9.2.1&9.2.2总体取值规律的估计、总体百分位数的估计【八大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

本讲义聚焦高中数学中总体取值规律估计与百分位数估计核心知识点，系统梳理频率分布表、直方图、条形图等统计图表的绘制与应用，衔接数据整理与统计推断，构建从数据到规律的学习支架。 该资料以生活案例（如超市营收、学生观看数据）设计题型，通过典例与变式培养学生用数学眼光观察数据、用数学思维分析问题的能力，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

9.2.1&9.2.2总体取值规律的估计、总体百分位数的估计 【考点梳理】 · 考点一：频率分布表解决实际问题 · 考点二：频率分布直方图的有关计算 · 考点三：频率分布直方图的实际应用 · 考点四：条形统计图 · 考点五：折线统计图 · 考点六：扇形统计图 · 考点七：总体百分数的估算 · 考点八：总体取值规律、百分位数的综合问题 【知识梳理】 知识点01：频率分布直方图 作频率分布直方图的步骤 1.求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差. 2.决定组距与组数 将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来. 3.将数据分组 4.列频率分布表：各小组的频率＝. 5.画频率分布直方图 纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×＝频率. 技巧归纳： (1)分点的决定方法：若数据为整数，则减去0.5作为分点数；若数据是小数点后一位的数，则减去0.05作为分点数；依次类推. (2)画频率分布直方图中小矩形的高的方法：①小矩形的高＝；②假设频数为1的小矩形的高为h，则频数为k的小矩形的高为kh. (3)频率分布直方图的性质 ①因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. ③＝样本容量. (2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 知识点02：常见统计图表的特点与区别 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，条形图适用于描述离散型数据，直方图适用于描述连续型数据.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势. 知识点03：百分位数 1.百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 2.常用的百分位数 (1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数. (2)其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数. 3.计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下： 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝n×p%； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 【题型归纳】 题型一：频率分布表解决实际问题 【典例1】．（24-25高一下·江苏·期末）某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他区 营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7% 净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8% 已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（   ） A．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 B．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 C．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40% D．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 【答案】D 【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断． 【详解】生鲜区的净利润占比，故A正确． 生鲜区的营业利润率为，故C正确． 熟食区的营业利润率为； 乳制品区的营业利润率为； 其他区的营业利润率为； 日用品区的营业利润率为，最高，故B正确． 由题中数据知，其他区的营业收入占比4.7%为最低的，故D错误． 故选：D 【变式1】．（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 【答案】D 【分析】对于A，根据数据百分比的和为可以计算出的值；对于B，计算出观看场次为、、、场的百分比和即可得出所求比例；对于C、D，分别计算出符合问题的百分比和，再乘以总人数，即可求得结果. 【详解】由表可知，， 解得，选项A错误； 观看场次不超过场的学生的比例为，选项B错误； 观看场次不超过场的学生的比例为， 则观看场次不超过场的学生约为人，选项C错误； 观看场次不低于场的学生的比例为， 则观看场次不低于场的学生约为人，选项D正确． 故选：D 【变式2】．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在“世界杯”足球赛亚洲区第二阶段比赛结束后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看中国队比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为，将数据分组整理后，列表如下： 观看场数 0 1 2 3 4 5 6 观看人数占调查人数的百分比 从表中可以得出错误的结论为（    ） A． B．估计观看比赛不低于4场的学生约为340人 C．样本中，观看2场的学生为200人 D．估计观看比赛场数的众数为3 【答案】C 【分析】由频率分布表的性质，求出，否定A；先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率为，由此估计观看比赛不低于4场的学生约为340人；C选项说的是样本中，并不是总体；出现频率最高的为3，所以众数是3. 【详解】由频率分布表的性质得：，故A正确； ∵观看比赛不低于4场的学生的频率为：， ∴估计观看比赛不低于4场的学生约为：人，故B正确； 样本中，观看2场的人数为人，故C错误； 样本中出现频率最高的为3．故估计全年级观看比赛场数的众数为3，故D正确. 故选：C 题型二：频率分布直方图的有关计算 【典例2】．（25-26高一下·全国·单元测试）某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． 【答案】 0.0125 144 【分析】（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积和等于1，建立的方程，计算出． （2）利用频率等于小矩形的面积计算新生上学路上所需时间不少于1小时的频率，利用频数等于频率乘以总体的容量得到所求． 【详解】（1）由频率分布直方图，可得， 所以． （2）新生上学路上所需时间不少于1小时的频率为， 因为，所以1200名新生中约有144名学生可以申请住校． 故答案为：0.0125；144. 【变式1】．（25-26高一上·北京西城·期末）为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 【答案】 【分析】（1）根据各组数据频率之和为1即可求出图中a的值； （2）利用区间内的频率求样本容量. 【详解】（1），解得； （2）设共抽取了位同学调研，则有，解得. 故答案为：； 【变式2】．（24-25高一下·天津·阶段检测）为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查(满分为100分)，并根据问卷成绩(不低于60分记为及格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分为，，，，，六组)，若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下列结论正确的是______. ① ②问卷成绩在内的频率为0.3 ③ ④以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格 【答案】②③④ 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1求出的值，进而求得n的值判断选项①③；由图求出问卷成绩在的小矩形的面积，得到对应的频率判断②；求出不及格的频率即可求解判断④. 【详解】由，得， ，①错误，③正确； 成绩在内的频率为，②正确. 若对A地区5000人进行问卷调查，则约有人不及格，④正确. 故答案为：②③④ 题型三：频率分布直方图的实际应用 【典例3】．（24-25高二上·云南曲靖·阶段检测）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（    ）    A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 【答案】D 【分析】计算超过3小时的频率可判断A；利用直方图求出超过2小时的概率可判断B；求出众数可判断C；计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D. 【详解】对于A，超过3小时的概率估计为：，A正确； 对于B，超过2小时的概率估计为：，所以估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时，B正确； 对于C，由图知众数约为（小时），C正确； 对于D，时间在2小时至3小时之间的概率估计为：，所以没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间，D错误. 故选：D. 【变式1】．（2023·陕西商洛·模拟预测）自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（    ）    A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【分析】由饼状图可计算出高一年级共90人，高二年级共60人，高三年级共50人，再由高一学生排名分布的频率条形图可计算出各排名段中高一年级学生的人数，由此即可判断出答案. 【详解】由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多，A正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为，因此高三最多有32人，B正确； 由条形图知高一学生的成绩在第名的人数为， 而高三的学生成绩在第名的人数最多为人， 故高一学生的成绩在第名的人数一定比高三的学生成绩在第名的人数多，C正确； 成绩在第名的学生中，高一人数为，高二成绩在第名的人数最多为， 即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多，错误. 故选：D 【变式2】．（21-22高一·全国·单元测试）某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是（    ） A．获得A等级的人数减少了 B．获得B等级的人数增加了1.5倍 C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同 【答案】B 【分析】设2020年参加选择考的总人数为a，根据统计图计算出这两年的每个等级的人数，进行比较，可得答案. 【详解】由题可知：设2020年参加选择考的总人数为a，则2022年参加选择考的总人数为2a人； 2020年评定为五个等级的人数为：； 2022年评定为五个等级的人数为∶； 由此可知获得A等级的人数增加了，A错误； 由于，即获得B等级的人数增加了1.5倍，B正确； 获得D等级的人数增加了，C错误； 获得E等级的人数增加了1倍，D错误； 故选∶B． 题型四：条形统计图 【典例4】．（2025高三·上海·专题练习）如图所示，下面是出口，上面是进口，哪个进出口贸易总额不对（    ） A．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大； B．从2018年开始后，进出口总额逐年增大； C．从2018年开始后，进口总额逐年增大； D．从2018年开始后，图表2020年增长率最小. 【答案】C 【分析】利用图象数据分析选项即可. 【详解】根据图象可以发现：2018年到2019年进口总额是降低的，故C错误. 故选：C 【变式1】．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【答案】A 【分析】根据图1和图2，逐项分析判断即可. 【详解】结合图1和图2，计算可得2020至2024年第一产业增加值依次为 3167.578，3362.034,3505.425,3520.571,3543.75，成递增趋势，故A错误； 结合图1和图2，计算可得2020至2024年第二产业增加值依次为 15297.084,16939.479,17709.225,18712.076,19591.875，成递增趋势，故B正确； 由图2可知，2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高，故C正确； 由图1可知，2020至2024年全省地区生产总值逐年增长，故D正确. 故选：A. 【变式2】．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】D 【分析】根据演讲人数及所占比求出选取的总人数，再由条形图得演讲人数即可得解. 【详解】由条形图得合唱人数为70，由饼状图得合唱人数占比， 因此选取的总人数为， 由饼状图得演讲及舞蹈人数和占比为， 人数和为， 由条形图得演讲人数为30，所以舞蹈人数为40. 故选：D. 题型五：折线统计图 【典例5】．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（   ） A．最高气温的极差范围 B．10月的最高气温不低于5月的最高气温 C．最低气温低于0℃的月份有4个 D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 【答案】C 【分析】根据折线图对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，最高气温最低的月为月，最高气温最高的月为月， 观察图象可知，最高气温的极差范围，A选项正确. B选项，通过观察折线图可知，10月的最高气温不低于5月的最高气温，B选项正确. C选项，最低气温低于0℃的月份有个，C选项错误. D选项，通过观察折线图可知，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，D选项正确. 故选：C 【变式1】．（24-25高二上·四川成都·期中）某年1月25日至2月12日某旅游景区及其里面的特色景点累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．月日景区累计参观人次中特色景点占比超过了． B．月日至月日特色景点累计参观人次增加了人次． C．月日至月日特色景点的累计参观人次的增长率和月日至月日特色景点累计参观人次的增长率相等． D．月日至月日景区累计参观人次的增长率小于月日至月日的增长率． 【答案】D 【分析】根据折线图逐个计算各选项中的数据，从而得到正确的选项. 【详解】1月29日景区累计参观人次中特色景点的占比为，故A错误； 2月4日至2月10日特色景点累计参观人次增加了人次，故B错误； 2月4日至2月6日特色景点累计参观人次的增长率为， 2月6日至2月8日特色景点累计参观人次的增长率为， 因为，所以C错误； 2月8日至2月10日景区累计参观人次的增长率为， 2月6日至2月8日景区累计参观人次的增长率为， 因为，所以D正确. 故选：D. 【变式2】．（24-25高二上·山西朔州·阶段检测）如图是一个病人在5月1日和5月2日48小时内的体温记录折线图，根据此图，下列叙述不正确的是（   ） A．每六小时为病人测量一次体温 B．病人在5月1日612时体温下降最快 C．病人在5月2日18时体温是 D．病人在5月1日18时至5月2日18时体温一直在下降 【答案】D 【分析】根据折线图，结合选项即可求解． 【详解】对于A，根据折线统计图可知，每六小时为病人测量一次体温，故A正确； 对于B，根据折线统计图可知，病人在5月1日612时体温下降最快，故B正确； 对于C，根据折线统计图可知，病人在5月2日18时体温是，故C正确； 对于D，根据折线统计图可知，病人5月2日12至18时体温略有上升，所以选项D不正确． 故选：D． 题型六：扇形统计图 【典例6】．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 【变式1】．（25-26高三上·河南信阳·期末）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【答案】D 【分析】对于A，不知道“80后”从事技术岗位的人数的比例，故无法比较；由图1可判断B；求出芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占比即可判断C；求出“90后”从事市场岗位的人数占比可判断D. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位的人数的比例，故无法比较，故A不一定正确； 对于B，由图1知芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，故B错误； 对于C，芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占从事这两个行业总人数的， 没有超过从事这两个行业总人数的，故C错误； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 因为， 所以芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多，故D正确. 故选：D. 【变式2】．（2026高三·全国·专题练习）某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（   ） A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C．2024年该校本科达线人数增加了80% D．2024年该校不上线的人数有所减少 【答案】C 【分析】根据扇形统计图及各人数的百分比进行计算即可. 【详解】不妨设2023年的高考人数为a，则2024年的高考人数为. 由图可知2023年本科达线人数为，2024年本科达线人数为， 故2024年与2023年的本科达线人数比为9：5，故A不正确； 本科达线人数增加了，故C正确； 2023年专科达线人数为，2024年专科达线人数为， 所以2024年与2023年的专科达线人数比为9：7，故B错误； 2023年不上线人数为，2024年不上线人数也是，不上线的人数无变化，故D错误. 故选：C. 题型七：总体百分数的估算 【典例7】．（2026·云南昆明·模拟预测）2025年1月—7月全国工业生产者出厂价格环比下降幅度（单位：%）依次为0.2，0.1，0.4，0.4，0.4，0.4，0.2，则这7个数据的45%分位数为______. 【答案】 【详解】将数据由小到大依次排序：0.1，0.2，0.2，0.4，0.4，0.4，0.4， 由于，则这7个数据的45%分位数 【变式1】．（2026·湖北·一模）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 【答案】4.05 【详解】因为， 故第百分位数为第个数和第个数的平均数即为. 【变式2】．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）若10名跳水运动员在一次比赛（满分：100分）中的得分情况分别为95，80，68，77，74，90，88，83，76，86，则这组数据的分位数为______． 【答案】 【详解】解：得分从小到大排列为：68，74，76，77，80，83，86，88，90，95， ， 这组数据的分位数为第8个数． 题型八：总体取值规律、百分位数的综合问题 【典例8】．（25-26高一下·全国·课堂例题）为了解一片经济林的生长情况，随机测量100株树木的底部周长，得到如下数据：（单位：cm） 135  98  102  110  99  121  110  96  100  103  125  97  117  113  110  92  102  109 104  112  109  124  87  131  97  102  123  104  104  128  105  123  111  103  105  92 114  108  104  102  129  126  97  100  115  111  106  117  104  109  111  89  110  121   80  120  121  104  108  118  129  99  90  99  121  123  107  111  91  100  99  101  116 97  102  108  111  95  107  101  102  108  117  99  118  106  119  97  126  108  123   119  98  121  101  113  102  103  104  108 (1)编制频率分布表； (2)绘制频率分布直方图、折线图； (3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，周长不小于120cm的树木约占多少？ 【详解】（1）从数据中可以看出，这组数据的最大值为135cm，最小值为80cm，故极差为55cm，可将其分为11组，组距为5． 从第一组开始，将各组的频数和频率／组距填入表中： 分组 频数 频率 频率／组距 1 0.01 0.002 2 0.02 0.004 4 0.04 0.008 14 0.14 0.028 24 0.24 0.048 15 0.15 0.030 12 0.12 0.024 9 0.09 0.018 11 0.11 0.022 6 0.06 0.012 2 0.02 0.004 合计 100 1 0.2 （2）这组数据的频率分布直方图、折线图如下图所示． （3）从频率分布表可以看出，该样本中小于100cm的频率为，不小于120cm的频率为， 故可估计该片经济林中底部周长小于100cm的树林约占21%，周长不小于120cm的约占19%． 【变式1】．（24-25高一下·四川成都·期末）为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． (1)求a的值； (2)从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； (3)认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 【答案】(1) (2)众数为65分，平均数为71.8分 (3)68分 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为1， 可得，解得， （2）估计本次竞赛成绩的众数为分， 估计本次竞赛成绩的平均数为 分. （3）由题意，成绩位于前百分之六十的考生为良好，则良好认定的分数线是第40百分位数， 前两个矩形面积之和为， 前三个矩形面积之和为， 设第40百分位数为，则， 则，解得， 因此，估计良好认定的分数线为68分. 【变式2】．（24-25高一下·天津·期末）天津在“五一”期间组织了假日文旅活动，涵盖精品演出、主题活动、文化旅游区活动等，吸引了数以万计的游客．为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组采用问卷调查的方式随机调查游客，并将收集到的满意度得分数据（满分100分，得分均在内）按分成5组，整理得到如下频率分布直方图． (1)求x的值和第78百分位数； (2)从得分在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取50人，则这两组分别抽取多少人； (3)若此样本数据特征能反应总体特征，试估计游客满意度的平均成绩．（同一组中的数据用该组区间的中点值代替） 【答案】(1)，第78百分位数为85分． (2)30人，20人． (3)74.6 【详解】（1）由频率分布直方图得． 解得 得分低于80分的频率为0.68，得分低于90分的频率为0.88， 设第78百分位数为t，则t在中， ，解得，即第78百分位数为85分． （2）得分在的频率为 得分在的频率为 设在和按照分层随机抽样分别抽取x人，y人 按照分层随机抽样 又因为 得 在和按照分层随机抽样分别抽取30人，20人． （3）平均成绩为： ． 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）班长统计了去年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法不正确的是（    ） A．阅读数量最大的是8月份 B．阅读数量最小的是1月份 C．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D．每月阅读数量超过40的有6个月 【答案】B 【详解】由图知阅读数量最大的是8月份，为83本；阅读数量最小的是6月份，为28本，故A正确，B错误. 阅读数量最大的月份比最小的月份多本，故C正确； 每月阅读数量超过40的有2，3，4，5，7，8共6个月，故D正确. 2．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ） A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 【答案】D 【分析】根据直方图即可求得抽取男生的总人数也就是女生的总人数，然后根据扇形统计图乘以对应的百分比即可求解. 【详解】解析：抽取的男生总人数为（人）， 因为抽取的样本中，男生、女生人数相同， 所以抽取的女生总人数为人， 由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人， 由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人）， 则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误； B组中男生和女生占比不相同，选项B错误； 男生身高在以上的占比为，则选项C错误； 女生中E组的人数为（人），则选项D正确； 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示的扇形统计图统计了某地2013年和2023年小学生参加课外兴趣班的情况，已知2023年当地小学生参加课外兴趣班的总人数是2013年当地小学生参加课外兴趣班的总人数的4倍，下面说法不正确的是（    ）    A．2023年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是2013年当地参加音乐兴趣班的小学生人数的4倍 B．这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大 C．2023年当地参加美术兴趣班的小学生人数少于2013年当地参加美术兴趣班的小学生人数 D．相对于2013年，2023年参加不同课外兴趣班的小学生人数更平均 【答案】C 【分析】设2013年参加课外兴趣班的小学生总人数为，则2023年参加课外兴趣班的小学生总人数是，根据扇形统计图中的比例计算，并逐项检验，即可得到结果. 【详解】设2013年当地参加课外兴趣班的小学生总人数为，则2023年当地参加课外兴趣班的小学生总人数是4a． 由统计图可知，2013年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是，故A正确； 这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量为， 这11年间当地参加语言表演兴趣班的小学生人数变化量为， 这11年间当地参加音乐兴趣班的小学生人数变化量为， 这11年间当地参加美术兴趣班的小学生人数变化量为， 所以这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大，故B正确； 2023年当地参加美术兴趣班的小学生人数为， 2013年当地参加美术兴趣班的小学生人数为，，故C不正确； 根据扇形统计图中的比例分布，可知D正确． 故选C． 4．（2026·安徽·模拟预测）在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 【答案】C 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 5．（2026·广东江门·二模）某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格： 直径/mm 46 47 48 49 50 51 52 53 54 频数 5 8 12 15 20 18 12 6 4 由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定共有个数小于等于，再结合百分位数定义求结论. 【详解】因为被抽检的零件中，直径小于或等于的零件共有个， 且， 所以这个零件的直径的第百分位数为． 6．（25-26高三·上海·一轮复习）某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到饼图： 四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中错误的是（ ） A．精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少 B．精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【分析】设精准扶贫及新农村建设前和后的经济收入分别为和，根据饼状图依次验证各项收入是否满足选项中的要求，由此可得结论. 【详解】设精准扶贫及新农村建设前，经济收入为，则精准扶贫及新农村建设后，经济收入为； 对于A，精准扶贫及新农村建设前，种植收入为； 精准扶贫及新农村建设后，种植收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，种植收入增加，A错误； 对于B，精准扶贫及新农村建设前，其他收入为； 精准扶贫及新农村建设后，其他收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上，B正确； 对于C，精准扶贫及新农村建设前，养殖收入为； 精准扶贫及新农村建设后，养殖收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍，C正确； 对于D，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入之和的占比为，超过了总收入的一半，D正确. 故选：A. 7．（24-25高一下·河北·阶段检测）在统计学中，月度同比是指本月份和上一年同月份相比较的增长率，月度环比是指本月份和上一个月份相比较的增长率.如图是国家统计局发布的2023年全国居民消费价格月度涨跌幅度折线图，则下列说法正确的是（    ） A．2023年2月至6月居民的消费价格持续下降 B．2023年7月居民消费价格高于2022年同期 C．2023年4月居民消费价格环比上涨0.1%，同比下降0.1% D．2023年8月的居民消费价格是全年最高的 【答案】A 【分析】由月度同比、月度环比折线图逐个判断即可. 【详解】对于A：2月至6月环比增长率分别是，故消费价格持续下降；正确 对于B：由月度同比图可知2023年7月居民消费价格低于2022年同期；错误 对于C：2023年4月居民消费价格环比下降0.1%，同比上升0.1%，错误 对于D：虽然2023年8月的月度环比上涨幅度较大，但仅根据环比数据不能直接得出8月的居民消费价格是全年最高的，因为前面的月份价格也有变化情况，例如1月同比上涨,且后续月份价格变化复杂，不能简单判断8月价格最高，​错误​. 故选：A 8．（23-24高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（    ） A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业从业人员中90后占一半以上 【答案】A 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假． 【详解】选项A；设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事技术岗位的90后人数为，小于80后的人数， 但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故A错误． 选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a， 而90后总人数的20％为，故B正确； 选项C：设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事运营岗位的90后人数为， 超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确； 选项D： 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故D正确. 故选：A． 二、多选题 9．（2026·安徽安庆·一模）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 10．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）某调查研究小组收集并整理了南阳市2025年11月21日至30日每日最低气温与最高气温（单位：）的数据，并绘制了如图所示的折线图，则（    ） A．11月21日至30日的日最低气温的极差是 B．11月21日至30日的日最高气温的中位数是 C．在11月21日至30日中，有4天的日最低气温低于 D．在11月21日至30日中，11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大 【答案】BD 【分析】根据折线图结合极差、中位数的理解逐项分析即可得出. 【详解】由图知11月21日至30日最低气温的最大值均小于，最小值为，则极差小于，故A不正确； 由图可知11月21日至30日的日最高气温共计10天， 从小到大排序的日期为：25日，26日，27日，22日，21日，24日，23日，28日，29日，30日， 所以日最高气温的中位数为21日，24日两天对应气温的平均值，即， 故11月21日至30日的日最高气温的中位数是，故B正确； 由图可知在11月21日至30日中，有24日，25日，26日共3天的日最低气温低于，故C不正确； 由11月21日的日温差为，11月22日的日温差约为， 11月23日的日温差约为，11月24日的日温差为， 11月25日的日温差约为，11月26日的日温差约为， 11月27日的日温差约为，11月28日的日温差约为， 11月29日的日温差约为，11月30日的日温差为， 所以11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大，故D正确. 故选：BD. 11．（2021·江西宜春·模拟预测）某市为最大限度地吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策.随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取名市民，构成样本，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共户，所占比例为，二居室住户占.如图2是用比例分配的分层随机抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中抽取的调查结果，构成样本，分析后绘制成的统计图，则下列说法正确的是（    ） A．样本的样本量为 B．样本中三居室住户共抽取了户 C．根据样本可估计样本中对四居室满意的住户有户 D．样本中对三居室满意的有户 【答案】AD 【分析】对于选项A，由样本中户型结构为四居室的户数及所占比例求，再根据抽样比求样本的样本量，判断A，对于B，先求样本中户型结构为三居室的市民所占比例，再求样本中户型结构为三居室的市民的户数，并结合抽样比求结论，判断B，对于C，结合条形图估计样本中四居室市民对户型结构满意的比例，再结合样本中四居室市民的户数求结论，判断C，对于D，根据样本中户型结构为三居室的市民的户数及对户型结构满意的比例求结论，判断D. 【详解】对于A，因为调查的名市民中居住的户型结构为四居室的市民共户，所占比例为， 所以，得（户）， 又样本是从样本中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取所得，且抽样比为， 所以样本的样本量为（户），故A正确； 对于B，样本中户型结构为四居室的市民所占比例为，户型结构为二居室市民所占比例为， 所以样本中户型结构为三居室的市民所占比例为， 所以样本中户型结构为三居室市民有（户）， 所以样本中三居室住户共抽取了（户），故B错误； 对于C，样本中户型结构为四居室的市民的满意度为， 所以可估计样本中户型结构为四居室的市民对户型结构满意的比例为， 所以样本中户型结构为四居室的市民对户型结构满意的住户大约有（户），故C错误； 对于D，样本中户型结构为三居室住户有户， 所以对三居室满意的住户有（户），故D正确. 故选：AD. 12．（25-26高二上·浙江·期末）某高中100位学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．则根据直方图可得（    ） A． B．估计这100名学生成绩的平均分为73 C．估计这组数据的第80百分位数为85 D．若采用样本量比例分配的分层随机抽样从两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取1人，则此人成绩在区间的概率为 【答案】ABD 【分析】A选项，由概率之和为1得到方程，求出；B选项，中间值作为代表求出平均数，得到B正确；C选项，先得到数据的第80百分位数位于，设为，得到方程，估计这组数据的第80百分位数为；D选项，由分层抽样的特征得到从两组抽取的人数分别为3人，2人，进而得到概率. 【详解】A选项，，解得，A正确； B选项，， 故估计这100名学生成绩的平均分为73，B正确； C选项，，， 故数据的第80百分位数位于，设为， 则，解得， 估计这组数据的第80百分位数为，C错误； D选项，，故从两组中抽取5人， 则从两组抽取的人数分别为人，人， 再从这5人中随机抽取1人，则此人成绩在区间的概率为，D正确. 故选：ABD 13．（24-25高一下·江苏无锡·阶段检测）我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 【答案】ABD 【分析】对于A，由诸频率和为1可求，故可判断正误，对于B，由频率求出人数后可判断正误，对于C，由直方图可得90分以上的频率，故可估计相应人数后判断正误，对于D，求出前四组的频率之和后可得上四分位数. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得， 解得，故A正确； 对于B，成绩在内的人数为人，B正确； 对于C，90分以上的频率为，故估计有的学生获一等奖，故C错误； 对于D，上四分位数即为第百分位数， 而前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故名学生成绩的上四分位数为分， 故选：ABD. 14．（2025·河南·模拟预测）2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出及其增长速度如图所示，则（    ） A．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长 B．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25百分位数为24393亿元 C．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为 D．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数超过 【答案】ACD 【分析】通过分析条形图可直接判断B，根据百分位数的求解方式可得第25百分位数为2021年的经费支出可判断B错误；由折线图可计算经费支出增长速度的极差确定C；计算出增长速度的平均数即可判断D. 【详解】本题考查统计，考查数据分析的核心素养. 2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长，A正确. 至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25百分位数为27956亿元，B错误. 2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为，C正确. 2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 15．（25-26高三下·重庆·开学考试）在一组数据1，2，3，5，7中加入一个数x后，得到一组新数据，且新数据组的60%分位数等于原数据组的60%分位数，则x=_______. 【答案】 【分析】根据分位数的定义与计算方法求解即可 【详解】原数据1，2，3，5，7，共5个数，计算位置：， 因为是整数，所以分位数是第位和第位的平均值：， 加入后，共6个数，计算位置， 因为不是整数，所以分位数向上取整，是第位， 又因为新数据组的分位数等于原数据组的分位数， 所以只有当时，满足题意. 16．（25-26高一下·全国·课后作业）某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下： 甲的得分：95，81，75，89，71，65，76，88，94，110，107； 乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101． 则甲得分的第50百分位数为____________；乙得分的第75百分位数为____________． 【答案】 88 101 【分析】先将一组数据从小到大排列后，根据百分位数的定义即可确定. 【详解】把甲的得分由小到大排列为65，71，75，76，81，88，89，94，95，107，110． 把乙的得分由小到大排列为79，83，86，88，93，98，98，99，101，103，114． 由，可知甲得分的第50百分位数为第6个数据，即甲得分的第50百分位数为88； 又由，可知乙得分的第75百分位数为第9个数据，即乙得分的第75百分位数为101． 故答案为：88；101. 17．（25-26高一·全国·寒假作业）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知______（结果保留3位小数）．若要从身高在，，三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为______． 【答案】 0.030 3 【分析】由频率分布直方图面积可得，由三组之比为可求解第二空. 【详解】由， 解得， 的频率为，的频率为，的频率为， 三组之比为， 所以用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为， 故答案为：，3 18．（2025高二·全国·专题练习）某校从高一年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，绘制成如下频率分布直方图，则频率分布直方图中a的值是________．    【答案】0.020 【分析】根据频率之和等于1求解可得. 【详解】由图可知，，解得. 故答案为： 19．（24-25高一下·海南海口·阶段检测）某企业为了更好地监测设备运转，引进了一套温控系统，通过物联网传感器每分钟记录一次设备温度值．如图，以下是根据某天记录的1000个温度值（记录的温度值均为整数）（单位：）作出的频率分布直方图，则直方图中实数________，若该企业规定设备温度超过为异常，试估计该天记录的这1000个温度值中异常的温度值的频率为________．    【答案】 【分析】（1）根据所有小矩形的面积之和等于1列方程求解即可； （2）根据频率分布直方图估计温度超过部分的小长方形的面积之和即得． 【详解】由图知， 解得：； 超过的频率为：. 故答案为：，． 四、解答题 20．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）为了解学校高二学生的物理成绩，从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在40～100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)若60分（包含60）以上为合格，求的值和合格人数； (2)求抽取测试卷成绩的第80百分位数． 【答案】(1)，合格人数为75人. (2)84 【分析】（1）利用频率和为1求的值，再根据频率与频数的关系估计合格人数. （2）根据百分位数的概念求第80百分位数. 【详解】（1）由. 100份测试卷中，合格人数为：人. （2）因为，， 所以成绩的第80百分位数为：. 21．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）某校为了帮助高一学生更好地了解自己是否适合选读物理方向，在预选科之前组织了高一年级物理测试，并从中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)学校建议此次物理测试成绩在年级前的学生选报物理方向，其余学生建议选报历史方向，某同学想选报物理方向，根据频率分布直方图估计，他此次物理成绩应不低于多少分才能符合学校的建议？（保留小数点后一位） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率和为1可求的值. （2）根据频率分布直方图估计数据的第百分位数即可. 【详解】（1）由频率和为1可得. （2）成绩在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 因为，， 所以数据的第百分位数在内， 设百分位数为， 则,解得. 所以他此次物理成绩应不低于分才能符合学校的建议. 22．（24-25高一下·广东佛山·期末）某商场停车收费标准如下：停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时算，如停车时长为2.5小时，则按3小时计算，收费8元），一天之内封顶24元.为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了100辆车一天内的停车时长（单位：小时），将数据按照，，，分成9.组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)估计停车费为24元的频率； (2)估计停车时长的第85百分位数； (3)假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天的停车费收入. 【答案】(1)0.1 (2)5.5小时 (3)8480元 【分析】（1）先分析出超过6小时收费就是24元，然后再由直方图计算超过6小时的频率即可； （2）通过计算先确定估计停车时长的第85百分位数所在的区间，再根据求百分位数的公式计算即可； （3）先分别求出停车时长在各个时间段的车辆的数量，再对应的求出其费用，再求和即可. 【详解】（1）因为停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元， 所以停车时间为小时，收费元，超过6小时收费就是24元， 所以由直方图可知超过6小时的频率为， 所以估计停车费为24元的频率为0.1； （2）停车时间为的频率为， 停车时间为的频率为， 所以估计停车时长的第85百分位数位于区间内， 因为， 所以估计停车时长的第85百分位数为5.5小时； （3）假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车， 则停车时长为的估计有辆，收费0元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 停车时长为的估计有辆，收费元； 估计该商场节假日一天的停车费收入为 元. 23．（24-25高一下·安徽宿州·期末）某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并且计算样本的平均数； (2)若该市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数； (3)若该地区市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值．（结果保留整数） 【答案】(1)， 395（千瓦） (2)495万人 (3)（千瓦）． 【详解】（1）由频率之和为1，可得， 解得， 样本的平均数为： （千瓦）. （2）由图可得，用电量不低于400千瓦的频率为， 故全市居民中月均用电量不低于400千瓦的人数为万人. （3）由图可得，前5组的频率之知为， 前6组的频率之和为， 设第85百分位数为，则， 故， 解得（千瓦）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.1&9.2.2总体取值规律的估计、总体百分位数的估计 【考点梳理】 · 考点一：频率分布表解决实际问题 · 考点二：频率分布直方图的有关计算 · 考点三：频率分布直方图的实际应用 · 考点四：条形统计图 · 考点五：折线统计图 · 考点六：扇形统计图 · 考点七：总体百分数的估算 · 考点八：总体取值规律、百分位数的综合问题 【知识梳理】 知识点01：频率分布直方图 作频率分布直方图的步骤 1.求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差. 2.决定组距与组数 将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来. 3.将数据分组 4.列频率分布表：各小组的频率＝. 5.画频率分布直方图 纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×＝频率. 技巧归纳： (1)分点的决定方法：若数据为整数，则减去0.5作为分点数；若数据是小数点后一位的数，则减去0.05作为分点数；依次类推. (2)画频率分布直方图中小矩形的高的方法：①小矩形的高＝；②假设频数为1的小矩形的高为h，则频数为k的小矩形的高为kh. (3)频率分布直方图的性质 ①因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. ③＝样本容量. (2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性. 知识点02：常见统计图表的特点与区别 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，条形图适用于描述离散型数据，直方图适用于描述连续型数据.折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势. 知识点03：百分位数 1.百分位数定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 2.常用的百分位数 (1)四分位数：第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数. (2)其它常用的百分位数：第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数. 3.计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下： 第1步，按从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝n×p%； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 【题型归纳】 题型一：频率分布表解决实际问题 【典例1】．（24-25高一下·江苏·期末）某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他区 营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7% 净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8% 已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（   ） A．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 B．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 C．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40% D．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 【变式1】．（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次 观看人数占调查 人数的百分比 从表中数据可以得出的正确结论为（   ）． A．表中的数值为 B．观看场次不超过场的学生的比例为 C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人 D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人 【变式2】．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在“世界杯”足球赛亚洲区第二阶段比赛结束后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看中国队比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为，将数据分组整理后，列表如下： 观看场数 0 1 2 3 4 5 6 观看人数占调查人数的百分比 从表中可以得出错误的结论为（    ） A． B．估计观看比赛不低于4场的学生约为340人 C．样本中，观看2场的学生为200人 D．估计观看比赛场数的众数为3 题型二：频率分布直方图的有关计算 【典例2】．（25-26高一下·全国·单元测试）某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． （1）频率分布直方图中的值为____________； （2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，估计新生中可以申请住校的学生有____________名． 【变式1】．（25-26高一上·北京西城·期末）为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 【变式2】．（24-25高一下·天津·阶段检测）为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查(满分为100分)，并根据问卷成绩(不低于60分记为及格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分为，，，，，六组)，若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下列结论正确的是______. ① ②问卷成绩在内的频率为0.3 ③ ④以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格 题型三：频率分布直方图的实际应用 【典例3】．（24-25高二上·云南曲靖·阶段检测）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（    ）    A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 【变式1】．（2023·陕西商洛·模拟预测）自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（    ）    A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 【变式2】．（21-22高一·全国·单元测试）某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是（    ） A．获得A等级的人数减少了 B．获得B等级的人数增加了1.5倍 C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同 题型四：条形统计图 【典例4】．（2025高三·上海·专题练习）如图所示，下面是出口，上面是进口，哪个进出口贸易总额不对（    ） A．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大； B．从2018年开始后，进出口总额逐年增大； C．从2018年开始后，进口总额逐年增大； D．从2018年开始后，图表2020年增长率最小. 【变式1】．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（    ） A．2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B．2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C．2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D．2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【变式2】．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 题型五：折线统计图 【典例5】．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（   ） A．最高气温的极差范围 B．10月的最高气温不低于5月的最高气温 C．最低气温低于0℃的月份有4个 D．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 【变式1】．（24-25高二上·四川成都·期中）某年1月25日至2月12日某旅游景区及其里面的特色景点累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．月日景区累计参观人次中特色景点占比超过了． B．月日至月日特色景点累计参观人次增加了人次． C．月日至月日特色景点的累计参观人次的增长率和月日至月日特色景点累计参观人次的增长率相等． D．月日至月日景区累计参观人次的增长率小于月日至月日的增长率． 【变式2】．（24-25高二上·山西朔州·阶段检测）如图是一个病人在5月1日和5月2日48小时内的体温记录折线图，根据此图，下列叙述不正确的是（   ） A．每六小时为病人测量一次体温 B．病人在5月1日612时体温下降最快 C．病人在5月2日18时体温是 D．病人在5月1日18时至5月2日18时体温一直在下降 题型六：扇形统计图 【典例6】．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【变式1】．（25-26高三上·河南信阳·期末）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【变式2】．（2026高三·全国·专题练习）某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（   ） A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6:5 B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6:7 C．2024年该校本科达线人数增加了80% D．2024年该校不上线的人数有所减少 题型七：总体百分数的估算 【典例7】．（2026·云南昆明·模拟预测）2025年1月—7月全国工业生产者出厂价格环比下降幅度（单位：%）依次为0.2，0.1，0.4，0.4，0.4，0.4，0.2，则这7个数据的45%分位数为______. 【变式1】．（2026·湖北·一模）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 【变式2】．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）若10名跳水运动员在一次比赛（满分：100分）中的得分情况分别为95，80，68，77，74，90，88，83，76，86，则这组数据的分位数为______． 题型八：总体取值规律、百分位数的综合问题 【典例8】．（25-26高一下·全国·课堂例题）为了解一片经济林的生长情况，随机测量100株树木的底部周长，得到如下数据：（单位：cm） 135  98  102  110  99  121  110  96  100  103  125  97  117  113  110  92  102  109 104  112  109  124  87  131  97  102  123  104  104  128  105  123  111  103  105  92 114  108  104  102  129  126  97  100  115  111  106  117  104  109  111  89  110  121   80  120  121  104  108  118  129  99  90  99  121  123  107  111  91  100  99  101  116 97  102  108  111  95  107  101  102  108  117  99  118  106  119  97  126  108  123   119  98  121  101  113  102  103  104  108 (1)编制频率分布表； (2)绘制频率分布直方图、折线图； (3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，周长不小于120cm的树木约占多少？ 【变式1】．（24-25高一下·四川成都·期末）为了提高市民的环保意识，某市举行了环保知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了100人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为6组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低40分，最高100分）． (1)求a的值； (2)从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的众数和平均数； (3)认定成绩位于前百分之六十的考生为良好，请你估计良好认定的分数线是多少．（保留整数） 【变式2】．（24-25高一下·天津·期末）天津在“五一”期间组织了假日文旅活动，涵盖精品演出、主题活动、文化旅游区活动等，吸引了数以万计的游客．为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组采用问卷调查的方式随机调查游客，并将收集到的满意度得分数据（满分100分，得分均在内）按分成5组，整理得到如下频率分布直方图． (1)求x的值和第78百分位数； (2)从得分在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取50人，则这两组分别抽取多少人； (3)若此样本数据特征能反应总体特征，试估计游客满意度的平均成绩．（同一组中的数据用该组区间的中点值代替） 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·甘肃武威·阶段检测）班长统计了去年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法不正确的是（    ） A．阅读数量最大的是8月份 B．阅读数量最小的是1月份 C．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D．每月阅读数量超过40的有6个月 2．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ） A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示的扇形统计图统计了某地2013年和2023年小学生参加课外兴趣班的情况，已知2023年当地小学生参加课外兴趣班的总人数是2013年当地小学生参加课外兴趣班的总人数的4倍，下面说法不正确的是（    ）    A．2023年当地参加音乐兴趣班的小学生人数是2013年当地参加音乐兴趣班的小学生人数的4倍 B．这11年间当地参加编程兴趣班的小学生人数变化量最大 C．2023年当地参加美术兴趣班的小学生人数少于2013年当地参加美术兴趣班的小学生人数 D．相对于2013年，2023年参加不同课外兴趣班的小学生人数更平均 4．（2026·安徽·模拟预测）在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 5．（2026·广东江门·二模）某工厂抽检了100个零件，并统计了这些零件的直径（单位：）数据，得到如下表格： 直径/mm 46 47 48 49 50 51 52 53 54 频数 5 8 12 15 20 18 12 6 4 由表可知这100个零件的直径的第60百分位数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·上海·一轮复习）某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到饼图： 四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中错误的是（ ） A．精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少 B．精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7．（24-25高一下·河北·阶段检测）在统计学中，月度同比是指本月份和上一年同月份相比较的增长率，月度环比是指本月份和上一个月份相比较的增长率.如图是国家统计局发布的2023年全国居民消费价格月度涨跌幅度折线图，则下列说法正确的是（    ） A．2023年2月至6月居民的消费价格持续下降 B．2023年7月居民消费价格高于2022年同期 C．2023年4月居民消费价格环比上涨0.1%，同比下降0.1% D．2023年8月的居民消费价格是全年最高的 8．（23-24高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（    ） A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业从业人员中90后占一半以上 二、多选题 9．（2026·安徽安庆·一模）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 10．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）某调查研究小组收集并整理了南阳市2025年11月21日至30日每日最低气温与最高气温（单位：）的数据，并绘制了如图所示的折线图，则（    ） A．11月21日至30日的日最低气温的极差是 B．11月21日至30日的日最高气温的中位数是 C．在11月21日至30日中，有4天的日最低气温低于 D．在11月21日至30日中，11月24日的日温差（最高气温减最低气温）最大 11．（2021·江西宜春·模拟预测）某市为最大限度地吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策.随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取名市民，构成样本，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共户，所占比例为，二居室住户占.如图2是用比例分配的分层随机抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中抽取的调查结果，构成样本，分析后绘制成的统计图，则下列说法正确的是（    ） A．样本的样本量为 B．样本中三居室住户共抽取了户 C．根据样本可估计样本中对四居室满意的住户有户 D．样本中对三居室满意的有户 12．（25-26高二上·浙江·期末）某高中100位学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．则根据直方图可得（    ） A． B．估计这100名学生成绩的平均分为73 C．估计这组数据的第80百分位数为85 D．若采用样本量比例分配的分层随机抽样从两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取1人，则此人成绩在区间的概率为 13．（24-25高一下·江苏无锡·阶段检测）我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 14．（2025·河南·模拟预测）2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出及其增长速度如图所示，则（    ） A．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长 B．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25百分位数为24393亿元 C．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为 D．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数超过 三、填空题 15．（25-26高三下·重庆·开学考试）在一组数据1，2，3，5，7中加入一个数x后，得到一组新数据，且新数据组的60%分位数等于原数据组的60%分位数，则x=_______. 16．（25-26高一下·全国·课后作业）某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下： 甲的得分：95，81，75，89，71，65，76，88，94，110，107； 乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101． 则甲得分的第50百分位数为____________；乙得分的第75百分位数为____________． 17．（25-26高一·全国·寒假作业）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知______（结果保留3位小数）．若要从身高在，，三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为______． 18．（2025高二·全国·专题练习）某校从高一年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，绘制成如下频率分布直方图，则频率分布直方图中a的值是________．    19．（24-25高一下·海南海口·阶段检测）某企业为了更好地监测设备运转，引进了一套温控系统，通过物联网传感器每分钟记录一次设备温度值．如图，以下是根据某天记录的1000个温度值（记录的温度值均为整数）（单位：）作出的频率分布直方图，则直方图中实数________，若该企业规定设备温度超过为异常，试估计该天记录的这1000个温度值中异常的温度值的频率为________．    四、解答题 20．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）为了解学校高二学生的物理成绩，从某次测试中随机抽取100份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在40～100之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)若60分（包含60）以上为合格，求的值和合格人数； (2)求抽取测试卷成绩的第80百分位数． 21．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）某校为了帮助高一学生更好地了解自己是否适合选读物理方向，在预选科之前组织了高一年级物理测试，并从中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)学校建议此次物理测试成绩在年级前的学生选报物理方向，其余学生建议选报历史方向，某同学想选报物理方向，根据频率分布直方图估计，他此次物理成绩应不低于多少分才能符合学校的建议？（保留小数点后一位） 22．（24-25高一下·广东佛山·期末）某商场停车收费标准如下：停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时算，如停车时长为2.5小时，则按3小时计算，收费8元），一天之内封顶24元.为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了100辆车一天内的停车时长（单位：小时），将数据按照，，，分成9.组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)估计停车费为24元的频率； (2)估计停车时长的第85百分位数； (3)假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天的停车费收入. 23．（24-25高一下·安徽宿州·期末）某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准（千瓦时）：月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并且计算样本的平均数； (2)若该市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数； (3)若该地区市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准（千瓦时），估计的值．（结果保留整数） 2 学科网（北京）股份有限公司 $