湖南长沙市长郡中学2026届高三下学期考前模拟测试二数学试题

高三数学模拟卷二 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 中 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 超 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合A=(x1og2(x-1)<2),B=(x∈N-1<x<6),则A∩B= A.(0,1,2,3,4,5)B.(1,2,3,4} C.(1,5) D.(2,3,4) 2.命题“Vz∈[3，十o),z十16>8”的香定为 A.3xE[3,+oo),x+16>8 B.]x∈[3，+o),x+16≤8 C3xE[3,十o∞)，z+16≤8 D.3ze[3,+∞)，x+l6<8 31-号+9g+g-g A品 4.函数f(x)=(e一e)osx在区间[一受，]上的图象大致为 5.巴知a>b>0,且a十b=1,则下列不等式不一定成立的是 Aa古d Ba-i<i C√a+b<2 n&+8>4 6.已知圆O:(x十2)2十y2=169,过点P(1,4)的直线与圆交于A,B两点，则弦AB的最小值为 A.24 B.12 C.10 D.5 数学试卷(N10)第1页（共5页） 7.在△ABC中，AB=4,∠BAC=120°，D为BC边上一点，且∠DAC=90°，DA=2,则边AC 长为 A.5-1 B.3+1 C.V5+2 D.4 8已知餐圆G:+芳-1>>0)与揽物线G:y=2z(p>0)交于M,N两点，点A为销圆 上顶点，直线MA,NA的斜率之积为号，则椭圆C的离心率为 A B26 5 c n号 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的是 A两个变量线性相关程度越强，则相关系数r的绝对值就越接近1 ®残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 C,想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，作零假设H:喜欢参加体育活动与性 别无关 D.在2×2列联表中，若每个数据a,b,c,d均变成原来的2倍，则x不变(x= n (ad-bc)2 (a+)(c+a(a十c)(6+团，其中n=a+6叶c+d) 10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1BCD1中，M为棱CD D 上（含端点）的动点，N为棱CC的中点，则下列结论正确的是 A若M为CD,的中点，则直线AM与直线BN是异面直线 区者M为CD,的中点，点B到直线AM的距离为号 C.存在点M,使得DN⊥AM D存在点M,使得AM∥平面A1BN 11.设复数z在复平面内对应的点为Z,任意复数z都可以表示为三角形式r(cos0十isin).由复 数的三角形式可得出，若名=n(cos0十isin0),a=2(cos十isim2),其在复平面内对应 的点为Z,Z2,az2=r(cosd十isin)·rz(cos0+isin2)=nrn[cos(0+)+isin(0+ 2)门.其几何意义是把向量OZ绕点0按逆时针方向旋转角02（如果<0，就要把OZ绕点0 按顺时针方向旋转角2)，再把它的模变为原来的2倍.根据上面知识，下列选项中正确 的有 A当r=1,0=牙，且n为偶数时，复数x为纯虚数 数学试卷(N10)第2页（共5页） B者=+9则=是- C复平面中，点A(反，1)绕原点0逆时针旋转牙得到A(1-,1+受) D.复平面中，将直线l:2.x十y十1=0绕0点颗时针旋转无得到直线1：3x一y十√2=0 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知平面向量a,b满足|a=4,b=5,且(a-2b)⊥b,则a与b的夹角大小为 13.如图，单位圆O与x轴的正半轴的交点为A,点C,B在圆0上，点C位于第 -象限，点B(号，四)，ZA0C=a,△B0C为正三角形，则2sn号c0s号十 23os28-3=— 4已知e为自然对数的底数，不等式2。一xe+a≥0对Yx∈R恒成立，则实数a的最大值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 设S.为数列(a,)的前n项和，且S,-(a,-1Da∈N, (1)求数列(an}的通项公式； (②)若数列6，满足6-求数列6，)的最大值 数学试卷(N10)第3页（共5页） 16.（本小题满分15分) 函数f(.x)=a.xlnx一a.x jraER (1)a=1时，求()在.x=1处的切线方程； (2)若∫(x)有两个极值点，求a的取值范围. 17.(本小题满分15分) 如图，圆柱OO2的轴截面是边长为2.的正方形，P为⊙O2上一点，正方形ABCD内接于 ⊙O,设平面PAD与平面PBC的交线为直线L,点Q为直线L上一点， (1)证明：L∥BC; (2)求四棱锥P-ABCD外接球的表面积； (3)若平面PADL平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD,当直线PB.与平面QCD所成角的余 弦值为号时，求PQ的长 03 0 数学试卷(N10)第4页（共5页） 18.(本小题满分17分) 人工智能(AI)离不开光，光电子因AI重生一AI是需求发动机，光学光电子是AI的算力底 座、感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就某市高新技术开发区，一家光学元件生 产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次 品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 [20,68) [68,76) [76,84) [84,92) [92,100] 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示）. (2)现采取分层（按次品与合格品分层）随机抽样的方式，从100件样品中共抽取10件，再随 机选出3件，求选出的这3件样品中次品件数X的分布列与数学期望E(X) (3)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X具有数学期望 E(X)=4,方差D(X)=d,则对任意正数e,均有P(X-r≥e)≤《成立.若X~ B100,),证明：P(0<X≤25)≤0 19.(本小题满分17分) 已知双曲线C芹-若-1（®>0,6>0）的左，右焦点分别为，P,虚轴长为2，且点P2,1在 双曲线C上， (1)求双曲线C的方程 (2)斜率为一1的直线与双曲线C的右支交于A,B两点（异于点P) ①若直线AP,BP的斜率分别记为1，k2,k1十λk2=0,求入的值. ②若△PAB的外接圆圆心为M,试问在x轴上是否存在定点Q使|MQ2一|MP|2为定 值？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由. 数学试卷(N10)第5页（共5页）