精品解析：浙江杭州市公益中学2025-2026学年七年级下学期5月阶段检测数学试题

七年级数学独立练习 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 如图，下列四个角中，与∠1构成一对同位角的是（ ） A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 【答案】B 【解析】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：由图可得，与∠1构成同位角的是∠3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同位角的概念，同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 2. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故A选项错误； B选项：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：，故B选项错误； C选项：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：，计算正确，故C选项正确； D选项，根据合并同类项法则，系数相加，字母与指数不变，可得：，故D选项错误． 4. 如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，不能判定的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理依次排除选项即可． 【详解】解：当时，则根据“内错角相等，两直线平行”得到，故①不符合题意； 当时，则根据“内错角相等，两直线平行”得到，故②不符合题意； 当时，则根据“同旁内角互补，两直线平行”得到，故③不符合题意； 当时，则根据“内错角相等，两直线平行”得到，故④符合题意； 综上所述：不能判定的是④． 5. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义； C、，右边中不是整式，不符合要求； D、，原式变形错误，不符合要求． 6. 如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大到原来的3倍 D. 扩大到原来的9倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质即可求解． 【详解】解：把中的与都扩大3倍，得． 故选：B． 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 8. 定义运算，若，则a的值为（ ） A. 1或3或5 B. 0或2或4 C. 2或5 D. 1或4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目的定义和题目中的式子，利用分类讨论的方法，可以得到a的值． 【详解】解：∵（a-1）-（a-4） =a-1-a+4 =3， ∴a-1＞a-4， ∵，， ∴（a-4）a-1=1， ∴a-4=1，或a-4=-1且a-1为偶数，或a-1=0且a-4≠0， 解得，a=5或a=3或a=1， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 9. 某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为，，若，且，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，再根据折叠得出，进而解答即可． 【详解】解：由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理，折叠就会出现对应角相等． 10. 如图1，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（    ） A. 图形①与图形②的周长和 B. 图形④与图形⑥的周长和 C. 图形①与图形②的周长差 D. 图形④与图形⑥的周长差 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设长方形的长为x，宽为y，正方形的边长为a，先用字母表示出图形②、⑤的面积，根据题意得到为已知，再用字母分别表示出图形①、②、③、④、⑤、⑥的周长，进行计算即可得出正确的选项． 【详解】设长方形纸片的长为x，宽为y，正方形的边长为a， 图形②的面积， 图形⑤的面积， ， 图形①的周长， 图形②的周长， ∴图形①与图形②的周长和为，故A选项不符合题意； 图形④的周长， 图形⑥的周长， ，故B选项不符合题意； 图形①与图形②的周长差为,故C选项不符合题意； 图形④与图形⑥的周长差为， 根据题意为已知，即为已知，故D选项符合题意， 综上所述，一定能求出的是D． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 13. 如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质． 先求出，再根据平行线的性质作答即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵直尺的两边所在的直线是平行的， ∴ 故答案为：． 14. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方运算法则和同底数幂的除法运算法则，将所求式子变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ． 15. 若关于x，y的二元一次方程组的解还满足，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将原方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合已知建立关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ， ， 解得：． 16. 已知，，那么______，______． 【答案】 ①. -1 ②. 0 【解析】 【分析】由条件可以变形为，因式分解从而可以求出其值；，可以得出，．所以从而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵m≠2n， ∴ ∴m＋2n＝−1； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案是：−1；0． 【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活运用因式分解是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 分解因式． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式分解因式； （2）把整体看作公因式，利用提公因式法分解因式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程（组） （1）解方程组：； （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得， 得， 解得， 把代入②得， 解得， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 整理得， 方程两边同乘得， 整理得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 19. 按要求完成作答： （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为． 【解析】 【分析】（1）先对分子用平方差公式因式分解，将除法转化为乘法，约分即可得到结果； （2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项后计算除法得到最简式，再代入给定的a、b的值计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当，时， 原式． 20. 如图，已知，． （1）证明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证； （2）先根据角的和差可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 21. 材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是______． （2）试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由． （3）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 【答案】（1）2（答案不唯一） （2）是完美数， 理由： ， 是“完美数”． （3）， 理由： ， 为“完美数”， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据新定义，判断，并写出一个小于10的“完美数”即可求解； （2）根据新定义根据多项式乘以单项式进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解； （3）先运用完全平方公式将进行化简，再根据“完美数”的定义计算即可． 【小问1详解】 解：， 是“完美数”， 故答案为：2（答案不唯一）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱． （1）问苹果、橙子各购买了多少箱？ （2）该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？ 【答案】（1）苹果、橙子各购买50箱、30箱． （2）在乙店获利450元． 【解析】 【分析】（1）设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，根据“苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱”，列出方程组求解即可； （2）由题意可得销售商在甲店获利，整理后得到2a＋3b＝100，再表示出在乙店的获利，整理后把2a＋3b＝100整体代入即可得到答案． 【小问1详解】 解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱， 根据题意得，， 解得，， 答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱． 【小问2详解】 解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元）， 整理得，2a＋3b＝100， 销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b） ＝950－10a－15b ＝950－5（2a＋3b） ＝950－5×100 ＝450（元）， 即在乙店获利450元． 答：在乙店获利450元． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解题的关键． 23. 小王同学在学习完全平方公式时，发现，，，这四个代数式之间是有联系的，于是他在研究后提出了以下问题： （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． （3）如图，长方形中，，，正方形、正方形和正方形都在它的内部，且．记，，若，求长方形的面积．请解决小王同学提出的这三个问题． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把变形为，再代入已知即可求解； （2）把所求式子变形为，再代入已知即可求解； （3）根据题意找出与的差，然后结合已知，利用完全平方公式即可得到的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． ∴的值为． 【小问2详解】 ∵， 又∵ ， ∴． ∴的值为． 【小问3详解】 如图：长方形中，，，正方形、正方形和正方形都在它的内部，，，四边形是长方形， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． ∴长方形的面积为． 【点睛】本题考查完全平方公式的运用．熟练掌握完全平方公式的变形形式，灵活运用公式是解题的关键．解题时注意数形结合思想的运用． 24. 如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1） 解：结论：． 理由：如图1中， 平分交于点， ， ． ， ∴． （2）①； ②猜想：或 理由：当点在的右侧时， ∵， ， ， ，， ， ， ， ． 当点在的左侧时， ∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴中，， 即． 综上所述，或． 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识． （1）只要证明即可得出结论． （2）①利用平行线的性质与角平分线的定义求出，即可解决问题． ②分两种情况：当点在的右侧时，当点在的左侧在线段上时，分别用表示即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图2中， ∵， ， ， ，， ， ， ， ． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学独立练习 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 如图，下列四个角中，与∠1构成一对同位角的是（ ） A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 2. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，不能判定的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大到原来的3倍 D. 扩大到原来的9倍 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 定义运算，若，则a的值为（ ） A. 1或3或5 B. 0或2或4 C. 2或5 D. 1或4 9. 某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为，，若，且，则为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（    ） A. 图形①与图形②的周长和 B. 图形④与图形⑥的周长和 C. 图形①与图形②的周长差 D. 图形④与图形⑥的周长差 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 计算：______． 13. 如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为__________． 14. 若，则______． 15. 若关于x，y的二元一次方程组的解还满足，则k的值为_____． 16. 已知，，那么______，______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 分解因式． （1）； （2） 18. 解方程（组） （1）解方程组：； （2）解方程： 19. 按要求完成作答： （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中，． 20. 如图，已知，． （1）证明：； （2）若，，求的度数． 21. 材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是______． （2）试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由． （3）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由． 22. 某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱． （1）问苹果、橙子各购买了多少箱？ （2）该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？ 23. 小王同学在学习完全平方公式时，发现，，，这四个代数式之间是有联系的，于是他在研究后提出了以下问题： （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． （3）如图，长方形中，，，正方形、正方形和正方形都在它的内部，且．记，，若，求长方形的面积．请解决小王同学提出的这三个问题． 24. 如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $