20.2勾股定理的逆定理及其应用同步训练2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 同步训练 一、单选题 1．若一个三角形的三边长分别为，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 2．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（    ） A．勾股定理的逆定理 B．勾股定理 C．直角三角形两锐角互余 D．以上都不对 3．在下列以线段的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（   ） ①；    ②，，； ③；    ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知中，，则“”是“是直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 7．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 二、填空题 8．在中，已知，，则的度数为____________． 9．已知三个顶点的坐标为，，，则三角形的形状为________． 10．如图，在正方形网格中，A，B，C，P是网格线的交点，且点P在的边上，则_______° 11．如图，是的角平分线，，则的长为 _____． 12．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 三、解答题 13．已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 14．如图，已知四边形中，，求四边形的面积． 15．如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 16．如图所示，某中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．． (1)求出空地的面积． (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 17．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 18．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，进而推出，即可得出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴三角形为直角三角形. 2．B 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形， ∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理． 3．A 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证各选项中较小两边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：选项A：∵最大边为，，，，∴不能构成直角三角形，此选项符合题意； 选项B：∵最大边为，，∴能构成直角三角形，此选项不符合题意； 选项C：∵，设，， ，得，∴能构成直角三角形，此选项不符合题意； 选项D：∵最大边为，，∴能构成直角三角形，此选项不符合题意． 4．C 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理． 通过勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐一分析每个条件是否能判定为直角三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴设，，（）， ∵， ∴是直角三角形． ②∵，，， ∵， ∴不满足勾股定理逆定理， ∴不是直角三角形． ③∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． ④∵，且， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 综上，能判断是直角三角形的有①③④，共3个． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查充要条件的判断，涉及三角形形状的判断． 根据勾股定理及其逆定理，结合充分条件、必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴由勾股定理逆定理可知是直角三角形（为直角），充分性成立， 反过来，若是直角三角形，则直角可能是（此时为斜边）， 此时，， ∴必要性不成立， 综上，“”是“是直角三角形”的充分不必要条件． 6．C 【分析】根据网格结构利用勾股定理分别求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理判断的形状，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 7．A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 8． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，掌握利用勾股定理逆定理判断直角三角形，再结合内角和求角度是解题的关键． 由条件可得，根据勾股定理的逆定理，可知，再结合三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 9．直角三角形 【分析】先计算出三角形三边的平方，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． 10． 【分析】此题考查了勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，，，则，，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，，，，，， ，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】过点作于点，先用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据角平分线的性质可得，证明，设，在中，利用勾股定理求得的值，进而在中，勾股定理即可求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过D作于E， ∵是的角平分线， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．/90度 【分析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形， 且． 13．(1)； (2)是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【分析】（1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， 则， 解得， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或 ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，平方式的非负性等知识点，熟练掌握这些知识并灵活运用是解答的关键． 14． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 为直角三角形，且， ， ． 15． 【分析】利用勾股定理计算出，再根据逆定理判断出，利用作差法求出阴影面积即可． 【详解】解：在直角中，， ∴， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴． 16．(1) (2)总共需投入元 【分析】（1）直接利用勾股定理求出，再用勾股定理的逆定理得出，再根据进行求解即可； （2）利用（1）中所求计算出所需费用即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ （2）解：元， ∴总共需投入元． 17．(1)“远方”号沿东南方向航行 (2)25海里 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 18．(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明； （2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： 在中， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴点到地面的距离为：． 学科网（北京）股份有限公司 $