20.2 勾股定理的逆定理及其应用同步分层训练2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 该同步练习通过夯实基础、能力提升、拓展创新三层设计，实现从勾股定理逆定理的概念理解到综合应用再到创新探究的递进，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|勾股定理逆定理判定、勾股数识别、简单应用|选择/填空/解答题结合，如直角三角形判断、古代数学问题，培养几何直观与空间观念| |能力提升|逆定理与垂直平分线/动态问题综合、实际情境应用|含U型池滑行距离、安全防护板动态分析等题，发展推理能力与运算能力| |拓展创新|勾股数规律、旋转综合、等对四边形探究|通过规律归纳、图形变换题，如等边三角形内点旋转问题，提升创新意识与应用意识|

人教版八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 同步分层训练 一、夯实基础 1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A． B．3，4，5 C．1，2，4 D．，， 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 3． 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 4． 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）.问户高、广各几何？” 意为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈.求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为x尺，可列出方程（　　） A． B． C． D． 5．如图，OA=3，OB=2，AB=点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（　　） A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70° 6．如图，每个小正方形的边长都为1，在△ABC中，D为AB的中点，则线段CD的长为　 　。 7．如图，一棵树（树干与地面垂直）受强风影响，在离地面4m处折断，倒下后的树顶与地面成30°角，则这棵树原来的高度是　 　m. 8．如图，在3×4的正方形网格中，　 　 9．如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是　 　 10．如图①是某品牌婴儿车，将其抽象出图②的结构示意图.根据安全标准需满足AB⊥BC，已知AB=60cm，BC=45cm，AC=75cm，请问：这个婴儿车是否符合安全标准，说明理由. 11．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 二、能力提升 12． 将下列长度的三条线段首尾顺次连结，能组成直角三角形的是(　　) A．4，5，6 B．5，8，12 C．6，8，10 D．6，7，8 13．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点，为垂足，若，，，则的长为（　　） A．10 B．11 C． D． 14．如图，某施工队在道路施工时在地面上设置了安全防护板，每间隔一段用一根长5米的钢筋焊接在防护板上起到加固支撑作用，钢筋和防护板的焊接点A到地面上点O的距离为4米，钢筋与地面的固定点B到点O的距离为3米，已知P为的中点，在固定时需调整钢筋达到最佳固定效果，当钢筋的一端A沿板面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（　　） A．不变 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．先增大，后减小 15．有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是(　　) A． B． C． D． 16．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（　　）米.（边缘部分的厚度忽略不计） A．25 B．24 C．26 D．8π 17．如图，P是等边△ABC 内一点，连结 PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC 为边在△ABC 外作△AP'C≌△APB，连结PP'，则以下结论中错误的是 (　　) A．△APP'是等边三角形 B．△PCP'是直角三角形 C．∠APB=150° D．∠APC=135° 18．已知如图，图中直角三角形旁阴影部分是正方形，则正方形的面积为　 　cm2. 19．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c， n是大于1的奇数，则b= (用含m的式子表示). 20．如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为　 　． 21． 如图， 在正方形 ABCD 中， AB=4， AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形?你是如何判断的? 22．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间.社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°. （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 23．我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵　 　，　 　， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 三、拓展创新 24．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A．67 B．34 C．98 D．73 25．如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架．如图1所示，AD＝13cm，BC＝20cm，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中PB＝13cm，CQ＝20cm．当伸缩杆完全收拢（即CD∥AB）时，如图2所示，床高（CD与AB之间的距离）为12cm，则此时伸缩杆PQ的长度为　 　cm．当∠ADC成180°时，伸缩杆PQ打开最大，此时PQ的长度为cm，则固定钢架AB的长度为　 　cm． 26．若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论： ①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以 ， ， 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以 ， ， 的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为　 　． 27．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”. 【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB. （1）则点P与P'之间的距离为PP'=　 　，　 　°(直接写出答案) （2）在(1)的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算　 　(直接写出答案) （3）【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，.求的度数?请写出完整过程； (直接写出答案) （4）【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接PP'、A'C，记A'C与AB交于点D，可知，，由，，可知为等边三角形，有.故，因此，当A'、P'、P、C共线时，如图5，有最小值为A'C. 请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为　 　(直接写出答案) 28．学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式． （1）如图是正方形网格，正方形的顶点称为格点，每一个小正方形的边长为． 如图，点、在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点不写画法，保留画图痕迹； 如图，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺找出的平分线交于点，并写出画图的步骤或依据； （2）如图，在中，，，，以为边在的左侧作等腰直角，连接，求的长． 29．我们定义：对角线相等的四边形为等对四边形． （1）尝试：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为5的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； （2）推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等边三角形和，连结．求证：四边形是等对四边形： （3）拓展：如图3，已知四边形是等对四边形，，求边的长． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：，不能构成直角三角形，不符合题意； B：32+42=52，能构成直角三角形，符合题意； C：1+2<4，不能构成三角形，不符合题意； D：，不能构成直角三角形，不符合题意； 故答案为：B 【分析】根据勾股定理逆定理，结合三角形三边关系逐项进行判断即可求出答案. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：A、，不是勾股数； B、，不是勾股数； C、，是勾股数； D、，不是勾股数； 故答案为：C． 【分析】根据勾股数的定义，即三个正整数中，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数。本题按照勾股数的定义进行计算判定即可． 3．【答案】C 【解析】【解答】解： 在Rt△ABD中，AD=12，BD=9， 由勾股定理得：， 设DC=x，则BC=BD+DC=9+x， 在Rt△ADC中，AD=12，DC=x，AC=20， 由勾股定理得：， 即：， 解得x=16， ∴DC=16，BC=9+16=25， ∵， ∴△ABC为直角三角形，直角在A点， 故答案为：C. 【分析】 已知AD⊥BC于D，BD=9，AD=12，AC=20，通过勾股定理计算各边长度，再利用勾股定理逆定理或角度判断形状即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意，广：x尺，高：(x+6.8)，对角线：10尺 由勾股定理得. 故答案为：B . 【分析】由题意可知户广、高和对角线的长度，根据勾股定理可列方程. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ OA=3，OB=2，AB= ∴OA2+OB2=AB2， ∴∠AOB=90°， ∵点A在点O的北偏西40°方向， ∴ 点B在点O的北偏东50°， 故答案为：B. 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断△OAB为直角三角形，结合已知方向角，利用三角函数和方位角关系确定点B的位置即可. 6．【答案】 【解析】【解答】解：由图可得： ，， ∴AC2+BC2=AB2 ∴∠ACB=90° ∵D为AB的中点 ∴ 故答案为： 【分析】根据勾股定理可得AB，AC，BC的长，再根据勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案. 7．【答案】12 【解析】【解答】解：由题意得，，， ， ，即这棵树原来的高度是12m， 故答案为： 【分析】先根据题意得到，，，进而根据含30°角的直角三角形的性质得到，从而即可求解。 8．【答案】90 【解析】【解答】解：如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【分析】利用勾股定理求得对应线段的长度，再根据勾股定理的逆定理得到是等腰直角三角形，即可求解． 9．【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴是直角三角形， 依题意，为的重心 ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 【分析】先利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可得到为的重心，连接并延长交于点，根据勾股定理求得长，根据重心定理解题即可． 10．【答案】解：该车符合安全标准， ∵AB=60cm，BC=45cm，AC=75cm， ∴AB2+BC2=602+452=5625， ∵AC2=752=5625， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， ∴AB⊥BC， ∴该车符合安全标准． 【解析】【分析】由勾股定理逆定理得AB⊥BC，即知符合安全标准. 11．【答案】解：（1）是； 理由是：在中， ∵， ∴， ∴， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得，再根据垂线段最短即可求出答案. （2）设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 12．【答案】C 【解析】【解答】解：A、42+52≠62，不能组成直角三角形，不符合题意； B、52+82≠122，不能组成直角三角形，不符合题意； C、62+82=102，能组成直角三角形，符合题意； D、62+72≠82，不能组成直角三角形，不符合题意 故答案为：C . 【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可. 13．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接AD，AE. ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴AD=BD=3，AE=EC=5， 在△ADE中，∵AD2+DE2=32+42=25，AE2=52=25， ∴AD2+DE2=AE2， ∴∠ADE=90°， 在Rt△ADC中，AD=3，DC=DE+EC=9， AC=. 故选：C. 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得需连接AD，AE，则可求出AD，AE的长，利用勾股定理逆定理可判断出△ADE是直角三角形，进而利用勾股定理求出AC的长即可． 14．【答案】A 【解析】【解答】解：依题意， ∴ ∴是直角三角形，且， ∵点是的中点， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选A． 【分析】本题考查勾股定理的逆定理及直角三角形斜边上的中线性质，核心是先判断三角形的形状，再利用特殊性质得出OP的长度。首先验证的形状，OA = 4米，OB = 3米，AB = 5米，满足，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且；又因为P是AB的中点，根据直角三角形的性质“斜边上的中线等于斜边的一半”，可得；AB的长度始终为5米，因此米，即OP的长度始终不变。 15．【答案】C 【解析】【解答】解：A 选项， 252，故 A 不正确；B 选项， ，故B 不正确；C选项， 故 C 正确；D选项， 故D 不正确. 故答案为：C. 【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方即可. 16．【答案】A 【解析】【解答】解：根据下面的展开图可得，，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴他滑行的最短距离约为． 故答案为：A 【分析】根据展开图得到，，，进而根据勾股定理求出AE，从而即可求解。 17．【答案】D 【解析】【解答】解：因为△ABC 是等边三角形，所以∠BAC=60°. 又因为△AP'C≌△APB，所以AP = AP'， ∠BAP = ∠CAP'， 所以 ∠PAP' =∠BAC=60°，所以△APP'是等边三角形. 又因为 PA：PB：PC=3：4：5，所以设 PA=3x，则PP'=PA =3x，P'C=PB=4x，PC=5x，所以 所以△PCP'是直角三角形，且∠PP'C=90°.又因为△APP'是等边三角形， 所以 ∠AP' P = 60°， 所以 ∠APB =∠AP'C=150°.由题意不能得出∠APC=135°. 故答案为： D. 【分析】先运用全等得出 从而 得出是等边三角形， 再运用勾股定理逆定理得出 由此得解. 18．【答案】25 【解析】【解答】解：如图， ∴正方形面积为： 故答案为：25. 【分析】根据勾股定理求出线段AB的长度，然后再根据正方形面积计算公式计算即可. 19．【答案】m 【解析】【解答】解：因为a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c 所以 因为 m 是大于1的奇数，所以b=m. 故答案为： m. 【分析】根据勾股数的定义解答即可. 20．【答案】2 【解析】【解答】解：取AC的中点H，连接HD，HB 在Rt△ABC中， ∵AC2-AD2=CD2 ∴∠ADC=90° ∵H为AC的中点 ∴DH=CH=3 ∴ ∵BD≥BH-DH ∴BD的最小值为5-3=2 故答案为：2 【分析】取AC的中点H，连接HD，HB，根据勾股定理可得AC，再根据勾股定理逆定理可得∠ADC=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质可得DH=CH=3，根据勾股定理可得BH，再根据边之间的关系即可求出答案. 21．【答案】解：图中有4个直角三角形 ∵正方形各内角为直角 ∴△ABE、△CBF、△DEF为直角三角形 DE=AD-AE=2，CF=CD-DF=3 ∵， ∴BE2+EF2=BF2 即△BEF为直角三角形， 故图中有4个直角三角形. 【解析】【分析】根据正方形各内角为直角的性质，可以证明△ABE、△CBF、△DEF为直角三角形，分别求其斜边，即BE，EF，BF的值，根据边的长度和勾股定理的逆定理可以判定△BEF为直角三角形. 22．【答案】（1）解：如图，连接AC， ∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m， ∴（m）， ∴AB+BC-AC=9+12-15=6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程； （2）解：∵CD=17m，AD=8m， AD2+AC2=DC2 ∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°， ∴（m2）， （m2）， ∴S四边形ABCD=60+54=114（m2）， 答：这片绿地的面积是 114m2. 【解析】【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，进而即可得出答案； （2）由勾股定理的逆定理得△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，然后由三角形的面积公式即可得出答案. 23．【答案】（1）18；10 （2）①为直角三角形；理由： ∵， ∴为直角三角形； ② 【解析】【解答】（1）解：∵， ， 故答案为：18，10； （2）② ∴． 【分析】（1）根据完全平方公式，结合二次根式混合运算即可求出答案. （2）①根据勾股定理逆定理即可求出答案. ②根据三角形三边关系即可求出答案. （1）解：∵， ， 故答案为：18，10； （2）①为直角三角形；理由： ∵， ∴为直角三角形； ② ∴． 24．【答案】C 【解析】【解答】解：观察可知，b的通项是2n（n是从2开始的正整数） 则a=n2-1，c=n2+1 当b=14即n=7时，a=48 b=50 a+b=x+y=48+50=98 故答案为：C 【分析】观察找到每列数的规律即找到通项，勾股数的通项非常有代表性，应该记牢。 25．【答案】15；29 【解析】【解答】解：如图，作， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， 如图， ，， ， ， ， ， ， ， ，解得， . 故答案为：15；29. 【分析】如图，作，通过AAS判定，再通过勾股定理求得CH的值，进而计算出PQ的长度；设，由图可得，，通过勾股定理判定，进而得到列出关于x的方程，解得x值即可求得AB的长度. 26．【答案】②③ 【解析】【解答】①直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和大于第三边，故不能组成一个三角形，故错误；②直角三角形的三边 有a+b>c(a，b，c中c最大)，而在 ， ， 三个数中 最大，如果能组成一个三角形，则有 + > 成立，即( + )2>( )2，即a+b+2 >c(由a+b>c)，则不等式成立，从而满足两边之和大于第三边，则以 ， ， 的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；③a+b，c+h，h这三个数中 c+h一定最大，(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h)2=c2+h2+2ch，又∵2ab=2ch=4S△ABC，∴(a+b)2+h2=(c+h)2，根据勾股定理的逆定理即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形，故正确；④假设a= 3，b=4，c=5，则 ， ， 的长为 ， ， ，以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角形，故错误. 【分析】充分运用勾股定理和勾股定理的逆定理结合三角形成立的三边关系进行判断判断分析，是学生综合所学知识体系进行辩证提高的一个过程 27．【答案】（1）3；150° （2） （3）解：；完整过程如下： 将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H 由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB∴△BP'P为等腰直角三角形∴∠BP'P=45° 在Rt△BPP'中，由勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8∴PP'2+P'C2=9，PC2=9∴PC2=PP'2+P'C2 ∴△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°∴∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=135° ∴∠APB=∠BP'C=135°∴ （4） 【解析】【解答】解：（1）由题意可得： BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB ∵∠PAC+∠BAP=60° ∴∠PAP'=60° ∴△APP'为等边三角形 ∴PP'=AP=AP'=3 ∵PP'2+BP2=BP2 ∴△BPP'为直角三角形 ∴∠BPP'=90° ∴∠APB=90°+60°=150° 故答案为：3；150° （2）由（1）知，∠APP'=60°，∠P'PB=90° ∴∠BPH=30° ∵BH⊥AP ∴∠H=90° ∵PB=4 ∴ ∴ ∴ 故答案为： （4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE ∴AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD ∴△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形 ∴AP=PF=AF 作EH⊥BC于点H交AD于点G ∴∠AEG=30° ∴ ∵ ∴当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH ∵GH=AB=3 ∴ ∴PA+PD+PQ的最小值为 故答案为： 【分析】（1）由题意可得BP'=PC=5，AP'=AP，∠PAC=∠P'AB，根据角之间的关系可得∠PAP'=60°，再根据等边三角形判定定理可得△APP'为等边三角形，则PP'=AP=AP'=3，再根据勾股定理逆定理可得△BPP'为直角三角形，则∠BPP'=90°，再根据角之间的关系即可求出答案. （2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BPH=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得AH，再根据勾股定理即可求出答案. （3）将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H，由旋转可得：∠PBP'=90°，BP'=BP=2，P'C=PA=1，∠BP'C=∠APB，根据等腰直角三角形判定定理可得△BP'P为等腰直角三角形，则∠BP'P=45°，根据勾股定理可得PP'2=BP'2+BP2=8，PP'2+P'C2=9，PC2=9，再根据勾股定理逆定理可得△PP'C为直角三角形，即∠PP'C=90°，再根据角之间的关系可得∠APB=∠BP'C=135°，再根据正方形面积即可求出答案. （4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD，根据等边三角形判定定理可得△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形，则AP=PF=AF，作EH⊥BC于点H交AD于点G，则∠AEG=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH，则，即可求出答案. 28．【答案】（1）解：①如图，点O即为所求； ②如图，在的延长线上取点取格点，取格点F，连接交与点G，连接交于点P，则即为所求； 理由：根据作法得：，四边形是矩形， ∴，， ∴平分； （2）解：，，， ， ， 有三种情形： 当，时，； 当，时，； 当，． 综上所述，的长为或或． 【解析】【分析】（1）①取格点M，N，连接交于点O，即可求解； ②在的延长线上取点取格点，取格点F，连接交与点G，连接交于点P，则即为所求； （2）先根据勾股定理的逆定理得到∠CAB的度数，进而即可得到三种情形：当，时，当，时，当，从而根据勾股定理即可求解。 29．【答案】（1）解：如图： 对角线长为，即为所求. （2）证明：如图4，连结CD，BE， ∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC=60°， ∴∠CAD＝∠EAB， ∵AB＝AD，∠CAD＝∠EAB，AC＝AE， ∴△CAD≌△EAB， ∴CD＝BE， ∴四边形BCED是等对四边形， （3）解：如图5，作AB和CD的中垂线交于点E，连结AE，BE，CE，DE， 则AE＝BE，CE＝DE， ∵AC＝BD， ∴△AEC≌△BED， ∴∠EAC＝∠EBD， ∴∠AEB＝∠AOB＝180°－∠BOC=60°， ∴△ABE是等边三角形， 同理：△CDE是等边三角形， ∴AE＝BE＝AB＝4，， ∵， ∴， ∴∠BEC＝90°， ∴∠AED＝360°－60°－60°－90°＝150°， ∵∠AEF＝30°， ∴D、E、F在同一条直线上， Rt△ADF中，AF＝2，， ∴. 【解析】【分析】（1）根据题意，画出一个等腰梯形，使得对角线都等于5，即可； （2）连结CD，BE，根据等边三角形的三条边相等，三个角都是60°，可得AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC=60°，推得∠CAD＝∠EAB，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得△CAD≌△EAB，全等三角形的对应边相等，即可证明； （3）作AB和CD的中垂线交于点E，连结AE，BE，CE，DE，根据三条边对应相等的两个三角形是全等三角形得△AEC≌△BED，由全等三角形的对应角相等可得∠EAC＝∠EBD，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得△ABE是等边三角形，同理△CDE是等边三角形，由等边三角形的三条边都相等，可得AE＝BE＝AB＝4，，根据如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角可得∠BEC＝90°，求得∠AEF＝30°，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求出AD的值. 学科网（北京）股份有限公司 $