第二章 第8讲 函数的单调性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性”核心考点，依据高考评价体系明确了单调性定义理解、单调区间求解、单调性判断与证明三大考查要求，通过梳理近五年高考真题，归纳出多选判断单调性、定义证明、含绝对值/根号函数单调区间求解等高频题型，体现备考的针对性。 课件亮点在于“理法先行+真题突破+素养提升”策略，如用定义证明单调性的“设元-作差-变形-判号-结论”五步通法，结合2023北京卷“函数单调性判断”真题解析，培养学生的逻辑思维与数学表达能力。特设易错点警示（如单调区间不用并集符号），助力学生掌握得分技巧，教师可据此系统开展复习教学，提升备考效率。

第二章　函数 函数的单调性 [考试要求]　1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性，理解其实际意义．2．理解并会求函数的单调区间． 第8课时　函数的单调性 理法先行·题练固本 知识点1　单调函数的定义   增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 第8课时　函数的单调性 3   增函数 减函数 定义 当x1<x2时，都有_____________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有____________，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 f (x1)<f (x2) f (x1)>f (x2) 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性   增函数 减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 知识点2　单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间I上__________或__________，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，_______ 叫做y＝f (x)的单调区间． 单调递增 单调递减 区间I 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 [常用结论] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 (1)>0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0)⇔f (x)在区间I上单调递增； (2)<0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0)⇔f (x)在区间I上单调递减． 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 2．若函数f (x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k＞0，则kf (x)与f (x)的单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)的单调性相反； (3)函数y＝f (x)在公共定义域内与y＝( f (x)≠0)的单调性相反； (4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减 ”． 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 1．(多选)(人教A版必修第一册P86习题3.2 T3改编)下列说法中正确的是(　　) A．函数f (x)＝－2x＋1是减函数 B．函数f (x)＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增 C．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) D．函数f (x)＝1－在(－∞，0)上单调递增 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 ABD　[对于A，对任意x1<x2，f (x1)－f (x2)＝＋1－(－2x2＋1)＝2(x2－x1)>0，∴f (x1)>f (x2)，∴f (x)在R上是减函数，A正确；对于B，对任意0<x1<x2，f (x1)－f (x2)＝＋1)＝＝(x1＋x2)(x1－x2)，∵0<x1<x2，∴x1＋x2>0，x1－x2<0，∴f (x1)－f (x2)<0，∴f (x1)<f (x2)，∴f (x)＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，B正确；对于C，单调区间表示错误，两个单调区间不能用并集符号连接，C错误；对于D，对任意x1，x2∈(－∞，0)且x1<x2，f (x1)－f (x2)＝1－－1＋＝＝，∵x1<x2<0，∴x1－x2<0，x1x2>0，∴f (x1)－f (x2)<0，∴函数f (x)＝1－在(－∞，0)上单调递增，D正确．故选ABD．] 2．(北师大版必修第一册P63例4)判断函数f (x)＝的单调性，并给出证明． [解]　画出函数f (x)＝的图象(如图)．由图象可以看出，函数f (x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数． 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 ∀x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则x1－x2＜0． 所以f (x1)－f (x2)＝＝ 由＞0，可知f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)． 所以函数f (x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数． 3．(人教A版必修第一册P85习题3.2 T1改编)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　　) A．[1，2]∪[4，5]　　　 B．[－1，2]和[4，5] C．[－3，－1]∪[2，4] D．[－3，－1]和[2，4] √ B　[由题图知，该函数的单调递增区间为[－1，2]和[4，5]，故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 4．(用结论)函数f (x)＝的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[1，3] D．[－1，1] √ D　[函数f (x)＝的定义域需要满足3＋2x－x2≥0，解得 f (x)的定义域为[－1，3]． 因为y＝3＋2x－x2在[－1，1]上单调递增，所以f (x)＝在[－1，1]上单调递增．] 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 考点深研·题型突破 考点一　函数单调性的判断 [典例1]　(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增 B．若f (x)，g(x)都是R上的增函数，则h(x)＝f (x)＋g(x)也是R上的增函数 C．函数y＝2|x＋1|在区间(－∞，－1]上单调递增 D．函数y＝lg (x＋1)在(0，＋∞)上单调递增 √ √ √ 第8课时　函数的单调性 15 ABD　[对于A，∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 对于B，两增函数的和为增函数，故B正确； 对于C，作出函数y＝2|x＋1|的图象，如图所示， 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 易错提醒：讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． 由图象可知，函数y＝2|x＋1|在区间(－∞，－1]上单调递减，故C错误； 由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得函数y＝lg (x＋1)是定义域为(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．故选ABD．] 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 【教用·通性通法】 函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法； ③利用已知函数的单调性；④导数法． 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 【教用·备选题】 1．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f (x)＝－x B．f (x)＝ C．f (x)＝x2 D．f (x)＝ √ D　[法一(排除法)：取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f (x1)＝1，f (x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f (x1)＝，f (x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f (x1)＝1，f (x2)＝0，所以C项不符合题意．故选D． 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 法二(图象法)：如图，在平面直角坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观地判断D项符合题意．故选D．] 2．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是 (　　) A．f (x)＝－ln x B．f (x)＝ C．f (x)＝－ D．f (x)＝3|x-1| √ 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 C　[对于A选项，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝ －ln x在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误； 对于B选项，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，B选项错误； 对于C选项，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝－在 (0，＋∞)上单调递增，C选项正确； 对于D选项，f (x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不是单调的，D选项错误．故选C．] 考点二　利用定义证明函数的单调性 [典例2]　判断函数f (x)＝，x∈(－2，＋∞)的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． [解]　函数f (x)在(－2，＋∞)上单调递增． 证明如下：f (x)＝＝＝1－， ∀x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝1－＝＝又x1<x2，且x1，x2∈(－2，＋∞)，所以x1＋2>0，x2＋2>0，x1－x2<0，所以f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)， 故函数f (x)在(－2，＋∞)上单调递增． 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 通性通法：用定义证明函数单调性的一般步骤：设元—作差—变形—判断符号—得出结论．其中关键是“变形”． 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 考点三　求函数的单调区间 [典例3]　函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是______________． [－1，2]，[5，＋∞)　[函数y＝|－x2＋4x＋5|＝ 由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5， 函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示， 由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞)．] [－1，2]，[5，＋∞) 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 [母题探究] 1．(综合变式)函数y＝的单调递减区间为________． [2，5]　[函数y＝的定义域需要满足－x2＋4x＋5≥0，解得x∈[－1，5]，因为t＝－x2＋4x＋5在[2，＋∞)上单调递减，所以y＝在[2，5]上单调递减．] [2，5] 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 2．(综合变式)函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为__________ __________． (－∞，－2]和[0，2]　[f (x)＝ 即f (x)＝ 画出函数的图象如图所示， 可知函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为 (－∞，－2]和[0，2]．] (－∞，－2] 和[0，2] 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 易错提醒：(1)求函数的单调区间时，必须先求函数的定义域． (2)单调区间只能用区间表示． (3)若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接． 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 1．(链接考点一)(2025·重庆期末)下列函数在定义域内是减函数的是(　　) A．f (x)＝x B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝x2 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 C　[ f (x)＝x在R上单调递增； f (x)＝在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递减，在定义域内不单调递减； f (x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增，在定义域内不单调递减； 函数t＝1－2x在R上为减函数，t∈R，函数y＝在R上为增函数， 所以函数f (x)＝在定义域R上为减函数． 故选C．] 2．(链接考点三)函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A． B． C．[1，＋∞) D．∪[1，＋∞) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 B　[g(x)＝x|x－1|＋1＝画出函数图象如图所示． 根据图象知函数g(x)的单调递减区间 为故选B．] 3．(链接考点二)(湘教版必修第一册P81例2节选)证明函数f (x)＝x＋(x>0)在区间(0，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增． [证明]　①设x1和x2是区间(0，1]上任意两个实数，且x1<x2，则k＝＝＝1－ 由0<x1<x2≤1，得0<x1x2<1，>1， 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 于是k＝1－<0，f (x2)－f (x1)＜0， 所以函数f (x)在区间(0，1]上单调递减． ②设x1和x2是区间[1，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2． 由x2>x1≥1，得x1x2>1，<1， 于是k＝1－>0，f (x2)－f (x1)＞0， 所以函数f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 √ 一、单项选择题 1．(2025·杭州期中)下列函数中，在(0，1)内单调递减的是(　　) A．y＝x-1 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝x3 课时作业(八)　函数的单调性 第8课时　函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 A　[对于A，y＝x-1＝是反比例函数，在(0，1)内单调递减，符合题意； 对于B，y＝＝是幂函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意； 对于C，y＝x2是二次函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意； 对于D，y＝x3是幂函数，在(0，1)内单调递增，不符合题意． 故选A．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 2．函数f (x)＝的单调递减区间为(　　) A．(－∞，0) B．(10，＋∞) C．(5，10) D．(5，＋∞) 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 B　[由x2－10x＞0，得x＜0或x＞10． ∵函数y＝在(0，＋∞)上单调递减， 且函数y＝x2－10x在(10，＋∞)上单调递增， ∴f (x)的单调递减区间为(10，＋∞)． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 3．(2025·长沙期末)设函数f (x)的定义域为R，则“∀x∈R，f (x＋1)＞f (x)”是“函数f (x)为增函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 B　[充分性：因为∀x∈R，f (x＋1)＞f (x)成立，但并不能保证f (x)为R上的连续函数， 所以f (x)不一定为增函数， 如f (x)＝ 故充分性不成立； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 必要性：当f (x)为增函数时，因为x＋1＞x， 所以f (x＋1)＞f (x)一定成立， 故必要性成立． 所以“∀x∈R，f (x＋1)＞f (x)”是“函数f (x)为增函数”的必要不充分条件． 故选B．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 二、多项选择题　 4．已知f (x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以判定f (x)是增函数的是(　　) A．f (x)在[1，＋∞)上单调递增 B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f (x1)≥f (x2) C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f (x1)－f (x2)<0 D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 CD　[对于选项A，一个函数在定义域内的某个子区间上单调递增，这个函数在定义域上不一定是增函数，A不符合题意；对于选项B，当f (x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f (x1)＝f (x2)，f (x)不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2 <0，都有f (x1)－f (x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f (x1)－f (x2) >0，则函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，符合题意．故选CD．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 5．(人教A版必修第一册P86习题3.2T9改编)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0的是(　　) A．f (x)＝x＋ B．f (x)＝ C．f (x)＝1＋ D．f (x)＝－x－ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 CD　[对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0，则函数f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 对于A，f (x)＝x＋，由对勾函数的图象与性质可知A不满足题意； 对于B，f (x)＝，根据复合函数的单调性知，函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故B不满足题意； 对于C，f (x)＝1＋，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，故C满足题意； 对于D，f (x)＝－x－，由对勾函数的图象和性质可知D满足题意．故选CD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 三、填空题 6．设函数f (x)＝若函数y＝f (x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是____________________． (－∞，1]∪[4，＋∞) 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 (－∞，1]∪[4，＋∞)　[作出函数f (x)的图象如图所示，由图象可知f (x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 7．设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是__________________________． (－∞，0)，(1，＋∞) 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 (－∞，0)，(1，＋∞)　[由题意知g(x)＝ 该函数图象如图所示， 由图象知，函数g(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 四、解答题 8．设f (x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f (m＋n)＝f (m)·f (n) ( f (m)≠0，f (n)≠0)，且当x>0时，0<f (x)<1．求证： (1) f (0)＝1； (2)当x∈R时，恒有f (x)>0； (3) f (x)在R上是减函数． 理法先行 考点深研 课时作业 第8课时　函数的单调性 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 [证明]　(1)根据题意，令m＝0， 可得f (0＋n)＝f (0)·f (n)． ∵f (n)≠0，∴f (0)＝1． (2)由题意知，当x>0时，0<f (x)<1， 当x＝0时，f (0)＝1>0； 当x<0时，－x>0，∴0<f (－x)<1． ∵f (x＋(－x))＝f (x)·f (－x)， ∴f (x)·f (－x)＝1，∴f (x)＝>0． 故当x∈R时，恒有f (x)>0． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 (3)∀x1，x2∈R，且x1<x2， 则f (x2)＝f (x1＋(x2－x1))， ∴f (x2)－f (x1)＝f (x1＋(x2－x1))－f (x1) ＝f (x1)·f (x2－x1)－f (x1) ＝f (x1)[f (x2－x1)－1]． 由(2)知f (x1)>0， 又∵x2－x1>0，∴0<f (x2－x1)<1， 故f (x2)－f (x1)<0， 故f (x)在R上是减函数． 谢谢！ $