精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年度高二下学期期中考试数学试题

高2027届高二（下）半期考试数学试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某一地区的患有癌症的人占0.002，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率大约为（ ） A. 0.018 B. 0.083 C. 0.002 D. 0.098 4. （ ） A. B. C. D. 5. 现有10个样本数据，，，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 6. 过点作函数图象的切线，则切线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 甲，乙，丙，丁，戊参加数学竞赛，决出了第一名到第五名的排名，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有拿到第一名”，对乙说：“你的名次和甲没有挨着”，则这人的名次排列不同的情况有（ ）种. A. B. C. D. 8. 如图，已知椭圆的左、右焦点是、，P为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于D点，与x轴相切于A点，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 相关系数r越大两个变量间相关性越强 B. 相关系数时，样本点在同一直线上 C. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则 D. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则是增函数 11. 已知抛物线，焦点为F，O为原点，过焦点F的直线l与C交于，两点，过点A作抛物线C的切线，交x轴于点，则说法正确的是（ ） A. 若，则点A的纵坐标为 B. 可以为锐角三角形 C. D. 若以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点，则 三、填空题：本小题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_________. 13. 函数的最大值是______． 14. 已知双曲线的左右焦点为，，P为双曲线右支上一点，Q为的内心，直线PQ与x轴交于点，且，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出证明过程和演算步骤. 15. 2026年4月18日，重庆半程马拉松在嘉陵江滨江路鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表： 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 40 100 女 40 60 100 合计 100 100 200 （1）根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？ （2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为，求的分布列及期望． 附：． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 已知在正三棱柱中，，. （1）已知，分别为棱，的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆与抛物线的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，（为原点）的斜率分别为，，，. （1）求与的方程； （2）证明：为定值. 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 19. 已知函数 （1）求在点处的切线l的方程； （2）若； （ⅰ）证明：函数恰有两个零点； （ⅱ）设为的较大零点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届高二（下）半期考试数学试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】关于A选项，， 根据对数函数的求导公式得，故A选项正确； 关于B选项，为一个常数，故 ，故B选项错误； 关于C选项，根据指数函数的求导公式得，故C选项错误； 关于D选项，目标函数为复合函数求导，则，故D选项错误. 3. 某一地区的患有癌症的人占0.002，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率大约为（ ） A. 0.018 B. 0.083 C. 0.002 D. 0.098 【答案】B 【解析】 【分析】先使用全概率公式求出试验为阳性的概率，再使用贝叶斯公式求出这个条件概率. 【详解】设A事件为“该人患有癌症”，B事件为“试验反应是阳性”， 则 ， 根据全概率公式得 ， 根据贝叶斯公式得， 则. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的展开式和计算即可判断 【详解】由， 所以. 5. 现有10个样本数据，，，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意可知，经验回归方程为，且， 因回归直线过样本中心点，可得， 所以原个样本数据的的值总和为， 去掉后，剩余个样本的的值总和为，的值总和为， 因此新的样本中心点为，依题意新的经验回归直线经过点， 故得，解得. 6. 过点作函数图象的切线，则切线方程是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】设切点为， 由得，则当时， 则切线方程为，即， 将点代入得，得或， 则切线方程为或 7. 甲，乙，丙，丁，戊参加数学竞赛，决出了第一名到第五名的排名，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有拿到第一名”，对乙说：“你的名次和甲没有挨着”，则这人的名次排列不同的情况有（ ）种. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据甲不是第一名，所以甲的名次只能是第名，然后分类计算，再由分类加法计数原理可得. 【详解】因为甲不是第一名，所以甲的名次只能是第名，共种选择，所以分类计算： 第一类：甲是第名，与甲相邻的名次是和，所以乙只能从两个名次确定一个， 其余人全排列，因此有（种）不同排列的名次； 第二类：甲是第名，与甲相邻的名次是和，所以乙只能从两个名次确定一个， 其余人全排列，因此有（种）不同排列的名次； 第三类：甲是第名，与甲相邻的名次是和，所以乙只能从两个名次确定一个， 其余人全排列，因此有（种）不同排列的名次； 第四类：甲是第名，与甲相邻的名次是，所以乙只能从三个名次确定一个， 其余人全排列，因此有（种）不同排列的名次； 根据分类加法计数原理，共有（种）不同排列的名次. 8. 如图，已知椭圆的左、右焦点是、，P为椭圆上一点，在边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点）与直线相切于D点，与x轴相切于A点，若，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线长定理及椭圆的定义求解即可. 【详解】设旁切圆与相切于B，由题意可知，， 设，则，， 又，且， ， 所以，即， 又，即， 所以. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由离散型随机变量分布列所有概率之和为求解. 【详解】对于A，由得，解得或. 当时，，不满足条件，则，故A正确. 对于B，由A可知，B错误. 对于C，，故C正确. 对于D，，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 相关系数r越大两个变量间相关性越强 B. 相关系数时，样本点在同一直线上 C. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则 D. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则是增函数 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于相关系数，有以下结论： ①、当时，两个变量正相关；当时两个变量负相关. ②、相关系数的绝对值越接近于1，两个变量间线性相关性越强；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量之间几乎不存在线性相关关系； 故A错误，B正确； 由可知C正确； 由标准正态分布可知，表示变量不超过的累积概率，故正确. 11. 已知抛物线，焦点为F，O为原点，过焦点F的直线l与C交于，两点，过点A作抛物线C的切线，交x轴于点，则说法正确的是（ ） A. 若，则点A的纵坐标为 B. 可以为锐角三角形 C. D. 若以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线定义判断A，设直线方程，联立抛物线，根据韦达定理及向量的数量积判断B，利用导数求出切线判断C，根据圆心及抛物线的定义判断D. 【详解】因为抛物线，所以抛物线的焦点为，准线方程为，如图： 因为在抛物线上，所以，若， 则由抛物线的定义知到准线的距离，即，解得， 代入可得，所以或，故A正确. 因为直线l过，设直线l的方程为， 由，消去得， 由韦达定理知， 所以， 所以，故， 即为钝角，是钝角三角形，故B错误. 因为，又抛物线与直线l交于两点，所以， 对两边同时求导得，所以， 所以抛物线在处切线的斜率为， 切线方程为，令，解得， 即，则， 由抛物线的定义知，故C正确. 因为以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切于点，所以圆心即的中点坐标为，即， 又由抛物线的定义知 ， 因为 ， 所以 ，故D正确. 三、填空题：本小题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用可计算数列的通项公式. 【详解】，而， 当时，， 故. 填. 【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化. 13. 函数的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先用倍角公式对函数化简，再换元然后利用导数的正负判断函数的单调性即可求最值. 【详解】， 令因为，，所以，因为，所以， 令 ， 令，因为，所以， 令，由高次不等式解法可知，又因为，所以， 令，由高次不等式解法可知 ，又因为，所以， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故在区间上函数的最大值为， 又因为，且，所以的最大值为,即的最大值为. 14. 已知双曲线的左右焦点为，，P为双曲线右支上一点，Q为的内心，直线PQ与x轴交于点，且，则双曲线的离心率为______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，内切圆的性质，角平分线定理求出关系得解. 【详解】如图， 不妨设点在第一象限，圆的半径为， 由圆的切线性质及双曲线的定义可得： ， 又 ，所以， 所以，则可知， 因为点，且共线，， 所以，所以，解得， 由角平分线定理知，， 不妨设 则， 所以 ， 所以 ， 又 ， 所以 ，即 ，解得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出证明过程和演算步骤. 15. 2026年4月18日，重庆半程马拉松在嘉陵江滨江路鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表： 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 40 100 女 40 60 100 合计 100 100 200 （1）根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？ （2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为，求的分布列及期望． 附：． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，不能推断喜爱马拉松与性别有关； （2）的分布列为： 0 1 2 期望为（或）. 【解析】 【分析】（1）根据临界值表可得相应的判断； （2）根据超几何分布可求分布列及数学期望. 【小问1详解】 零假设为：喜爱马拉松与性别无关. 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断成立，即可以推断喜爱马拉松与性别无关. 【小问2详解】 由题意及分层抽样性质知5人中，有3个男性，2个女性， 故的可能取值有， ，，. 所以的分布列为 0 1 2 期望. 16. 已知在正三棱柱中，，. （1）已知，分别为棱，的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）为中点，通过证明，证明平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 取中点，连接，. ，分别为，中点，且， 又为中点，且， 且， 故四边形是平行四边形，. 而平面，面， 平面. 【小问2详解】 如图以为坐标原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则. 设平面的法向量为，则， 令，得，，. 又，. 即直线与平面所成角的正弦值是. 17. 已知椭圆与抛物线的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，（为原点）的斜率分别为，，，. （1）求与的方程； （2）证明：为定值. 【答案】（1）椭圆的方程为，抛物线的方程为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设椭圆及抛物线方程可得，，进而求解即可； （2）设直线，，，，，联立直线与椭圆方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，，进而求证即可. 【小问1详解】 由题意得，则，所以椭圆的方程为. 由题意得，则，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 证明：由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线，，，，， 联立得， 则，，， 所以. 联立得，则， 所以，， 所以， 所以为定值. 18. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）不可信． 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； 【小问2详解】 （i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 19. 已知函数 （1）求在点处的切线l的方程； （2）若； （ⅰ）证明：函数恰有两个零点； （ⅱ）设为的较大零点，，证明：． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，然后求出切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求出切线方程； （2）（ⅰ）利用导数判断函数的单调性，进而证明恰有两个零点； （ⅱ）根据条件计算化简可得，结合，得到 取对数得证结果． 【小问1详解】 由求导得，则，又， 则在点处的切线l的方程为 【小问2详解】 （i）由题可知，则， 设，则， 因为，所以，所以在上是减函数． 由，又结合，得，，所以， 所以存在，使得， 所以当时，，即，此时单调递增， 当时，，即，此时单调递减，所以是唯一的极值点， 显然， 因为在上递增，所以在上必存在一个零点， 因为 (后附证明①)，则，所以， 且 ，即，所以， 则， 所以在区间上必存在一个零点， 综上所述：在区间上恰有两个零点． （ii）由（i）可知，，得， ，得，所以， 即，因为，则， 所以，则 所以，因（后附证明②），则得证． 附证明：① .设，则， 由可得，由可得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，当且仅当时取等. 证明：② .设 ，则， 则函数在上单调递减，则，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $