19.2 二次根式的乘法与除法-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 知识储备 1.Wa·√b= (a≥0，b≥0) 2.Wab= (a≥0，b≥0). + 01基础练 必备知识梳理一 知识点一 √a·√i=√ab(a≥0，b≥0) 知识点二ab=√a·√b(a≥0，b≥0)】 1.（答题模板)计算： 6.(答题模板)化简： (1)3×√7： (1)√36X0.01=√36× =6× 解：原式=√ (2)√32= (2)V32×、2 7.下列各式化简结果是3√2的是 () 解：原式=√ A.√/12 B.8 C.18 D.√/20 8.若a=√3，则√27的值为 () 2.(2025·兰州)计算√×√2，结果正确的是 A.3a B.4a C.9a D.10a 9.【教材P7练习T3变式】已知长方形的长是 A.6 B.√6 C.5 D.1 √12cm,宽是√8cm,则这个长方形的面积是 3.等式√a+1·√a-1=√a-I成立的条件是 cm2. 10.化简： A.a≥-1 B.a≥1 (1)√100×36=； C.-1≤a≤1 D.a>1 (2)√2y= 4.【新中考·条件开放】若一个无理数a与√8的 11.【教材P7例3变式】计算： 积是一个有理数，写出a的一个值是 (1)-36×2√12； 5.【教材P6例1变式】计算： (1)√25×√4； (2)√12I×W立： 1 5八年极数学·下册 易错点○错用乘法法则 17.一个底面为30cm×30cm的长方体玻璃容 器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为 12.给出下面三个解答过程：①√(-25)×（一16） 正方形、高为10cm的长方体铁桶中，当铁 =√-25×√-16=(-5)×(-4)=20： 桶装满水时，容器中的水面下降了20cm,铁 @4-×=2×号：@v 桶的底面边长是多少厘米？ =5一4=1.其中错误的是 (填 序号) 02综合练 餐关键能力提升一 13.若√27·√n的值是一个整数，则正整数n的 最小值是 () A.1 B.2 C.3 D.4 14.(1)若a=√2，b=3,则用含a,b的式子表 03素养练 透季科走养培直一 示√/24是 18.【新课标·数学文化】请阅读材料，并解决实 A.2ab B.3ab 际问题 C.6ab D.8ab 海伦，古希腊的几何学家，利用三角形的三 (2)【T14(1)变式】若a=√2，b=√5，用含a, 边求面积：如果一个三角形的三边长分别为 b的式子表示√20，这个式子不可以是 a,b,c,记p=a十b+c,那么这个三角形的面 2 ( 积S=√p(p一a)(p-b)(p一c).这个公式 A.26 B.2ab C.a2b D.a2b2 称为海伦公式.秦九韶，我国南宋时期的数 15.若√a3+a=一a√a十1，则实数a的取值范 学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦 围是 ( A.-1≤a≤0 B.a≤0 九超公式s=√8-(4+gc订 C.a<0 D.a≥-1 通过公式变形，可以发现它们实质上是同一 16.【教材P11习题T1变式】计算： 个公式，所以海伦公式也称为“海伦秦九韶 (1)√/75×√20×√12； 公式” 问题：在△ABC中，AC=5,AB=6,BC=7, 用海伦-秦九韶公式求△ABC的面积. (2)12ab·(-266). 助学助教优质高数6 第2课时 二次根式的除法(1) 十++++++ 知识储备 2得层 1.二次根式的除法法则： (a 0,b 0) 2.商的算术平方根：√6 (a≥0，b>0). 01基础练 停必备知识梳理·一 知识点一二次根式的除法法则 1.(答题模板)计算： (4)√18a2b÷√2b(a>0). (1)√50÷√2； 解：原式=√ 知识点二商的算术平方根 e÷ 6.(答题模板)化简： 16 解：原式=√ (1)49 12 ×3 (2)27 ×3 2.在等式“√18÷=3”中，横线上应填入 7.下列各式成立的是 () ( -3=3=3 A.6 B.3 C.6 D.9 2 3.计算√12÷√3的结果为 √2 a_va √-9 A.4 B.√2 C.2 D.3 D.N66 4.下列运算中，计算正确的是 ( ) 8使务式写昌成角的取货范周 A.√6÷√2=3 B.√/50÷√5=10 是 C.√21÷√0.3=7D.√125÷5=5 9.【教材P8例5变式】化简： 5.【教材P8例4变式】计算： (1)V24 25； √6 7 八年级数学·下册 16×25 1 量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经 (3) 1699 √a8(a>0,b>0). (4) 过4$后落在地上，这个玩具产生的动能 会伤害到楼下的行人吗？请说明理由 (注：伤害无防护人体只需要65J的动能) 02综合练 关键能力提升一 10.若a=√2，b=√7，则 14a的值是 62 A.2 B.4 C.√7 D.2 11.化简(a-3)√3-a /1 03素养练 学科素养培育一 的结果是 14.【新中考·解题方法型阅读理解题】老师在 12.计算： 复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一 (1)√5a÷√10a; (2)48a÷2V2; a 道题作为练习： 已知v√7=a,√70=b,用含a,b的 代数式表示√/4.9.小豪、小麦两 位同学展示了他们的解法： 小豪：√4.9= 49 49×10 490 W10W10×10 W100 (3)√12÷√27X(-√18). √7X70_√7×√/70ab 10 10 101 小麦：√/4.9=√/49×0.1=7√0.1.因为 =70T-0 13.【新中考·跨物理学科】高空抛物威胁人们 老师看罢，提出下面的问题： 的“头顶安全”，即便常见小物件，一旦高空落 (1)两位同学的解法都正确吗？ 下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不 (2)请你再给出一种不同于二人的解法. 及.据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s) 和高度（单位：m)近似满足公式t一√ h (不考虑风速的影响，g≈10m/s2). (1)求从40m高空抛物到落地的时间；（结 果保留根号) (2)已知高空抛物动能（单位：J)=10×物体 质量（单位：kg)×高度（单位：m),某质 助学助教优质高数8 第3课时 二次根式的除法（2) 知识储备+++++++ (3)32 满足下列两个条件的二次根式叫作最简二次 1 喻 根式：(1)被开方数不含 ;(2)被开方数中 不含能 的因数或因式 01基础练 @必备知识梳理一 02综合练 金关键能力提升一 知识点最简二次根式 1 1.下列二次根式中是最简二次根式的是( 6.下列二次根式12，√2,2，+1， B.√/18 () C.√13 D.Va2 √x2十y,其中最简二次根式有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.【概念辨析】对于二次根式√0.6，因为被开方 数0.6是 ,所以它 (填“是” 7.若0，则化简二次根式、臣的结果是(） 或“不是”)最简二次根式；将二次根式√0.6 A.16 B.-ab a 化成最简二次根式是 3.【新中考·条件开放】若√a-2是最简二次根 C.ab D.-v-ab a a 式，则a的值可以是 8.【教材P12习题T12变式】如 4.【教材P10练习T1变式】把下列二次根式化 18 cm 图，从一个大正方形纸片中裁 成最简二次根式： 去面积为18cm2和27cm2的 27 cm (1)98; (2)√/2.5. 两个小正方形，则剩下部分的 面积是 03素养练 学科素养培育· 9.【教材P11习题T5变式】根据下列条件，求 5.【教材P9例7变式】计算： 代数式一b-Y-4ac的值： 2a (1)8 (1)a=1,b=10,c=-15; √20 (2)a=2,b=-8,c=5. (2)6 9八年级数学·下册八年级数学·下册 参考答案 第一部分同步练习堂堂清 第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 知识储备 1.√a(a≥0)代数式2.a≥0 基础练综合练素养练 1.(1)算术平方根√a(2)>是<不是3不是2.A3.(1)C(2)D 4.(1)解：由一x≥0，得x≤0.当x≤0时，√一工在实数范围内有意义.(2)解：由2x 一6≥0，得x≥3.当x≥3时，2x一6在实数范围内有意义.(3)解：由2一x≥0，得 x≤2.当x≤2时，√2一x在实数范围内有意义.(4)解：由5-x≥0且5-x≠0，得 x<5.当x<5时，1在实数范围内有意义.5.m≥1且m≠26.27，√2 √5-x 8.C9.A10.411.(1)解：由题意知，无论x取何值，在实数范围内(x十1)2≥0， ∴x取一切实数时√(x十1)在实数范围内有意义.(2)解：由题意，得-(x一1)≥ 0,则(x-1)2≤0.又，（x-1)2≥0，.(x一1)2=0..x=1..当x=1时， √一(x一1)2在实数范围内有意义.(3)解：由题意，得2一√x≠0且x≥0，解得x 0且x≠4..当x≥0且x≠4时 ,2一在实数范围内有意义。(4)解：由题意，得 2-√元 仁-8解得2<<当2≤5时：V十V行文在实数范周内有意义 12.解：设这个长方形过道的长为5xm,宽为xm.根据题意，得5.x·x=10,即5.x2 10.解得x=士√2.x>0,.x=√2..5x=5√2.答：这个长方形过道的长和宽分别 为5√2mW2m.13.(1)解：补全过程为：x≥2且x≤2，∴.x=2..y=√2-2+十 w√2-2-6=-6..x+y=2+(-6)=-4.(2)11或13 第2课时二次根式的性质 知识储备 1.≥2.>03.a-a 基础练综合练素养练 1.A2.23.C445(2(V8.4)3(V后) (4)(V)25.x≥2 6.(1)(-2)2(W2)2428(2)①6②1.5③12 @ 7.B8.A9.D 10.(1)解：原式=6；(2)解：原式=2；(3)解：原式=一 (4)解 原式=-√/0.01=-0.01.11.√3-112.B13.B14.B15.(1)4(答案不唯 一)(2)316.(1)(2)>17.(1)解：原式=50-12=38；(2)解：原式=4-3 +3×号-2.18.1D2(2)m<2 微专题一 1D2号33号 4.2026 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 知识储备 1.√ab2.√a·√b 基础练综合练素养练 1.(1)37√21(2)32 2 :√1642.B3.B4.V2(答案不唯一) 5.)解：原式=V②X=V10=10;(2)解：原式=√121×=；(3)解：原 式=√号×g-1.6v@.00.10.6(2162162427.C8A 9.4610.(1)60(2)y√2y11.(1)解：原式=-6√62×2=-36√2；(2)解： 原式=2a6=√2ab.12.①②③13.C14.(1)A(2)D15.A16.(1)解：原 式-√25x3x4X5X3X4=605；(2)解：原式=-212X6a6=-36V2a. 17.解：设铁桶的底面边长为xcm,则x2×10=30×30×20.x2=30×30×2.x √30×30×2=30V2.答：铁桶的底面边长是30W2cm.18.解：由题意，得p= 5+6+7-9.S=V/9X(9-5)X(9-6)×(9-万=V9x4X3x2=66. 第2课时二次根式的除法(1) 知识储备 1√g≥>2a 基础练综合练素养练 1a502V@52}7√g×27532c3.C4D5 解：原式=V5=有=2：(2)解：原式=√得品-√号×9=5,3)能： 42 原式-√厚-V店；(0解：原式V-丽-a61169身 (249√后9号7A8>3.1)解：原式=5=3 √10010：(2)解： 原式=√图-{：(3)解：原式=压X压 ；(4)解：原式= 1 169 13 vab ab 10A业a业)解：原式=V品=√-竖 (2)解：原式= 2√8c·名=2160=8va；(3)解：原式=√ 4X3X2×9- 1V3×9 -22.13.(1)解：当h=40m时.1=√g ,2X40=22s:(2)这个玩具产 车的动能公伤背到楼下的行人，理市如下：当=4时臣-√质-部得A 80.∴.高空抛物动能=10×0.2×80=160J>65J,.这个玩具产生的动能会伤害到 楼下的行人.14.解：(1)两位同学的解法都正确.(2)解法不唯一，如：√10= √厚-四-名=V鼎-√-品而- N77 第3课时二次根式的除法(2) 知识储备 分母开得尽方 基础练综合练素养练 1C2小数不是西34（答案不唯一）41）解：原式=VPX2=7, ②解：原武-V层-四，5D解：原式-爱 ；(2)解： √2×52555 原式=661 √2×626？：(3)解：原式=④X2×五4v2 6.C7.B n X/n n 8.18√6cm 9.解：(1)当a=1,b=10,c=-15时，原式=-10-10+60_ 2 -10-41 2=-5-210;(2)当a=2,b=-8,c=5时，原式=8-V64=40 4 4-√6 2 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 知识储备 最简二次根式合并 基础练综合练素养练 1.B2.C3.24132√2(2)280,2V0.25.13255(255 /1 3V5533256.(1)35(2)07.A8.(1)解：原式=(（1+2-2)5 昌5：(2)解：原式=4v反-2X22+6v2=6反.9.1解：原式=2v2+25 35+巨=32-5；(2)解：原式=25+22-5+E=2-25.102 1.B12.C13.1014.315.1)解：原式=35+35-3-55=子5-25，