ ，则 λ＝2μ.故选B. 高中总复习·数学 目 录 练后悟通 应用平面向量基本定理表示向量的策略 （1）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件， 把相关向量用这一个基底表示出来； （2）强调图形几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常 借助图形的几何性质，如平行、相似等. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 平面向量的坐标运算 目 录 1. 把一个向量a分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量a作 ⁠ ⁠. 由向量基本定理，若i，j为不共线的向量且i⊥j，则a＝xi＋yj唯一表 示，其中{i，j}称为一个单位正交基，有序实数对 ⁠叫做向 量a的坐标，记作a＝（x，y）. 正交分 解　 （x，y）　 高中总复习·数学 目 录 2. 向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－ b＝ ，λa＝ ，｜a｜＝ . （x1－x2，y1－y2）　 （λx1，λy1）　 高中总复习·数学 目 录 3. 向量坐标的求法 （1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； （2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则 ＝（x2－x1，y2－y1），｜ ｜＝ ⁠. 　 提醒：已知△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）， 则△ABC的重心G的坐标为（ ， ）. 高中总复习·数学 目 录 （1）〔一题多解〕已知 ＝（5，－2）， ＝（－4，－3），且 ＋ ＋ ＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为（　B　） A. （－9，－1） B. （ ，－ ） C. （1，－5） D. （ 3，－ ） B 解析： 法一　由题意知A（5，－2），B（－4，－3），O（0，0），设 P点坐标为（x，y），∴ ＝（x，y）， ＝（x－5，y＋2）， ＝（x＋4，y＋3），又∵ ＋ ＋ ＝0，∴（x，y）＋（x－5，y ＋2）＋（x＋4，y＋3）＝（0，0），解得x＝ ，y＝－ ，∴P点坐标 为（ ，－ ）. 高中总复习·数学 目 录 法二　因为 ＋ ＋ ＝0，所以P是△OAB的重心，又A（5，－ 2），B（－4，－3），O（0，0），设P（x，y），由结论知，x＝ ＝ ，y＝ ＝－ ，P点坐标为（ ，－ ）.故 选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·山东威海二模）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝ 60°， ＝3 ， ＝ ，AE，CF交于点D，则｜ ｜＝（　C　） C A. B. C. D. 高中总复习·数学 目 录 解析：由题可建立如图所示的平面直角坐标系，由图可得 A（0，0），B（3，0），C（1， ），又 ＝ 3 ， ＝ 得F（1，0），E（ 2， ），故直线 AE的方程为y＝ x，可得D（ 1， ），所以｜ ｜＝ ＝ .故选C. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 平面向量坐标运算的技巧 （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求 解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.求向量的模 长，用两点间的距离公式求解； （2）解题过程中，常利用“向量相等，对应坐标分别相同”这一原则， 通过列方程（组）来进行求解. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）（2026·广东佛山一模）在梯形ABCD中，AB＝2BC＝2CD＝ 2AD，已知 ＝（2，4），则 ＝（　C　） A. （2，1） B. （1，2） C. （－1，－2） D. （－2，－1） C 解析： 在梯形ABCD中，AB＝2BC＝2CD＝2AD，所以AB∥CD， CD＝ AB，所以 ＝－ ＝（－1，－2）.故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知向量a＝（2，－3），b＝（1，2），c＝（9，4），若正实数 m，n满足c＝ma＋nb，则 ＋ ＝（　A　） A. B. A 解析：因为a＝（2，－3），b＝（1，2），c＝（9，4），所以c＝ma＋ nb＝（2m＋n，－3m＋2n）＝（9，4），所以 解得 所以 ＋ ＝ ＋ ＝ .故选A. C. D. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 向量共线的坐标表示 目 录 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b⇔ ⁠. 提醒：a∥b的充要条件不能表示为 ＝ ，因为x2，y2有可能为0. x1y2－x2y1＝0　 （1）已知向量a＝（2，－λ），b＝（－1，λ－2），c＝（1，2）， 且（a－b）∥c，则实数λ＝（　B　） A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 B 解析： 因为a＝（2，－λ），b＝（－1，λ－2），所以a－b＝（3，2－ 2λ），又（a－b）∥c，所以1×（2－2λ）＝2×3，所以λ＝－2.故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且｜ ｜＝ 2｜ ｜，则点P的坐标为（　C　） A. （3，1） B. （1，－1） C. （3，1）或（1，－1） D. （3，1）或（1，1） C 解析：∵A（2，0），B（4，2），∴ ＝（2，2），∵点P在直线AB 上，且｜ ｜＝2｜ ｜，∴ ＝2 或 ＝－2 ，故 ＝（1， 1）或 ＝（－1，－1），故P点坐标为（3，1）或（1，－1）.故选C. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 两平面向量共线的充要条件有两种形式 （1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0（ 或若 x2y2≠0，则a∥b⇔ ＝ ）； （2）若a∥b（b≠0），则a＝λb. 2. 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）已知 ＝（6，1）， ＝（x，y）， ＝（－2，－3）， 且 ∥ ，则x＋2y的值为（　　） A. 0 B. 2 C. D. －2 √ 解析： 　因为 ＝（6，1）， ＝（x，y）， ＝（－2，－ 3），所以 ＝ ＋ ＋ ＝（4＋x，y－2），因为 ∥ ，所以 x（2－y）＝y（－x－4），所以2x＋4y＝0，x＋2y＝0.故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知A（－1，0），B（3，－1），C（1，2）， ＝ ， ＝ .求点E，F及向量 的坐标. 解：设点E的坐标为（a，b），点F的坐标为（x，y）， 则由 ＝ 可得（a＋1，b）＝ （1＋1，2－0）＝ （2，2）， 故有 解得 即点E的坐标为（ － ， ）. 高中总复习·数学 目 录 由 ＝ ，可得（x－3，y＋1）＝ （－2，3）， ∴ ∴ 即点F的坐标为（ ，0），故 ＝（ ， － ）. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：72分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 已知a＝（5，－2），b＝（－4，－3），若a－2b＋3c＝0，则c＝ （　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为a－2b＋3c＝0，所以c＝－ （a－2b）.因为a－2b＝ （5，－2）－（－8，－6）＝（13，4），所以c＝－ （a－2b）＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·云南曲靖模拟）已知A（－2，1），B（－1，3），C（3， 4），若点D满足 ＝ ，则点D的坐标为（　　） A. （2，2） B. （3，1） C. （1，3） D. （5，5） √ 解析： 　设点D（x，y），则 ＝（1，2）， ＝（3－x，4－ y），又 ＝ ，所以 则 所以点D的坐标为（2， 2）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·海南三亚模拟）已知ABCD为平行四边形，E为CD的中点，记 ＝a， ＝b，则 ＝（　　） A. a＋ b B. a－ b C. － a＋b D. － a－b √ 解析： 　因为E为CD的中点，所以 ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ － ＝－ a＋b.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·山西太原模拟）已知a＝（2，1），b＝（m，－1），若a∥ （a－b），则实数m＝（　　） A. －2 B. 3 C. 6 D. －1 √ 解析： 　因为a＝（2，1），b＝（m，－1），所以a－b＝（2－m， 2），因为a∥（a－b），所以2－m－4＝0，解得m＝－2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点， ＝－2 ，若 ＝x ＋y ，则x＋y＝（　　） A. 1 B. 6 C. D. √ 解析： 　∵ ＝ － ＝ － ＝ － ，∴x＝ ，y＝ － ，∴x＋y＝ － ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知平面向量a＝（1，－2），b＝（2，1），c＝（－4，－ 2），则下列结论正确的是（　　） A. ｜c｜＝2｜a｜ B. 向量c与向量b共线 C. 若c＝λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R），则λ1＝0，λ2＝－2 D. 对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2c √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，｜a｜＝ ＝ ，｜c｜＝ ＝2 ，故A正确；对于B，因为b＝（2， 1），c＝（－4，－2），所以c＝－2b，所以向量c与向量b共线，故B 正确；对于C，若c＝λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R），则（－4，－2）＝（λ1 ＋2λ2，－2λ1＋λ2），所以 解得 故C正 确；对于D，因为c＝－2b，所以d＝k1b＋k2c＝k1b－2k2b＝（k1－ 2k2）b，所以当d不与b共线，且d≠0时，不存在实数k1，k2，使得d＝ k1b＋k2c，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. （2026·四川泸州期末）已知点A（1，3），B（4，－1），O为坐标原 点，则与向量 同方向的单位向量为 ⁠. 解析： ＝ － ＝（4，－1）－（1，3）＝（3，－4），所以与 同方向的单位向量为 ＝（ ，－ ）. （ ，－ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·北京丰台模拟）已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点， ＝m ， ＝n （m·n≠0），若 ∥ ，则 ＝ ⁠. 解析：设 ＝λ ，则 ＝ ＋ ＝－m ＋n ＝λ（ ＋ ）＝λ（ － ），即－m ＋n ＝－ λ ＋λ ，所以 故 ＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb （λ，μ∈R），则λ＋μ＝ ⁠. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：建立如图平面直角坐标系，设每个格子长度为1， 则a＝（－2，1），b＝（3，3），c＝（－1，－3）， 由c＝λa＋μb得 解得 所以λ＋μ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. 在平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（－1，2），c＝（4， 1）.若a＝mb＋nc，则实数m＋n＝ ；若向量d满足（d－c）∥ （a＋b），且｜d－c｜＝ ，则向量d的坐标为 ⁠ ⁠. 　 （3，－1）或（5， 3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由已知条件以及a＝mb＋nc，可得（3，2）＝m（－1，2）＋n （4，1）＝（－m＋4n，2m＋n），即 解得 故m＋n＝ .设向量d＝（x，y），则d－c＝（x－4，y－1），a＋b ＝（2，4）.∵（d－c）∥（a＋b），｜d－c｜＝ ， ∴ 解得 或 ∴d＝（3，－1）或（5，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 若点M是△ABC所在平面内一点，且满足 ＝ ＋ ，则 △ABM与△ABC的面积之比为（　　） A. B. √ 解析： 　由 ＝ ＋ ，所以3（ － ）＝ － ，即 ＝3 ，∴ ＝ ，即 ＝ ＝ . C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段 AB交于圆内一点P，若 ＝λ ， ＝μ ＋3μ ，则（　　） A. 当P为线段OC中点时，μ＝ B. 当P为线段OC中点时，μ＝ C. 无论μ取何值，恒有λ＝ D. 存在μ∈R，λ＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题意，可得 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ（ － ）＝（1－λ） ＋λ ，因为 与 共线，所以 ＝ ，解得λ ＝ ，所以C正确，D错误；当P为线段OC中点时，则 ＝ ，即 ＝ μ ＋ μ ，则1－λ＝ μ且λ＝ μ，解得μ＝ ，所以A正确，B错 误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 在△ABC中，点D，E是线段BC上的两个动点，且 ＋ ＝x ＋y ，则xy的最大值为 ⁠. 解析：设DE的中点为M，连接AM（如图）.则 ＋ ＝2 ＝x ＋y ，所以 ＝ ＋ ，又B， C，M三点共线，所以x＋y＝2，且x＞0，y＞0，又x＋y≥2 ，当且仅当x＝y＝1时，取等号，所以xy≤1，即xy的最大值为1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，B，C在第一象限，｜ ｜＝2｜ ｜＝2，∠OAB＝ ， ＝（－1， ）.则点B的坐标 为 ；四边形OABC的周长为 ⁠. （ ， ） 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：在平面直角坐标系中，由｜ ｜＝2，知A（2，0），设B（xB， yB），又∠OAB＝ ，｜ ｜＝1，则xB＝2＋ cos （π－ ）＝ ，yB＝ sin （π－ ）＝ ，∴B（ ， ）.又 ＝（－1， ），∴ ＝ ＋ ＝（ ， ）＋（－1， ）＝（ ， ），∴C（ ， ）.易 得 ＝（ ， ）， ＝（ ， ），∴ ＝3 .∴ ∥ ，｜ ｜＝3｜ ｜＝3.又｜ ｜＝ ＝2，｜ ｜＝2，∴四边形 OABC的周长为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $