2025-2026学年人教版八年级数学下册期末测试卷

**基本信息** 2026年八年级数学下册期末测试以文化传承（如赵爽弦图）、社会热点（学生体育锻炼统计）及真实问题（吉祥物销售、过河建桥）为情境，构建基础巩固到创新应用的梯度命题，渗透抽象能力、几何直观与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次根式定义（1）、勾股定理判定（3）、箱线图分析（5）、函数图像识别（6）|结合《周髀算经》弦图（7）考查几何计算，体现文化传承| |填空题|10/20|统计量（10）、函数自变量范围（11）、正方形与正多边形综合（13）、菱形性质（17）|加热实验温度差（12）关联科学情境，增强真实性| |解答题|6/56|统计分析（20）、数形结合建模（21）、实际应用（22）、几何证明（23）、函数探究（24）|21题以“建模思想”解决最短路程，24题探究含绝对值函数性质，培养创新意识与推理能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年八年级数学下册期末测试（六） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的（      ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，垂足为D，点E是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C．4 D． 5．如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（　　） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大 C．丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 8．如图1，在菱形中，，点E为边的中点，对角线与相交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，运动到点D时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到点O时，的长为（   ） A．3 B．2 C． D．4 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9．计算：______． 10．一组数据的箱线图如图，这组数据的下四分位数是______． 11．函数中自变量的取值范围是____． 12．如图（1）所示，用相同的实验装置分别加热质量相同的水和食用油，根据实验数据绘制了如图（2）所示的温度随时间变化的图象，则加热时间为6分钟时，水与食用油的温差为___________． 13．如图，正方形和正n边形的两条邻边相交，若，则n的值是________． 14．如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________ 15．如图，，，，，，则四边形的面积是______． 16．如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 17．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为点H，连接．若，则的长为_____． 18．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算（每题5分，共计10分） （1） （2） 20．（7分）为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．③甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 ⑥．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如上表： (1)____，___； (2)甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则______（填“”、“”或“”）； (3)由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为74分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量中不变的是______（写出所有符合题意的序号）．①平均数②中位数③众数④方差 (4)求表中a和b的值．（结果保留整数） 21．（8分）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为__________ ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ________． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 22. （10分）A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，A型号进价为30元/个，B型号进价为35元/个，若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)该超市A、B型号吉祥物售价分别为多少？ (2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 23．（10分）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 24．（11分）【课本再现】课本页有这样一个探究性问题：一次函数的一般形式是（为常数，）．结合本章的学习经验畅想一下：后续学习中还可能研究哪些形式的函数？ 【初步感知】学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请你运用学习一次函数积累的经验和方法，列表、描点、连线，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题： … 0 1 2 3 … … _____ 3 1 _____ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图1所给的坐标系中画出函数的图象； 【深入探究】 （2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，的值随的值增大而减小； ②当时，； ③当时，该函数取得最大值，最大值为3； ④该函数图象是轴对称图形． 其中正确的是．___________（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【拓展应用】 （4）①若关于的方程组无解，则的取值范围是______________ ②若与有3个交点，请你根据以上探究过程所得经验，直接写出的取值范围． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A C A C B 1．C 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需要满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】根据定义，形如的式子叫做二次根式． A．∵被开方数，∴不是二次根式，故不符合题意； B．∵可以取负数，当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式，故不符合题意； C．∵对任意实数，都有，∴，根指数为2，满足二次根式的定义，∴一定是二次根式，故符合题意； D．∵该式子根指数为，属于三次根式，∴不是二次根式，故不符合题意； 2．B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的乘除、乘方、加法运算法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】对选项A：，故A选项错误， 对选项B：，故B选项正确， 对选项C：，故C选项错误， 对选项D：与不是同类二次根式，不能合并，，故D选项错误． 3．D 【详解】解：A、∵，即，符合勾股定理逆定理，∴是直角三角形，故不符合题意； B、∵，∴，∴是直角三角形，故不符合题意； C、∵，∴，∵，∴，即，∴是直角三角形，故不符合题意； D、由可设，∵， ∴，解得：，∴，∴不是直角三角形，故符合题意． 4．A 【分析】先推导出，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴． 5．C 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由题意可知： 三个班级中，甲班分数的方差最小，故选项A说法正确，不符合题意； 三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大，故选项B说法正确，不符合题意； 丙班的中位数比80分稍多，所以丙班得分低于80分的人数不可能多于得分高于80分的学生人数，故选项C说法错误，符合题意； 根据题意，得第11名刚好是对应各班的上四分位数，从箱线图看出丙班的上四分位数最大， ∴若每班有42名学生，则三个班级的第11名中，最高的是丙班，故选项D说法正确，不符合题意． 6．A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 7．C 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为， ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴． 8．B 【分析】观察图2可得，当点运动到点时，的面积达到最大值，为，由菱形的性质可得，，，作交的延长线于点，则，求出，，当点运动到点时，根据，计算得出，当点P运动到点O时，由点为的中点，可得为的中位线，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图2可得，当点运动到点时，的面积达到最大值，为， ∵四边形为菱形，， ∴，，， 如图，作交的延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴当点运动到点时，， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴当点P运动到点O时，由点为的中点，可得为的中位线，即此时． 9．/ 【详解】解：． 10． 60 【分析】根据箱线图的结构特征，识别出表示下四分位数的位置，即箱体的下底边，直接读取对应的数值即可． 【详解】解：观察题中所给的箱线图，可以看到矩形箱体的下底边对应的纵轴数值为， 因此，这组数据的下四分位数． 11． 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 12．160 【分析】观察图象可得加热时间为6分钟时，水的温度为，食用油的温度为，即可求解． 【详解】解：观察图象得：加热时间为6分钟时，水的温度为，食用油的温度为， 所以加热时间为6分钟时，水与食用油的温差为． 13． 6 【分析】由正方形的性质得其内角为，结合对顶角相等及四边形内角和定理，可计算出正边形的一个内角为，再利用正多边形内角公式构造方程，求解出的值 【详解】解：由正方形的性质可知，正方形的每个内角均为， ∵正方形和正边形的两条邻边相交构成一个四边形， 根据对顶角相等，该四边形的两个内角分别等于和， ∴由四边形内角和定理可知，正边形的一个内角为： ， 根据正多边形内角公式得：， 解得． 14． 【分析】先得出①②两个正方形的边长，然后根据进行求解即可． 【详解】解：由图可知：①号正方形的面积为50，则边长为；②号正方形的面积为18，则边长为， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 15．24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 16． 5 【分析】先证明是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由矩形的性质即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， 是的中位线，， ∴， ， ， ， ， ． 17． 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，掌握这些性质与定理是解题的关键；由菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质求得的长，再由勾股定理求得菱形的边长，利用面积关系即可求解． 【详解】解：在菱形中，，，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故答案为：． 18． 【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合与运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的除法进行计算即可求解； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 20．(1)66；70 (2) (3)③ (4)； 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大，据此可得答案； （3）把甲中的一个60换成74后，中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化，不变的是众数． （4）根据平均数的定义求解即可． 【详解】（1）解：把甲这七天的运动时长按照从低到高排列为60分，60分，66分，66分，70分，70分，70分， ∴甲的中位数为66分，即， ∵甲运动时长为70分的天数最多， ∴甲的众数为70分，即； （2）解：由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴； （3）解：把甲中的一个60换成74后， 新数据是：60分，66分，66分，70分，70分，70分，74分， 中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化， ∴不变的是众数． 故答案是：③． （4）解：， ． 21．(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 22．(1)A型号吉祥物售价为40元/个，B型号吉祥物售价为50元/个 (2)1090元 【分析】（1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）根据“购买种型号吉祥物的数量个不少于种型号吉祥物数量的”建立不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性，即可求解； 【详解】（1）解：设A型号吉祥物售价为元/个，B型号吉祥物售价为元/个； 由题知，， 解得：； 答：A型号吉祥物售价为40元/个，B型号吉祥物售价为50元/个． （2）解：∵购买种型号吉祥物的数量个，则购买种型号吉祥物的数量个， 且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的， ∴， 解得， ∴且为正整数， 该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为： ， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∵x取正整数， ∴当时，w最大，且最大值为： （元）． 23．(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据角平分线的定义得出相等的角，利用平行线得出内错角相等，得出，根据等角对等边得出，根据菱形的定义即可得出结论； （2）根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴为直角三角形，且点为斜边的中点， ∴． 24．（1）1，；补全表格和画函数图象见详解；（2）①②③④；（3）； （4）①；②或 【分析】（1）首先将和代入函数表达式中，求出对应的y的值补全表格即可，再进行描点连线画出函数图象即可； （2）结合图象逐一判断四个说法的正误即可； （3）首先判断当时存在函数最大值，进而再求得和时对应的y的值比较最小值即可得出的取值范围； （4）①将关于的方程组转化为函数与直线的图象没有交点，结合函数图象即可得到答案； ②首先根据画出函数图象，结合图象判断与有3个交点时的取值范围即可． 【详解】解：（1）当时，，当时，， ∴如图，补全表格和画函数图象即为所作， … 0 1 2 3 … … 1 3 1 （2）对于①：由图象可知，当时，的值随的值增大而减小，∴①正确； 对于②：当时，，∴②正确； 对于③：由表格可知，当时，该函数取得最大值，最大值为3，∴③正确； 对于④：由图象可知，该函数图象是轴对称图形，∴④正确； 故答案为：①②③④； （3）当时，，当时，， ∵当时，该函数取得最大值，最大值为3， ∴当时，； （4）①：∵关于的方程组，可以看作函数与直线的图象没有交点， ∴由图象可知，当时，函数与直线的图象没有交点， ∴关于的方程组无解，则的取值范围是； ②：如图，根据画出函数图象， ∵与有3个交点， ∴由图象可知，当或时，有三个交点． 【点睛】本题主要考查含绝对值的一元一次函数的图象与性质，准确画出含绝对值的一元一次函数的图象是解题的关键． 试题 第3页（共22页） 试题 第4页（共22页） 试题 第1页（共22页） 试题 第2页（共22页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $