19.2 二次根式的乘法与除法 同步分层训练 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 三层递进设计，覆盖二次根式乘除概念辨析、运算应用及跨学科探究，通过基础巩固、能力综合到创新拓展的路径，培养运算能力、推理意识与创新意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|二次根式乘法法则、最简二次根式概念|以选择、填空题为主，聚焦单一知识点辨析，如判断最简二次根式，强化运算能力| |能力提升|同类二次根式合并、化简求值、实际问题应用|融入程序计算、幻方等情境题，结合化简求值，发展推理意识与模型意识| |拓展创新|二次根式性质综合应用、跨学科探究|设计秦九韶公式推导、最佳分解规律探究题，体现数学眼光与创新意识|

人教版八年级下册 19.2 二次根式的乘法与除法 同步分层训练 一、夯实基础 1．的计算结果是（　　） A． B．3 C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列根式中的最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 5．在下列各式中，不能再化简的二次根式是(　　) A． B． C． D． 6．计算结果是　 　. 7．若是最简二次根式，则整数a的最小值为　 　 . 8．下列各式中是最简二次根式的有　 　个． 二、能力提升 9．下列各等式成立的是（　　） A．4×2=8 B．5×4=20 C．4×3=7 D．5×4=20 10．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 11．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（　　）． A．24 B． C．25 D． 12．已知化简的结果是一个整数，则正整数a的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 13．下列各数中，与的积仍为无理数的是（　　） A． B． C． D． 14．若最简二次根式与可以合并，则　 　． 15．等式 成立的条件是　 　 . 16．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值　 　． A B 5 C 10 D 17． 已知最简根式 与 是同类二次根式， 则 　 　，　 　 18．计算： （1） （2） 19． 简化： 20．先化简，再求值：，其中，． 三、拓展创新 21．等式 成立的条件是(　　). A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 22． 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为　 　． 23．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： ①(其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积).而文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： ②(其中 （1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S. （2）你能否由公式①推导出公式②?请试试. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解： 故答案为：B. 【分析】根据二次根式的乘法公式，计算即可解答. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不合题意； 故答案为：C． 【分析】 本题考查二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键． 二次根式的乘法法则：；二次根式的性质：，二次根式的被开方数必须≥0； 选项A：根据二次根式的加法计算法则可知：，故此选项不合题意； 选项B：根据二次根式乘法的计算法则可知：，再根据二次根式有意义的条件：被开方数必须大于等于0可知：不存在，故此选项不合题意； 选项C：根据二次根式乘法的计算法则可知：，故此选项符合题意； 选项D：根据二次根式除法的计算法则可知：，故此选项不合题意；由此可判断出答案． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、与不能合并，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项符合题意； 故选：D． 【分析】本题综合考察二次根式的加减、乘除运算，算术平方根以及立方根的定义和计算规则。对于选项A， 和 不是同类二次根式，同类二次根式需被开方数相同，二者无法直接合并，所以A运算错误；选项B中， 表示16的算术平方根，算术平方根是一个非负的平方根，因此结果只能是4，而非 ，B错误；选项C依据二次根式乘法法则，，所以 ，并非6，C错误；选项D中，因为 ，根据立方根的定义，正数的立方根是正数，所以 ，D运算正确。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：A、则不是最简二次根式， B、是最简二次根式， C、则不是最简二次根式， D、则不是最简二次根式， 故答案为：B. 【分析】根据最简二次根式是指满足以下两个条件的二次根式：被开方数的因数是整数，且被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式；根号下无分母，分母中无根号。据此逐项判断即可求解. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：A、=，被开方数含有小数，不是最简二次根式； B、=，被开方数含有分数，不是最简二次根式； D、=2，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 所以，这三个选项都不是最简二次根式． 故答案为：C． 【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案. 6．【答案】6 【解析】【解答】解：由题意得。 故答案为：6 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，解题需遵循二次根式乘法的核心法则，即两个二次根式相乘，可先将被开方数相乘，再对乘积进行开平方化简，直接按照该法则逐步计算，即可得到结果。 7．【答案】2 【解析】【解答】解：由题意可得： 3a-4≥0，解得： ∵a为整数 当a=2时，，为最简二次根式 ∴a的最小值为2 故答案为：2 【分析】根据二次根式有意义的条件，结合最简二次根式的定义即可求出答案. 8．【答案】1 【解析】【解答】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 则只有是最简二次根式． 故答案为： 【分析】根据最简二次根式的定义：最简二次根式是指被开方数中不含分母，且因式中的含字母的因数是整数次幂的二次根式。然后再对各个数进行逐一判断即可。 9．【答案】D 【解析】【解答】解：A、4×2=8×5=40，故选项错误； B、5×4=20=20，故选项错误； C、4×3=12=12，故选项错误； D、5×4=20=20，故选项正确． 故选D． 【分析】根据二次根式乘法法则：•=（a≥0，b≥0），分别计算即可． 10．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、=5，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据最简二次根式的定义判断求解即可。 11．【答案】B 【解析】【解答】解：先输入，则， 再次输入，则， 输出. 故答案为：B. 【分析】本题主要考察二次根式的乘法及估算无理数的大小，处理过程中注意合并同类二次根式. 12．【答案】C 【解析】【解答】的结果是一个整数， 正整数的最小值是． 故选：C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的化简.根据二次根式的乘法法则计算得到，再根据结果是一个整数，据此可求出正整数的最小值． 13．【答案】D 【解析】【解答】解：A．，积为有理数，故选项A不符合题意； B．，积为有理数，故选项B不符合题意； C．，积为有理数，故选项C不符合题意； D．，积为无理数，故选项D符合题意． 故答案为：D． 【分析】依据二次根式的乘法法则，将各项中的式子与相乘，计算得到结果并判断即可．二次根式的乘法法则：． 14．【答案】 【解析】【解答】解：由已知可得，， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】根据题意求出a、b的值，再代入即可. 15．【答案】 【解析】【解答】解：根据二次根式的定义知： 解得 故填：. 【分析】根据二次根式的定义：被开方数为非负数，分母不为0，列出不等式求解即可. 16．【答案】 【解析】【解答】解：对角线方向上的实数相乘的结果为 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得 ，解得 ，解得 ，解得 ，解得 . 故填：. 【分析】 本题主要考查数的规律探究以及一元一次方程和二次根式乘法的应用.需要根据横向，纵向及对角线方向上实数相乘结果相等的条件，列出方程求解各个未知数，再计算它们的和 . 17．【答案】3.5；1 【解析】【解答】解：最简根式 与 是同类二次根式， ， 解得. 故答案为：3.5；1. 【分析】在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. 18．【答案】（1）解： （2）解： 【解析】【分析】根据二次根式的乘除法则，分步解答即可. 19．【答案】解：原式= = = = 【解析】【分析】 本题考查二次乘除法计算法则，熟知二次乘除法的计算法则是解题关键. 根据分母有理化的方法可得：；再根据分式除法的计算方法：除以一个数等于乘以这个数的倒数可得：，约分化简得：，最后根据分式乘法的计算法则约分化简即可得出答案. 20．【答案】解：原式 ． 将，代入得：原式． 【解析】【分析】本题考查了整式混合运算的化简求值(完全平方、平方差、单项式乘多项式），先展开所有整式，再合并同类项，化简为最简形式，再代入a，b的值，注意用平方差公式简化计算. 21．【答案】A 【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 . 故答案为：A 分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案 22．【答案】或 【解析】【解答】解：∵， ∴可设，其中k为正整数， 则m=20k2， ∵20<m+n<25， ∴m=20， ∵F(n)=1， ∴n为一个正整数的平方数， ∵20<m+n<25， ∴0<n<5， ∴n=1或4， n=1时，， n=4时， 故答案为：或 . 【分析】可设，其中k为正整数，由20<m+n<25可得m=20，由F(n)=1可得n=1或4，代入即可求出答案. 23．【答案】（1）解：∵， ∴， ∴由公式①得， 由公式②得 （2）解： ， ∴ 【解析】【分析】（1）先求出的值，然后将的值代入公式①和②进行计算即可； （2）先将公式①括号里的算式进行通分，然后结合完全平方公式以及平方差公式将算式进行展开和化简，由可推导出公式②. 学科网（北京）股份有限公司 $