第九章 统计八大题型总结讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学统计单元复习讲义通过题型分类系统构建知识体系，按随机抽样、统计图表、频率分布直方图等8大题型逻辑排列，以目录框架呈现知识脉络，突出分层抽样、数字特征估计等重难点及内在联系。 讲义亮点在于情境化练习设计，如“草场兔子数量估计”“教职工意见调查”等题，培养数学眼光与数据意识。通过百分位数计算、分层方差分析等方法指导，提升数学思维的推理能力，基础题与综合题兼顾，助力学生分层提升，为教师精准教学提供支持。

第九章 统计 目录 题型1：随机抽样、分层抽样 2 题型2：统计图表 4 题型3：频率分布直方图 9 题型4：百分位数 16 题型5：样本的数字特征 17 题型6：总体离散程度的估计 23 题型7：总体集中趋势的估计 26 题型8：分层方差问题 29 题型1：随机抽样、分层抽样 【例1.1.】 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第3个零件编号是______． 0647 4373 8686 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 【答案】26 【难度】0.85 【知识点】随机数表法 【分析】按照随机数表抽样的规则，从指定位置开始逐次读取两位数字，筛选出到范围内不重复的编号，找到第三个有效编号即可。 【详解】首先明确有效编号范围为到。 读取规则为：从第一行第3列开始，从左到右依次读取两位数字，数值的编号舍去，重复出现的编号仅保留第一次读取的结果. 读取过程如下： 首次读取两位数字为47，大于39，舍去； 后续依次读取得到43、73、86、86、96、47，均大于39，全部舍去； 读取得到36，符合要求，为第1个有效编号； 后续依次读取得到61、46、98、63、71、62，均大于39，全部舍去； 读取得到33，符合要求，为第2个有效编号； 接下来读取得到26，符合要求，为第3个有效编号； 故所求第3个零件编号为26. 【例1.2.】 现要完成下列2项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查； ②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（    ） A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样 C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法， ②随机数法 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】抽签法、分层抽样的特征及适用条件 【分析】根据已知条件，结合抽签法和分层随机抽样的定义，即可求解 【详解】①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样． 故选：A． 【例1.3.】 为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子__________只. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】简单随机抽样的概率、简单随机抽样估计总体 【分析】利用简单随机抽样，结合样本估计总体可解. 【详解】假设草场约有n只兔子，则，则. 故答案为：600. 【例1.4.】 某学校为了解学生参加跑步运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取70名学生，已知该校初中部和高中部分别有900名和1200名学生，则高中部应抽取的人数为（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】利用总体中各层的比等于样本中各层的比计算. 【详解】根据分层抽样的定义知，高中部共抽取人， 故选：C． 【例1.5.】 某校举行数学学科冬令营活动，该校高一､高二､高三年级参加的人数分别为150，120，120.为了了解本次冬令营开展的实际效果，从参加冬令营的学生中按年级采用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，若高二年级抽取的人数为8，则样本容量的值为__________. 【答案】26 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样每个个体被抽取的概率相等，高二学生被抽取的比例，即为全校学生的比例，由此可求得样本容量的值. 【详解】由题可知，，解得. 故答案为：. 题型2：统计图表 【例2.1.】 中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列结论中正确的是（　　） A．这一星期内乙的每日步数的中位数为12970 B．甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上 C．这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的每日步数的极差小于乙 【答案】C 【难度】0.81 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】利用折线图的性质、中位数、平均数、极差的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，这一星期内乙的每日步数从小到大为：，，，，，，，中位数为，故A错误； 对于B，甲星期三走步，星期二走 步，没有增加倍以上，故B错误； 对于C，甲每日步数的平均值为：， 乙每日步数的平均值为：， 这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙，故C正确； 对于D，这一星期内甲的每日步数的极差为：， 这一星期内乙的每日步数的极差为：， 这一星期内甲的每日步数的极差大于乙，故D错误. 【例2.2.】 国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据折线统计图解决实际问题 【详解】由图可知：实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值，A正确； 对于B，差异平均值为，B正确； 由图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确； 对于C，没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，C错误． 【例2.3.】 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据折线统计图解决实际问题、根据扇形统计图解决实际问题 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 【例2.4.】 某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据扇形统计图解决实际问题、雷达图的应用 【分析】对于A，不知道“80后”从事技术岗位的人数的比例，故无法比较；由图1可判断B；求出芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占比即可判断C；求出“90后”从事市场岗位的人数占比可判断D. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位的人数的比例，故无法比较，故A不一定正确； 对于B，由图1知芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，故B错误； 对于C，芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占从事这两个行业总人数的， 没有超过从事这两个行业总人数的，故C错误； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 因为， 所以芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多，故D正确. 故选：D. 【例2.5.】 （多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【难度】0.4 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据折线统计图解决实际问题 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 题型3：频率分布直方图 【例3.1.】 （多选）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法正确的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 【答案】ABD 【难度】0.72 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计中位数 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1先求出，根据频率分布直方图性质直接求每个选项即可. 【详解】对于D，根据频率分布直方图可知：，可得，所以D正确. 对于A，成绩在的频数为：，故A正确； 对于B，图中所有小矩形面积之和表示所有区间内的频率之和，为1. B正确； 对于C，设成绩的中位数为，     ， 易得中位数在区间内，故C错误. 【例3.2.】 为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出如下频率分布直方图，若的频率为，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.84 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】根据频率分布直方图的性质计算即可求解. 【详解】已知的频率为，组距为，因此，解得. 又因为所有组频率和为，因此， 代入，计算得 ，则， 因此，. 【例3.3.】 某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量为的样本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在范围内的人数为60，则下列说法正确的是（    ） A．的值为200 B．这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为 C．估计学生成绩的第75百分位数为80分 D．总体分布在的频数与总体分布在的频数相等 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出的值，再结合频率分布直方图一一判断即可. 【详解】，解得， 所以成绩在范围内的频率为，人，故A错误； ，所以这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为，故B错误； 成绩在的频率为， 所以估计学生成绩的第75百分位数为80分，故C正确； 样本分布在的频数与样本分布在的频数相等， 但总体分布在的频数与总体分布在的频数不一定相等，故D错误． 故选：C 【例3.4.】 某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【详解】由频率分布直方图的性质可得，， 解得. 这些同学物理成绩大于等于80分的人数为. 【例3.5.】 为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【详解】对于A，因为，故，故A错误； 对于B，因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 故中位数在中，故中位数大于，故B错误； 对于C，设顾客平均每次的消费金额的极差，则， 故，故C正确； 对于D，顾客平均每次的消费金额的平均数为： （元）， 故D错误. 【例3.6.】 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 【答案】(1) (2)众数为，平均数为，中位数为. 【难度】0.74 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】（1）根据频率之和等于1求解即可； （2）根据众数、平均数、中位数的定义，结合频率直方图计算可得. 【详解】（1）由频率直方图可得，解得. （2）由图可知，第三组的矩形最高，所以众数为； 平均数， 因为前2组的频率之和， 前3组的频率之和， 所以中位数位于区间内，则中位数为. 【例3.7.】 （多选）某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）则下列正确的是（    ） A． B．估计该年级学生跳绳次数的分位数约为 C．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为 D．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、计算频率分布直方图中的方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】对于A选项，频率分布直方图里各长方形面积和为，把各区间频率系数相加乘组距得到总面积表达式，令其等于，即可求出； 对于B选项，先算出前几个矩形面积和，通过与比较，确定分位数所在区间.再根据百分位数的定义，用已有的面积和加上该区间的面积等于，列方程求解百分位数； 对于C选项，根据加权平均的方法，以比例为权重乘以对应数值，即可求解平均数； 对于D选项，根据方差公式，以不同区域的比例为权重，分别计算每个区间数值与平均数差值的平方加上给定值，再求和得到方差. 【详解】对于A，由频率分布直方图中各长方形面积和为，得，解得，故A错误； 对于B，根据百分位数的计算，假设该年级学生跳绳次数的分位数为，则，又，所以解得，故B正确； 对于C，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为，故C错误； 对于D，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为，故D正确. 故选：BD. 题型4：百分位数 【例4.1.】 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】数据升序排列为：6，9，10，13，14，16，17，25， 上四分位数的位置为， 位置为整数，取第项的平均值． 【例4.2.】 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计 【分析】运用频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 【例4.3.】 某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（    ） A．95 B．93.5 C．92.5 D．92 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】因为，所以10个数据的第40百分位数是第4个和第5个数的平均数， 即. 【例4.4.】 （多选）某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟）：.若这组数据的第40百分位数与第20百分位数的差为3，则的值可能为（    ） A．47 B．45 C．53 D．60 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】先对已知的6个数据从小到大排序，分，，三种情况讨论，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案. 【详解】将已知的6个数按照从小到大的顺序排列为. 又，， 若，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是46和，； 若，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是50和，. 所以，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是和50，或50和，则，解得或53. 故选：AC. 题型5：样本的数字特征 【例5.1.】 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（   ） 甲地：总体平均数，且中位数为0； 乙地：中位数为2，3为众数； 丙地：总体平均数为2，且标准差； 丁地：总体平均数，且极差． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据各地区的统计量（中位数，极差，平均数，众数，方差），判断是否满足题意. 【详解】甲地：需满足总体平均数，且中位数为0， 假设7天新增疑似病例为0，0，0，0，5，6，7，第6天、第7天新增疑似病例超过5人，不符合该标志. 乙地：假设7天新增疑似病例为0，1，2，2，3，3，7，满足中位数为2， 其中一个众数为3，但是第7天新增疑似病例超过5人，不符合该标志. 丙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2， 方差，，但不符合该标志. 丁地：由极差可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人 ，此时平均数 ，与矛盾，故每天新增疑似病例不超过5人，丁地符合该标志. 【例5.2.】 已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用中位数的代表意义解决实际问题、众数、平均数、中位数的比较、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图， 对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于， 所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确； 对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学， 其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确； 对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差， 由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确； 对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性， 所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确. 故选：C. 【例5.3.】 已知一组数据由5个正整数组成，下列描述中，能确保这组数据中一定没有出现8的是（    ） A．平均数为4，中位数3 B．平均数为4，众数为4 C．平均数为4，方差为3.6 D．中位数为5，方差为3.6 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：假设成立，可得，，结合基本不等式分析判断. 【详解】对于选项A：例如1，1，3，7，8，平均数为4，中位数3，故A错误； 对于选项B：例如1，3，4，4，8，平均数为4，众数为4，故B错误； 对于选项D：例如2，5，5，5，8，中位数为5，方差为3.6，故D错误； 对于选项C：假设出现8，设5个正整数为，其平均数为4，方差为3.6， 则，即， 且，可得， 因为，，，，， 当且仅当时，等号成立， 则， 可得，即，显然不成立， 假设不成立，所以一定没有出现8，故C正确. 【例5.4.】 如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（    ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、众数、平均数、中位数的比较、根据频率分布直方图计算众数 【分析】利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可. 【详解】众数是最高矩形底边中点对应的数值，位于左边第二个矩形底边中点， 所有矩形的面积之和为，显然前两个矩形的面积之和小于， 即众数＜中位数； 又频率分布直方图呈现右拖尾形态，使得平均数受极端值影响会被拉向右侧，大于中位数， 所以众数＜中位数＜平均数. 故选：B. 【例5.5.】 （多选）有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为，方差为，极差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【详解】不妨设，则， 因为与，的中位数都是，所以，A正确； 当时，，所以B错误； 由条件知， 因为，所以， 所以余下6个数据的方差， 所以，C正确； ，D错误． 【例5.6.】 已知一组样本数据的平均数为2025，则下列叙述中错误的是（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的方差不大于的方差 C．的中位数等于的中位数 D．的极差等于的极差 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】根据平均数、方差、中位数、极差的概念及含义逐项计算分析可得． 【详解】对于A，的平均数等于，故A正确； 对于B，因为的平均数等于， 所以的方差等于， 即的方差不大于的方差，故B正确； 对于C，不妨设， 则的中位数为， 若，则的中位数，故C错误； 对于D，当均相等时，因为其平均数为， 所以，此时，的极差等于的极差，等于； 当不全相等时，不妨设为最小数，是最大数，因为其平均数为，所以. 此时，的极差等于的极差，等于.故D正确. 故选：C. 【例5.7.】 （多选）已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为 B．数据，，…，的标准差为 C．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项. 【详解】由题知，，， 所以，的平均数为， 的方差为， 所以数据，，…，的标准差为2s，A正确，B错误； 给原数据增加一个数据，且， 这七个数据的方差为， 故C正确，D错误. 故选：AC 题型6：总体离散程度的估计 【例6.1.】 已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】计算几个数的中位数 【详解】将这组数据从小到大排列为6，8，8，10，12，15，中间的两个数为8和10， 则中位数为. 【例6.2.】 一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（    ） A．40 B．39 C．36 D．35 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的众数、总体百分位数的估计 【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16， 因为，所以第60百分位数为19， 所以众数与第60百分位数之和为. 【例6.3.】 已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 【答案】9.5 【难度】0.75 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、根据平均数求参数 【分析】由题干中的比例，根据平均数的计算公式建立方程，可得答案. 【详解】根据题意，不妨设抽取的样本容量分别为，，， 设三条流水线的样本平均数分别为，总体样本平均数为， 则 根据样本平均数公式可得， 解得，所以流水线1的样本平均数为9.5． 【例6.4.】 某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为，则该校高一学生的平均身高的估计值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数 【分析】由题意可知，，且根据样本平均数，求解即可. 【详解】由题意可知，，且 所以样本平均数， 故该校高一学生的平均身高的估计值为． 故答案为：. 【例6.5.】 以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据： 甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80； 乙组：17，22，32，43，45，49，b，56． 若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则__________． 【答案】100 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数和平均数的定义即可列出式子计算求解. 【详解】因为，甲组数据的第40百分位数为第四个数和第五个数的平均数， 乙组数据的平均数为， 根据题意得，解得：， 所以， 故答案为：. 【例6.6.】 某校为调查全校学生的睡眠时间，从全体学生中用随机数法抽取了一个容量为100的简单随机样本，他们的睡眠时间如下表(单位：h)： 睡眠 时间 合 计 人数 5 6 2 则这100名学生的平均睡眠时间并由此估计该校学生的日平均睡眠时间为____． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】总体与样本、计算几个数的平均数 【详解】以睡眠区间的平均值为睡眠时间，则这名学生的日平均睡眠时间为： ， 该校学生的日平均睡眠时间约为． 【例6.7.】 先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 【答案】 【难度】0.5 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数 【分析】根据题意将符合要求的个数据由小到大排列出来，再结合平均数公式求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排列，前个数依次为、、，要使得这个数据的平均数最大， 则后面两个数分别为、，即这个数据由小到大依次为、、、、， 所以这个点数的平均数的最大值为. 题型7：总体集中趋势的估计 【例７.1.】 老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，但李老师记得这名学生的成绩恰好是剩余学生的成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的定义求出遗失的学生成绩，然后根据平均数与方差的公式计算即可. 【详解】因为，则遗失的学生成绩是剩余学生的成绩从小到大排列的第3个， 所以遗失的学生成绩为. 因为这10名学生的成绩的平均数为：， 所以方差为. 故答案为：2.09. 【例７.2.】 已知一组数据：，则这组数据的方差为_____. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】方法一：先计算平均数再应用方差公式计算求解；方法二：应用特殊值法计算求解. 【详解】方法一：，，，，的平均数， 所以方差为 . 方法二（特殊值法）： 令，则，，，，与1，2，3，4，5的方差是一样的， 经计算得平均数，这组数据的方差为. 故答案为:2. 【例７.3.】 已知数据的平均数8，方差为2，则___________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】根据平均数求参数、根据方差、标准差求参数 【分析】根据平均数与方差的计算公式计算即可求解. 【详解】因为数据的平均数为8， 所以，化简可得， 因为数据的方差为2， 所以，化简可得， 所以，即， 所以. 故答案为：2 【例７.4.】 已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设原来个数据依次为、、、，则， 因为方差为，则， 即， 所以， 则， 再加入一个数据，则其平均数为， 则这个数据的方差为 . 故选：C. 【例７.5.】 已知4个互不相等的正整数的平均数为3，极差为4，则这四个数的方差为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据题意可求得四个数据，利用方差公式可求得结果. 【详解】设4个互不相等的正整数为：，满足： 平均数为3，则总和为； 极差为4，则； 且所有数为互不相等的正整数. 根据题意可得：，且，均为整数. 令，则，，且满足，即，且互不相等，和为6.所以，. 所以四个互不相等的正整数为1，2，4，5. 方差为：. 故选：A. 题型8：分层方差问题 【例8.1.】 在了解高一年级学生每月在校图书馆平均借阅了多少本文学书籍时，甲同学在物理组合班抽取了一个容量为的样本并算得样本的平均数为5，方差为8．乙同学在历史组合班抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为8，方差为．已知甲乙两同学抽取的样本合在一起，组成一个容量为的样本，那么合在一起后的样本平均数为__________，样本方差为__________． 【答案】 6 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】运用合并平均数公式和合并方差公式计算求解． 【详解】设甲同学的样本量为，平均数为，方差为，乙同学的样本量为，平均数为，方差为， 则， 合并后样本量为：， 合并后样本平均数为：， 甲同学的样本平方和为：， 乙同学的样本平方和为：， 合并后总平方和：， 合并后样本方差为：． 故答案为：． 【例8.2.】 （多选）某高中学校高一年级参加“三新”联考，现从高一（1），（2），（3）班共120名学生的数学成绩中随机抽取30份，若按性别比例分层随机抽样，则男生数学成绩抽取18份，被抽取的女生平均分为100分，方差为5，男生平均分为110分，方差为10.则下列结论正确的有（    ） A．样本容量为30 B．120名学生的数学成绩中男生有72人 C．估计高一年级数学平均分为106分 D．估计高一年级数学方差为7 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】总体与样本、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】对A，根据样本容量的概念判断；对B，根据分层抽样的定义计算；对C，根据分层抽样的平均数公式计算；对D，根据分层抽样的方差公式计算. 【详解】对于A，从中随机抽取30名，则样本量为30，故A正确； 对于B，设120名学生的数学成绩中男生有人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人， 所以，解得，所以120名学生的数学成绩中男生有72人，故B正确； 对于C，按性别比例分层随机抽样，男生数学成绩抽取18份，则女生数学成绩抽取12份， 设高一年级数学平均分为，所以，故C正确； 对于D，估计高一年级数学方差，故D错误. 故选：ABC. 【例8.3.】 某科研小组对甲厂生产的200件和乙厂生产的100件同类产品进行分层抽样调查，抽取样本容量为30，调查数据如表： 厂别 平均数 方差 甲 3.5 1 乙 2 4 则这30件产品的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】先按分层抽样比例算出甲、乙抽取的件数，再计算30件产品的总平均数，最后代入分层抽样方差公式，结合各组方差、组平均数与总平均数的差值计算总方差. 【详解】甲厂总数200，乙厂总数100，总量比甲：乙=2：1，总样本量30. 甲抽取： 件，乙抽取： 件. 因为甲平均数，乙平均数， 所以， 总方差 其中：， ，， 代入计算：. 最终这30件产品的方差为. 故选：C. 【例8.4.】 “2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、估计总体的方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，求解即可； （2）应用百分位数的定义确定面试成绩前候选者的最低分所在区间，即可求； （3）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知，，解得； （2）由（1）及图知，， 所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为， 所以，可得. （3）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计 目录 题型1：随机抽样、分层抽样 2 题型2：统计图表 2 题型3：频率分布直方图 5 题型4：百分位数 8 题型5：样本的数字特征 9 题型6：总体离散程度的估计 11 题型7：总体集中趋势的估计 12 题型8：分层方差问题 12 题型1：随机抽样、分层抽样 【例1.1.】 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第3个零件编号是______． 0647 4373 8686 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 【例1.2.】 现要完成下列2项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查； ②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（    ） A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样 C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法， ②随机数法 【例1.3.】 为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子__________只. 【例1.4.】 某学校为了解学生参加跑步运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取70名学生，已知该校初中部和高中部分别有900名和1200名学生，则高中部应抽取的人数为（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 【例1.5.】 某校举行数学学科冬令营活动，该校高一､高二､高三年级参加的人数分别为150，120，120.为了了解本次冬令营开展的实际效果，从参加冬令营的学生中按年级采用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，若高二年级抽取的人数为8，则样本容量的值为__________. 题型2：统计图表 【例2.1.】 中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列结论中正确的是（　　） A．这一星期内乙的每日步数的中位数为12970 B．甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上 C．这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的每日步数的极差小于乙 【例2.2.】 国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是（   ） A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 【例2.3.】 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【例2.4.】 某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【例2.5.】 （多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 题型3：频率分布直方图 【例3.1.】 （多选）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法正确的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 【例3.2.】 为调查社区居民对社区工作的满意度，在社区内抽取名居民进行问卷调查，将收集到的数据分成五组，绘制出如下频率分布直方图，若的频率为，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例3.3.】 某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量为的样本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在范围内的人数为60，则下列说法正确的是（    ） A．的值为200 B．这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为 C．估计学生成绩的第75百分位数为80分 D．总体分布在的频数与总体分布在的频数相等 【例3.4.】 某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【例3.5.】 为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 【例3.6.】 某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 【例3.7.】 （多选）某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）则下列正确的是（    ） A． B．估计该年级学生跳绳次数的分位数约为 C．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为 D．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为 题型4：百分位数 【例4.1.】 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 【例4.2.】 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【例4.3.】 某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（    ） A．95 B．93.5 C．92.5 D．92 【例4.4.】 （多选）某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟）：.若这组数据的第40百分位数与第20百分位数的差为3，则的值可能为（    ） A．47 B．45 C．53 D．60 题型5：样本的数字特征 【例5.1.】 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（   ） 甲地：总体平均数，且中位数为0； 乙地：中位数为2，3为众数； 丙地：总体平均数为2，且标准差； 丁地：总体平均数，且极差． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【例5.2.】 已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【例5.3.】 已知一组数据由5个正整数组成，下列描述中，能确保这组数据中一定没有出现8的是（    ） A．平均数为4，中位数3 B．平均数为4，众数为4 C．平均数为4，方差为3.6 D．中位数为5，方差为3.6 【例5.4.】 如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（    ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 【例5.5.】 （多选）有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为，方差为，极差为，则（    ） A． B． C． D． 【例5.6.】 已知一组样本数据的平均数为2025，则下列叙述中错误的是（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的方差不大于的方差 C．的中位数等于的中位数 D．的极差等于的极差 【例5.7.】 （多选）已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为 B．数据，，…，的标准差为 C．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 题型6：总体离散程度的估计 【例6.1.】 已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【例6.2.】 一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（    ） A．40 B．39 C．36 D．35 【例6.3.】 已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 【例6.4.】 某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为，则该校高一学生的平均身高的估计值为______． 【例6.5.】 以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据： 甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80； 乙组：17，22，32，43，45，49，b，56． 若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则__________． 【例6.6.】 某校为调查全校学生的睡眠时间，从全体学生中用随机数法抽取了一个容量为100的简单随机样本，他们的睡眠时间如下表(单位：h)： 睡眠 时间 合 计 人数 5 6 2 则这100名学生的平均睡眠时间并由此估计该校学生的日平均睡眠时间为____． 【例6.7.】 先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 题型7：总体集中趋势的估计 【例７.1.】 老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，但李老师记得这名学生的成绩恰好是剩余学生的成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为_____. 【例７.2.】 已知一组数据：，则这组数据的方差为_____. 【例７.3.】 已知数据的平均数8，方差为2，则___________． 【例７.4.】 已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为（   ） A． B． C． D． 【例７.5.】 已知4个互不相等的正整数的平均数为3，极差为4，则这四个数的方差为（    ） A． B． C．3 D．2 题型8：分层方差问题 【例8.1.】 在了解高一年级学生每月在校图书馆平均借阅了多少本文学书籍时，甲同学在物理组合班抽取了一个容量为的样本并算得样本的平均数为5，方差为8．乙同学在历史组合班抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为8，方差为．已知甲乙两同学抽取的样本合在一起，组成一个容量为的样本，那么合在一起后的样本平均数为__________，样本方差为__________． 【例8.2.】 （多选）某高中学校高一年级参加“三新”联考，现从高一（1），（2），（3）班共120名学生的数学成绩中随机抽取30份，若按性别比例分层随机抽样，则男生数学成绩抽取18份，被抽取的女生平均分为100分，方差为5，男生平均分为110分，方差为10.则下列结论正确的有（    ） A．样本容量为30 B．120名学生的数学成绩中男生有72人 C．估计高一年级数学平均分为106分 D．估计高一年级数学方差为7 【例8.3.】 某科研小组对甲厂生产的200件和乙厂生产的100件同类产品进行分层抽样调查，抽取样本容量为30，调查数据如表： 厂别 平均数 方差 甲 3.5 1 乙 2 4 则这30件产品的方差为（   ） A． B． C． D． 【例8.4.】 “2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $