精品解析：浙江省杭州市西湖区弘益中学2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（5月份）

2024-2025学年浙江省杭州市西湖区弘益中学七年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A B. C. D. 3. 如图所示（易拉罐的上下底面互相平行），用吸管吸易拉罐内的饮料时，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是方程的一组解，那么的值是（　　） A. B. C. D. 5. 下列因式分解正确是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，分别交于点，链接，点G是线段CD上的点，连接FG，若，，则结论①，②，③，正确的是（　　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 8. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 分式有意义，则的值不可能是______． 13. 已知关于，的方程组的解满足，则的值为______． 14. 如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向下折叠，点A落在点处，当时， _______度． 15. 已知，，若，，则的值为______． 16. 实验室需要购买，，三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买，，三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为______元； （2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买三种型号的盒子的总数为______个． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程（组）： （1）． （2）． 19. 先化简，再求值：，从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 20. 如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余． （1）求证：； （2）作的平分线交于点H，若，求的度数． 21. 如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． （1）用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； （2）若，，求的值． 22. 定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等． （1）代数式①，②，③，④中，是对称式的有____． （2）若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值． （3）在（2）的条件下，若，当时，求的值． 23. 2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务． （1）在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？ （2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中） 甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示） 乙方案：设完成生产任务所需时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示） （3）在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由． 24. 如图甲所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设， ①若，，求的度数． ②点在运动过程中，请直接写出和的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省杭州市西湖区弘益中学七年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在日本核电站排放核废水期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数据“0.0000963”用科学记数法可表示为； 故选C 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如图所示（易拉罐的上下底面互相平行），用吸管吸易拉罐内的饮料时，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质可得，进而根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴ 故选：B． 4. 已知是方程的一组解，那么的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方程解的概念，掌握方程解的概念是解答本题的关键． 根据方程解的概念，将，代入方程即可求出的值． 【详解】解：是方程的一组解， 将，代入方程，得， 解得：， 故选：B． 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．a3+a2+a=a（a2+a+1），故A不符合题意； B．4x2-4x+1=（2x-1）2，故B符合题意； C．-2a2+4a=-2a（a-2），故C不符合题意； D．x2-3x+1=x（x-3）+1，不是因式分解，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 6. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选B． 7. 如图，，分别交于点，链接，点G是线段CD上的点，连接FG，若，，则结论①，②，③，正确的是（　　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质和垂直的定义，逐个判断得结论． 【详解】∵∠1=∠3，∠2=∠4， 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠1+∠4=90°， ∴∠EFD=∠1+∠2=90°， ∴EC⊥FD，故③正确； ∵AB∥CD， ∴∠1=∠C， ∴∠FGD=∠4+∠C=∠4+∠1=90°， ∴FG⊥CD，故②正确； ∵∠1不一定等于∠2， ∴∠C≠∠D，故①不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质及垂直的定义，由相等的角和平角的定义得到互余的角是解决本题的关键． 8. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 9. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD，若，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180°，根据BE∥AG，得到∠CFB=∠CAG=2∠1，从而根据平行线的性质得到∠CDB=2∠1，则∠2=180°-4∠1. 【详解】解：由题意得：AG∥BE∥CD，CF∥BD， ∴∠CFB=∠CAG，∠CFB+∠DBF=180°，∠DBF+∠CDB=180° ∴∠CFB=∠CDB ∴∠CAG=∠CDB 由折叠的性质得∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180° ∴∠CAG=∠CDB=∠1+∠BAG=2α ∴∠2=180°-2∠BDC=180°-4α 故选D. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 10. 如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． 根据，以及逐项进行计算判断即可． 【详解】解：由题意得，， A．若，即，而， 所以，因此选项不符合题意； B．若，即，而， 因此，即，因此选项不符合题意； C．若，即，而， 所以，因此选项符合题意； D．若，即，而， 因此，所以，即，因此选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 分式有意义，则的值不可能是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为零是解题的关键． 根据分母不能为零列不等式求解，进而完成解答． 【详解】解：由题意，得， 解得， 所以，即的值不可能是0． 故答案为：0． 13. 已知关于，的方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 根据题意求出方程组的解，再代入求解即可． 【详解】解：解方程组：可得：， 把，代入得， ． 故答案为：． 14. 如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向下折叠，点A落在点处，当时， _______度． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠性质，平行线的性质以及三角形内角和定理．先根据已知条件求出的度数，然后根据折叠可知：∠AED＝∠A′ED＝45°，再利用平行线的性质求出，最后利用三角形内角和求出即可． 【详解】解：由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70． 15. 已知，，若，，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据题意得出，，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 16. 实验室需要购买，，三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买，，三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为______元； （2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买三种型号的盒子的总数为______个． 【答案】 ①. 59 ②. 10 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算及三元一次方程的应用，分类讨论思想及列出方程求整数解是解题的关键． （1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用； （2）设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购买种盒子型号个，根据题意列出方程组，然后求正整数解即可． 【详解】解：（1）购买费用为：（元， 故答案为：59； （2）设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购买种盒子型号个， 根据题意得：， ①当时，， ，，都为正整数， 方程组无解； ②当时，， ，，都为正整数， 时，，， 综合所述，购买，，三种型号的盒子的个数分别4，4，2， ， 故答案为：10． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算、分式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式法则、单项式乘多项式法则等运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式法则、同底数幂相乘法则和合并同类项法则进行计算即可； （2）先把被减数的分母分解因式，再进行通分，然后按照同分母分式相减法则进行计算，最后约分即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程（组）： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解分式方程； （1）利用加减消元法求解即可； （2）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案． 【小问1详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：方程两边同乘以得， 解得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解． 19. 先化简，再求值：，从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算—化简求值，分式的化简求值．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再结合分式有意义的条件选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ∵， 代入得原式． 20. 如图，，过点B的直线交于点G，在之间作射线，与互余． （1）求证：； （2）作平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质及角平分线的有关计算， （1）由平行得，结合已知求出即可证出结论； （2）先求出，根据角平分线得，即可求出结论； 【小问1详解】 证明：， 与互余， ； 【小问2详解】 ， ，平分， ． 21. 如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． （1）用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； （2）若，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】大小卧室都是正方形，大卧室的边长是，根据正方形的面积公式：正方形的面积边长边长，代入字母表示出大卧室的面积；阳台是一个长方形，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的，阳台的宽是，阳台的长是，长方形的面积长宽，代入字母表示出代数式即可． 由，得，因为，所以，化简求出即可． 本题考查了列代数式，多项式乘以单项式，整式的加减运算，解决本题的关键是熟练利用长方形得到面积公式计算． 小问1详解】 解：大卧室面积是：， 阳台的面积是：． 答：大卧室的面积是，阳台的面积是． 【小问2详解】 解：因为， 所以， 露台面积是：， 阳台的面积是：， 因为， 所以， 即， 得：， 得． 22. 定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等． （1）代数式①，②，③，④中，是对称式的有____． （2）若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值． （3）在（2）的条件下，若，当时，求的值． 【答案】（1）②③④ （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义，代数式的运算，以及利用完全平方公式的变形求值： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行求解即可； （3）将值代入求出的值，再利用完全平方公式变形求值即可． 【小问1详解】 解：对于①，将互换后，得到，不符合题意； 对于②，将互换后，得到，符合题意； 对于③，将互换后，得到，符合题意； 对于④，将互换后，得到，符合题意； 故答案为：②③④ 【小问2详解】 ∵是对称式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 由题意，得： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务． （1）在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？ （2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同生产方案（其中） 甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示） 乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示） （3）在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由． 【答案】（1）完成第一项任务实际用了2天 （2）， （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的加减，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设完成第一项任务实际用了x天，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合给出的两种方案列代数式即可； （3）两个代数式作差得，利用a、b取值判断出，进而得到． 【小问1详解】 解：设完成第一项任务实际用了x天，则按原计划生产速度需天完成任务， 由题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：完成第一项任务实际用了2天； 【小问2详解】 解：根据题意，甲方案完成生产任务所需的时间（天）， 乙方案中，由得，即乙方案完成生产任务所需的时间（天）， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：，理由为： ， ∵a、b都为正数，且， ∴，，， ∴， ∴，则． 24. 如图甲所示，已知点在直线上，点，在直线上，且，平分． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，是上点右侧一动点，的平分线交的延长线于点，设， ①若，，求的度数． ②点在运动过程中，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）平行，理由见解析 （2）①∠Q=50°；②α=β 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可； （2）①依据∠HEG=40°，即可得到∠FEG=70°，依据QG平分∠EGH，即可得到∠QGH=∠QGE=20°，根据∠Q=∠FEG-∠EGQ进行计算即可； ②根据∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角，即可得到∠Q=∠FEG-∠EGQ，∠EHG=∠AEG-∠EGH，再根据FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，即可得出∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH，最后依据∠Q=∠FEG-∠EGQ进行计算，即可得到α=β． 【小问1详解】 直线AB与直线CD平行，理由： ∵EF平分∠AEG， ∴∠AEF=∠GEF， 又∵∠EFG=∠FEG， ∴∠AEF=∠GFE， ∴AB∥CD； 【小问2详解】 ①∵∠HEG=40°， ∴∠FEG=（180°-40°）=70°， 又∵QG平分∠EGH， ∴∠QGH=∠QGE=20°， ∴∠Q=∠FEG-∠EGQ=70°-20°=50°； ②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化， ∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角， ∴∠Q=∠FEG-∠EGQ，∠EHG=∠AEG-∠EGH， 又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH， ∴∠FEG=∠AEG，∠EGQ=∠EGH， ∴∠Q=∠FEG-∠EGQ =（∠AEG-∠EGH） =∠EHG， 即α=β． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角性质的运用，解决问题的关键是利用三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$