第17讲 随机事件与概率（十大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

本讲义聚焦随机事件与概率核心知识点，系统构建从有限样本空间、随机事件分类，到事件关系与运算、古典概型，再到概率基本性质的完整知识支架，层层递进梳理知识脉络。 资料以“例+变式”分层设计题型，融入二十四节气、无人机试飞等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实，通过事件关系推理、古典概型计算培养数学思维，借助集合符号与统计图表强化数学语言。课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

第17讲 随机事件与概率 【人教A版】 模块一 有限样本空间与随机事件 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【题型1 随机现象】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【解题思路】根据必然现象和随机现象的定义依次判断即可. 【解答过程】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一·全国·课后作业）下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹 【答案】A 【解题思路】判断出四个现象是随机现象还是确定性现象，从而选出正确答案. 【解答过程】A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【解题思路】根据现象的分类逐项分析判断. 【解答过程】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据随机现象的概念逐项判断即可得解. 【解答过程】由随机现象的概念可知①②是随机现象，③④是确定性现象. 故选：B. 【题型2 事件的分类】 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【答案】C 【解题思路】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断. 【解答过程】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确； 在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确； 在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误； 在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确． 故选：C． 【变式2.1】（24-25高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【答案】A 【解题思路】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义得到答案. 【解答过程】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 【变式2.2】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可. 【解答过程】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C. 【变式2.3】（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【解题思路】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【解答过程】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 模块二 事件的关系和运算 1．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. 2．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 3．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 A的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【题型3 确定所给事件的包含关系】 【例3】（24-25高二上·河南信阳·月考）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合列举法求得事件和事件，进而得到两事件的关系，得到答案. 【解答过程】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}， 所以. 故选：C. 【变式3.1】（25-26高二上·云南·开学考试）某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】分别列出两个事件包含的基本事件，再由充分条件和必要条件的概念判断即可. 【解答过程】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”. 事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D， 所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式3.2】（2025高一下·全国·专题练习）连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 【答案】，事件与事件之间不存在包含关系 【解题思路】根据事件之间的关系即可求解. 【解答过程】当事件A发生时，事件一定发生，当事件发生时，事件一定发生，因此有，； 当事件发生时，事件一定不发生，当事件发生时，事件一定不发生， 因此事件与事件之间不存在包含关系． 【变式3.3】（24-25高二上·上海·暑假作业）掷两颗骰子，观察掷得的点数.设A：至少有一个是偶数，B：至少有一个是奇数，C：两个点数的乘积是偶数，D：两个点数的和是奇数.讨论： (1)A与B的关系； (2)A与C的关系； (3)A、B、D之间的关系； (4)C与D的关系. 【答案】(1)不互斥； (2)； (3)； (4)，但两者不等. 【解题思路】（1）利用互斥事件的定义判断即可. （2）（3）（4）利用事件的包含关系及运算判断即得. 【解答过程】（1）事件A发生，B不一定发生；B发生，A不一定发生，则A、B互不包含，显然A、B有可能同时发生，所以它们不互斥. （2）两个点数的乘积是偶数当且仅当其中至少一个是偶数，即. （3）两个点数的和是奇数当且仅当一个是奇数一个是偶数，即. （4）若两个点数的和是奇数，肯定是一奇一偶，则其乘积一定是偶数； 反之，乘积是偶数说明两个点数中至少一个是偶数，则，由（2），得，但两者不等. 【题型4 事件的运算及其含义】 【例4】（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先用集合的形式分别表示事件，再根据集合之间的包含关系及交集，并集的概念进行运算，即可判断A，B，C，D. 【解答过程】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D. 【变式4.1】（2025高一·全国·专题练习）打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【答案】D 【解题思路】由事件的运算即可求解. 【解答过程】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确. 故选：D． 【变式4.2】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【解答过程】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C. 【变式4.3】（24-25高二上·山东淄博·月考）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据事件关系，即可判断选项. 【解答过程】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B. 【题型5 互斥事件与对立事件】 【例5】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【答案】A 【解题思路】利用互斥事件与对立事件的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 【变式5.1】（24-25高二上·山东淄博·月考）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】A 【解题思路】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可. 【解答过程】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是. 故选：A. 【变式5.2】（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（    ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 【答案】C 【解题思路】由必然事件、不可能事件、互斥和对立事件的概念可判断. 【解答过程】显然A与B都是随机事件，且A与B不能同时发生，但可能同时不发生，故A与B为互斥但不对立事件. 故选：C. 【变式5.3】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【解题思路】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论. 【解答过程】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D. 模块三 古典概型 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能； ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 【题型6 计算古典概型问题的概率】 【例6】（24-25高三下·贵州遵义·月考）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用列举法求古典概型的概率即可. 【解答过程】从中随机选取三个不同的数有、、、、、、、、、，共10种情况， 其中三个数之积为偶数的有、、、、、、、、，共9种情况， 在上述的9种情况中，它们之和大于8的有、、、、，共5种情况， 所以这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为，列举出所有情况，和至少有一个在八月的情况，从而求出概率. 【解答过程】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为， 4个节气中任选2个节气，有以下情况，， 共6种情况， 其中这2个节气至少有一个在八月的情况有， 共5种情况，所以这2个节气至少有一个在八月的概率为. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高一下·贵州黔西南·期末）现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： (1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； (2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据样本空间的定义、古典概型概率计算公式即可求解； （2）依次算出,，根据古典概型概率计算公式即可求解. 【解答过程】（1）样本空间为，设“骰子朝上的点数大于3”，则， 所以事件的概率为； （2）由题意，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”， 则， ， 所以， 所以. 【变式6.3】（24-25高一下·天津·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品（标号为），2支二等品（标号为），1支三等品（标号为），若从中不放回地依次随机抽取2支．设事件“两支都是一等品”， “含有三等品”． (1)用圆珠笔的标号列出所有可能的抽取结果； (2)求事件的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)，． 【解题思路】（1）设6支圆珠笔标号为，列出所有的6支圆珠笔中依次不放回随机抽取2个的样本点构成样本空间即可； （2）列出事件的样本空间，根据古典概型公式即可求解. 【解答过程】（1）设6支圆珠笔标号为， 从这6支圆珠笔中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有： ， ， 共30种． （2）事件“两支都是一等品” 所有可能结果有：共6种， 所以． 即从6支圆珠笔中，随机抽取两支都是一等品概率为． 事件 “含有三等品” 所有可能结果有：，共10种， 所以， 即从6支圆珠笔中，随机抽取两支含有三等品概率为． 【题型7 根据古典概型的概率求参数】 【例7】（24-25高二上·广东佛山·期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．15 【答案】A 【解题思路】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出的值． 【解答过程】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球， 从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是， 则， 解得（负值舍去）. 故选：A． 【变式7.1】（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【解题思路】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【解答过程】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 【变式7.2】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)； (2)3. 【解题思路】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【解答过程】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 【变式7.3】（24-25高一下·湖北武汉·月考）一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，分别列举所有可能情况，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别列出出所有情况，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由古典概型概率公式，列出方程，即可得到结果. 【解答过程】（1）将两个红球编号为1，2，四个绿球球编号为3，4，5，6．第一次摸球时有6种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，设第一次摸到的球的编号为m，第二次摸到的球的编号为n，样本点为，则样本空间为，则． 设“第二次取到红球”为事件A，则，即 ， 所以，故第二次取到红球的概率为． （2）设“两次取到的球颜色相同”为事件B，则，即 所以，故两次取到的球颜色相同的概率为 （3）由已知得，解得． 模块四 概率的基本性质 1．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B). 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P()=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5 如果，那么P(A)≤P(B). 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 2．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 【题型8 互斥事件的概率加法公式】 【例8】（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【解答过程】因为事件A，B，C两两互斥， 则． 又因为， 可得，解得， 所以． 故选：B. 【变式8.1】（24-25高一下·新疆巴州·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.2 0.25 0.3 0.15 若这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为（    ） A．0.3 B．0.45 C．0.55 D．0.7 【答案】B 【解题思路】利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率. 【解答过程】由互斥事件的概率加法公式可知，事件命中的环数大于8环的概率为. 故选：B. 【变式8.2】（24-25高一下·河南·阶段检测）已知事件互斥，且，则（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【答案】B 【解题思路】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【解答过程】由题可知. 故选：. 【变式8.3】（24-25高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【解题思路】根据互斥事件的概率公式即可求解. 【解答过程】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 【题型9 利用对立事件的概率公式求概率】 【例9】（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【解答过程】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 【变式9.1】（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【解题思路】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【解答过程】由和对立，可得，则， 又由随机事件和互斥可知， 所以. 故选：D． 【变式9.2】（24-25高一下·全国·课堂例题）玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球： (1)取得红球或黑球的概率； (2)取得红球或黑球或白球的概率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）利用互斥事件或对立事件的知识来求得所求概率. 【解答过程】（1）记事件表示“任取1球为红球”，表示“任取1球为黑球”，表示“任取1球为白球”，表示“任取1球为绿球”， 则，，，． 解法一：利用互斥事件求概率． 根据题意知，事件，，，彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 取出1球为红球或黑球的概率为． 解法二：利用对立事件求概率． 由解法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球， 即的对立事件为．所以取得1球为红球或，黑球的概率为： ． （2）解法一：利用互斥事件求概率． 取出1球为红球或黑球或白球的概率为． 解法二：利用对立事件求概率． 的对立事件为，则． 【变式9.3】（24-25高一下·云南红河·期中）某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为，请问他有可能乘何种交通工具去？ 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）由互斥事件的和事件的概率公式的计算可得结果； （2）由对立事件的概率公式的计算可得结果； （3）由互斥事件的和事件的概率公式和对立事件的概率公式的计算可判定结论. 【解答过程】（1）记“他乘火车去”为事件，“他乘轮船去”为事件，“他乘汽车去”为事件，“他乘飞机去”为事件，这四个事件任意两个都不可能同时发生，故它们彼此互斥， 故，即他乘火车或乘飞机去的概率为. （2）设他不乘轮船去的概率为P， 则. （3）由于， 故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． 【题型10 古典概型与统计的交汇问题】 【例10】（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【解答过程】由题意可知从高一学生中抽取人，记为， 从高二学生中抽取人，记为， 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中至少有一名来自高二年级有，7种情况， 所以所求概率为. 故选：D. 【变式10.1】（24-25高一下·湖南永州·期末）某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成，，，，，六组，整理得到如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数； (2)在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率. 【答案】(1)，众数为75分，中位数为64 (2) 【解题思路】（1）结合频率分布直方图的性质，通过矩形面积和为1求，再依据众数、中位数的定义进行求解； （2）先确定相关区间人数，再利用古典概型概率公式计算概率. 【解答过程】（1）因为 所以 参加这次测评学生成绩的众数为75分 由所给频率分布直方图知 100名学生成绩在的频率为0.4，在的频率为0.65， 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数在内 设中位数为，则， 解得 所以参加这次问卷调查学生成绩的中位数为64. （2）在抽查的100名学生中，成绩在中的学生有人， 成绩在中的学生有人， 记［80,90）中的3人为， 记［90,100］中的2人为 所有基本事件有： 共10种， 来自同一组的有：，共4种情况， 故恰好来自同一组的概率. 【变式10.2】（24-25高一下·广东汕头·期末）在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分： 组 42 47 48 46 52 组 52 36 70 38 39 (1)分别计算两组评委打分的极差和平均数； (2)分别计算两组评委打分的方差，并判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组； (3)甲、乙是该场比赛的专业人士评委，要从五位专业人士的评委小组中任意选取2人对该选手点评，求恰好甲、乙同时被选中的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）根据极差和平均数的定义计算即可； （2）根据方差的定义计算即可，进而判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组； （3）列举出所有的基本情况，根据古典概型的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）由表格数据知：组评委打分的极差为， 平均数为， 组评委打分的极差为， 平均数为， （2）组评委打分的方差为， 组评委打分的方差为， 则，又，小组打分波动较小， 故小组更像是由专业人士组成的评委小组. （3）记五位专业人士分别为，甲，乙， 从五位专业人士的评委小组中任意选取2人， 基本情况为，，（，甲），（，乙），，（，甲），（，乙）， （，甲），（，乙），（甲，乙），共10种情况， 其中甲、乙同时被选中的情况有1种情况， 所以恰好甲、乙同时被选中的概率为. 【变式10.3】（24-25高一下·河南濮阳·期末）为了测试不同抗干扰手段对无人机抗干扰性能的影响，某科研机构对100架某型号的无人机设置不同的参数，在相同的干扰环境下试飞，发现这些无人机的正常飞行时长（单位：分）均分布在区间内，现将这100个飞行时长数据按分成6组并整理，得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)该科研机构计划按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前的无人机的相关参数，若某架无人机的正常飞行时长为42分钟，判断该无人机能否被检测到； (3)若该科研机构从正常飞行时长在内的无人机中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6架，再从这6架中随机抽取2架做进一步研究，求在和内各抽取一架的概率． 【答案】(1) (2)能被检测到 (3) 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）根据百分位数的定义求解即可； （3）先根据分层抽样确定抽取6架时内的应分别抽取4架、2架，列举出所有的情况，根据古典概型的概率公式求解即可. 【解答过程】（1）由题意知，解得． （2）按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前的无人机，即求分位数． 在频率分布直方图中，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以分位数位于内．· 设分位数为x， 则，解得．· 因为，属于前，故能被检测到. （3）正常飞行时长在内的频率分别为， 则抽取6架时内的应分别抽取4架、2架． 设在内的4架分别为，在内的2架分别为， 在和内各抽取一架为事件A， 则该试验的样本空间为 ， ， ， 所以· 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断. 【解答过程】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B. 2．（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【答案】A 【解题思路】根据互斥事件的定义判断. 【解答过程】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件． 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A. 3．（25-26高一上·浙江宁波·自主招生）不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先确定共有多少种情况，再确定第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有几种，即可求得答案. 【解答过程】由题意知随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球， 共有等6种可能的情况； 其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有， 故第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是， 故选：A. 4．（25-26高二上·广东江门·期末）某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 【答案】C 【解题思路】根据对立事件的定义判断即可. 【解答过程】某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，， 则表示共中靶0次，表示共中靶1次， 所以表示共中靶0次或1次，所以其对立事件表示共中靶至少2次. 故选：C. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为．事件表示“小于5的奇数点出现”，事件表示“不大于5的点数出现”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对立事件概率公式及互斥事件概率加法公式计算求解. 【解答过程】由题意知，表示“大于5的点数出现”，事件与事件互斥， 由概率的加法计算公式可得 故选：B. 6．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】D 【解题思路】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【解答过程】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D. 7．（24-25高一下·新疆哈密·期末）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 【答案】C 【解题思路】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质、并事件的概率的求法判断C和D. 【解答过程】对于A，若，则故A不正确； 对于B，若，则故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，，而， 所以，故D不正确. 故选：C. 8．（25-26高二上·广东中山·月考）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【解题思路】应用古典概型计算各个选项即可. 【解答过程】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有 8种，其概率为，故D错误． 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D．事件，，的关系不确定 【答案】ABC 【解题思路】根据给定条件，结合互斥事件、对立事件、必然事件的意义举反例说明ABC错误. 【解答过程】选项ABC错误，反例如下： 在一个箱子中有白球、黄球和红球若干，从中任取一球，取到红球的事件的概率为0.2， 取到黄球的事件的概率为0.3，取到黄球或红球的事件的概率为0.5， 显然与既不是互斥事件，也不是对立事件，A错误； 是“取到黄球或红球”，不是必然事件，B错误； ，C错误， 由条件无法确定事件的关系，D正确. 故选：ABC. 10．（24-25高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【解题思路】分析各事件的含义，结合事件的互斥性和对立性判断选项A，B；分析的关联，判断选项C；分析的关联判断选项D． 【解答过程】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 11．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知口袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则（   ） A．取出的球颜色全不相同的概率为 B．取出的球颜色不全相同的概率为 C．取出的球恰有2次红球概率为 D．取出的球无红球的概率为 【答案】AC 【解题思路】用列举法求得所有的基本事件，结合每个选项，求得对应事件包含的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【解答过程】根据题意，设黄球、红球、白球分别为，从中有放回地取3次，所有基本事件有如下种： ， ， . 对A：取出的球颜色全不相同的方法有6种，，，，，，， 总的取球方法有27种，因此取出的球颜色全不相同的概率为，A正确； 对B：取出的球颜色全相同的方法有3种，， 因此取出的球颜色不全相同的方法有种，因此取出的球颜色不全相同的概率为，B错误： 对C：取出的球恰有2次红球的方法有6种，，，，，，， 总的取球方法有27种，因此取出的球恰有2次红球的概率为，C正确； 对D：取出的球没有红球的方法有种， 总的取球方法有27种，因此取出的球没有红球的概率为， D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；④“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有__________组. 【答案】2 【解题思路】根据给定条件，利用互斥事件的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“恰有2件次品”不可能同时发生，是互斥事件； 对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件； 对于③，“至少有1件正品”包括“1件正品，1件次品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件； 对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”，不可能同时发生，是互斥事件， 因此①④是互斥事件. 故答案为：2. 13．（25-26高一上·江西九江·期末）河流与河流是水库的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.8和0.6，同时不缺水的概率是0.5，则水库缺水的概率为___________． 【答案】0.1 【解题思路】设相应事件，可知，根据事件的关系运算求解即可. 【解答过程】记“河流不缺水”为事件，“河流不缺水”为事件，“水库不缺水”为事件，则水库缺水为事件， 由，且， 可得， 所以水库缺水的概率． 故答案为：. 14．（24-25高一下·河南商丘·期末）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为__________． 【答案】 【解题思路】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解. 【解答过程】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间共10个基本事件，即 用表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，则共4个基本事件，即 所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）． (1)求样本空间； (2)求“平局”包含的样本点； (3)求“甲赢”包含的样本点； (4)求“乙赢”包含的样本点 【答案】(1)样本空间（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}（其中小括号内左边的文字代表甲出的拳，右边的文字代表乙出的拳） (2)（锤子，锤子），（剪刀，剪刀），（布，布） (3)（锤子，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子） (4)（剪刀，锤子），（布，剪刀），（锤子，布） 【解题思路】（1）根据题意直接写出样本空间即可； （2）根据“平局”写出样本点即可； （3）根据“甲赢”写出样本点即可； （4）根据“乙赢”写出样本点即可； 【解答过程】（1）样本空间（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}（其中小括号内左边的文字代表甲出的拳，右边的文字代表乙出的拳）． （2）“平局”包含（锤子，锤子），（剪刀，剪刀），（布，布）三个样本点． （3）“甲赢”包含（锤子，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子）三个样本点． （4）“乙赢”包含（剪刀，锤子），（布，剪刀），（锤子，布）三个样本点． 16．（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【解题思路】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可； （2）根据并事件（和事件）的概念求解即可； （3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可. 【解答过程】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子，样本空间为， 事件包含的样本点为,. 故,. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，, 故. 17．（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【解答过程】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ， 共种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ， 共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率. 18．（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用概率的加法公式即可； （2）利用互斥事件的概率公式即可； （3）利用对立事件的概率公式即可. 【解答过程】（1）由概率的加法公式，可得， 则. （2）因事件是事件的对立事件，则， 依题意，事件与事件互斥，则， 即，解得. （3）因事件是事件和事件的交集的对立事件， 则. 19．（25-26高一下·江西九江·开学考试）开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数； (2)若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：求这2人中至少有1人的评分在的概率． 【答案】(1)；众数为87.5；中位数为85； (2)． 【解题思路】（1）由频率分布直方图的性质，所有小矩形的面积之和为1，可解得的值，由中位数的定义，找到频率之和为的点，众数估计值为最高小矩形的中点； （2）首先根据两个分组的人数之比，采用分层抽样的方法，得到每个分组抽取的人数，则采用列举法，罗列所有情况和符合题意的情况，根据古典概型的概率计算公式得到答案. 【解答过程】（1）∵第三组的频率为， ， 众数为， 又第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为0.200， ∴前三组的频率之和为， ∴这200名业主评分的中位数为85； （2）由频率分布直方图，知评分在的人数与评分在的人数的比值为， ∴采用分层抽样法抽取5人，评分在的有3人，评分在有2人， 设评分在的3人分别为，，；评分在的2人分别为，， 从5人中任选2人的所有可能情况共10种：，，，，，，，，，， 其中选取的2人中至少有1人的评分的情况有：，，，，，，共7种． 故这2人中至少有1人的评分在的概率为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 随机事件与概率 【人教A版】 模块一 有限样本空间与随机事件 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【题型1 随机现象】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【变式1.1】（24-25高一·全国·课后作业）下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹 【变式1.2】（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【变式1.3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 事件的分类】 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（    ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【变式2.1】（24-25高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【变式2.2】（24-25高一下·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式2.3】（25-26高一上·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 模块二 事件的关系和运算 1．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，…，A∪B∪C∪… (或A+B+C+…)发生当且仅当A，B，C，…中至少一个发生，A∩B∩C∩… (或ABC…)发生当且仅当A，B，C，…同时发生. 2．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 3．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 A的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【题型3 确定所给事件的包含关系】 【例3】（24-25高二上·河南信阳·月考）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【变式3.1】（25-26高二上·云南·开学考试）某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3.2】（2025高一下·全国·专题练习）连续掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：为“3次正面向上”， 为“只有1次正面向上”， 为“至少有1次正面向上”，试判断事件之间的包含关系． 【变式3.3】（24-25高二上·上海·暑假作业）掷两颗骰子，观察掷得的点数.设A：至少有一个是偶数，B：至少有一个是奇数，C：两个点数的乘积是偶数，D：两个点数的和是奇数.讨论： (1)A与B的关系； (2)A与C的关系； (3)A、B、D之间的关系； (4)C与D的关系. 【题型4 事件的运算及其含义】 【例4】（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2025高一·全国·专题练习）打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【变式4.2】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·山东淄博·月考）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 互斥事件与对立事件】 【例5】（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【变式5.1】（24-25高二上·山东淄博·月考）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 【变式5.2】（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（    ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 【变式5.3】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 模块三 古典概型 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能； ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 【题型6 计算古典概型问题的概率】 【例6】（24-25高三下·贵州遵义·月考）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·贵州黔西南·期末）现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： (1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； (2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 【变式6.3】（24-25高一下·天津·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品（标号为），2支二等品（标号为），1支三等品（标号为），若从中不放回地依次随机抽取2支．设事件“两支都是一等品”， “含有三等品”． (1)用圆珠笔的标号列出所有可能的抽取结果； (2)求事件的概率． 【题型7 根据古典概型的概率求参数】 【例7】（24-25高二上·广东佛山·期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．15 【变式7.1】（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【变式7.2】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【变式7.3】（24-25高一下·湖北武汉·月考）一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? 模块四 概率的基本性质 1．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B). 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P()=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 性质5 如果，那么P(A)≤P(B). 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 2．复杂事件概率的求解策略 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 【题型8 互斥事件的概率加法公式】 【例8】（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一下·新疆巴州·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.2 0.25 0.3 0.15 若这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为（    ） A．0.3 B．0.45 C．0.55 D．0.7 【变式8.2】（24-25高一下·河南·阶段检测）已知事件互斥，且，则（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【变式8.3】（24-25高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【题型9 利用对立事件的概率公式求概率】 【例9】（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 【变式9.2】（24-25高一下·全国·课堂例题）玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球： (1)取得红球或黑球的概率； (2)取得红球或黑球或白球的概率． 【变式9.3】（24-25高一下·云南红河·期中）某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为，请问他有可能乘何种交通工具去？ 【题型10 古典概型与统计的交汇问题】 【例10】（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式10.1】（24-25高一下·湖南永州·期末）某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成，，，，，六组，整理得到如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数； (2)在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率. 【变式10.2】（24-25高一下·广东汕头·期末）在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分： 组 42 47 48 46 52 组 52 36 70 38 39 (1)分别计算两组评委打分的极差和平均数； (2)分别计算两组评委打分的方差，并判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组； (3)甲、乙是该场比赛的专业人士评委，要从五位专业人士的评委小组中任意选取2人对该选手点评，求恰好甲、乙同时被选中的概率. 【变式10.3】（24-25高一下·河南濮阳·期末）为了测试不同抗干扰手段对无人机抗干扰性能的影响，某科研机构对100架某型号的无人机设置不同的参数，在相同的干扰环境下试飞，发现这些无人机的正常飞行时长（单位：分）均分布在区间内，现将这100个飞行时长数据按分成6组并整理，得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)该科研机构计划按正常飞行时长从长到短的顺序，检测分析前的无人机的相关参数，若某架无人机的正常飞行时长为42分钟，判断该无人机能否被检测到； (3)若该科研机构从正常飞行时长在内的无人机中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6架，再从这6架中随机抽取2架做进一步研究，求在和内各抽取一架的概率． 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 3．（25-26高一上·浙江宁波·自主招生）不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东江门·期末）某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 5．（25-26高一下·全国·课后作业）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为．事件表示“小于5的奇数点出现”，事件表示“不大于5的点数出现”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 7．（24-25高一下·新疆哈密·期末）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D． 8．（25-26高二上·广东中山·月考）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·课后作业）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D．事件，，的关系不确定 10．（24-25高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 11．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知口袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则（   ） A．取出的球颜色全不相同的概率为 B．取出的球颜色不全相同的概率为 C．取出的球恰有2次红球概率为 D．取出的球无红球的概率为 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课后作业）一箱产品有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；④“至少有1件次品”和“都是正品”.其中互斥事件有__________组. 13．（25-26高一上·江西九江·期末）河流与河流是水库的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.8和0.6，同时不缺水的概率是0.5，则水库缺水的概率为___________． 14．（24-25高一下·河南商丘·期末）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为__________． 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）． (1)求样本空间； (2)求“平局”包含的样本点； (3)求“甲赢”包含的样本点； (4)求“乙赢”包含的样本点 16．（24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 17．（24-25高一下·广东广州·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 18．（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 19．（25-26高一下·江西九江·开学考试）开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数； (2)若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：求这2人中至少有1人的评分在的概率． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $