重难冲关二：平衡中的临界、极值问题在实际生活中的应用 专项训练 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

**基本信息** 聚焦平衡中的临界与极值问题，通过生活场景化题型，系统构建“受力分析-临界条件-极值求解”的科学思维体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模型|1-2题|力的合成与分解（最小力垂直已知力）|从单一物体平衡到轻杆系统，构建三力平衡模型| |动态平衡|4题|动态图解法（力的变化趋势分析）|结合平板转动情境，深化合力等值反向规律| |临界极值|5-9题|临界条件分析（刚拉直/松弛/离开）、数学极值法（三角函数求最值）|连接体问题→弹簧模型→斜面推力，层层递进临界状态判断| |实际应用|3、10-12题|生活场景迁移（电灯拉绳/砂堆稳定）|从物理模型到生活现象，体现科学态度与社会责任|

10.重难冲关二：平衡中的临界、极值问题在实际生活中的应用 1. 如图所示，用一根长为L的轻质细绳的一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球a，为使细绳与竖直方向的夹角为θ且细绳绷紧，小球a处于静止，对小球施加的最小的力为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. mgsinθ B. mgcosθ C. mgtanθ D. 2.如图所示为通过轻杆相连的A、B两小球，用两根细线将其悬挂在水平天花板上的O点。已知两球重力均为G，轻杆与细线OA长均为L.现用力F作用于小球B上(图上F未标出)，使系统保持静止状态且A、B两球在同一水平线上。则力F最小值为 (　　) A. G B. G C. G D. 2G 3.如图所示，为了改变照明区域，用一条棉纱线将电灯拉向右侧，棉纱线保持水平，已知棉纱线的最大承受力为15N，电灯重力为20N，为保证棉纱线不断，则电线与竖直方向的偏角 θ的最大值为 (　　) A. 30° B. 37° C. 45° D. 60° 4.如图所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面成53°角固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m的均匀圆柱体O放在两板间，sin53°=0.8,cos53°=0.6，重力加速度为g.在使BP板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是 (　　) A. 平板BP受到的最小压力为mg B. 平板BP受到的最大压力为mg C. 平板AP受到的最小压力为mg D. 平板AP受到的最大压力为mg 5. 如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1,A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量之比为 (　　) A. B. C. D. 6. 如图所示，质量为m(可以看成质点)的小球P，用两根轻绳OP和O'P在P点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4m的O、O'两点上，绳OP长0.5m，绳O'P长0.3m，今在小球上施加一方向与水平方向成θ=37°角的拉力F，将小球缓慢拉起。绳O'P刚拉直时，OP绳拉力为T1，绳OP刚松弛时，O'P绳拉力为T2，则T1∶T2为(sin37°=0.6;cos37°=0.8) (　　) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5 7. 如图所示，粗糙斜面P固定在水平面上，斜面倾角为θ，在斜面上有一个小滑块Q.若给Q一个水平向右的推力F，无论推力为多大，Q都不会向上滑动，则P、Q间的动摩擦因数 (　　) A. 不小于 B. 等于 C. 等于tanθ D. 不小于tanθ 8. 质量均为m的完全相同物块A、B用轻弹簧相连，置于带有挡板C的固定斜面上。斜面的倾角为θ，弹簧的劲度系数为k，摩擦不计。初始时A恰好静止。现用一沿斜面向上的力拉A，直到B刚要离开挡板C，则此过程中物块A的位移为(弹簧始终处于弹性限度内) (　　) A. B. C. D. 9. (多选)如图所示，质量为M的斜劈倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑。如果用与斜面成α角的力F拉着木块沿斜面匀速上滑。则有 (　　) A. F的最小值为2mgsinθ B. F的最小值为mgsin2θ C. 当 α=θ时F取最小值 D. 当 α=0°时F取最小值 10. (多选)有一堆砂子在水平面上堆成圆锥形，稳定时底角为α，如图所示。如果视每粒砂子完全相同，砂子与砂子之间，砂子与地面之间的动摩擦因数均为μ，砂子之间的最大静摩擦力可近似认为与滑动摩擦力相等，以下说法正确的是 (　　) A. 砂堆稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零 B. 砂堆稳定时，只有形成严格规则的圆锥，底面受到地面的摩擦力才为零 C. 砂堆稳定时形成的圆锥的底角最大值满足tanαmax=μ D. 砂堆稳定时形成的圆锥的底角最大值满足cosαmax=μ 11.如图所示，质量为M的半圆柱体静止在水平地面上，质量为m的小物块在半圆柱体上处于平衡状态，小物块与一轻弹簧连接，弹簧的上端固定于墙上的O点。已知小物块与球心O'的连线与竖直方向成θ=45°角，弹簧的劲度系数为k，其与竖直方向的夹角也为θ。若小物块与半圆柱体之间接触是光滑的，求： (1) 弹簧的伸长量； (2) 半圆柱体所受地面的支持力和摩擦力； (3) 为了保证半圆柱体能够静止在水平地面上，则半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 12.一个底面粗糙、质量为M的斜劈放在粗糙的水平面上，斜劈的斜面光滑且与水平面成30°角；现用一端固定的轻绳系一质量为m的小球，小球放在斜面上，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角也为30°，如图所示，求： (1) 当斜劈静止时绳子的拉力大小； (2) 若地面对斜劈的最大静摩擦力等于地面对斜劈支持力的μ倍，当斜劈刚好不滑动时，求μ的值。 10.重难冲关二：平衡中的临界、极值问题在实际生活中的应用 答案解析 1. 如图所示，用一根长为L的轻质细绳的一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球a，为使细绳与竖直方向的夹角为θ且细绳绷紧，小球a处于静止，对小球施加的最小的力为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. mgsinθ B. mgcosθ C. mgtanθ D. 【解析】　以小球为研究对象，分析受力，小球受力重力mg、外力F和细绳的拉力T，由平衡条件知，F和T的合力与mg等大、反向、共线，作出F与T的合力，如图所示，根据作图法分析得到，当小球施加的力F与细绳垂直时，所用的力最小。根据平衡条件，F的最小值为Fmin=mgsinθ，选项A正确。 【答案】　A 2.如图所示为通过轻杆相连的A、B两小球，用两根细线将其悬挂在水平天花板上的O点。已知两球重力均为G，轻杆与细线OA长均为L.现用力F作用于小球B上(图上F未标出)，使系统保持静止状态且A、B两球在同一水平线上。则力F最小值为 (　　) A. G B. G C. G D. 2G 【解析】　由于系统处于静止状态时，A、B两球在同一水平线上，悬线OA竖直，因此轻杆中的弹力为零，小球B受竖直向下的重力、沿悬线OB斜向上的拉力和F的作用而处于静止状态，三力的合力为零，表示三力的线段构成封闭三角形，由于重力的大小及方向不变，悬线拉力的方向不变，由几何关系可知，当F的方向与OB垂直且斜向右上方时，F最小，由几何关系可知，此时F=Gsin45°=G，选项A正确。 【答案】　A 3.如图所示，为了改变照明区域，用一条棉纱线将电灯拉向右侧，棉纱线保持水平，已知棉纱线的最大承受力为15N，电灯重力为20N，为保证棉纱线不断，则电线与竖直方向的偏角 θ的最大值为 (　　) A. 30° B. 37° C. 45° D. 60° 【解析】　当棉纱线的张力达到最大时，偏角θ取最大值。以灯泡为研究对象，分析其受力情况，由平衡条件可得T=G=20N,T1cosθ=T,T1sinθ=T2，解得tanθ===0.75，则有θ=37°，则电线与竖直方向的偏角θ的最大值为37°，选项ACD错误，B正确。 【答案】　B 4.如图所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面成53°角固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m的均匀圆柱体O放在两板间，sin53°=0.8,cos53°=0.6，重力加速度为g.在使BP板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是 (　　) A. 平板BP受到的最小压力为mg B. 平板BP受到的最大压力为mg C. 平板AP受到的最小压力为mg D. 平板AP受到的最大压力为mg 【解析】　圆柱体受重力，平板AP的弹力F1和平板BP的弹力F2，将F1与F2合成为F，如下图。圆柱体一直处于平衡状态，三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F1与F2合成的合力F与重力等值、反向、共线。从图中可以看出，BP板由水平位置缓慢转动过程中，F1越来越大，F2先减小后增大，由几何关系可知，当F2的方向与AP的方向平行(即与F1的方向垂直)时，F2有最小值F2min=mg，根据牛顿第三定律，平板BP受到的最小压力为mg，选项A正确；BP板由水平位置缓慢转动到竖直位置时，由图知这时F2最大，F2max=mg，即平板BP受到的最大压力为mg，选项B错误；当平板BP沿水平方向时，平板AP对圆柱体的弹力F1=0，即平板AP受到的最小压力为0，选项C错误；由图可知，当BP转到竖直方向时，AP对圆柱体的弹力F1最大，F1max==mg，根据牛顿第三定律知，平板AP受到的最大压力为mg，选项D错误。 【答案】　A 5. 如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1,A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量之比为 (　　) A. B. C. D. 【解析】　设水平作用力为F，对物体A、B整体：在水平方向上有F=μ2(mA+mB)g；隔离物体B：在竖直方向上有μ1F=mBg；联立解得=，选项B正确。 【答案】　B 6. 如图所示，质量为m(可以看成质点)的小球P，用两根轻绳OP和O'P在P点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4m的O、O'两点上，绳OP长0.5m，绳O'P长0.3m，今在小球上施加一方向与水平方向成θ=37°角的拉力F，将小球缓慢拉起。绳O'P刚拉直时，OP绳拉力为T1，绳OP刚松弛时，O'P绳拉力为T2，则T1∶T2为(sin37°=0.6;cos37°=0.8) (　　) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5 【解析】　绳O'P刚拉直时，由几何关系可知此时OP绳与竖直方向夹角为37°，小球受力如图甲，则T1=mg.绳OP刚松弛时，小球受力如图乙，则T2=mg.则T1∶T2=3∶5，选项C正确。 甲 乙 【答案】　C 7. 如图所示，粗糙斜面P固定在水平面上，斜面倾角为θ，在斜面上有一个小滑块Q.若给Q一个水平向右的推力F，无论推力为多大，Q都不会向上滑动，则P、Q间的动摩擦因数 (　　) A. 不小于 B. 等于 C. 等于tanθ D. 不小于tanθ 【解析】　对Q，沿斜面向上的合外力F'=Fcosθ-μ(Fsinθ+mgcosθ)-mgsinθ，整理为F'=(cosθ-μsinθ)F-(μcosθ+sinθ)mg，如果无论推力F为多大时，Q都不会向上滑动，即F→∞，则只有当F的系数cosθ-μsinθ≤0时，F'才不能大于0，即合外力不可能向上，滑块不可能向上滑动，解得μ≥，选项A正确。 【答案】　A 8. 质量均为m的完全相同物块A、B用轻弹簧相连，置于带有挡板C的固定斜面上。斜面的倾角为θ，弹簧的劲度系数为k，摩擦不计。初始时A恰好静止。现用一沿斜面向上的力拉A，直到B刚要离开挡板C，则此过程中物块A的位移为(弹簧始终处于弹性限度内) (　　) A. B. C. D. 【解析】　设刚开始时弹簧压缩量为x0,A对弹簧的压力mgsinθ=kx0,B刚要离开挡板时，弹簧处于伸长状态，B对弹簧的拉力mgsinθ=kx1，所以物块A向上的位移x=x1+x0=，选项D正确。 【答案】　D 9. (多选)如图所示，质量为M的斜劈倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑。如果用与斜面成α角的力F拉着木块沿斜面匀速上滑。则有 (　　) A. F的最小值为2mgsinθ B. F的最小值为mgsin2θ C. 当 α=θ时F取最小值 D. 当 α=0°时F取最小值 【解析】　选木块为研究对象，当没加外力F时正好匀速下滑，设木块与斜面间的动摩擦因数为μ，此时平行于斜面方向必有：mgsinθ=μmgcosθ…①。当加上外力F时，对木块受力分析如图所示，则有f=μN…②，平行于斜面方向：f+mgsinθ=Fcosα…③, 垂直于斜面方向：N+Fsinα=mgcosθ…④，由①②③④解得，F=…⑤，联立①⑤得：F=，故当α=θ时，分母最大，F有最小值，最小值为：Fmin=mgsin2θ，选项BC正确。 【答案】　BC 10. (多选)有一堆砂子在水平面上堆成圆锥形，稳定时底角为α，如图所示。如果视每粒砂子完全相同，砂子与砂子之间，砂子与地面之间的动摩擦因数均为μ，砂子之间的最大静摩擦力可近似认为与滑动摩擦力相等，以下说法正确的是 (　　) A. 砂堆稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零 B. 砂堆稳定时，只有形成严格规则的圆锥，底面受到地面的摩擦力才为零 C. 砂堆稳定时形成的圆锥的底角最大值满足tanαmax=μ D. 砂堆稳定时形成的圆锥的底角最大值满足cosαmax=μ 【解析】　对于砂堆整体，只受到重力和底面的支持力，水平方向上不受力，选项A正确；不论砂堆的形状是否为规则的圆锥形，整体受力不变，选项B错误；对砂堆侧面上的某粒砂子受力分析，如图所示，则FN=mgcosα,Ff=mgsinα,Ff≤μFN，解得tanαmax=μ，选项C正确，D错误。 【答案】　AC 11.如图所示，质量为M的半圆柱体静止在水平地面上，质量为m的小物块在半圆柱体上处于平衡状态，小物块与一轻弹簧连接，弹簧的上端固定于墙上的O点。已知小物块与球心O'的连线与竖直方向成θ=45°角，弹簧的劲度系数为k，其与竖直方向的夹角也为θ。若小物块与半圆柱体之间接触是光滑的，求： (1) 弹簧的伸长量； (2) 半圆柱体所受地面的支持力和摩擦力； (3) 为了保证半圆柱体能够静止在水平地面上，则半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 【解析】　(1) 对小物块受力分析：摩擦力为零，支持力N、弹簧的拉力T和重力G三力平衡，如图所示： 可得：N=T=mg, 设弹簧伸长量为Δx，则：T=kΔx, 解得：Δx=mg. (2) 设地面的支持力和摩擦力分别为FN和f，对整体受力分析如图所示： 根据平衡条件得：Tsinθ=f,Tcosθ+FN=(M+m)g, 解得：f=mg，方向水平向左，FN=Mg+mg，方向竖直向上。 (3) 由摩擦力公式得：μ==. 【答案】　(1) 　(2) Mg+mg，方向竖直向上　mg，方向水平向左　(3) 12.一个底面粗糙、质量为M的斜劈放在粗糙的水平面上，斜劈的斜面光滑且与水平面成30°角；现用一端固定的轻绳系一质量为m的小球，小球放在斜面上，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角也为30°，如图所示，求： (1) 当斜劈静止时绳子的拉力大小； (2) 若地面对斜劈的最大静摩擦力等于地面对斜劈支持力的μ倍，当斜劈刚好不滑动时，求μ的值。 【解析】　(1) 对小球进行受力分析如图甲： Tcos30°+FNcos30°=mg, T sin30°=FNsin30°, 解得：T=FN=mg. (2) 对斜劈进行受力分析如图乙： FN2=Mg+FN1cos30°=Mg+mg, Ff=FN1sin30°, 又：FN1=FN 要使整体不滑动则有：Ff≤μ FN2, 解得μ=, μ值不能小于. 【答案】　(1) mg　(2) 学科网（北京）股份有限公司 $